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  •  当我们进一步考虑内接菱形时,情况有了一些变化——证明任意多边形内均存在内接菱形没有前几个问题那么容易了。但我们可以轻易证明一个弱化版的命题:任意凸多边形内均存在内接菱形。下面将给出这个命题的两种...
    
    			

        当我们进一步考虑内接菱形时,情况有了一些变化——证明任意多边形内均存在内接菱形没有前几个问题那么容易了。但我们可以轻易证明一个弱化版的命题:任意凸多边形内均存在内接菱形。下面将给出这个命题的两种不同的证明,它们都相当经典。

     
      

        证明 1 :考虑凸多边形内的一条水平线段由上至下扫过,这条线段的中点所形成的轨迹就是一条连接凸多边形最顶端与最底端的折线段。类似地,考虑一条从左至右移动的竖直线段,它的中点就构成了从凸多边形最左端到最右端的连线。显然,这两条连线会有一个交点,也就是说我们找到了两条互相垂直且中点重合的线段,它们对应的四个端点显然就是一个菱形的四个顶点。


     
      
        证明 2 :考虑凸多边形内的任意一点 P ,过 P 点作水平直线和竖直直线,与凸多边形交于四个点 Pa 、 Pb 、 Pc 、 Pd 。令 f(P) 表示 Pa 、 Pb 、 Pc 、 Pd 的重心(也就是 Pa Pc 和 Pb Pd 的中垂线的交点)。由图形的凸性可知,这个重心一定位于凸多边形内部。另外,容易得出 f 是连续的,由 Brouwer 不动点定理可知,存在一个 P 点使得 P=f(P) ,这个 P 点所对应的 Pa 、 Pb 、 Pc 、 Pd 显然就是一个菱形的四个顶点。

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  •  我们曾经用两种巧妙的方法证明了这样一个命题:任意凸多边形内均存在内接菱形。利用上次讲到的登山引理,我们可以证明一个更强的命题:任意多边形内均存在内接菱形。  证明的大致思路如下:在多边形外...
    
    			

        我们曾经用两种巧妙的方法证明了这样一个命题:任意多边形内均存在内接菱形。利用上次讲到的登山引理,我们可以证明一个更强的命题:任意多边形内均存在内接菱形。

        证明的大致思路如下:在多边形外任选一点 u 。把多边形上离 u 最近的点记作 y ,把多边形上离 u 最远的点记作 z 。 y 和 z 这两个点就把整个多边形的边界分成了两个部分。

      


        回忆登山引理的内容:对于两个函数值从 0 连续地变到 1 的“折线段函数” f(x) 和 g(x) ,我们总能连续地调整 x1 和 x2 的位置,使得 f(x1) 与 g(x2) 总保持相等,它们从一开始的 0 出发,同时到达 1 。把登山引理应用到上图中,我们可以得到这个结论:我们可以让点 x1 从 y 出发沿着图中的上半部分移动到 z ,点 x2 从 y 出发沿着图中的下半部分移动到 z ,并且保证 x1 到 u 的距离始终等于 x2 到 u 的距离(为了照顾对方,必要时 x1 和 x2 可能会走回头路)。这样, u 、 x1 、 x2 就始终能成为一个菱形的三个顶点。我们把菱形的第四个顶点记作 v 。容易证明 v 的轨迹也是连续的。
        当 x1 和 x2 离 y 点充分近的时候, v 点显然在多边形内部;但当 x1 和 x2 跑到 z 附近时, v 显然就跑到了多边形外。在此过程中, v 点必然穿过了多边形的边界,此时 u 、 x1 、 x2 、 v 就构成了这样一个菱形,它的后面三个顶点都在多边形上。

        现在,固定 y 点,让 v 点逐渐靠拢 y 点,则对应的这个菱形也会连续地发生变化。容易想到,这一过程的极限将会收敛到某个固定的菱形(这是可以证明的),它就是我们所求的内接菱形。

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  • java接口菱形继承

    千次阅读 2015-04-30 18:32:54
    其实菱形继承的副作用只是因为公共基类的成员变量 Java的接口可以做出类似菱形继承的结构,但因为公共基类(接口?)中没有成员变量,所以没有二义性问题啦 当然也可以使用内部类(嵌套类)来实现类似多继承,...
    其实菱形继承的副作用只是因为公共基类的成员变量
    Java的接口可以做出类似菱形继承的结构,但因为公共基类(接口?)中没有成员变量,所以没有二义性问题啦

    当然也可以使用内部类(嵌套类)来实现类似多继承,不必担心会发生钻石危机,因为用内部类实现多继承过程中由设计者重新进行函数命名,从而避免了钻石危机。下面用代码来进行说明:

          要继承的类 Father。
        
    public class Father {
        public void output() {
            System.out.println("father");
        }
    }


           要继承的类 Mother。
        
    public class Mother {
        public void output() {
            System.out.println("mother");
        }
    }



       类 Son 同时继承了 Father 和 Mother 的 output() 方法的实现。
        
    public class Son {
        class Father_son extends Father {
     
        }
     
        class Mother_son extends Mother {
     
        }
     
        public void father() {
            (new Father_son()).output();
        }
     
        public void mother() {
            (new Mother_son()).output();
        }
    }
    
           测试类 MainTest。
        
    public class MainTest {
        public static void main(String[] args) {
            Son test = new Son();
            test.father();
            test.mother();
        }
    }



           测试结果如下:
        father
        mother
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  • 矩形、菱形、正方形的性质1.矩形的性质①具有平行四边形的一切性质;②矩形的四个角都是直角;③矩形的对角线相等;④矩形是轴对称图形,它有两条对称轴;⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。2.菱形的性质①...
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    矩形、菱形、正方形的性质

    1.矩形的性质

    ①具有平行四边形的一切性质;

    ②矩形的四个角都是直角;

    ③矩形的对角线相等;

    ④矩形是轴对称图形,它有两条对称轴;

    ⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

    2.菱形的性质

    ①具有平行四边形的一切性质;

    ②菱形的四条边都相等;

    ③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;

    ④菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是它的对称轴;

    ⑤菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半。

    3.正方形的性质

    正方形具有平行四边形,矩形,菱形的一切性质

    ①边:四边相等,对边平行;

    ②角:四个角都是直角;

    ③对角线:互相平分;相等;且垂直;每一条对角线平分一组对角,即正方形的对角线与边的夹角为45度;

    ④正方形是轴对称图形,有四条对称轴。

    【例题】矩形ABCD中,DE⊥AC于E,且∠ADE:∠EDC=3:2,则∠BDE的度数为 ( )

    A.360 B.90

    C.270 D.180

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    【例题】如图,矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,对角线AC与BD相交于点O,BE:ED=1:3,AB=6cm,求AC的长。

    【例题】如图, O是矩形ABCD 对角线的交点, AE平分 ∠BAD,∠AOD=120° ,求∠AEO 的度数。

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    【例题】菱形的周长为40cm,两邻角的比为1:2,则较短对角线的长________ 。

    【例题】如图,在正方形ABCD中,G是BC上任意一点,连接AG,DE⊥AG于E,BF∥DE交AG于F,探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系,并说明理由。

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    矩形、菱形、正方形的判定

    1.矩形的判定

    ①有一个内角是直角的平行四边形是矩形;

    ②对角线相等的平行四边形是矩形;

    ③有三个角是直角的四边形是矩形;

    ④还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

    2.菱形的判定方法

    ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形;

    ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形;

    ③四条边都相等四边形是菱形;

    ④对角线垂直平分的四边形是菱形。

    3.正方形的判定

    ①菱形+矩形的一条特征;

    ②菱形+矩形的一条特征;

    ③平行四边形+一个直角+一组邻边相等。

    说明一个四边形是正方形的一般思路是:先判断它是矩形,在判断这个矩形也是菱形;或先判断它是菱形,再判断这个菱形也是矩形。

    【例题】如图,在△ABC中,AB=AC,点D是边BC的中点,过点A、D分别作BC与AB的平行线,并交于点E,连续EC、AD。求证:四边形ADCE是矩形。

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    【例题】如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,ED⊥BC,DF//AB,求证:AD与EF互相垂直平分。

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    【例题】已知如图,在△ABC,∠ACB=900,AD是角平分线,点E、F分别在AB、AD上,且AE=AC,EF∥BC。求证:四边形CDEF是菱形。

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    矩形、菱形、正方形与函数综合题

    1.利用矩形、菱形、正方形的知识解决函数问题;

    2.利用函数知识解决矩形、菱形、正方形的问题;

    【例题】如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点C与原点O重合,点B在y轴的正半轴上,点A在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上,点D的坐标为(4,3)

    (1)求k的值;

    (2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移,当菱形的顶点D落在函数y=(k>0,x>0)的图象上时,求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离。

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    【例题】如图,点B、C分别在两条直线y=2x和y=kx上,点A、D是x轴上两点,已知四边形ABCD是正方形,则k值为______。

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    【例题】已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点,点C、D是某个函数图象上的点,当四边形ABCD(A、B、C、D各点依次排列)为正方形时,称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形。例如:如图,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形。

    (1)若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有伴侣正方形的边长;

    (2)若某函数是反比例函数,它的图象的伴侣正方形为ABCD,点D(2,m)(m<2)在反比例函数图象上,求m的值及反比例函数解析式。

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    矩形、正方形的翻折

    1.从翻折中找出对称轴,利用对称性找相等关系。

    2.利用相等关系建立方程解决问题。

    【例题】如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于点F.若CF=1,FD=2,则BC的长是( )

    A.3√6 B.2√6

    C.2√5 D.2√3

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    【例题】如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=7,点E为BC上一动点,把△ABE沿AE折叠,当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时,则点B′到BC的距离为( )

    A.1或2 B. 2或3

    C.3或4 D. 4或5

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    【例题】如图,在边长为1的正方形ABCD中,E为AD边上一点,连接BE,将△ABE沿BE对折,A点恰好落在对角线BD上的点F处。延长AF,与CD边交于点G,延长FE,与BA的延长线交于点H,则下列说法:①△BFH为等腰直角三角形;②△ADF≌△FHA;③∠DFG=60°;④DE=2-√2;⑤S△AEF=S△DFG.其中正确的说法有( )

    A.1个 B.2个

    C.3个 D.4个

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    【例题】四边形ABCD是正方形,∠MAN=45°,它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N,连接MN,作AH⊥MN,垂足为点H。

    (1)如图1,猜想AH与AB有什么数量关系?并证明。

    (2)如图2,已知∠BAC=45°,AD⊥BC于点D,且BD=2,CD=3,求AD的长。

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    综合运用

    1.计算。利用矩形、菱形、正方形中的等腰三角形和直角三角形进行计算。

    2.证明。利用矩形、菱形、正方形的性质和判定,结合全等三角形、等腰三角形、等边三角形的知识展开证明。

    3.探究。利用矩形、菱形、正方形等知识展开探究。

    【例题】在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置,AD与AE在同一直线上,AB与AG在同一直线上。

    (1)小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由。

    (2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时BE的长。

    (3)如图3,小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转,线段DG与线段BE将相交,交点为H,写出△GHE与△BHD面积之和的最大值,并简要说明理由。

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    【例题】现有两个具有一个公共顶点的等腰直角三角形△ADE和△ABC,其中∠ACB和∠AED=90°,且AC=BC,AE=DE,CF⊥AB于F,M为线段BD中点,连接CM,EM。

    (1)如图1,当A、B、D在同一条直线上时,若AC=1,AE=2,求FM的长度;

    (2)如图1,当A、B、D在同一条直线上时,求证:CM=EM;

    (3)如图2,当A、B、D在同一条直线上时,请探究CM,EM的数量关系和位置关系,请先给出结论,然后证明。

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空空如也

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