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  • 蒙特卡洛参数估计
    2021-05-05 07:28:41

    摘要:

    波动性(Volatility)是证券市场的一个重要特性,是数量经济学和统计科学面临的最重要问题之一,与金融市场的功能,稳定性密切相关,在金融资产定价和资产配中处于十分总要的位置,是体现资本市场价格行为,质量和效率的有效指标之一.对于一个发展比较成熟的资本市场而言,应该有比较适度的微小波动,而频繁和波幅过大的震荡不仅对投资者做出正确的投资组合策略不利,也会危害整个金融市场的健康,稳定和发展,甚至可能诱发全球性金融危机,所以证券市场的收益率波动特征以及影响因素备受各研究学者的关注.2010年我国推出沪深了300股指期货,股票市场波动问题变得更加复杂.本文就是在这样的背景下开始对我国沪深300股票指数的研究,在研究方法上由于股票指数序列存在自相关与异方差的问题,不能再应用传统意义上的收益率和风险度量方法,因此需要基于ADF的单位根检验(Unit Root Test),协整检验,最终通过建立EGARCH模型来反映股票市场带有非对称性的波动特性. 本文系统阐述了ARCH类模型的基本理论,分析了ARCH类模型的基本性质特征,并着重探讨了这类模型的参数估计方法.极大似然估计方法是现阶段最广泛使用的参数估计方法.虽然有学者提出了BHHH算法和广义矩方法等一些较为先进的算法来得到模型参数的分布,并以此获取模型参数更多的信息.然而在实际运算中这类算法常遇到中间数据震荡从而导致算法整体失效的问题.也有学者选择了使用马尔科夫链Monte Carlo(MCMC)方法来计算ARCH类模型的后验分布,然而该方法需要采取如Griddy-Gibbs,Metropolis-Hastings等较为复杂的抽样方法,使用起来很不方便.国内有学者提出了一种估计GARCH(1,1)模型参数的简便有效的常规Monte Carlo方法,本文在该工作基础上,选择Halton序列替代原方法中的均匀分布作为参数的先验分布,并将该方法从GARCH(1,1)模型推广到EGARCH模型.最终表明了这种方法在估计EGARCH模型参数时的有效性. 本文主要从以下几个方面进行研究: 1)系统地阐述了自回归条件异方差回归模型族的产生背景,统计意义,以及当前国内外的研究现状与发展水平等.并详细介绍了本文使用的常规MonteCarlo方法的理论基础——Bayes推断理论. 2)详细阐述了拟蒙特卡洛方法的理论部分,并通过MATLAB软件设计实验,对比分析了拟随机数与伪随机数的区别,通过实验结果来直观地呈现本文使用拟随机数代替伪随机数的原因——拟随机数用有的更好的统计特性. 3)结合我国的股票市场,在实证分析中通过对沪深300指数时间序列数据的分析,建立EGARCH模型,并给出了该模型参数的具体的常规拟蒙特卡洛估计方法,通过与最大似然估计方法对比,证明了该方法的有效性.

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  • 蒙特卡洛梯度估计方法(MCGE)简述

    千次阅读 2019-09-09 12:17:15
    要了解基于蒙特卡洛采样的梯度估计方法,首先先了解蒙特卡洛采样方法和随机优化方法。 蒙特卡洛采样(MCS) MCS 是一种经典的求解积分方法,公式(1)中的问题通常可以用 MCS 近似求解如下: 其中,  采样自分布 p...

    640


    动机


    机器学习中最常见的优化算法是基于梯度的优化方法,当目标函数是一个类似如下结构的随机函数 F(θ) 时:

    640?wx_fmt=png

    优化该类目标函数,最核心的计算问题是对随机函数 F(θ) 的梯度进行估计,即:

    640?wx_fmt=png

    随机函数梯度估计在机器学习以及诸多领域都是核心计算问题,比如:变分推断,一种常见的近似贝叶斯推断方法;强化学习中的策略梯度算法;实验设计中的贝叶斯优化和主动学习方法等。其中,对于函数期望类目标问题,最常见的是基于蒙特卡洛采样的方法。

    本文将总结以下内容:

    • 随机梯度估计方法的相关背景知识,包括:蒙特卡洛采样和随机优化

    • 几种经典应用,包括:变分推断、强化学习、实验设计

    • 两类经典的梯度估计算法


    背景知识


    要了解基于蒙特卡洛采样的梯度估计方法,首先先了解蒙特卡洛采样方法和随机优化方法。

    蒙特卡洛采样(MCS)

    MCS 是一种经典的求解积分方法,公式(1)中的问题通常可以用 MCS 近似求解如下:

    640?wx_fmt=png

    其中, 640  采样自分布 p(x;θ),由于采样的不确定性和有限性,这里 640 是一个随机变量,公式(3)是公式(1)的蒙特卡洛估计器(MCE)。这类方法非常适用于求解形式如公式(1)的积分问题,尤其是当分布 p(x;θ) 非常容易进行采样的时候。

    在使用 MCE 时,往往关注其以下四个性质:

    1. 一致性,根据大数定理,当所采样的样本数量非常多时,MCE 的估计值将会收敛到积分的真值处。

    2. 无偏性,MCE 是对所求积分的一个无偏估计,简单推导如下:

    640?wx_fmt=png


    MCE 的无偏性是随机优化算法收敛的重要保证。

    3. 小方差,当几个估计方法都是无偏估计时,我们通常会选择方差较小的 MCE,因为更小方差的 MCE 会估计地更准,从而使得优化地效率更高、准确性更好。

    4. 可计算性,很多机器学习问题都是高维问题,如何提高 MCE 的可计算性,比如:减少采样、提高并行能力等变得十分重要。

    随机优化(SO)

    640?wx_fmt=png
    ▲ 图1. 随机优化

    如图 1 所示,随机优化问题通常包含两个过程,一是仿真过程,输入优化变量,获得响应值 F(θ),然后计算出640?wx_fmt=png ,其中是个随机变量 ;二是优化过程,基于梯度,迭代更新优化变量。

    不同于确定性优化,随机优化算法包含两个部分的随机性:

    • 仿真过程中,由于系统响应 F(θ) 是随机变量,因此其梯度以及 Hessian 矩阵等都是随机的,需要近似估计;


    • 优化过程中,由于采用一些近似处理手段,比如用 mini batch 来估计梯度会产生随机性。

    应用


    基于蒙特卡洛采样的梯度估计方法(MCGE)在很多研究领域都起到了核心作用,本节总结一下其在机器学习领域中的典型应用。

    变分推断(Variational Inference, VI)

    640?wx_fmt=png
    ▲ 图2. VI和MCMC

    VI 是贝叶斯推断中的一大类方法,在统计机器学习(贝叶斯视角)中具有广泛的应用。从上图中可以看出,变分推断 (VI) 的思想非常简单。假设一个变分分布簇,在概率空间中找到一个离真实分布最近的分布。VI 巧妙地将一个推断问题转化为了优化问题,优化目标是 KL(Q||P),即待求分布 Q 和真实后验分布 P 的距离,优化的变量是分布 Q 的描述参数。

    VI 方法综述将在另外一篇文章中详细介绍,本文只简单说明其目标函数是一个形如公式(1)的问题。考虑一个生成模型问题 p(z)p(x|z),其中 z 是隐变量,x 是观测变量,p(z) 是先验分布,p(x|z) 是似然函数。根据贝叶斯公式:

    640?wx_fmt=png

    其中 p(x)=ʃp(z)p(z|x),称为 evidence,通常 p(x) 是一个不可积的多重积分,导致后验分布 p(z|x) 无法获得解析解。如上述思路所述,假设后验分布用一个变分分布 q(z|x;θ) 来近似,通过构造如下优化问题:

    640?wx_fmt=png

    来求解使得两个分布距离最小的变分分布参数 θ,从而得到近似后验分布。

    因为真实后验分布是未知的,直接优化公式(6)是一件比较有挑战的事情,VI 巧妙地将其转化为优化 ELBO 的问题。

    简单的推导过程如下:

    640?wx_fmt=png

    等号两边移动一下可得:

    640?wx_fmt=png

    由 KL 散度的定义可知,KL(q(z|x;ф)||p(z|x;θ))≥0,同时 logp(x;θ) 是个常数,所以求优化问题(6)等价于求如下优化问题:

    640?wx_fmt=png

    相当于求解 log evidence lower bound,即 eblo。继续推导如下:

    640?wx_fmt=png

    公式(10)的形式如公式(1),可以用 MCGE 进行梯度估计,从而优化求解。

    变分推断方法是一个热门研究领域,而核心问题是如何高效求解 elbo 优化问题,在统计物理、信息论、贝叶斯推断、机器学习等诸多领域由广泛的应用。

    强化学习

    强化学习是机器学习中一大类热门研究领域,尤其是 AlphaGo 的横空出世,为强化学习带来了更多的关注和更多的研究人员。本文将不对强化学习的任务和各种概念进行赘述,强化学习中的一大类问题是无模型的策略搜索问题,即通过优化累计回报的均值学习到最优策略。所谓累计回报的均值形式如下:

    640?wx_fmt=png

    公式(11)形式亦如公式(1),可以用 MCGE 进行梯度估计,从而优化求解。

    实验设计

    实验设计是个非常广泛的领域,主要是研究如何为实验设置合适的配置,比如:自动机器学习中的超参数调优(HPO)、神经架构搜索(NAS),通过主动学习(Active Learning)选择更加合适的样本进行标注,老虎机问题的求解(Bandit)等等。

    这类任务中经常会遇到一个问题,如何选择下一个更好的配置,使得选择之后比选择之前性能的概率会有所提升。因此需要优化如下问题:

    640?wx_fmt=png

    公式(12)形式亦如公式(1),可以用 MCGE 进行梯度估计,从而优化求解。

    简单总结一下,优化是机器学习训练中最重要的部分,而其中很多优化问题都是形如公式(1)的问题,而 MCGE 是解决这类问题的有效手段,接下来介绍两种经典的 MCGE 方法。

    方法综述


    公式(1)中的积分内是一个分布和代价函数的乘积,在对其梯度进行近似估计时,可以从两个方面进行求导。由此,可以将梯度估计方法大致分为两类:

    • 求解分布测度的导数,包括本文介绍的 score function gradient estimator

    • 求解代价函数的导数,包括本文介绍的 pathwise gradient estimator

    根据公式(2)待估计的梯度是640?wx_fmt=jpeg ,直接计算会非常困难,一个直观的思路是研究如何将期望的梯度转化为梯度的期望,从而可以利用 MCS 做无偏近似估计。本文将会介绍两种经典的方法,来解决这个问题。

    Score Function Gradient Estimator (SFGE)

    SFGE 是最经典的方法,也是适用性最好的方法,在强化学习中的策略梯度优化问题里,有一个算法叫做 REINFORCE,正是基于 SFGE 来做的。SFGE 也常常被用于解决目标函数不可导的优化问题以及一些黑盒优化问题。

    Score Function 简介

    所谓的 score function 是640?wx_fmt=png ,之所以选择这个函数,是因为以下两点原因:

    1. score function 的期望为 0,证明如下:

    640?wx_fmt=png


    这样会带来非常多的便利,比如:一种降低估计方差的思路,将代价函数 f(x) 改造为 f(x)-b,其中 b 是所谓的 baseline。因为 score function 的期望为 0,所以:

    640?wx_fmt=png

    2. score function 的方差是 Fisher 信息量。

    SFGE的推导过程

    640?wx_fmt=png

    推导中,用到了一个复合函数求导的公式,如下:

    640?wx_fmt=png

    利用 MC 采样可以估计出梯度,如下:

    640?wx_fmt=png

    其中, 640

    从上述推导中可以看到,通过引入 score function,可以成功地将期望的梯度变换为梯度的期望,从而实现梯度的近似估计。

    这中间有一个过程是将积分和微分操作的位置进行了对换,此操作并非可以随意进行,需要满足一定的条件,但一般的机器学习问题都会满足。

    SFGE的性质

    • 代价函数 f(x) 可以是任意函数。比如可微的,不可微的;离散的,连续的;白箱的,黑箱的等。这个性质是其最大的优点,使得很多不可微的甚至没有具体函数的黑箱优化问题都可以利用梯度优化求解。


    • 分布函数 p(x;θ) 必须对 θ 是可微的,从公式中也看得出来。


    • 分布函数必须是便于采样的,因为梯度估计都是基于 MC 的,所以希望分布函数便于采样。


    • SFGE 的方差受很多因素影响,包括输入的维度和代价函数。

    SFGE的典型应用

    SFGE 由于其对代价函数没有限制,具有非常广阔的应用场景,以下是几个非常热门的应用:

    • 策略梯度优化算法 REINFORCE 及其变种

    • 基于 GAN 的自然语言生成

    • 基于自动微分的黑盒变分推断

    这些典型的应用,后续可专门写一篇文章进行介绍。

    Pathwise Gradient Estimator (PGE)

    不同于 SFGE 对代价函数没有任何约束,PGE 要求代价函数可微,虽然 SFGE 更具一般性,但 PGE 会有更好的性质。PGE在机器学习领域有一个重要的方法是 reparameterization trick,它是著名的深度生成模型 VAE 中一个重要的步骤。

    PGE简介

    PGE 的思路是将待学习的参数从分布中变换到代价函数中,核心是做分布变换(即所谓的 reparameterization ,重参数化),计算原来分布下的期望梯度时,由于变换后的分布不包含求导参数,可将求导和积分操作进行对换,从而基于 MC 对梯度进行估计。

    640?wx_fmt=png

    如上述公式,从一个含参 θ 分布中采样,等同于从一个简单无参分布中采样,然后进行函数变换,并且此函数的参数也是 θ。变换前,采样是直接从所给分布中进行,而采用重参数化技巧后,采样是间接地从一个简单分布进行,然后再映射回去,这个映射是一个确定性的映射。其中,映射有很多中思路,比如:逆函数、极变换等方法。

    PGE 的一个重要理论依据是 Law of the Unconscious Statistician (LOTUS) ,即:

    640?wx_fmt=png

    从定理中可以看到,计算一个函数的期望,可以不知道其分布,只需要知道一个简单分布,以及从简单分布到当前分布的映射关系即可。

    PGE推导过程

    基于 Law of the Unconscious Statistician (LOTUS) 对 PGE 进行推导,如下:

    640?wx_fmt=png

    利用 MC 可以估计出梯度为:

    640?wx_fmt=png

    其中  640 。从推导中可以看出,分布中的参数被 push 到了代价函数中,从而可以将求导和积分操作进行对换。

    分布变换是统计学中一个基本的操作,在计算机中实际产生各种常见分布的随机数时,都是基于均匀分布的变换来完成的。有一些常见的分布变换可参见下表:

    640?wx_fmt=png

    ▲   图3. 常见分布变换

    PGE的性质

    • 代价函数要求是可微的,比 SFGE 更严格

    • 在使用 PGE 时,并不需要显式知道分布的形式,只需要知道一个基础分布和从该基础分布到原分布的一个映射关系即可,这意味着,不管原来分布多么复杂,只要能获取到以上两点信息,都可以进行梯度估计;而 SFGE 则需要尽量选择一个易采样的分布

    • PGE 的方差受代价函数的光滑性影响

    PGE的典型应用

    • 深度生成模型 VAE 和 GAN 的训练

    • 基于 Normalising Flow 的变分推断

    • 用于连续控制问题的强化学习


    总结


    蒙特卡洛采样(MCS)是求解函数期望的常用近似方法,优点是简单易用,通过一定的变换,可以对期望的梯度进行估计,从而完成对代价函数的优化,实现很多任务。

    但 MCS 的缺点也非常明显,为了保证一定的估计效果,往往需要很大量的采样规模,对于大数据、高维度等实际问题来说,过多的采样会导致算法效率极低,从而降低了算法的实用性。从这个角度来说,如何研究一些新方法,来提高期望或者期望梯度的近似估计效率是一个非常重要的问题。最后,推荐两篇 2019 年的工作 [4] [5] ,旨在尝试解决这个问题。 

    上述研究虽然有一定的局限性,但尝试了新的思路来解决这一问题。其中第 [5] 篇,尝试用一些 Uncertainty Qualification (UQ) 的方法,比如用一些不确定性传播的估计方法,对期望进行确定性估 计,而非随机采样估计,在一定的假设下,确实有非常显著的效果。

    参考文献

    [1] Mohamed, S., Rosca, M., Figurnov, M., & Mnih, A. (2019). Monte Carlo Gradient Estimation in Machine Learning. ArXiv Preprint ArXiv:1906.10652. 

    [2] Fu, M. C. (2005). Stochastic Gradient Estimation, 105–147. 

    [3] Shakir's Machine Learning Blog http://blog.shakirm.com 

    [4] Postels, J., Ferroni, F., Coskun, H., Navab, N., & Tombari, F. (2019). Sampling-free Epistemic Uncertainty Estimation Using Approximated Variance Propagation. ArXiv Preprint ArXiv:1908.00598. 

    [5] Wu, A., Nowozin, S., Meeds, T., Turner, R. E., Lobato, J. M. H., & Gaunt, A. (2019). Deterministic Variational Inference for Robust Bayesian Neural Networks. In ICLR 2019 : 7th International Conference on Learning Representations.

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  • 蒙特卡洛模拟法

    千次阅读 2021-01-17 17:37:54
    蒙特卡洛模拟法简介蒙特卡洛(MonteCarlo)模拟是一种通过设定随机过程,反复生成时间序列,计算参数估计量和统计量,进而研究其分布特征的方法。具体的,当系统中各个单元的可靠性特征量已知,但系统的可靠性过于...

    一 蒙特卡洛模拟法简介

    蒙特卡洛(Monte

    Carlo)模拟是一种通过设定随机过程,反复生成时间序列,计算参数估计量和统计量,进而研究其分布特征的方法。具体的,当系统中各个单元的可靠性特征量已知,但系统的可靠性过于复杂,难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时,可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值;随着模拟次数的增多,其预计精度也逐渐增高。由于涉及到时间序列的反复生成,蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的,因此只是在近些年才得到广泛推广。

    这个术语是二战时期美国物理学家Metropolis执行曼哈顿计划的过程中提出来的。

    蒙特卡洛模拟方法的原理是当问题或对象本身具有概率特征时,可以用计算机模拟的方法产生抽样结果,根据抽样计算统计量或者参数的值;随着模拟次数的增多,可以通过对各次统计量或参数的估计值求平均的方法得到稳定结论。

    二 蒙特卡洛模拟法求解步骤

    应用此方法求解工程技术问题可以分为两类:确定性问题和随机性问题。

    解题步骤如下:

    1.根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型,使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征(如概率、均值和方差等),所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致

    2

    .根据模型中各个随机变量的分布,在计算机上产生随机数,实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数,然后生成服从某一分布的随机数,方可进行随机模拟试验。

    3.

    根据概率模型的特点和随机变量的分布特性,设计和选取合适的抽样方法,并对每个随机变量进行抽样(包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等)。

    4.按照所建立的模型进行仿真试验、计算,求出问题的随机解。

    5. 统计分析模拟试验结果,给出问题的概率解以及解的精度估计。

    三 蒙特卡洛模拟法的应用领域

    蒙特卡洛模拟法的应用领域主要有:

    1.直接应用蒙特卡洛模拟:应用大规模的随机数列来模拟复杂系统,得到某些参数或重要指标。

    2.蒙特卡洛积分:利用随机数列计算积分,维数越高,积分效率越高。

    3.MCMC:这是直接应用蒙特卡洛模拟方法的推广,该方法中随机数的产生是采用的马尔科夫链形式。

    四 资产组合模拟

    假设有五种资产,其日收益率(%)分别为

    0.0246 0.0189 0.0273 0.0141 0.0311

    标准差分别为

    0.9509 1.4259, 1.5227, 1.1062, 1.0877

    相关系数矩阵为

    1.0000 0.4403 0.4735 0.4334 0.6855

    0.4403 1.0000 0.7597 0.7809 0.4343

    0.4735 0.7597 1.0000 0.6978 0.4926

    0.4334 0.7809 0.6978 1.0000 0.4289

    0.6855 0.4343 0.4926 0.4289 1.0000

    假设初始价格都为100,模拟天数为504天,模拟线程为2,程序如下

    %run.m

    ExpReturn = [0.0246 0.0189 0.0273 0.0141 0.0311]/100; %期望收益

    Sigmas = [0.9509 1.4259, 1.5227, 1.1062, 1.0877]/100;%标准差

    Correlations = [1.0000 0.4403 0.4735 0.4334 0.6855

    0.4403 1.0000 0.7597 0.7809 0.4343

    0.4735 0.7597 1.0000 0.6978 0.4926

    0.4334 0.7809 0.6978 1.0000 0.4289

    0.6855 0.4343 0.4926 0.4289 1.0000

    ];%相关系数

    ExpCov = corr2cov(Sigmas, Correlations);%协方差

    StartPrice = 100;%初始价格

    NumObs = 504;

    NumSim = 2;

    RetIntervals = 1;

    NumAssets = 5;

    %开始模拟

    randn('state', 0);

    RetExact = portsim(ExpReturn, ExpCov, NumObs, RetIntervals,

    NumSim);

    Weights = ones(NumAssets, 1)/ NumAssets;

    PortRetExact = zeros(NumObs, NumSim);

    for i = 1:NumSim

    PortRetExact(:, i) = RetExact(:,:,i)*Weights;

    end

    PortExact = ret2tick(PortRetExact,

    repmat(StartPrice, 1, NumSim));

    plot(PortExact, '-r');

    一 蒙特卡洛模拟法简介

    蒙特卡洛(Monte

    Carlo)模拟是一种通过设定随机过程,反复生成时间序列,计算参数估计量和统计量,进而研究其分布特征的方法。具体的,当系统中各个单元的可靠性特征量已知,但系统的可靠性过于复杂,难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时,可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值;随着模拟次数的增多,其预计精度也逐渐增高。由于涉及到时间序列的反复生成,蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的,因此只是在近些年才得到广泛推广。

    这个术语是二战时期美国物理学家Metropolis执行曼哈顿计划的过程中提出来的。

    蒙特卡洛模拟方法的原理是当问题或对象本身具有概率特征时,可以用计算机模拟的方法产生抽样结果,根据抽样计算统计量或者参数的值;随着模拟次数的增多,可以通过对各次统计量或参数的估计值求平均的方法得到稳定结论。

    二 蒙特卡洛模拟法求解步骤

    应用此方法求解工程技术问题可以分为两类:确定性问题和随机性问题。

    解题步骤如下:

    1.根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型,使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征(如概率、均值和方差等),所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致

    2

    .根据模型中各个随机变量的分布,在计算机上产生随机数,实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数,然后生成服从某一分布的随机数,方可进行随机模拟试验。

    3.

    根据概率模型的特点和随机变量的分布特性,设计和选取合适的抽样方法,并对每个随机变量进行抽样(包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等)。

    4.按照所建立的模型进行仿真试验、计算,求出问题的随机解。

    5. 统计分析模拟试验结果,给出问题的概率解以及解的精度估计。

    三 蒙特卡洛模拟法的应用领域

    蒙特卡洛模拟法的应用领域主要有:

    1.直接应用蒙特卡洛模拟:应用大规模的随机数列来模拟复杂系统,得到某些参数或重要指标。

    2.蒙特卡洛积分:利用随机数列计算积分,维数越高,积分效率越高。

    3.MCMC:这是直接应用蒙特卡洛模拟方法的推广,该方法中随机数的产生是采用的马尔科夫链形式。

    四 资产组合模拟

    假设有五种资产,其日收益率(%)分别为

    0.0246 0.0189 0.0273 0.0141 0.0311

    标准差分别为

    0.9509 1.4259, 1.5227, 1.1062, 1.0877

    相关系数矩阵为

    1.0000 0.4403 0.4735 0.4334 0.6855

    0.4403 1.0000 0.7597 0.7809 0.4343

    0.4735 0.7597 1.0000 0.6978 0.4926

    0.4334 0.7809 0.6978 1.0000 0.4289

    0.6855 0.4343 0.4926 0.4289 1.0000

    假设初始价格都为100,模拟天数为504天,模拟线程为2,程序如下

    %run.m

    ExpReturn = [0.0246 0.0189 0.0273 0.0141 0.0311]/100; %期望收益

    Sigmas = [0.9509 1.4259, 1.5227, 1.1062, 1.0877]/100;%标准差

    Correlations = [1.0000 0.4403 0.4735 0.4334 0.6855

    0.4403 1.0000 0.7597 0.7809 0.4343

    0.4735 0.7597 1.0000 0.6978 0.4926

    0.4334 0.7809 0.6978 1.0000 0.4289

    0.6855 0.4343 0.4926 0.4289 1.0000

    ];%相关系数

    ExpCov = corr2cov(Sigmas, Correlations);%协方差

    StartPrice = 100;%初始价格

    NumObs = 504;

    NumSim = 2;

    RetIntervals = 1;

    NumAssets = 5;

    %开始模拟

    randn('state', 0);

    RetExact = portsim(ExpReturn, ExpCov, NumObs, RetIntervals,

    NumSim);

    Weights = ones(NumAssets, 1)/ NumAssets;

    PortRetExact = zeros(NumObs, NumSim);

    for i = 1:NumSim

    PortRetExact(:, i) = RetExact(:,:,i)*Weights;

    end

    PortExact = ret2tick(PortRetExact,

    repmat(StartPrice, 1, NumSim));

    plot(PortExact, '-r');

    一 蒙特卡洛模拟法简介

    蒙特卡洛(Monte

    Carlo)模拟是一种通过设定随机过程,反复生成时间序列,计算参数估计量和统计量,进而研究其分布特征的方法。具体的,当系统中各个单元的可靠性特征量已知,但系统的可靠性过于复杂,难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时,可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值;随着模拟次数的增多,其预计精度也逐渐增高。由于涉及到时间序列的反复生成,蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的,因此只是在近些年才得到广泛推广。

    这个术语是二战时期美国物理学家Metropolis执行曼哈顿计划的过程中提出来的。

    蒙特卡洛模拟方法的原理是当问题或对象本身具有概率特征时,可以用计算机模拟的方法产生抽样结果,根据抽样计算统计量或者参数的值;随着模拟次数的增多,可以通过对各次统计量或参数的估计值求平均的方法得到稳定结论。

    二 蒙特卡洛模拟法求解步骤

    应用此方法求解工程技术问题可以分为两类:确定性问题和随机性问题。

    解题步骤如下:

    1.根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型,使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征(如概率、均值和方差等),所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致

    2

    .根据模型中各个随机变量的分布,在计算机上产生随机数,实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数,然后生成服从某一分布的随机数,方可进行随机模拟试验。

    3.

    根据概率模型的特点和随机变量的分布特性,设计和选取合适的抽样方法,并对每个随机变量进行抽样(包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等)。

    4.按照所建立的模型进行仿真试验、计算,求出问题的随机解。

    5. 统计分析模拟试验结果,给出问题的概率解以及解的精度估计。

    三 蒙特卡洛模拟法的应用领域

    蒙特卡洛模拟法的应用领域主要有:

    1.直接应用蒙特卡洛模拟:应用大规模的随机数列来模拟复杂系统,得到某些参数或重要指标。

    2.蒙特卡洛积分:利用随机数列计算积分,维数越高,积分效率越高。

    3.MCMC:这是直接应用蒙特卡洛模拟方法的推广,该方法中随机数的产生是采用的马尔科夫链形式。

    四 资产组合模拟

    假设有五种资产,其日收益率(%)分别为

    0.0246 0.0189 0.0273 0.0141 0.0311

    标准差分别为

    0.9509 1.4259, 1.5227, 1.1062, 1.0877

    相关系数矩阵为

    1.0000 0.4403 0.4735 0.4334 0.6855

    0.4403 1.0000 0.7597 0.7809 0.4343

    0.4735 0.7597 1.0000 0.6978 0.4926

    0.4334 0.7809 0.6978 1.0000 0.4289

    0.6855 0.4343 0.4926 0.4289 1.0000

    假设初始价格都为100,模拟天数为504天,模拟线程为2,程序如下

    %run.m

    ExpReturn = [0.0246 0.0189 0.0273 0.0141 0.0311]/100; %期望收益

    Sigmas = [0.9509 1.4259, 1.5227, 1.1062, 1.0877]/100;%标准差

    Correlations = [1.0000 0.4403 0.4735 0.4334 0.6855

    0.4403 1.0000 0.7597 0.7809 0.4343

    0.4735 0.7597 1.0000 0.6978 0.4926

    0.4334 0.7809 0.6978 1.0000 0.4289

    0.6855 0.4343 0.4926 0.4289 1.0000

    ];%相关系数

    ExpCov = corr2cov(Sigmas, Correlations);%协方差

    StartPrice = 100;%初始价格

    NumObs = 504;

    NumSim = 2;

    RetIntervals = 1;

    NumAssets = 5;

    %开始模拟

    randn('state', 0);

    RetExact = portsim(ExpReturn, ExpCov, NumObs, RetIntervals,

    NumSim);

    Weights = ones(NumAssets, 1)/ NumAssets;

    PortRetExact = zeros(NumObs, NumSim);

    for i = 1:NumSim

    PortRetExact(:, i) = RetExact(:,:,i)*Weights;

    end

    PortExact = ret2tick(PortRetExact,

    repmat(StartPrice, 1, NumSim));

    plot(PortExact, '-r');

    一 蒙特卡洛模拟法简介

    蒙特卡洛(Monte

    Carlo)模拟是一种通过设定随机过程,反复生成时间序列,计算参数估计量和统计量,进而研究其分布特征的方法。具体的,当系统中各个单元的可靠性特征量已知,但系统的可靠性过于复杂,难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时,可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值;随着模拟次数的增多,其预计精度也逐渐增高。由于涉及到时间序列的反复生成,蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的,因此只是在近些年才得到广泛推广。

    这个术语是二战时期美国物理学家Metropolis执行曼哈顿计划的过程中提出来的。

    蒙特卡洛模拟方法的原理是当问题或对象本身具有概率特征时,可以用计算机模拟的方法产生抽样结果,根据抽样计算统计量或者参数的值;随着模拟次数的增多,可以通过对各次统计量或参数的估计值求平均的方法得到稳定结论。

    二 蒙特卡洛模拟法求解步骤

    应用此方法求解工程技术问题可以分为两类:确定性问题和随机性问题。

    解题步骤如下:

    1.根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型,使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征(如概率、均值和方差等),所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致

    2

    .根据模型中各个随机变量的分布,在计算机上产生随机数,实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数,然后生成服从某一分布的随机数,方可进行随机模拟试验。

    3.

    根据概率模型的特点和随机变量的分布特性,设计和选取合适的抽样方法,并对每个随机变量进行抽样(包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等)。

    4.按照所建立的模型进行仿真试验、计算,求出问题的随机解。

    5. 统计分析模拟试验结果,给出问题的概率解以及解的精度估计。

    三 蒙特卡洛模拟法的应用领域

    蒙特卡洛模拟法的应用领域主要有:

    1.直接应用蒙特卡洛模拟:应用大规模的随机数列来模拟复杂系统,得到某些参数或重要指标。

    2.蒙特卡洛积分:利用随机数列计算积分,维数越高,积分效率越高。

    3.MCMC:这是直接应用蒙特卡洛模拟方法的推广,该方法中随机数的产生是采用的马尔科夫链形式。

    四 资产组合模拟

    假设有五种资产,其日收益率(%)分别为

    0.0246 0.0189 0.0273 0.0141 0.0311

    标准差分别为

    0.9509 1.4259, 1.5227, 1.1062, 1.0877

    相关系数矩阵为

    1.0000 0.4403 0.4735 0.4334 0.6855

    0.4403 1.0000 0.7597 0.7809 0.4343

    0.4735 0.7597 1.0000 0.6978 0.4926

    0.4334 0.7809 0.6978 1.0000 0.4289

    0.6855 0.4343 0.4926 0.4289 1.0000

    假设初始价格都为100,模拟天数为504天,模拟线程为2,程序如下

    %run.m

    ExpReturn = [0.0246 0.0189 0.0273 0.0141 0.0311]/100; %期望收益

    Sigmas = [0.9509 1.4259, 1.5227, 1.1062, 1.0877]/100;%标准差

    Correlations = [1.0000 0.4403 0.4735 0.4334 0.6855

    0.4403 1.0000 0.7597 0.7809 0.4343

    0.4735 0.7597 1.0000 0.6978 0.4926

    0.4334 0.7809 0.6978 1.0000 0.4289

    0.6855 0.4343 0.4926 0.4289 1.0000

    ];%相关系数

    ExpCov = corr2cov(Sigmas, Correlations);%协方差

    StartPrice = 100;%初始价格

    NumObs = 504;

    NumSim = 2;

    RetIntervals = 1;

    NumAssets = 5;

    %开始模拟

    randn('state', 0);

    RetExact = portsim(ExpReturn, ExpCov, NumObs, RetIntervals,

    NumSim);

    Weights = ones(NumAssets, 1)/ NumAssets;

    PortRetExact = zeros(NumObs, NumSim);

    for i = 1:NumSim

    PortRetExact(:, i) = RetExact(:,:,i)*Weights;

    end

    PortExact = ret2tick(PortRetExact,

    repmat(StartPrice, 1, NumSim));

    plot(PortExact, '-r');

    蒙特卡洛模拟法简介

    蒙特卡洛(Monte

    Carlo)模拟是一种通过设定随机过程,反复生成时间序列,计算参数估计量和统计量,进而研究其分布特征的方法。具体的,当系统中各个单元的可靠性特征量已知,但系统的可靠性过于复杂,难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时,可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值;随着模拟次数的增多,其预计精度也逐渐增高。由于涉及到时间序列的反复生成,蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的,因此只是在近些年才得到广泛推广。

    这个术语是二战时期美国物理学家Metropolis执行曼哈顿计划的过程中提出来的。

    蒙特卡洛模拟方法的原理是当问题或对象本身具有概率特征时,可以用计算机模拟的方法产生抽样结果,根据抽样计算统计量或者参数的值;随着模拟次数的增多,可以通过对各次统计量或参数的估计值求平均的方法得到稳定结论。

    二 蒙特卡洛模拟法求解步骤

    应用此方法求解工程技术问题可以分为两类:确定性问题和随机性问题。

    解题步骤如下:

    1.根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型,使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征(如概率、均值和方差等),所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致

    2

    .根据模型中各个随机变量的分布,在计算机上产生随机数,实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数,然后生成服从某一分布的随机数,方可进行随机模拟试验。

    3.

    根据概率模型的特点和随机变量的分布特性,设计和选取合适的抽样方法,并对每个随机变量进行抽样(包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等)。

    4.按照所建立的模型进行仿真试验、计算,求出问题的随机解。

    5. 统计分析模拟试验结果,给出问题的概率解以及解的精度估计。

    三 蒙特卡洛模拟法的应用领域

    蒙特卡洛模拟法的应用领域主要有:

    1.直接应用蒙特卡洛模拟:应用大规模的随机数列来模拟复杂系统,得到某些参数或重要指标。

    2.蒙特卡洛积分:利用随机数列计算积分,维数越高,积分效率越高。

    3.MCMC:这是直接应用蒙特卡洛模拟方法的推广,该方法中随机数的产生是采用的马尔科夫链形式。

    四 资产组合模拟

    假设有五种资产,其日收益率(%)分别为

    0.0246 0.0189 0.0273 0.0141 0.0311

    标准差分别为

    0.9509 1.4259, 1.5227, 1.1062, 1.0877

    相关系数矩阵为

    1.0000 0.4403 0.4735 0.4334 0.6855

    0.4403 1.0000 0.7597 0.7809 0.4343

    0.4735 0.7597 1.0000 0.6978 0.4926

    0.4334 0.7809 0.6978 1.0000 0.4289

    0.6855 0.4343 0.4926 0.4289 1.0000

    假设初始价格都为100,模拟天数为504天,模拟线程为2,程序如下

    %run.m

    ExpReturn = [0.0246 0.0189 0.0273 0.0141 0.0311]/100; %期望收益

    Sigmas = [0.9509 1.4259, 1.5227, 1.1062, 1.0877]/100;%标准差

    Correlations = [1.0000 0.4403 0.4735 0.4334 0.6855

    0.4403 1.0000 0.7597 0.7809 0.4343

    0.4735 0.7597 1.0000 0.6978 0.4926

    0.4334 0.7809 0.6978 1.0000 0.4289

    0.6855 0.4343 0.4926 0.4289 1.0000

    ];%相关系数

    ExpCov = corr2cov(Sigmas, Correlations);%协方差

    StartPrice = 100;%初始价格

    NumObs = 504;

    NumSim = 2;

    RetIntervals = 1;

    NumAssets = 5;

    %开始模拟

    randn('state', 0);

    RetExact = portsim(ExpReturn, ExpCov, NumObs, RetIntervals,

    NumSim);

    Weights = ones(NumAssets, 1)/ NumAssets;

    PortRetExact = zeros(NumObs, NumSim);

    for i = 1:NumSim

    PortRetExact(:, i) = RetExact(:,:,i)*Weights;

    end

    PortExact = ret2tick(PortRetExact,

    repmat(StartPrice, 1, NumSim));

    plot(PortExact, '-r');

    展开全文
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    本文是From Scratch: Bayesian Inference, Markov Chain Monte Carlo and Metropolis Hastings, in python的阅读笔记

     

    马尔科夫链蒙特卡洛(MCMC, Markov Chain Monte Carlo)的定义是:通过在概率分布中进行采样,估计给定观测数据下模型的参数。(MCMC is a class of techniques for sampling from a probability distribution and can be used to estimate the distribution of parameters given a set of observations.)

    MCMC是用来估计模型(概率分布)的参数的,由于不方面直接计算模型参数,所以通过“设想”一组可能的参数值(依从某种概率分布进行采样)近似参数分布,即蒙特卡洛部分。“设想”(采样)是有指导原则的,根据当前采样的参数值以及参数的先验,去采样下一个参数值,具有马尔科夫链的性质。

    蒙特卡洛通过不断地生成随机数来估计难以直接计算的量,如模型参数,积分等等。如要计算以下圆形的面积,知道圆形在正方形内,产生一些随机点,计算落在圆形区域内点的占比,乘以正方形的面积就可近似圆形的面积。

    以上采样到底是怎么实现的呢?常用方法之一是M-H采样(Metropolis-Hastings)。

    M-H采样

    因为我们估计的是参数的分布,用一组可能的取值表示,这个分布就是模型参数A在给定数据集D下的后验分布P(A=a|D). 这组参数值的采样过程是:根据当前参数值a和参数先验P(a)去估计下一个参数值a1,对当前参数的依赖性由一个转移模型(transition model)Q(a1|a)来决定,也称为proposal distribution。若采样得到的新样本a1比当前样本a的可能性高,则接受该新样本,太低的话就拒绝,这个评估依据就是P(a1|D)/P(a|D),根据贝叶斯准则:

    新样本a1接受的概率为:

    也就是说,a1的可能性比a高,那一定接受,如果不是,a1并不会完全被拒绝,还是有一定的概率可以接受,首先在[0,1]的均匀分布上产生一个随机数r,如果P(接受)>r,则接受,否则拒绝,类似模拟退火。

     

    M-H过程如下:

    参考阅读:

    一份数学小白也能读懂的「马尔可夫链蒙特卡洛方法」入门指南

    展开全文
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空空如也

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蒙特卡洛参数估计