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  • 定理 对于所有x,y∈Rn,∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥x, y \in \Bbb R^n, \|x+y\| \leq \|x\|+\|y\|x,y∈Rn,∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥,其中对于x∈Rnx \in \Bbb R^nx∈Rn, ∥x∥2=∑i=1nxi2\|x\|_2 = \sqrt...柯西不等式: (∑k=...

    定理

    对于所有x,yRn,x+yx+yx, y \in \Bbb R^n, \|x+y\| \leq \|x\|+\|y\|,其中对于xRnx \in \Bbb R^n, x2=i=1nxi2\|x\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x^2_i}

    证明

    柯西不等式:
    (k=1nakbk)2k=1nak2k=1nbk2\left(\sum_{k=1}^na_kb_k\right)^2 \leq \sum_{k=1}^na_k^2\sum_{k=1}^nb_k^2
    利用柯西不等式,证明过程如下:
    x+y=i=1n(xi+yi)2=i=1n(xi2+yi2+2xiyi)\|x+y\| = \sqrt{\sum^n_{i=1}(x_i+y_i)^2} = \sqrt{\sum^n_{i=1}(x_i^2+y_i^2+2x_iy_i})i=1n(xi2+yi2)+2i=1nxi2i=1nyi2\leq\sqrt{\sum^n_{i=1}(x_i^2+y_i^2)+2\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2\sum^n_{i=1}y_i^2}}=i=1nxi2+i=1nyi2+2i=1nxi2i=1nyi2=\sqrt{\sum^n_{i=1}x_i^2+\sum^n_{i=1}y_i^2+2\sqrt{\sum^n_{i=1}x_i^2}\sqrt{\sum^n_{i=1}y_i^2}}=i=1nxi2+i=1nyi2=\sqrt{\sum^n_{i=1}x_i^2}+\sqrt{\sum^n_{i=1}y_i^2}=x+y=\|x\|+\|y\|
    证毕

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  • 椭圆范数三角不等式证明

    椭圆范数的三角不等式证明在这里插入图片描述
    实际上,这里没有用到的另一条关于正定矩阵的性质:
    正定矩阵一定是对称的,而实对称矩阵一定存在正交矩阵PP,满足PTQP=P1QP=IP^TQP=P^{-1}QP=I,也就是既相似又合同,这里只用到了合同。

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  • Holder不等式 Minkowski不等式

    千次阅读 2019-09-04 11:03:23
    著名柯西-施瓦茨不等式是证明二范数三角不等式的重要工具。Holder不等式是柯西不等式的推广,它是证明ppp范数三角不等式的重要工具。 定义 Rn\mathbb{R}^nRn空间上的ppp范数∣⋅∣p|\cdot|_p∣⋅∣p​定义为 ∣x∣p=...

    著名柯西-施瓦茨不等式是证明二范数三角不等式的重要工具。Holder不等式是柯西不等式的推广,它是证明pp范数三角不等式的重要工具。

    定义 Rn\mathbb{R}^n空间上的pp范数p|\cdot|_p定义为
    xp=(i=1nxip)1/p|x|_p=(\sum_{i=1}^n |x_i|^p)^{1/p}。
    这里的p1p\geq 1是正实数,x=(x1,x2,...,xn)Rnx=(x_1,x_2,...,x_n)\in\mathbb{R}^n。特别地,对于p=p=\infty定义
    x=max1inxi|x|_{\infty}=\max_{1\leq i \leq n} |x_i|。

    p=2p=2时,2|\cdot|_2就是我们的二范数。

    为了证明pp范数是一个范数,我们需要验证其是否满足三角不等式,也即是否有
    x+ypxp+yp|x+y|_p\leq |x|_p + |y|_p
    对所有的x,yRnx,y\in\mathbb{R}^n成立。为了证明这个定理,我们需要Holder不等式。

    首先需要一个引理。

    引理 aλb1λλa+(1λ)ba^{\lambda}b^{1-\lambda}\leq \lambda a + (1-\lambda)b这里的a,b0,0λ1a,b\geq 0, 0\leq \lambda \leq 1

    证明 aabb为0时显然成立,故只需证a,b>0a,b>0的情况。由于f(x)=lnxf(x)=\ln x是关于xx的上凸函数,故对于任意的a,b>0,0λ1a,b> 0, 0\leq \lambda \leq 1
    f(λa+(1λ)b)λf(a)+(1λ)f(b)f(\lambda a + (1-\lambda)b)\geq \lambda f(a) + (1-\lambda)f(b),
    也即
    ln(λa+(1λ)b)λlna+(1λ)lnb\ln (\lambda a + (1-\lambda)b) \geq \lambda \ln a + (1-\lambda)\ln b。
    上式两边求指数,便有题设的不等式成立。

    定理(Holder不等式) 对任意的1p,q,1/p+1/q=11\leq p, q \leq \infty, 1/p+1/q=1以及x,yRnx,y\in\mathbb{R}^n
    i=1nxiyixpyq\sum_{i=1}^n |x_iy_i|\leq |x|_p|y|_q。
    p=q=2p=q=2时,Holder不等式退化为柯西-施瓦茨不等式。

    证明 由上面的引理
    xiyixpyq=(xipxpp)1/p(yiqyqq)1/q1pxipxpp+1qyiqyqq \frac{|x_i||y_i|}{|x|_p|y|_q}=(\frac{|x_i|^{p}}{|x|_p^p})^{1/p}(\frac{|y_i|^{q}}{|y|_q^q})^{1/q} \leq \frac{1}{p} \frac{|x_i|^{p}}{|x|_p^p} + \frac{1}{q}\frac{|y_i|^{q}}{|y|_q^q}
    不等式左右两边对ii求和便有
    1xpyqi=1nxiyi1pxppi=1nxip+1qyqqi=1nyiq=1p+1q=1 \frac{1}{|x|_p|y|_q}\sum_{i=1}^n |x_i||y_i|\leq \frac{1}{p|x|_p^p} \sum_{i=1}^n |x_i|^p + \frac{1}{q|y|_q^q} \sum_{i=1}^n |y_i|^q = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}=1,
    其中倒数第二个等号成立是因为xip=xpp\sum |x_i|^p = |x|_p^pyiq=yqq\sum |y_i|^q = |y|_q^q。定理证毕。

    下面的Minkowski不等式证明了pp范数的三角不等式。

    首先,我们需要一个小小的等式。如果1/p+1/q=11/p+1/q=1那么
    (p1)q=(p1)111/p=p(p-1)q=(p-1)\cdot \frac{1}{1-1/p}=p。

    定理(Minkowski不等式) 对任意的p1p\geq 1以及x,yRnx,y\in\mathbb{R}^n
    x+ypxp+yp |x+y|_p \leq |x|_p + |y|_p。
    证明 只需考虑1<p<1<p<\infty的情况,p=1p=1\infty的情形易证。当1<p<1<p<\infty时有
    x+ypp=i=1nxi+yip=i=1nxi+yip1xi+yii=1nxi+yip1(xi+yi). |x+y|_p^p=\sum_{i=1}^n |x_i+y_i|^p=\sum_{i=1}^n |x_i+y_i|^{p-1}|x_i+y_i|\leq\sum_{i=1}^n |x_i+y_i|^{p-1}(|x_i|+|y_i|).
    由Holder不等式
    i=1nxi+yip1xi(i=1nxi+yi(p1)q)1/q(i=1nxip)1/p=(i=1nxi+yi(p1)q)1/qxp=(i=1nxi+yip)1/qxp=x+ypp/qxp \begin{array}{lll} \displaystyle\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^{p-1}|x_i| &\leq& \displaystyle\Big(\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^{(p-1)q}\Big)^{1/q}\Big(\sum_{i=1}^n|x_i|^{p}\Big)^{1/p} \\ &=&\displaystyle\Big(\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^{(p-1)q}\Big)^{1/q} |x|_p\\ &=&\displaystyle\Big(\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^{p}\Big)^{1/q} |x|_p\\ &=& |x+y|_p^{p/q}|x|_p, \end{array}
    其中1/p+1/q=11/p+1/q=1。同理还有
    i=1nxi+yip1yix+ypp/qyp \displaystyle\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^{p-1}|y_i| \leq |x+y|_p^{p/q}|y|_p。

    结合上面的三个不等式有
    x+yppx+ypp/q(xp+yp) |x+y|_p^p \leq |x+y|_p^{p/q}(|x|_p+|y|_p)。
    不等式两边同时乘x+ypp/q|x+y|_p^{-p/q}便有Minkowski不等式成立。

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  • 本节介绍欧几里得结构的两个基本不等式 1 柯西-施瓦茨(Cauchy–Schwarz)不等式 对任意向量x,y有: 证明: 观察实变量t的函数: ...2 三角不等式 对任意向量x,y有: 该定理的证明参照上一节

    本节介绍欧几里得结构的两个基本不等式

    1 柯西-施瓦茨(Cauchy–Schwarz)不等式

    对任意向量x,y有:

    证明:

    观察实变量t的函数:

    根据范数的定义,以及标量积的性质可知:

    在上式中假定y不等于0且令:

    又由于q(t)>=0,于是:

    y=0的情形是显然的

    2 三角不等式

    对任意向量x,y有:

    该定理的证明参照上一节

     

     

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空空如也

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