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  • [线性代数]向量2-范数三角不等式证明

    万次阅读 多人点赞 2019-10-05 11:20:21
    定理 对于所有x,y∈Rn,∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥x, y \in \Bbb R^n, \|x+y\| \leq \|x\|+\|y\|x,y∈Rn,∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥,其中对于x∈Rnx \in \Bbb R^nx∈Rn, ∥x∥2=∑i=1nxi2\|x\|_2 = \sqrt...柯西不等式: (∑k=...

    定理

    对于所有 x , y ∈ R n , ∥ x + y ∥ ≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥ x, y \in \Bbb R^n, \|x+y\| \leq \|x\|+\|y\| x,yRn,x+yx+y,其中对于 x ∈ R n x \in \Bbb R^n xRn, ∥ x ∥ 2 = ∑ i = 1 n x i 2 \|x\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x^2_i} x2=i=1nxi2

    证明

    柯西不等式:
    ( ∑ k = 1 n a k b k ) 2 ≤ ∑ k = 1 n a k 2 ∑ k = 1 n b k 2 \left(\sum_{k=1}^na_kb_k\right)^2 \leq \sum_{k=1}^na_k^2\sum_{k=1}^nb_k^2 (k=1nakbk)2k=1nak2k=1nbk2
    利用柯西不等式,证明过程如下:
    ∥ x + y ∥ = ∑ i = 1 n ( x i + y i ) 2 = ∑ i = 1 n ( x i 2 + y i 2 + 2 x i y i ) \|x+y\| = \sqrt{\sum^n_{i=1}(x_i+y_i)^2} = \sqrt{\sum^n_{i=1}(x_i^2+y_i^2+2x_iy_i}) x+y=i=1n(xi+yi)2 =i=1n(xi2+yi2+2xiyi ) ≤ ∑ i = 1 n ( x i 2 + y i 2 ) + 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n y i 2 \leq\sqrt{\sum^n_{i=1}(x_i^2+y_i^2)+2\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2\sum^n_{i=1}y_i^2}} i=1n(xi2+yi2)+2i=1nxi2i=1nyi2 = ∑ i = 1 n x i 2 + ∑ i = 1 n y i 2 + 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n y i 2 =\sqrt{\sum^n_{i=1}x_i^2+\sum^n_{i=1}y_i^2+2\sqrt{\sum^n_{i=1}x_i^2}\sqrt{\sum^n_{i=1}y_i^2}} =i=1nxi2+i=1nyi2+2i=1nxi2 i=1nyi2 = ∑ i = 1 n x i 2 + ∑ i = 1 n y i 2 =\sqrt{\sum^n_{i=1}x_i^2}+\sqrt{\sum^n_{i=1}y_i^2} =i=1nxi2 +i=1nyi2 = ∥ x ∥ + ∥ y ∥ =\|x\|+\|y\| =x+y
    证毕

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  • 椭圆范数三角不等式证明

    椭圆范数的三角不等式证明在这里插入图片描述
    实际上,这里没有用到的另一条关于正定矩阵的性质:
    正定矩阵一定是对称的,而实对称矩阵一定存在正交矩阵 P P P,满足 P T Q P = P − 1 Q P = I P^TQP=P^{-1}QP=I PTQP=P1QP=I,也就是既相似又合同,这里只用到了合同。

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  • 利用Cauchy柯西不等式证明三角不等式欢迎使用Markdown编辑器新的改变功能快捷键合理的创建标题,有助于目录的生成如何改变文本的样式插入链接与图片如何插入一段漂亮的代码片生成一个适合你的列表创建一个表格设定...

    利用Cauchy柯西不等式证明三角不等式


    编者注:作为一个学生,希望所有人都能够免费共享成果,一起进步,为祖国一起做贡献。
    第一次写博客,先适应一下。
    已知柯西不等式|(x,y)|<=||x||·||y||,证明三角不等式||x+y||<=||x||+||y||

    欢迎交流,邮箱279644543@qq.com或者sy950812@buaa.edu.cn

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  • Holder不等式 Minkowski不等式

    万次阅读 2019-09-04 11:03:23
    著名柯西-施瓦茨不等式是证明二范数三角不等式的重要工具。Holder不等式是柯西不等式的推广,它是证明ppp范数三角不等式的重要工具。 定义 Rn\mathbb{R}^nRn空间上的ppp范数∣⋅∣p|\cdot|_p∣⋅∣p​定义为 ∣x∣p=...

    著名柯西-施瓦茨不等式是证明二范数三角不等式的重要工具。Holder不等式是柯西不等式的推广,它是证明 p p p范数三角不等式的重要工具。

    定义 R n \mathbb{R}^n Rn空间上的 p p p范数 ∣ ⋅ ∣ p |\cdot|_p p定义为
    ∣ x ∣ p = ( ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ p ) 1 / p 。 |x|_p=(\sum_{i=1}^n |x_i|^p)^{1/p}。 xp=(i=1nxip)1/p
    这里的 p ≥ 1 p\geq 1 p1是正实数, x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ R n x=(x_1,x_2,...,x_n)\in\mathbb{R}^n x=(x1,x2,...,xn)Rn。特别地,对于 p = ∞ p=\infty p=定义
    ∣ x ∣ ∞ = max ⁡ 1 ≤ i ≤ n ∣ x i ∣ 。 |x|_{\infty}=\max_{1\leq i \leq n} |x_i|。 x=1inmaxxi

    p = 2 p=2 p=2时, ∣ ⋅ ∣ 2 |\cdot|_2 2就是我们的二范数。

    为了证明 p p p范数是一个范数,我们需要验证其是否满足三角不等式,也即是否有
    ∣ x + y ∣ p ≤ ∣ x ∣ p + ∣ y ∣ p |x+y|_p\leq |x|_p + |y|_p x+ypxp+yp
    对所有的 x , y ∈ R n x,y\in\mathbb{R}^n x,yRn成立。为了证明这个定理,我们需要Holder不等式。

    首先需要一个引理。

    引理 a λ b 1 − λ ≤ λ a + ( 1 − λ ) b a^{\lambda}b^{1-\lambda}\leq \lambda a + (1-\lambda)b aλb1λλa+(1λ)b这里的 a , b ≥ 0 , 0 ≤ λ ≤ 1 a,b\geq 0, 0\leq \lambda \leq 1 a,b0,0λ1

    证明 a a a b b b为0时显然成立,故只需证 a , b &gt; 0 a,b&gt;0 a,b>0的情况。由于 f ( x ) = ln ⁡ x f(x)=\ln x f(x)=lnx是关于 x x x的上凸函数,故对于任意的 a , b &gt; 0 , 0 ≤ λ ≤ 1 a,b&gt; 0, 0\leq \lambda \leq 1 a,b>0,0λ1
    f ( λ a + ( 1 − λ ) b ) ≥ λ f ( a ) + ( 1 − λ ) f ( b ) , f(\lambda a + (1-\lambda)b)\geq \lambda f(a) + (1-\lambda)f(b), f(λa+(1λ)b)λf(a)+(1λ)f(b)
    也即
    ln ⁡ ( λ a + ( 1 − λ ) b ) ≥ λ ln ⁡ a + ( 1 − λ ) ln ⁡ b 。 \ln (\lambda a + (1-\lambda)b) \geq \lambda \ln a + (1-\lambda)\ln b。 ln(λa+(1λ)b)λlna+(1λ)lnb
    上式两边求指数,便有题设的不等式成立。

    定理(Holder不等式) 对任意的 1 ≤ p , q ≤ ∞ , 1 / p + 1 / q = 1 1\leq p, q \leq \infty, 1/p+1/q=1 1p,q,1/p+1/q=1以及 x , y ∈ R n x,y\in\mathbb{R}^n x,yRn
    ∑ i = 1 n ∣ x i y i ∣ ≤ ∣ x ∣ p ∣ y ∣ q 。 \sum_{i=1}^n |x_iy_i|\leq |x|_p|y|_q。 i=1nxiyixpyq
    p = q = 2 p=q=2 p=q=2时,Holder不等式退化为柯西-施瓦茨不等式。

    证明 由上面的引理
    ∣ x i ∣ ∣ y i ∣ ∣ x ∣ p ∣ y ∣ q = ( ∣ x i ∣ p ∣ x ∣ p p ) 1 / p ( ∣ y i ∣ q ∣ y ∣ q q ) 1 / q ≤ 1 p ∣ x i ∣ p ∣ x ∣ p p + 1 q ∣ y i ∣ q ∣ y ∣ q q \frac{|x_i||y_i|}{|x|_p|y|_q}=(\frac{|x_i|^{p}}{|x|_p^p})^{1/p}(\frac{|y_i|^{q}}{|y|_q^q})^{1/q} \leq \frac{1}{p} \frac{|x_i|^{p}}{|x|_p^p} + \frac{1}{q}\frac{|y_i|^{q}}{|y|_q^q} xpyqxiyi=(xppxip)1/p(yqqyiq)1/qp1xppxip+q1yqqyiq
    不等式左右两边对 i i i求和便有
    1 ∣ x ∣ p ∣ y ∣ q ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ ∣ y i ∣ ≤ 1 p ∣ x ∣ p p ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ p + 1 q ∣ y ∣ q q ∑ i = 1 n ∣ y i ∣ q = 1 p + 1 q = 1 , \frac{1}{|x|_p|y|_q}\sum_{i=1}^n |x_i||y_i|\leq \frac{1}{p|x|_p^p} \sum_{i=1}^n |x_i|^p + \frac{1}{q|y|_q^q} \sum_{i=1}^n |y_i|^q = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}=1, xpyq1i=1nxiyipxpp1i=1nxip+qyqq1i=1nyiq=p1+q1=1
    其中倒数第二个等号成立是因为 ∑ ∣ x i ∣ p = ∣ x ∣ p p \sum |x_i|^p = |x|_p^p xip=xpp ∑ ∣ y i ∣ q = ∣ y ∣ q q \sum |y_i|^q = |y|_q^q yiq=yqq。定理证毕。

    下面的Minkowski不等式证明了 p p p范数的三角不等式。

    首先,我们需要一个小小的等式。如果 1 / p + 1 / q = 1 1/p+1/q=1 1/p+1/q=1那么
    ( p − 1 ) q = ( p − 1 ) ⋅ 1 1 − 1 / p = p 。 (p-1)q=(p-1)\cdot \frac{1}{1-1/p}=p。 (p1)q=(p1)11/p1=p

    定理(Minkowski不等式) 对任意的 p ≥ 1 p\geq 1 p1以及 x , y ∈ R n x,y\in\mathbb{R}^n x,yRn
    ∣ x + y ∣ p ≤ ∣ x ∣ p + ∣ y ∣ p 。 |x+y|_p \leq |x|_p + |y|_p。 x+ypxp+yp
    证明 只需考虑 1 &lt; p &lt; ∞ 1&lt;p&lt;\infty 1<p<的情况, p = 1 p=1 p=1 ∞ \infty 的情形易证。当 1 &lt; p &lt; ∞ 1&lt;p&lt;\infty 1<p<时有
    ∣ x + y ∣ p p = ∑ i = 1 n ∣ x i + y i ∣ p = ∑ i = 1 n ∣ x i + y i ∣ p − 1 ∣ x i + y i ∣ ≤ ∑ i = 1 n ∣ x i + y i ∣ p − 1 ( ∣ x i ∣ + ∣ y i ∣ ) . |x+y|_p^p=\sum_{i=1}^n |x_i+y_i|^p=\sum_{i=1}^n |x_i+y_i|^{p-1}|x_i+y_i|\leq\sum_{i=1}^n |x_i+y_i|^{p-1}(|x_i|+|y_i|). x+ypp=i=1nxi+yip=i=1nxi+yip1xi+yii=1nxi+yip1(xi+yi).
    由Holder不等式
    ∑ i = 1 n ∣ x i + y i ∣ p − 1 ∣ x i ∣ ≤ ( ∑ i = 1 n ∣ x i + y i ∣ ( p − 1 ) q ) 1 / q ( ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ p ) 1 / p = ( ∑ i = 1 n ∣ x i + y i ∣ ( p − 1 ) q ) 1 / q ∣ x ∣ p = ( ∑ i = 1 n ∣ x i + y i ∣ p ) 1 / q ∣ x ∣ p = ∣ x + y ∣ p p / q ∣ x ∣ p , \begin{array}{lll} \displaystyle\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^{p-1}|x_i| &amp;\leq&amp; \displaystyle\Big(\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^{(p-1)q}\Big)^{1/q}\Big(\sum_{i=1}^n|x_i|^{p}\Big)^{1/p} \\ &amp;=&amp;\displaystyle\Big(\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^{(p-1)q}\Big)^{1/q} |x|_p\\ &amp;=&amp;\displaystyle\Big(\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^{p}\Big)^{1/q} |x|_p\\ &amp;=&amp; |x+y|_p^{p/q}|x|_p, \end{array} i=1nxi+yip1xi===(i=1nxi+yi(p1)q)1/q(i=1nxip)1/p(i=1nxi+yi(p1)q)1/qxp(i=1nxi+yip)1/qxpx+ypp/qxp
    其中 1 / p + 1 / q = 1 1/p+1/q=1 1/p+1/q=1。同理还有
    ∑ i = 1 n ∣ x i + y i ∣ p − 1 ∣ y i ∣ ≤ ∣ x + y ∣ p p / q ∣ y ∣ p 。 \displaystyle\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^{p-1}|y_i| \leq |x+y|_p^{p/q}|y|_p。 i=1nxi+yip1yix+ypp/qyp

    结合上面的三个不等式有
    ∣ x + y ∣ p p ≤ ∣ x + y ∣ p p / q ( ∣ x ∣ p + ∣ y ∣ p ) 。 |x+y|_p^p \leq |x+y|_p^{p/q}(|x|_p+|y|_p)。 x+yppx+ypp/q(xp+yp)
    不等式两边同时乘 ∣ x + y ∣ p − p / q |x+y|_p^{-p/q} x+ypp/q便有Minkowski不等式成立。

    展开全文
  • 本节介绍欧几里得结构的两个基本不等式 1 柯西-施瓦茨(Cauchy–Schwarz)不等式 对任意向量x,y有: 证明: 观察实变量t的函数: ...2 三角不等式 对任意向量x,y有: 该定理的证明参照上一节
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    万次阅读 多人点赞 2016-06-25 10:48:05
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范数三角不等式