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[线性代数]向量2-范数三角不等式证明
2019-10-05 11:20:21定理 对于所有x,y∈Rn,∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥x, y \in \Bbb R^n, \|x+y\| \leq \|x\|+\|y\|x,y∈Rn,∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥,其中对于x∈Rnx \in \Bbb R^nx∈Rn, ∥x∥2=∑i=1nxi2\|x\|_2 = \sqrt...柯西不等式: (∑k=...展开全文 -
20200915 椭圆范数的三角不等式证明:sqrt(x^T*Q*x)
2020-09-16 09:28:16椭圆范数的三角不等式证明椭圆范数的三角不等式证明
实际上,这里没有用到的另一条关于正定矩阵的性质:
正定矩阵一定是对称的,而实对称矩阵一定存在正交矩阵,满足,也就是既相似又合同,这里只用到了合同。 -
Holder不等式 Minkowski不等式
2019-09-04 11:03:23著名柯西-施瓦茨不等式是证明二范数三角不等式的重要工具。Holder不等式是柯西不等式的推广,它是证明ppp范数三角不等式的重要工具。 定义 Rn\mathbb{R}^nRn空间上的ppp范数∣⋅∣p|\cdot|_p∣⋅∣p定义为 ∣x∣p=...著名柯西-施瓦茨不等式是证明二范数三角不等式的重要工具。Holder不等式是柯西不等式的推广,它是证明范数三角不等式的重要工具。
定义 空间上的范数定义为
这里的是正实数,。特别地,对于定义
注 当时,就是我们的二范数。
为了证明范数是一个范数,我们需要验证其是否满足三角不等式,也即是否有
对所有的成立。为了证明这个定理,我们需要Holder不等式。首先需要一个引理。
引理 这里的。
证明 或为0时显然成立,故只需证的情况。由于是关于的上凸函数,故对于任意的有
也即
上式两边求指数,便有题设的不等式成立。定理(Holder不等式) 对任意的以及有
注 当时,Holder不等式退化为柯西-施瓦茨不等式。证明 由上面的引理
不等式左右两边对求和便有
其中倒数第二个等号成立是因为和。定理证毕。下面的Minkowski不等式证明了范数的三角不等式。
首先,我们需要一个小小的等式。如果那么
定理(Minkowski不等式) 对任意的以及有
证明 只需考虑的情况,或的情形易证。当时有
由Holder不等式
其中。同理还有
结合上面的三个不等式有
不等式两边同时乘便有Minkowski不等式成立。 -
线性代数(三十八) : 柯西-施瓦茨不等式与三角不等式
2014-03-17 16:20:23本节介绍欧几里得结构的两个基本不等式 1 柯西-施瓦茨(Cauchy–Schwarz)不等式 对任意向量x,y有: 证明: 观察实变量t的函数: ...2 三角不等式 对任意向量x,y有: 该定理的证明参照上一节本节介绍欧几里得结构的两个基本不等式
1 柯西-施瓦茨(Cauchy–Schwarz)不等式
对任意向量x,y有:
证明:
观察实变量t的函数:
根据范数的定义,以及标量积的性质可知:
在上式中假定y不等于0且令:
又由于q(t)>=0,于是:
y=0的情形是显然的
2 三角不等式
对任意向量x,y有:
该定理的证明参照上一节
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