定理
对于所有$x, y \in \Bbb R^n, \|x+y\| \leq \|x\|+\|y\|$，其中对于$x \in \Bbb R^n$, $\|x\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x^2_i}$
证明
柯西不等式：

$\left(\sum_{k=1}^na_kb_k\right)^2 \leq \sum_{k=1}^na_k^2\sum_{k=1}^nb_k^2$

利用柯西不等式，证明过程如下：

$\|x+y\| = \sqrt{\sum^n_{i=1}(x_i+y_i)^2} = \sqrt{\sum^n_{i=1}(x_i^2+y_i^2+2x_iy_i})$$\leq\sqrt{\sum^n_{i=1}(x_i^2+y_i^2)+2\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2\sum^n_{i=1}y_i^2}}$$=\sqrt{\sum^n_{i=1}x_i^2+\sum^n_{i=1}y_i^2+2\sqrt{\sum^n_{i=1}x_i^2}\sqrt{\sum^n_{i=1}y_i^2}}$$=\sqrt{\sum^n_{i=1}x_i^2}+\sqrt{\sum^n_{i=1}y_i^2}$$=\|x\|+\|y\|$

证毕

椭圆范数的三角不等式证明

实际上，这里没有用到的另一条关于正定矩阵的性质：

正定矩阵一定是对称的，而实对称矩阵一定存在正交矩阵$P$，满足$P^TQP=P^{-1}QP=I$，也就是既相似又合同，这里只用到了合同。

著名柯西-施瓦茨不等式是证明二范数三角不等式的重要工具。Holder不等式是柯西不等式的推广，它是证明$p$范数三角不等式的重要工具。
定义 $\mathbb{R}^n$空间上的$p$范数$|\cdot|_p$定义为

$|x|_p=(\sum_{i=1}^n |x_i|^p)^{1/p}。$

这里的$p\geq 1$是正实数，$x=(x_1,x_2,...,x_n)\in\mathbb{R}^n$。特别地，对于$p=\infty$定义

$|x|_{\infty}=\max_{1\leq i \leq n} |x_i|。$
注 当$p=2$时，$|\cdot|_2$就是我们的二范数。
为了证明$p$范数是一个范数，我们需要验证其是否满足三角不等式，也即是否有

$|x+y|_p\leq |x|_p + |y|_p$

对所有的$x,y\in\mathbb{R}^n$成立。为了证明这个定理，我们需要Holder不等式。
首先需要一个引理。
引理 $a^{\lambda}b^{1-\lambda}\leq \lambda a + (1-\lambda)b$这里的$a,b\geq 0, 0\leq \lambda \leq 1$。
证明 $a$或$b$为0时显然成立，故只需证$a,b>0$的情况。由于$f(x)=\ln x$是关于$x$的上凸函数，故对于任意的$a,b> 0, 0\leq \lambda \leq 1$有

$f(\lambda a + (1-\lambda)b)\geq \lambda f(a) + (1-\lambda)f(b)，$

也即

$\ln (\lambda a + (1-\lambda)b) \geq \lambda \ln a + (1-\lambda)\ln b。$

上式两边求指数，便有题设的不等式成立。
定理（Holder不等式） 对任意的$1\leq p, q \leq \infty, 1/p+1/q=1$以及$x,y\in\mathbb{R}^n$有

$\sum_{i=1}^n |x_iy_i|\leq |x|_p|y|_q。$

注 当$p=q=2$时，Holder不等式退化为柯西-施瓦茨不等式。
证明 由上面的引理

$\frac{|x_i||y_i|}{|x|_p|y|_q}=(\frac{|x_i|^{p}}{|x|_p^p})^{1/p}(\frac{|y_i|^{q}}{|y|_q^q})^{1/q} \leq  \frac{1}{p} \frac{|x_i|^{p}}{|x|_p^p} + \frac{1}{q}\frac{|y_i|^{q}}{|y|_q^q}$

不等式左右两边对$i$求和便有

$\frac{1}{|x|_p|y|_q}\sum_{i=1}^n |x_i||y_i|\leq \frac{1}{p|x|_p^p} \sum_{i=1}^n |x_i|^p + \frac{1}{q|y|_q^q} \sum_{i=1}^n |y_i|^q = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}=1，$

其中倒数第二个等号成立是因为$\sum |x_i|^p = |x|_p^p$和$\sum |y_i|^q = |y|_q^q$。定理证毕。
下面的Minkowski不等式证明了$p$范数的三角不等式。
首先，我们需要一个小小的等式。如果$1/p+1/q=1$那么

$(p-1)q=(p-1)\cdot \frac{1}{1-1/p}=p。$
定理（Minkowski不等式） 对任意的$p\geq 1$以及$x,y\in\mathbb{R}^n$有

$|x+y|_p \leq |x|_p + |y|_p。$

证明 只需考虑$1<p<\infty$的情况，$p=1$或$\infty$的情形易证。当$1<p<\infty$时有

$|x+y|_p^p=\sum_{i=1}^n |x_i+y_i|^p=\sum_{i=1}^n |x_i+y_i|^{p-1}|x_i+y_i|\leq\sum_{i=1}^n |x_i+y_i|^{p-1}(|x_i|+|y_i|).$

由Holder不等式

$\begin{array}{lll}
\displaystyle\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^{p-1}|x_i| &\leq& \displaystyle\Big(\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^{(p-1)q}\Big)^{1/q}\Big(\sum_{i=1}^n|x_i|^{p}\Big)^{1/p} \\
&=&\displaystyle\Big(\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^{(p-1)q}\Big)^{1/q} |x|_p\\
&=&\displaystyle\Big(\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^{p}\Big)^{1/q} |x|_p\\
&=& |x+y|_p^{p/q}|x|_p，
\end{array}$

其中$1/p+1/q=1$。同理还有

$\displaystyle\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^{p-1}|y_i| \leq  |x+y|_p^{p/q}|y|_p。$
结合上面的三个不等式有

$|x+y|_p^p \leq |x+y|_p^{p/q}(|x|_p+|y|_p)。$

不等式两边同时乘$|x+y|_p^{-p/q}$便有Minkowski不等式成立。

本节介绍欧几里得结构的两个基本不等式
1 柯西-施瓦茨(Cauchy–Schwarz)不等式
对任意向量x,y有：

证明：
观察实变量t的函数：

根据范数的定义，以及标量积的性质可知:

在上式中假定y不等于0且令：

又由于q(t)>=0，于是：

y=0的情形是显然的
2 三角不等式
对任意向量x,y有：

该定理的证明参照上一节