定理
 
对于所有$x,y\in {\mathbb{R}}^n,\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$，其中对于$x\in {\mathbb{R}}^n$, $$\Vert x{\Vert }_2=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}$$
 
证明
 
柯西不等式：
 $${\left(\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\right)}^2\le \sum _{k=1}^n{a}_k^2\sum _{k=1}^n{b}_k^2$$
 利用柯西不等式，证明过程如下：
 $$\Vert x+y\Vert =\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i+y_i{)}^2}=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i^2+y_i^2+2x_i{y}_i})$$$$\le \sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i^2+y_i^2)+2\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2\sum _{i=1}^n{y}_i^2}}$$$$=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2+\sum _{i=1}^n{y}_i^2+2\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}\sqrt{\sum _{i=1}^n{y}_i^2}}$$$$=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}+\sqrt{\sum _{i=1}^n{y}_i^2}$$$$=\Vert x\Vert +\Vert y\Vert$$
 证毕

椭圆范数的三角不等式证明
 实际上，这里没有用到的另一条关于正定矩阵的性质：
 正定矩阵一定是对称的，而实对称矩阵一定存在正交矩阵$P$，满足$P^{T}QP=P^{-1}QP=I$，也就是既相似又合同，这里只用到了合同。

 
利用Cauchy柯西不等式证明三角不等式
 
 编者注：作为一个学生，希望所有人都能够免费共享成果，一起进步，为祖国一起做贡献。
 
 第一次写博客，先适应一下。
 
 已知柯西不等式|(x,y)|<=||x||·||y||,证明三角不等式||x+y||<=||x||+||y||
 
 
 
 
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著名柯西-施瓦茨不等式是证明二范数三角不等式的重要工具。Holder不等式是柯西不等式的推广，它是证明$p$范数三角不等式的重要工具。
 
定义 ${\mathbb{R}}^n$空间上的$p$范数$|\cdot {|}_p$定义为
 $$|x{|}_p=(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p{)}^{1/p}。$$
 这里的$p\ge 1$是正实数，$x=(x_1,x_2,...,x_n)\in {\mathbb{R}}^n$。特别地，对于$p=\infty$定义
 $$|x{|}_{\infty }=\underset{1\le i\le n}{\max }|x_i|。$$
 
注 当$p=2$时，$|\cdot {|}_2$就是我们的二范数。
 
为了证明$p$范数是一个范数，我们需要验证其是否满足三角不等式，也即是否有
 $$|x+y{|}_p\le |x{|}_p+|y{|}_p$$
 对所有的$x,y\in {\mathbb{R}}^n$成立。为了证明这个定理，我们需要Holder不等式。
 
首先需要一个引理。
 
引理 $a^{\lambda }{b}^{1-\lambda }\le \lambda a+(1-\lambda )b$这里的$a,b\ge 0,0\le \lambda \le 1$。
 
证明 $a$或$b$为0时显然成立，故只需证$a,b>0$的情况。由于$f(x)=\ln x$是关于$x$的上凸函数，故对于任意的$a,b>0,0\le \lambda \le 1$有
 $$f(\lambda a+(1-\lambda )b)\ge \lambda f(a)+(1-\lambda )f(b)，$$
 也即
 $$\ln (\lambda a+(1-\lambda )b)\ge \lambda \ln a+(1-\lambda )\ln b。$$
 上式两边求指数，便有题设的不等式成立。
 
定理（Holder不等式） 对任意的$1\le p,q\le \infty ,1/p+1/q=1$以及$x,y\in {\mathbb{R}}^n$有
 $$\sum _{i=1}^n|x_i{y}_i|\le |x{|}_p|y{|}_q。$$
 注 当$p=q=2$时，Holder不等式退化为柯西-施瓦茨不等式。
 
证明 由上面的引理
 $$\frac{|x_i||y_i|}{|x{|}_p|y{|}_q}=(\frac{|x_i{|}^p}{|x{|}_p^p}{)}^{1/p}(\frac{|y_i{|}^q}{|y{|}_q^q}{)}^{1/q}\le \frac{1}{p}\frac{|x_i{|}^p}{|x{|}_p^p}+\frac{1}{q}\frac{|y_i{|}^q}{|y{|}_q^q}$$
 不等式左右两边对$i$求和便有
 $$\frac{1}{|x{|}_p|y{|}_q}\sum _{i=1}^n|x_i||y_i|\le \frac{1}{p|x{|}_p^p}\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p+\frac{1}{q|y{|}_q^q}\sum _{i=1}^n|y_i{|}^q=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1，$$
 其中倒数第二个等号成立是因为$\sum |x_i{|}^p=|x{|}_p^p$和$\sum |y_i{|}^q=|y{|}_q^q$。定理证毕。
 
下面的Minkowski不等式证明了$p$范数的三角不等式。
 
首先，我们需要一个小小的等式。如果$1/p+1/q=1$那么
 $$(p-1)q=(p-1)\cdot \frac{1}{1-1/p}=p。$$
 
定理（Minkowski不等式） 对任意的$p\ge 1$以及$x,y\in {\mathbb{R}}^n$有
 $$|x+y{|}_p\le |x{|}_p+|y{|}_p。$$
 证明 只需考虑$1<p<\infty$的情况，$p=1$或$\infty$的情形易证。当$1<p<\infty$时有
 $$|x+y{|}_p^p=\sum _{i=1}^n|x_i+y_i{|}^p=\sum _{i=1}^n|x_i+y_i{|}^{p-1}|x_i+y_i|\le \sum _{i=1}^n|x_i+y_i{|}^{p-1}(|x_i|+|y_i|).$$
 由Holder不等式
 $$\begin{array}{lll}\sum _{i=1}^n|x_i+y_i{|}^{p-1}|x_i|& \le & (\sum _{i=1}^n|x_i+y_i{|}^{(p-1)q}{)}^{1/q}(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p{)}^{1/p}\\ & =& (\sum _{i=1}^n|x_i+y_i{|}^{(p-1)q}{)}^{1/q}|x{|}_p\\ & =& (\sum _{i=1}^n|x_i+y_i{|}^p{)}^{1/q}|x{|}_p\\ & =& |x+y{|}_p^{p/q}|x{|}_p，\end{array}$$
 其中$1/p+1/q=1$。同理还有
 $$\sum _{i=1}^n|x_i+y_i{|}^{p-1}|y_i|\le |x+y{|}_p^{p/q}|y{|}_p。$$
 
结合上面的三个不等式有
 $$|x+y{|}_p^p\le |x+y{|}_p^{p/q}(|x{|}_p+|y{|}_p)。$$
 不等式两边同时乘$|x+y{|}_p^{-p/q}$便有Minkowski不等式成立。