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  • 目的 研究Corach-Porta-Recht不等式的推广以及有界线性算子乘积与和的谱半径与范数之间不等式关系,并且讨论初等算子的范数不等式及酉算子常数倍的一个充要条件。方法 利用算子谱半径的基本性质和算子矩阵理论,给...
  • 向量范数+不同范数之间的关系

    千次阅读 2016-01-05 16:56:33
    近期公式证明时候遇到向量范数的运算性质,略作整理: 向量范数 Def. 设VV是Ω\Omega上的线性空间,α∈V\alpha \in V , ||α\alpha||:V→R+V \rightarrow R_+, 满足 非负性 齐次性 ||kα||=|k|⋅||α||,∀...

    近期公式证明时候遇到向量范数的运算性质,略作整理:

    向量范数

    Def. 设VΩ上的线性空间,αV , ||α||:VR+, 满足

    • 非负性
    • 齐次性
      ||kα||=|k|||α||,kΩ
    • 三角不等式
      ||α+β||||α||+||β||,α,βV

      则称||α||为向量α的范数.

    proof:||α+β||||α||+||β||,α,βV


    (||α||+||β||)2=||α||2+||β||2+2||α||||β||

    ||α+β||2=||α||2+||β||2+2<αβ>


    Cn中常用范数,X=(x1,x2,,xn)TCn

    • L1范数:ni=1|xi|

    • L2范数:ni=1|xi|2

    • L范数:maxi=1,2,,n|xi|


    几种范数的几何意义:

    X=(x1,x2)T,且||X||=1,对应L1L2LLp范数的图形分别为

    几何意义


    常用范数之间的关系

    • 1n||X||1||X||||X||1

    proof : ||X||1=ni=1|xi|nmax|xi|=n||X||

    • ||X||||X||2n||X||

    proof : ||X||2=(max|xi|)2ni=1|xi|2=||X||22

    n||X||2=n(max|xi|)2ni=1|xi|2=||X||22


    进一步范数的应用可参考:
    http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24971995

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  • 范数

    2018-08-28 15:10:28
    范数 有时我们需要衡量一个向量的大小。在机器学习中,我们经常使用被称为 范数(norm)的函数衡量向量大小。形式上, Lp 范数定义如下: ∥x∥p=(∑i|xi|p)1p∥x∥p=(∑i|xi|p)1p\parallel x\parallel_p = (\sum_i...

    范数

    有时我们需要衡量一个向量的大小。在机器学习中,我们经常使用被称为 范数(norm)的函数衡量向量大小。形式上, Lp范数定义如下:

    xp=(i|xi|p)1p

    其中 pRp1
    范数(包括 Lp 范数)是将向量映射到非负值的函数。直观上来说,向量 x 的范数衡量从原点到点 x 的距离。更严格地说,范数是满足下列性质的任意函数:
    f(x)=0)=>x=0
    f(x+y)f(x)+f(y)(三角不等式(triangle inequality))
    αR,f(αx)=|α|f(x)
    当 p = 2 时,L2 范数被称为 欧几里得范数(Euclidean norm)。它表示从原点出发到向量 x 确定的点的欧几里得距离。 L2 范数在机器学习中出现地十分频繁,经常简化表示为 x,略去了下标 2。平方L2 范数也经常用来衡量向量的大小,可以简单地通过点积xTx 计算。平方 L2 范数在数学和计算上都比 L2范数本身更方便。例如,平方 L2范数对x 中每个元素的导数只取决于对应的元素,而 L2 范数对每个元素的导数却和整个向量相关。但是在很多情况下,平方L2范数也可能不受欢迎,因为它在原点附近增长得十分缓慢。在某些机器学习应用中,区分恰好是零的元素和非零但值很小的元素是很重要的。在这些情况下,我们转而使用在各个位置斜率相同,同时保持简单的数学形式的函数:L1 范数。 L1 范数可以简化如下:

    x1i|xi|

    当机器学习问题中零和非零元素之间的差异非常重要时,通常会使用 L1范数。每当x 中某个元素从 0 增加 ϵ,对应的 L1范数也会增加 ϵ。有时候我们会统计向量中非零元素的个数来衡量向量的大小。有些作者将这种函数称为 “L0 范数’’,但是这个术语在数学意义上是不对的。向量的非零元素的数目不是范数,因为对向量缩放 α 倍不会改变该向量非零元素的数目。因此, L1 范数经常作为表示非零元素数目的替代函数

    另外一个经常在机器学习中出现的范数是 L范数,也被称为 最大范数(maxnorm)。这个范数表示向量中具有最大幅值的元素的绝对值:

    x=maxi|xi|

    有时候我们可能也希望衡量矩阵的大小。在深度学习中,最常见的做法是使
    用 Frobenius 范数(Frobenius norm),
    AF=i,jAi,j2

    其类似于向量的 L2 范数。
    两个向量的 点积(dot product)可以用范数来表示。具体地,xTx
    xTy=∥x2y2cosθ

    其中 θ 表示 x 和 y 之间的夹角。

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  • 范数概念

    2017-06-09 16:04:10
    向量的范数可以简单形象的理解为向量的长度,或者向量到零点的距离,或者相应的两个点之间的距离。 向量的范数定义:向量的范数是一个函数||x||, 满足:  非负性||x|| >= 0,齐次性||cx|| = |c| ||x|| ,三角...

    一、向量范数


    1 范数-Norm- the concept

    向量的范数可以简单形象的理解为向量的长度,或者向量到零点的距离,或者相应的两个点之间的距离。

    向量的范数定义:向量的范数是一个函数||x||, 满足:

        非负性||x|| >= 0,齐次性||cx|| = |c| ||x|| ,三角不等式||x+y|| <= ||x|| + ||y||。

    常用的向量的范数:
    L1范数:  ||x|| 为x向量各个元素绝对值之和。
    L2范数:  ||x||为x向量各个元素平方和的1/2次方,L2范数又称Euclidean范数或者Frobenius范数
    Lp范数:  ||x||为x向量各个元素绝对值p次方和的1/p次方

    L∞范数:  ||x||为x向量各个元素绝对值最大那个元素的绝对值,如下:


    椭球向量范数: ||x||A  = sqrt[T(x)Ax], T(x)代表x的转置。定义矩阵C 为M个模式向量的协方差矩阵,设C’是其逆矩阵,则Mahalanobis距离定义为||x||C’  = sqrt[T(x)C’x], 这是一个关于C’的椭球向量范数。

    2 距离-Distance-Concept

        欧式距离(对应L2范数):最常见的两点之间或多点之间的距离表示法,又称之为欧几里得度量,它定义于欧几里得空间中。n维空间中两个点x1(x11,x12,…,x1n)与 x2(x21,x22,…,x2n)间的欧氏距离:

    也可以用表示成向量运算的形式:

      

    曼哈顿距离:曼哈顿距离对应L1-范数,也就是在欧几里得空间的固定直角坐标系上两点所形成的线段对轴产生的投影的距离总和。例如在平面上,坐标(x1, y1)的点P1与坐标(x2, y2)的点P2的曼哈顿距离为:,要注意的是,曼哈顿距离依赖座标系统的转度,而非系统在座标轴上的平移或映射。

    切比雪夫距离,若二个向量或二个点x1和x2,其坐标分别为(x11, x12, x13, ... , x1n)和(x21, x22, x23, ... , x2n),则二者的切比雪夫距离为:d = max(|x1i - x2i|),i从1到n。对应L∞范数

    闵可夫斯基距离(Minkowski Distance)闵氏距离不是一种距离,而是一组距离的定义。对应Lp范数,p为参数。

    闵氏距离的定义:两个n维变量(或者两个n维空间点)x1(x11,x12,…,x1n)与 x2(x21,x22,…,x2n)间的闵可夫斯基距离定义为: 

    其中p是一个变参数。

    当p=1时,就是曼哈顿距离,

    当p=2时,就是欧氏距离,

    当p→∞时,就是切比雪夫距离,       

    根据变参数的不同,闵氏距离可以表示一类的距离。 

    Mahalanobis距离:也称作马氏距离。在近邻分类法中,常采用欧式距离和马氏距离。


    参考资料:http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/8203674


    二、矩阵范数


    定义 矩阵范数
    一个在M*N的矩阵上的矩阵范数(matrix norm)是一个从 M*N线性空间到实数域上的一个函数,记为||.||,它
    对于任意的M*N矩阵A和B及所有实数a,满足以下四条性质:
    1. ||A||>=0;
    2. ||A||=0 iff A=O (零矩阵); (1和2可统称为正定性)
    3. ||aA||=|a| ||A||; (齐次性)
    4. ||A+B||<= ||A|| + ||B||. (三角不等式)
    在一些教科书上定义的矩阵范数是对于N*N阶矩阵的,这种定义往往要求矩阵满足相容性,即
    5.||AB||<=||A|| ||B||. (相容性)
    在本文中,对于矩阵范数的定义仅要求前4条性质,而满足第5个性质的矩阵范数称为服从乘法范数(sub-
    multiplicative norm)
    一般来讲矩阵范数除了正定性,齐次性和三角不等式之外,还规定其必须满足相容性:║XY║≤║X║║Y║。所以矩阵范数通常也称为相容范数。 如果║·║α是相容范数,且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数,那么║·║α称为极小范数。对于n阶实方阵(或复方阵)全体上的任何一个范数║·║,总存在唯一的实数k>0,使得k║·║是极小范数。
    注:如果不考虑相容性,那么矩阵范数和向量范数就没有区别,因为m*n矩阵全体和m*n维向量空间同构。引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性算子的特征,这一点和算子范数的相容性一致,并且可以得到Mincowski定理以外的信息。
    诱导范数
    注:1.上述定义中可以用max代替sup是因为有限维空间的单位闭球是紧的(有限开覆盖定理),从而上面的连续函数可以取到最值。
    2.显然,单位矩阵的算子范数为1。
    常用的三种p-范数诱导出的矩阵范数是:
    1-范数:║A║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } (列和范数,A每一列元素绝对值之和的最大值) (其中∑|ai1|第一列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|,其余类似);
    2-范数:║A║2 = A的最大奇异值 = ( max{ λi(A^H*A) } ) ^{1/2} (欧几里德范数,谱范数,即A^H*A特征值λi中最大者λ1的平方根,其中A^H为A的转置共轭矩阵);
    ∞-范数:║A║∞ = max{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,..., ∑|amj| } (行和范数,A每一行元素绝对值之和的最大值) (其中为∑|a1j| 第一行元素绝对值的和,其余类似);
    其它的p-范数则没有很简单的表达式。
    对于p-范数而言,可以证明║A║p=║A^H║q,其中p和q是共轭指标。
    简单的情形可以直接验证:║A║1=║A^H║∞,║A║2=║A^H║2,一般情形则需要利用║A║p=max{y^H*A*x:║x║p=║y║q=1}。
    另外还有以下结论: ║AB║F <= ║A║F ║B║2 以及 ║AB║F <= ║A║2 ║B║F
    1、矩阵的谱半径和范数的关系
    定义:A是n阶方阵,λi是其特征值,i=1,2,…,n。则称特征值的绝对值的最大值为A的谱半径,记为ρ(A)。 注意要将谱半径与谱范数(2-范数)区别开来,谱范数是指A的最大奇异值,即A^H*A最大特征值的算术平方根。谱半径是矩阵的函数,但不是矩阵范数。
    2、谱半径和范数的关系是以下几个结论:
    定理1:谱半径不大于矩阵范数,即ρ(A)≤║A║。
    因为任一特征对λ,x,Ax=λx,可得Ax=λx。两边取范数并利用相容性即得结果。
    定理2:对于任何方阵A以及任意正数e,存在一种矩阵范数使得║A║<ρ(A)+e。
    定理3(Gelfand定理):ρ(A)=lim_{k->∞} ║A^k║^{1/k}。
    利用上述性质可以推出以下两个常用的推论:
    推论1:矩阵序列 I,A,A^2,…A^k,… 收敛于零的充要条件是ρ(A)<1。
    推论2:级数 I+A+A^2+... 收敛到(I-A)^{-1}的充要条件是ρ(A)<1。

    酉不变范数


     

    定义:如果范数║·║满足║A║=║UAV║对任何矩阵A以及酉矩阵U,V成立,那么这个范数称为酉不变范数。 容易验证,2-范数和F-范数是酉不变范数。因为酉变换不改变矩阵的奇异值,所以由奇异值得到的范数是酉不变的,比如2-范数是最大奇异值,F-范数是所有奇异值组成的向量的2-范数。 反过来可以证明,所有的酉不变范数都和奇异值有密切联系: 定理(Von Neumann定理):在酉不变范数和对称度规函数(symmetric gauge function)之间存在一一对应关系。 也就是说任何酉不变范数事实上就是所有奇异值的一个对称度规函数。[1] 
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  • L2范数、无穷范数

    千次阅读 2019-11-27 20:34:39
    一、向量的范数 首先定义一个向量为:a=[-5,6,8, -10] 1.1 向量的1范数 向量的各个元素的绝对值之和,上述向量a的1范数结果就是:29 MATLAB代码实现为:norm(a,1); 1.2 向量的2范数 向量的每个元素的平方的和...

    一、向量的范数

    首先定义一个向量为:a=[-5,6,8, -10]

    1.1 向量的1范数

    向量的各个元素的绝对值之和,上述向量a的1范数结果就是:29
    MATLAB代码实现为:norm(a,1)

    1.2 向量的2范数

    向量的每个元素的平方的和再开平方根,上述a的2范数结果就是:15
    MATLAB代码实现为:norm(a,2)

    1.3 向量的无穷范数

    1.向量的负无穷范数即:向量的所有元素的绝对值中最小的
    上述向量a的负无穷范数结果就是:5
    MATLAB代码实现为:norm(a,-inf)
    2…向量的正无穷范数即:向量的所有元素的绝对值中最大的
    上述向量a的负无穷范数结果就是:10
    MATLAB代码实现为:norm(a,inf)

    2.欧几里得范数 ==欧式长度 =L2 范数 ==L2距离

    Euclidean norm == Euclidean length == L2 norm == L2 distance == norm

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    注:范数的本质是距离,存在的意义是为了实现比较。
    比如,在一维实数集合中,我们随便取两个点4和9,我们知道9比4大,
    但是到了二维实数空间中,取两个点(1,1)和(0,3),这个时候我们就没办法比较它们之间的大小,因为它们不是可以比较的实数,于是我们引入范数这个概念,把我们的(1,1)和(0,3)通过范数分别映射到实数 和 3 ,这样我们就比较这两个点了。
    所以范数它其实是一个函数,它把不能比较的向量转换成可以比较的实数。】

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  • 范数、矩阵范数到 numpy 范数函数

    千次阅读 2018-08-19 16:20:29
    向量范数 范数(norm),是具有“长度”概念的函数 ppp。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域,是一个函数,其为向量空间内的所有向量赋予非零的正长度或大小。半范数反而可以为非零的向量赋予零长度。它是...
  • 阅读文献时,经常看到各种范数,机器学习中的稀疏模型等,也有各种范数,其名称往往容易混淆,例如:L1范数也常称为“1-范数”,但又和真正的1-范数又有很大区别。下面将依次介绍各种范数。 1、向量的范数 向量的1-...
  • 文章目录为何引入向量范数一、向量范数向量加权范数向量范数的等价性定理常用范数的等价关系二、矩阵范数m1m_{1}m1​ -范数 和F -范数谱三、矩阵范数与向量范数的相容算子范数矩阵范数具有向量范数的一切性质...
  • 范数简介

    2018-08-12 19:57:49
    距离的定义是一个宽泛的概念,只要满足非负、自反、三角不等式就可以称之为距离。范数是一种强化了的距离概念,它在定义上比距离多了一条数乘的运算法则。有时候为了便于理解,我们可以把范数当作距离来理解。 在...
  • 什么是范数

    千次阅读 2017-09-05 19:35:30
    我们知道距离的定义是一个宽泛的概念,只要满足非负、自反、三角不等式就可以称之为距离。范数是一种强化了的距离概念,它在定义上比距离多了一条数乘的运算法则。有时候为了便于理解,我们可以把范数当作距离来理解...
  • Math:范数

    2019-03-01 20:44:20
    向量范数、函数范数、矩阵范数
  • 向量范数和矩阵范数

    2018-09-03 20:03:00
    1 范数 在研究代数方程组的迭代求解及其收敛性的过程中,向量范数和矩阵范数是十分重要且有用的概念。范数又可以称为模。向量范数和矩阵范数用于描述向量和矩阵的大小。 1.1 向量范数 1.1.1 定义 范数本质是由向量...
  • 向量范数

    千次阅读 2019-09-06 19:31:55
      从度量上讲:内积、积分、投影讲是一个意思。都是: ϕ:Rn→R\phi : R^n \rightarrow R \quadϕ:Rn→R的映射。我们将这样的 ϕ\phiϕ 在广义上称为某种度量。...这里,我们取 a 和 b 的范数(满足非负性、齐次性和...

空空如也

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