学习笔记
参考书籍：《计量经济学》-李子奈；《统计学：从数据到结论》-吴喜之；

虚拟变量模型

许多变量是可以定量度量的，如需求量、价格等，但也有一些因素无法定量度量，如职业、性别。为了能够在模型中反映这些因素的影响，并提高模型的精度，需要将它们’量化’，这种’量化’通常是通过引入虚拟变量来完成的。根据这些因素的属性类型，构造取’0’或’1’的人工变量。通常称为虚拟变量，记为D。

例如：反映性别的虚拟变量可取为：
$$D=\{\begin{array}{l}1,man\\ 0,woman\end{array}$$
一般地，在虚拟变量的设置中，基础类型和肯定类型取值为1; 比较类型和否定类型取值为0。同时含有一般解释变量与虚拟变量的模型称为虚拟变量模型。

• 加法模型

若我们以员工薪金$Y$作为因变量，工龄$X$作为一般解释变量,性别$D$作为虚拟变量构造虚拟变量模型，则在模型中可以将虚拟变量$D$以相加的形式引入模型，则该加法模型为：
$$Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{X}_i+{\beta }_{2}D+{\mu }_i$$

• 乘法模型

若在模型中将虚拟变量$D$以相乘的形式引入模型，则该乘法模型为：
$$Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{X}_i+{\beta }_{2}D{X}_i+{\mu }_i$$

• 混合模型(自己起的名字)

我们也可以将虚拟变量$D$同时以相加和相乘的形式引入模型：

$$Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{X}_i+{\beta }_{2}D+{\beta }_{3}D{X}_i+{\mu }_i$$

R语言实现

在个例子中，我们模拟一系列数据，再用虚拟变量模型去拟合。

模拟数据：

set.seed(1234)
x <- c(-19:20)
y1 <- 2*x + rnorm(40, 0, 2)
y2 <- -x +rnorm(40, 3, 2)

df1 <- data.frame(x = x, y = y1, c = rep('A', 40))
df2 <- data.frame(x = x, y = y2, c = rep('B', 40))
df <- rbind(df1, df2)

plot(df$x, df$y, col = df$c, main = "散点图", xlab = 'x', ylab = 'y')

图像：

回归：

lm01 <- lm(y ~ x*c, data = df)
summary(lm01)

控制台输出：

Call:
lm(formula = y ~ x * c, data = df)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-4.3410 -1.2588 -0.3353  0.8964  5.6449 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -0.81327    0.31223  -2.605   0.0111 *  
x            1.97107    0.02702  72.941  < 2e-16 ***
cB           3.63159    0.44156   8.225 4.09e-12 ***
x:cB        -2.92208    0.03822 -76.462  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 1.973 on 76 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9886,	Adjusted R-squared:  0.9881 
F-statistic:  2194 on 3 and 76 DF,  p-value: < 2.2e-16

此时，各个回归系数均通过显著性检验，则被估计的虚拟变量模型为：
$$\widehat{Y_i}=-0.81+1.97X_i+3.63D-2.92D{X}_i$$
注意！此时的虚拟变量$D$取为：
$$D=\{\begin{array}{l}1,B\\ 0,A\end{array}$$

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上一章：放款基本假定的模型

经典单方程计量 经济学模型：专门问题

5.1虚拟变量模型

●根据因素的属性类型，构造只取 “0”或“1”的人工变量。通常称为虚拟变量，且记为D。
●一般地，在虚拟变量的设置中，基础类型和肯定类型取值为1，比较类型和否定类型取值为0。同时含有一般解释变量与虚拟变量的模型称为虚拟变量模型。

一、虚拟变量的引入

●虚拟变量作为解释变量引入模型有两种基本方式：
①加法方式
②乘法方式

二、虚拟变量的设置原则

●虚拟变量的个数须按以下原则确定:
定性变量所需的虚拟变量个数要比该定性变量的类别数少1，即如果定性变量有m个类别，就在模型中引入m-1个虚拟变量。

5.2滞后变量模型

●某些经济变量不仅受到同期各种因素的影响，而且也受到过去某些时期的各种因素甚至自身的过去值的影响。通常把这种过去时期的具有滞后作用的变量叫做滞后变量，含有滞后变量的模型称为滞后变量模型。

一、滞后变量模型

●同样地，被解释变量当前的变化也可能受其自身过去水平的影响，这种被解释变量受到自身或另一解释变量的前几期值影响的现象称为滞后效应，表示前几期值的变量称为滞后变量。

●滞后效应产生的原因：
①心理原因
②技术原因
③制度原因

●滞后变量模型的一般形式为：

其中，q,s为滞后时间间隔，Y_t-q为被解释变量Y的第q期滞后，X_t-s为解释变量X的第s期滞后。由于模型既含有Y对自身滞后变量的回归，还包括着解释变量X分布在不同时期的滞后变量，因此一般称为自回归分布滞后模型。若滞后期长度有限，称模型为有限自回归分布滞后模型:若滞后期长度无限，则称模型为无限自回归分布滞后模型。

①分布滞后模型
如果滞后变量模型中没有滞后被解释变量，仅有解释变量X的当期值及其若干期的滞后值，称为分布滞后模型。分布滞后模型的一般形式为：

分布滞后模型的各系数体现了解释变量的当期值和各期滞后值对被解释变
量的不同影响程度，因此也称为乘数。β₀称为短期或即期乘数，表示本期X变化一个单位对Y平均值的影响程度。β_i (i=1,2,3,⋯s)称为动态乘数或延迟系数，表示各滞后期X的变动对Y平均值影响的大小。∑^s_i=0 β_i 则称为长期或均衡乘数,表示X变动一个单位，由于滞后效应而形成的对Y平均值总影响的大小。

②自回归模型
如果滞后变量模型中的解释变量仅包含X的当期值与被解释变量Y的一个或多个滞后值，则称为自回归模型。自回归模型的一般形式为：

其中，滞后期长度q也称为自回归模型的阶数.

二、分布滞后模型的参数估计

●对于有限期的分布滞后模型，普通最小二乘回归也会遇到如下问题：
①没有先验准则确定滞后期长度
②如果滞后期较长，将缺乏足够的自由度进行统计检验
③同名变量滞后值之间可能存在高度线性相关，即模型存在高度的多重共线性。

●分布滞后模型的修正估计方法思想：都是通过对各滞后变量加权，组成线性合成变量而有目的地减少滞后变量的数目，以缓解多重共线性，保证自由度。

●修正方法：
①经验加权法

对于有限期分布滞后模型，往往根据实际问题的特点，以及人们的经验给各滞后变量指定权数，并按权数构成各滞后变量的线性组合，形成新的变量，再讲行估计。

权数的类型有以下三类：
①递减型
②矩形
③倒V型

②阿尔蒙(Almon)多项式法

该方法的主要思想仍是针对有限滞后期模型，通过阿尔蒙变换，定义新变量，以减少解释变量个数，然后用普通最小二乘法估计参数。

主要步骤如下：

由于m<s，可以认为原模型存在的自由度不足和多重共线性问题已得到改善。需注意的是，在实际估计中，阿尔蒙多项式的阶数m一般取2或3，不超过4，否则达不到减少变量个数的目的。

③科伊克(Koyck)方法

科伊克模型有两个特点:
①以个滞后被解释变量Y_t-1代替了大量的滞后解释变量X_t-i,最大限度地节省了自由度，解决了滞后期长度s难以确定的问题
②由于滞后一期的被解释变量Y_t-1与X_t的线性相关程度肯定可以小于X的各期滞后值之间的相关程度，从而缓解了多重共线性。

但科伊克变换同时也产生了两个新问题:
①模型存在随机干扰项v_t的一阶自相关性
②滞后被解释变量Y_t-1与随机干扰项v_t不独立，即Cov(Y_t-1, v_t)≠0.

三、自回归模型的参数估计

●许多滞后变量模型都可以转化为自回归模型，自回归模型是经济生活中吏常见的模型。

●自回归模型的构造：
①自适应预期模型
②局部调整模型

●自回归模型的参数估计：
①工具变量法
②普通最小二乘法

四、格兰杰因果检验

●当两个变量间在时间上有先导-滞后关系时，能否从统计上考察这种关系是单向的还是双向的呢？即主要是一个变量过去的行为在影响另一个变量的当前行为，还是双方的过去行为在相互影响着对方的当前行为？格兰杰(Granger)提出了个简单的检验程序，习惯上称为格兰杰因果关系检验。

●对两变量X与Y,格兰杰因果关系检验要求估计以下回归：

可能存在有4种检验结果：

格兰杰检验是通过受约束的F检验完成的。如针对假设：【X并不是Y的格兰杰原因】，即针对(5.2.30)式中X滞后项前的参数整体为零的假设，分别做包含与不包含X滞后项的回归，记前者的残差平方和为RSS_U.后者的残差平方和为RSS_R,再计算F统计量:

式中，m为X的滞后项的个数，n为样本容量，k为包含可能存在的常数项及
其他变量在内的无约束回归模型的待估参数的个数。

如果计算的F值大于给定显著性水平α下F分布的相应的临界值F_α (m,n-k)，则拒绝原假设，认为X是Y的格兰杰原因。

●需要指出的是，格兰杰因果关系检验对于滞后期长度的选择有时很敏感，不同的滞后期可能会得到完全不同的检验结果。因此，一般而言，常进行不同滞后期长度的检验，以检验模型中随机干扰项不存在序列相关的滞后期长度来选取滞后期。

●需要指出的是，格兰杰因果关系检验对于滞后期长度的选择有时很敏感，不同的滞后期可能会得到完全不同的检验结果。因此，一般而言，常进行不同滞后期长度的检验，以检验模型中随机干扰项不存在序列相关的滞后期长度来选取滞后期。

●由于假设检验的零假设是不存在因果关系，因此严格来说，该检验应该称为格兰杰非因果关系检验。

1.虚拟变量

直接在回归模型中加入定性因素（比如类别因素：男或女）存在困难，因此可以考虑把定性因素量化，使定性因素与定量因素在回归模型中起到相同的作用。这时就用到了虚拟变量。

计量经济学中，把取值为0或者1的变量称为虚拟变量。例如用0表示女、1表示男。这样就把定性因素进行了量化。

2.虚拟变量陷阱

对于定性因素性别而言，它有两个水平——男和女，可以用一个虚拟变量x表示，x=1表示男，x=0表示女；也可以用两个虚拟变量x和y表示，x=1表示是男，x=0表示不是男，同理y=1表示女，y=0表示不是女。

若定性因素有m个互相排斥的属性（例如定性因素“性别”有m=2个相互排斥的属性——男和女）：
（1）当回归模型有截距项时，只能引入m-1个虚拟变量，否则就会陷入“虚拟变量陷阱”；
（2）当回归模型无截距项时，可以引入m个虚拟变量。

3.虚拟变量陷阱例子及分析

下述例子中y是因变量，自变量有C1、C2、C3。

在有截距项b时，回归模型为
　　　　　　　　　　　　　　　y=a1×C1+a2×C2+a3×C3+b。
按上图中的虚拟变量设置，用OLS（ordinary least squares）求解方程的时候，模型解为
　　　　　　　　　　　　　　　[a1,a2,a3,b]’=invert((X’X))X’Y，
当有截距项b的并用时候，用上述公式求解模型就会遇到“虚拟变量陷阱”。

用上述公式求解回归模型的R语言代码如下：

##实验1：有截距项b+3个虚拟变量  【本实验报错】
##dv.csv为上述的表格
dv=read.csv('dv.csv')
Y=dv$y
X=cbind(dv[,c(1,2,3)],b=rep(1,6))
X=matrix(unlist(X),nrow=6)
solve(t(X)%*%X)

实验1报错，报错信息为:Error in solve.default(t(X)%*%X):Lapack例行程序dgesv:系统正好是奇异的:U[4,4]=0。

上述实验说明矩阵X’X是不可逆的。此时，有两种办法避免“虚拟变量陷阱”：去掉截距项b或者减少一个虚拟变量，改进代码如下：

##实验2：减少第一个虚拟变量
Y=dv$y
X=cbind(dv[,c(2,3)],b=rep(1,6))
X=matrix(unlist(X),nrow=6)
solve(t(X)%*%X)%*%t(X)%*%Y

##实验3：去掉截距项b
Y=dv$y
X=cbind(dv[,c(1,2,3)])
X=matrix(unlist(X),nrow=6)
solve(t(X)%*%X)%*%t(X)%*%Y

上述两种方法都计算成功，当然系数是不一样。

4.总结

可以看到所谓“虚拟变量陷阱”的原因是：多重共线性导致OLS算法中矩阵不可逆。从而无法计算回归模型的系数。

“虚拟变量陷阱”是和回归模型的求解算法有关的，上述的OLS的闭式解会报错，但是可能用其他求解算法（比如梯度下降）还可以计算。

上述数据如果用Python的 sklearn.linear_model.LinearRegression（默认是有截距项b的），X={C1,C2,C3}，Y={y}，是不会报错的。但是用R中的线性回归函数lm时（参数也是X={C1,C2,C3}，Y={y}）计算出的一个系数是NA。用python解出的回归模型和用上述实验3计算出的模型实际结果几乎一样———6个数据点上的误差都是0或者8.881784e-16。二者对比代码如下：

import pandas as pd
from sklearn.linear_model import LinearRegression

dv=pd.read_csv('dv.csv')

lr=LinearRegression()
lr.fit(X=dv.iloc[:,[0,1,2]],y=dv.iloc[:,3])
#sklearn———LinearRegression回归模型误差
error1=lr.coef_[0]*dv.iloc[:,0]+lr.coef_[1]*dv.iloc[:,1]+lr.coef_[2]*dv.iloc[:,2]+lr.intercept_-dv.iloc[:,3]
#上述实验3 回归模型误差，系数是从R计算结果copy过来的
error2=12.15*dv.iloc[:,0]+8.20*dv.iloc[:,1]+5.80*dv.iloc[:,2]-dv.iloc[:,3]
print(error1-error2)

5.参考资料

（1）本文的例子从下面这个资料里选的。这个资料讲的更清楚：
既有解释又有例子的一个文档
（2）这个ppt不错，前12页是解释虚拟变量的：
百度文库解释虚拟变量回归的一个文档