1.蚁群算法简介
 
蚁群算法（Ant Clony Optimization， ACO）是一种群智能算法，它是由一群无智能或有轻微智能的个体（Agent）通过相互协作而表现出智能行为，从而为求解复杂问题提供了一个新的可能性。蚁群算法是一种用来寻找优化路径的概率型算法。它由Marco Dorigo于1992年在他的博士论文中提出，其灵感来源于蚂蚁在寻找食物过程中发现路径的行为。蚁群算法是一种模拟进化算法，初步的研究表明该算法具有许多优良的性质。针对PID控制器参数优化设计问题，将蚁群算法设计的结果与遗传算法设计的结果进行了比较，数值仿真结果表明，蚁群算法具有一种新的模拟进化优化方法的有效性和应用价值。
 蚁群算法是一种仿生学算法，是由自然界中蚂蚁觅食的行为而启发的。在自然界中，蚂蚁觅食过程中，蚁群总能够按照寻找到一条从蚁巢和食物源的最优路径。图（1）显示了这样一个觅食的过程。
 
在图1（a）中，有一群蚂蚁，假如A是蚁巢，E是食物源（反之亦然）。这群蚂蚁将沿着蚁巢和食物源之间的直线路径行驶。假如在A和E之间突然出现了一个障碍物（图1（b）），那么，在B点（或D点）的蚂蚁将要做出决策，到底是向左行驶还是向右行驶？由于一开始路上没有前面蚂蚁留下的信息素（pheromone），蚂蚁朝着两个方向行进的概率是相等的。但是当有蚂蚁走过时，它将会在它行进的路上释放出信息素，并且这种信息素会以一定的速率散发掉。信息素是蚂蚁之间交流的工具之一。它后面的蚂蚁通过路上信息素的浓度，做出决策，往左还是往右。很明显，沿着短边的的路径上信息素将会越来越浓（图1（c）），从而吸引了越来越多的蚂蚁沿着这条路径行驶。
 
2.TSP问题描述
 
蚁群算法最早用来求解TSP问题，并且表现出了很大的优越性，因为它分布式特性，鲁棒性强并且容易与其它算法结合，但是同时也存在这收敛速度慢，容易陷入局部最优（local optimal）等缺点。
 TSP问题（Travel Salesperson Problem，即旅行商问题或者称为中国邮递员问题），是一种NP-hard问题，此类问题用一般的算法是很大得到最优解的，所以一般需要借助一些启发式算法求解，例如遗传算法（GA），蚁群算法（ACO），微粒群算法（PSO）等等。
 TSP问题可以分为两类，一类是对称TSP问题（Symmetric TSP），另一类是非对称问题（Asymmetric TSP）。所有的TSP问题都可以用一个图（Graph）来描述：
 令V={C1,C2,…,Ci,…,Cn},i=1,2,…,n是所有城市的集合，Ci表示第i个城市，n为城市的数目；
 E={(r,s):r,s∈V}是所有城市之间连接的集合；
 C={Crs:r,s∈V}是所有城市之间连接的成本度量（一般为城市之间的距离）；
 如果Crs=Csr，那么该TSP问题为对称的，否则为非对称的。
 一个TSP问题可以表达为：
 求解遍历图G=(V,E,C)，所有的节点一次并且回到起始节点，使得连接这些节点的路径成本最低。
 
3.蚁群算法原理
 
假如蚁群中所有蚂蚁的数量为m，所有城市之间的信息素用矩阵pheromone表示，最短路径为bestLength，最佳路径为bestTour。每只蚂蚁都有自己的内存，内存中用一个禁忌表（Tabu）来存储该蚂蚁已经访问过的城市，表示其在以后的搜索中将不能访问这些城市；还有用另外一个允许访问的城市表（Allowed）来存储它还可以访问的城市；另外还用一个矩阵（Delta）来存储它在一个循环（或者迭代）中给所经过的路径释放的信息素；还有另外一些数据，例如一些控制参数(α，β，ρ，Q)，该蚂蚁行走完全程的总成本或距离（tourLength），等等。假定算法总共运行MAX_GEN次，运行时间为t。
 蚁群算法计算过程如下：
 （1）初始化
 设t=0，初始化bestLength为一个非常大的数（正无穷），bestTour为空。初始化所有的蚂蚁的Delt矩阵所有元素初始化为0，Tabu表清空，Allowed表中加入所有的城市节点。随机选择它们的起始位置（也可以人工指定）。在Tabu中加入起始节点，Allowed中去掉该起始节点。
 （2）为每只蚂蚁选择下一个节点。
 为每只蚂蚁选择下一个节点，该节点只能从Allowed中以某种概率（公式1）搜索到，每搜到一个，就将该节点加入到Tabu中，并且从Allowed中删除该节点。该过程重复n-1次，直到所有的城市都遍历过一次。遍历完所有节点后，将起始节点加入到Tabu中。此时Tabu表元素数量为n+1（n为城市数量），Allowed元素数量为0。接下来按照（公式2）计算每个蚂蚁的Delta矩阵值。最后计算最佳路径，比较每个蚂蚁的路径成本，然后和bestLength比较，若它的路径成本比bestLength小，则将该值赋予bestLength，并且将其Tabu赋予BestTour。

 （公式1）

 （公式2）

 （公式3）
 
其中pij(t)表示选择城市j的概率，k表示第k个蚂蚁，τij (t)表示城市i,j在第t时刻的信息素浓度，ηij表示从城市i到城市j的可见度，ηij=1/dij，dij表示城市i,j之间的成本（或距离）。由此可见dij越小，ηij越大，也就是从城市i到j的可见性就越大。
 Δτkij表示蚂蚁k在城市i与j之间留下的信息素。
 Lk表示蚂蚁k经过一个循环（或迭代）锁经过路径的总成本（或距离），即tourLength,α,β,Q 均为控制参数。
 （3）更新信息素矩阵
 令t=t+nt，按照（公式3）更新信息素矩阵phermone。
（公式4）
 
τij(t+n)为t+n时刻城市i与j之间的信息素浓度。ρ为控制参数，Deltaij为城市i与j之间信息素经过一个迭代后的增量。并且有
（公式5）
 
其中Δτkij由公式计算得到。
 （4）检查终止条件
 如果达到最大代数MAX_GEN，算法终止，转到第（5）步；否则，重新初始化所有的蚂蚁的Delt矩阵所有元素初始化为0，Tabu表清空，Allowed表中加入所有的城市节点。随机选择它们的起始位置（也可以人工指定）。在Tabu中加入起始节点，Allowed中去掉该起始节点，重复执行（2），（3）,(4)步。
 （5）输出最优值
 
4.算法流程图
 
 
5.java实现
 
在该java实现中我们选择使用tsplib上的数据att48，这是一个对称tsp问题，城市规模为48，其最优值为10628.其距离计算方法如图（2）所示：

 图2 att48距离计算方法
 
实现中，使用了两个java类，一个Ant类，一个ACO类。
 Ant类
 
package com.gbs.bean;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.Collection;
import java.util.Collections;
import java.util.Random;
/**
 * 蚂蚁类
 * Cloneable这个类为克隆类，使用Object的clone()方法
 * @author gbs
 *
 */
public class Ant implements Cloneable{

    /**
     * Vector与ArrayList一样，也是通过数组实现的，不同的是它支持线程的同步，
     * 即某一时刻只有一个线程能够写Vector，避免多线程同时写而引起的不一致性，
     * 但实现同步需要很高的花费，因此，访问它比访问ArrayList慢。
     */
    private ArrayList<Integer> allowedCities;//允许访问的城市

    private ArrayList<Integer> tabu;//禁忌表，记录已经访问过的城市

    private int [][] distance;//距离矩阵

    private double[][] delta; //信息素变化矩阵

    private double alpha;

    private double beta;

    private int cityNum;//城市数量

    private int tourLength;//路径的长度

    private int firstCity; //起始城市

    private int currentCity; //当前城市

    public Ant(int cityNum) {
        this.cityNum = cityNum;
        this.tourLength = 0;
    }

    public Ant() {
        this.cityNum = 30;
        this.tourLength = 0;
    }

    /**
     * 初始化蚂蚁，并为蚂蚁随机选择第一个城市
     * @param distance
     * @param a
     * @param b
     */
    public void init(int[][] distance,double a,double b) {
        this.alpha = a;
        this.beta = b;
        this.distance = distance;
        this.allowedCities = new ArrayList<Integer>();
        this.tabu = new ArrayList<Integer>();
        this.delta = new double[cityNum][cityNum];
        for(int i = 0;i < this.cityNum;i++) {
            Integer city = new Integer(i);
            this.allowedCities.add(city);
            for (int j = 0;j < this.cityNum;j++) {
                this.delta[i][j] = 0.d;
            }
        }

        Random random = new Random(System.currentTimeMillis());
        this.firstCity = random.nextInt(this.cityNum);

        for (Integer city:this.allowedCities) {
            if(city.intValue() == this.firstCity) {
                this.allowedCities.remove(city);
                this.tabu.add(city);
                break;
            }
        }

        this.currentCity = this.firstCity;
    }

    /**
     * 选择下一个城市
     * @param pheromone 信息素矩阵
     */
    public void selectNextCity(double[][] pheromone) {
        double[] p = new double[this.cityNum];//转移概率
        double sum = 0.d;//转移概率的分母
        for (Integer city : this.allowedCities) {
            sum += Math.pow(pheromone[this.currentCity][city.intValue()],
                    this.alpha)*Math.pow(1.d/this.distance[this.currentCity][city.intValue()], this.beta);
        }
        for (int i = 0; i < this.cityNum; i++) {
            boolean flag = false;
            for (Integer city : this.allowedCities) {
                if(i == city.intValue()) {
                     p[i] = (double) ((Math.pow(pheromone[this.currentCity][i], 
                             this.alpha)*Math.pow(1.d/this.distance[this.currentCity][i], this.beta))/sum);
                     flag = true;
                     break;
                }
            }
            if(!flag)
                p[i] = 0.d;
        }

        /**
         * 如果每次都直接选择最大概率的城市作为下一个城市，就会使算法过早收敛，
         * 最后停止搜索可能获得的仅仅是次优解，而使用轮盘赌可以提高算法的全局搜索能力，又不失局部搜索
         * 所以这里选择轮盘赌选择下一个城市。参考《计算智能》清华大学出版社
         */
        //轮盘赌选择下一个城市
         double sumSelect = 0.d;
         int selectCity = -1;
         Random random = new Random(System.currentTimeMillis());
         double selectP = random.nextDouble();
         while(selectP == 0.f) {
             selectP = random.nextDouble();
         }
         for(int i = 0;i < this.cityNum;i++) {
             sumSelect += p[i];
             if(sumSelect >= selectP) {
                 selectCity = i;
                //从允许选择的城市中去除select city
                 this.allowedCities.remove(Integer.valueOf(selectCity));
                //在禁忌表中添加select city
                 this.tabu.add(Integer.valueOf(selectCity));
                //将当前城市改为选择的城市
                 this.currentCity = selectCity;
                 break;
             }
         }
    }

    /**
     * 计算路径长度
     * @return
     */
    public int calculateTourLength() {
        int length = 0;

        for(int i = 0;i < this.tabu.size()-1;i++) {
            length += this.distance[this.tabu.get(i).intValue()][this.tabu.get(i+1).intValue()];
        }
        return length;
    }

    public ArrayList<Integer> getAllowedCities() {
        return allowedCities;
    }

    public void setAllowedCities(ArrayList<Integer> allowedCities) {
        this.allowedCities = allowedCities;
    }

    public ArrayList<Integer> getTabu() {
        return tabu;
    }

    public void setTabu(ArrayList<Integer> tabu) {
        this.tabu = tabu;
    }

    public int[][] getDistance() {
        return distance;
    }

    public void setDistance(int[][] distance) {
        this.distance = distance;
    }

    public double[][] getDelta() {
        return delta;
    }

    public void setDelta(double[][] delta) {
        this.delta = delta;
    }

    public double getAlpha() {
        return alpha;
    }

    public void setAlpha(double alpha) {
        this.alpha = alpha;
    }

    public double getBeta() {
        return beta;
    }

    public void setBeta(double beta) {
        this.beta = beta;
    }

    public int getCityNum() {
        return cityNum;
    }

    public void setCityNum(int cityNum) {
        this.cityNum = cityNum;
    }

    public int getTourLength() {
        return tourLength;
    }

    public void setTourLength(int tourLength) {
        this.tourLength = tourLength;
    }

    public int getFirstCity() {
        return firstCity;
    }

    public void setFirstCity(int firstCity) {
        this.firstCity = firstCity;
    }

    public int getCurrentCity() {
        return currentCity;
    }

    public void setCurrentCity(int currentCity) {
        this.currentCity = currentCity;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "Ant [allowedCities=" + allowedCities + ", tabu=" + tabu + ", distance=" + Arrays.toString(distance)
                + ", delta=" + Arrays.toString(delta) + ", alpha=" + alpha + ", beta=" + beta + ", cityNum=" + cityNum
                + ", tourLength=" + tourLength + ", firstCity=" + firstCity + ", currentCity=" + currentCity + "]";
    }

}
 
ACO类
 
package com.gbs.bean;

import java.io.BufferedReader;
import java.io.FileInputStream;
import java.io.FileNotFoundException;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.Arrays;

/**
 * 蚁群算法类
 * @author gbs
 *
 */
public class ACO {

    private Ant[] ants; //蚂蚁
    private int antNum; //蚂蚁数量
    private int cityNum; //城市数量
    private int MAX_GEN; //运行代数
    private double[][] pheromone; //信息素矩阵
    private int[][] distance; //距离矩阵
    private int bestLength; //最佳长度
    private int[] bestTour; //最佳路径
    //三个参数
    private double alpha;
    private double beta;
    private double rho;

    public ACO() {

    }

    public ACO(int antNum, int cityNum, int mAX_GEN, double alpha, double beta, double rho) {
        this.antNum = antNum;
        this.cityNum = cityNum;
        this.MAX_GEN = mAX_GEN;
        this.alpha = alpha;
        this.beta = beta;
        this.rho = rho;
        this.ants = new Ant[this.antNum];
    }

    public void init(String path) {
        int []x;
        int []y;
        String buffer;
        BufferedReader br;
        try {
            br = new BufferedReader(new InputStreamReader(new FileInputStream(path)));
            this.distance = new int[this.cityNum][this.cityNum];
            x = new int[cityNum];  
            y = new int[cityNum];  
            //读取城市的坐标
            for (int i = 0; i < cityNum; i++) {  
                buffer = br.readLine();
                String[] str = buffer.split(" ");  
                x[i] = Integer.valueOf(str[1]);  
                y[i] = Integer.valueOf(str[2]);  
            } 
            /**
             * 计算距离矩阵 ，针对具体问题，距离计算方法也不一样，此处用的是att48作为案例，
             * 它有48个城市，距离计算方法为伪欧氏距离，最优值为10628
             */
            for(int i = 0;i < this.cityNum - 1;i++) {
                for(int j = i + 1;j < this.cityNum;j++) {
                    double rij = Math.sqrt(((x[i]-x[j])*(x[i]-x[j]) + (y[i]-y[j])*(y[i]-y[j]))/10.0);
                    int tij = (int)Math.round(rij);
                    if(tij < rij)
                        tij++;
                    this.distance[i][j] = tij;
                    this.distance[j][i] = tij;
                }
            }
            this.distance[this.cityNum-1][this.cityNum-1] = 0;
            //初始化信息素矩阵
            this.pheromone=new double[this.cityNum][this.cityNum];
            for(int i = 0;i < this.cityNum;i++) {
                for(int j = 0;j < this.cityNum;j++) {
                    this.pheromone[i][j] = 0.1d;
                }
            }
            //初始化最优路径的长度
            this.bestLength=Integer.MAX_VALUE;
            //初始化最优路径
            this.bestTour=new int[this.cityNum+1];  
            //随机放置蚂蚁  
            for(int i = 0;i < this.antNum;i++){  
                this.ants[i]=new Ant(this.cityNum);  
                this.ants[i].init(this.distance, this.alpha, this.beta);  
            }  
        } catch (FileNotFoundException e) {
            e.printStackTrace();
        } catch (IOException e) {
            e.printStackTrace();
        }
    }

    /**
     * 更新信息素
     */
    private void updatePheromone() {
        //信息素挥发  
        for(int i = 0;i < this.cityNum;i++)  
            for(int j = 0;j < this.cityNum;j++)  
                this.pheromone[i][j] = this.pheromone[i][j] * (1 - this.rho);
        //信息素更新
        for(int i = 0;i < this.cityNum;i++) {
            for(int j = 0;j < this.cityNum;j++) {
                for(int k = 0;k < this.antNum;k++) {
                    this.pheromone[i][j] += this.ants[k].getDelta()[i][j];
                }
            }
        }
    }

    public void solve() {
        for (int g = 0; g < this.MAX_GEN; g++) {
            //每一只蚂蚁移动的过程
            for (int i = 0; i < this.antNum; i++) {
                for (int j = 0; j < this.cityNum; j++) {
                    this.ants[i].selectNextCity(this.pheromone);
                }
                this.ants[i].getTabu().add(this.ants[i].getFirstCity());
                //计算蚂蚁获得的路径长度  
                this.ants[i].setTourLength(this.ants[i].calculateTourLength());  
                if(this.ants[i].getTourLength() < this.bestLength){  
                    //保留最优路径  
                    this.bestLength = this.ants[i].getTourLength();  
                    System.out.println("第"+g+"代，发现新的解"+this.bestLength); 
                    for(int k = 0;k < this.ants[i].getTabu().size();k++)  
                        this.bestTour[k] = this.ants[i].getTabu().get(k).intValue();;  
                }
                //更新信息素变化矩阵
                for (int j = 0; j < this.ants[i].getTabu().size()-1; j++) {
                    this.ants[i].getDelta()[this.ants[i].getTabu().get(j).intValue()][this.ants[i].getTabu().get(j+1).intValue()] = (double) (1.0/this.ants[i].getTourLength());
                    this.ants[i].getDelta()[this.ants[i].getTabu().get(j+1).intValue()][this.ants[i].getTabu().get(j).intValue()] = (double) (1.0/this.ants[i].getTourLength());
                }
            }
            //更新信息素
            this.updatePheromone();
            //重新初始化蚂蚁
            for(int i = 0;i < this.antNum;i++){  
                this.ants[i].init(this.distance, this.alpha, this.beta);
            }
        }
        //打印最佳结果
        this.printOptimal();
    }

    public void printOptimal() {
         System.out.println("The optimal length is: " + this.bestLength);
         System.out.println("The optimal tour is: ");
         for (int i = 0; i < this.bestTour.length; i++) {
             System.out.println(this.bestTour[i]);
         }
    }

    public Ant[] getAnts() {
        return ants;
    }

    public void setAnts(Ant[] ants) {
        this.ants = ants;
    }

    public int getAntNum() {
        return antNum;
    }

    public void setAntNum(int antNum) {
        this.antNum = antNum;
    }

    public int getCityNum() {
        return cityNum;
    }

    public void setCityNum(int cityNum) {
        this.cityNum = cityNum;
    }

    public int getMAX_GEN() {
        return MAX_GEN;
    }

    public void setMAX_GEN(int mAX_GEN) {
        MAX_GEN = mAX_GEN;
    }

    public double[][] getPheromone() {
        return pheromone;
    }

    public void setPheromone(double[][] pheromone) {
        this.pheromone = pheromone;
    }

    public int[][] getDistance() {
        return distance;
    }

    public void setDistance(int[][] distance) {
        this.distance = distance;
    }

    public int getBestLength() {
        return bestLength;
    }

    public void setBestLength(int bestLength) {
        this.bestLength = bestLength;
    }

    public int[] getBestTour() {
        return bestTour;
    }

    public void setBestTour(int[] bestTour) {
        this.bestTour = bestTour;
    }

    public double getAlpha() {
        return alpha;
    }

    public void setAlpha(double alpha) {
        this.alpha = alpha;
    }

    public double getBeta() {
        return beta;
    }

    public void setBeta(double beta) {
        this.beta = beta;
    }

    public double getRho() {
        return rho;
    }

    public void setRho(double rho) {
        this.rho = rho;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "ACO [ants=" + Arrays.toString(ants) + ", antNum=" + antNum + ", cityNum=" + cityNum + ", MAX_GEN="
                + MAX_GEN + ", pheromone=" + Arrays.toString(pheromone) + ", distance=" + Arrays.toString(distance)
                + ", bestLength=" + bestLength + ", bestTour=" + Arrays.toString(bestTour) + ", alpha=" + alpha
                + ", beta=" + beta + ", rho=" + rho + "]";
    }

}
 
Test类：
 
package com.gbs.test;

import com.gbs.bean.ACO;

public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        ACO aco = new ACO(200, 48, 2000, 1.d, 5.d, 0.5d);
        aco.init("d://cities.txt");
        aco.solve();
    }
}
 
注：调试代码时遇到一个致命的问题就是忽略了float和double的精度。浪费了三四个小时debug居然是这个错误引起的，float的精度一旦不够，在java中会出现NAN和INFINITY。
https://www.cnblogs.com/zhisuoyu/archive/2016/03/24/5314541.html（此网址讲述了NAN和INFINITY的区别）。
 
6.存在问题
 
（1）对于大规模组合优化问题，算法的计算时间而且复杂。由于蚁群算法的时间复杂度是，因此在处理较大规模的组合优化问题时，运算量较大，时间较长。
 （2）算法容易在某个或某些局部最优解的邻域附近发生停滞现象，造成早熟收敛，即搜索进行到一定程度后，所有蚂蚁发现的解完全一致，不能继续对解空间进一步搜索，不利于发现全局最优解。
 （3）不能较好的解决连续域问题。
 （4）由于蚁群算法中蚂蚁个体的运动过程的随机性，当群体规模设置较大时，很难在较短时间内从杂乱无章的路径中找出一条较好的路径。
 （5）信息素更新策略，路径搜索策略和最优解保留策略都带有经验性，没有经过严格的理论论证。因此基本蚁群算法的求解效率不高、收敛性较差、求解结果具有较大的分散性。
 
附件：https://download.csdn.net/download/msc694955868/13123019