行列式、矩阵

本文主要围绕以下定理，并对相关知识点做回顾和扩充。

定理：设 $\lambda _{1}$ ，...， $\lambda _{n}$ （实数或者复数，可以重复）是 $n$ 阶方阵 $A=[a_{ij}]$ 的 $n$ 个特征值，即 $\left | A-\lambda E \right |=(\lambda -\lambda _{1})(\lambda -\lambda _{2})...(\lambda -\lambda _{n})=0$ ，则

$\sum^{n}_{i=1}\lambda _{i}=tr(A)=\sum^{n}_{i=1}a_{ii}$ ， $\prod ^{n}_{i=1}\lambda _{i}=det(A)=\left | A \right |$

通俗描述即为：矩阵的特征值之和等于矩阵的迹，矩阵的特征值之积等于矩阵的行列式。

以下分为五个部分介绍：

韦达定理
矩阵行列式
矩阵的迹
矩阵的特征值及特征向量
解释矩阵的特征值之和等于矩阵的迹，之积等于矩阵的行列式

一、韦达定理

韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。

1、一元二次方程

对于一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$ （ $a\neq 0$ 且 $\Delta =b^{2}-4ac\geq 0$ ），设两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 。

则： $x_{1},x_{2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

且易得到： $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$ ， $x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}$

以上定理交代了两根之和（积）与方程系数的关系。

2、一元三次方程

对于一元三次方程 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ ，设三个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 。

易得到： $x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{b}{a}$ ， $x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}=-\frac{d}{a}$

3、一元多次方程

推广定理：韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。

设复系数一元n次方程 $b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_{1}x+b_{0}=\sum^{n}_{i=1}b_{i}x^{i}+b_{0}=0$ ，其中 $b_{i}$ 代表第 $i$ 次项的系数， $b_{0}$ 代表常数项。

则 $x_{1}+x_{1}+...+x_{n}=\sum^{n}_{i=1}x_{i}=-\frac{b_{n-1}}{b_{n}}$ ， $x_{1}x_{2}...x{n}=\prod ^{n}_{i=1}x_{i}=(-1)^{n}\frac{b_{0}}{b_{n}}$

即：所有根之和为（n-1）次项系数与n次项系数之比的相反数，所有根之积为常数项与n次项系数之比再乘以 $(-1)^{n}$

注：该推广形式的证明一般无法根据求根公式进行，因为5次以上的一元方程没有求根公式。证明步骤较繁琐，是通过将左边的多项式因式分解成 $a_{n}(x-x_{1})(x-x{2})...(x-x_{n})$ 之后，再去括号，比较相同次数的项的系数从而得出结论。这个方法具有普遍性，即使是有求根公式的方程，亦可以通过该方法证明韦达定理，而无需借助求根公式。

二、矩阵行列式

1、矩阵行列式的基本介绍

一个 $n\times n$ 的方阵A的行列式记为det(A)或者|A|，一个2×2矩阵的行列式可表示如下：

$det\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}=ad-bc$

把一个 $n$ 阶行列式中的元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列划去后，留下来的 $n-1$ 阶行列式叫做元素 $a_{ij}$ 的余子式,记作 $M_{ij}$ 。记 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ ，叫做元素 $a_{ij}$ 的代数余子式。例如：

$A=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} &a_{24} \\ a_{31} & a_{32} &a_{33} &a_{34} \\ a_{41} & a_{42} &a_{43} &a_{44} \end{vmatrix}$ ， $M_{23}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14} \\ a_{31} & a_{32} &a_{34} \\ a_{41} & a_{42} &a_{44} \end{vmatrix}$ ， $A_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-M_{23}$

注意：余子式和代数余子式是行列式中才有的概念。如上所示，此时的 $A$ 代表行列式， $M_{23}$ 代表元素 $a_{23}$ 的余子式， $A_{23}$ 代表元素 $a_{23}$ 的D代数余子式。

命题：n阶行列式det(A)等于它的任一行(列)的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和：

$det(A)=\left | A \right |=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}=\sum ^{n}_{j=1}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}$ （其中， $i$ 可以取任意的行号1,2,3,...,n）

$det(A)=\left | A \right |=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}=\sum ^{n}_{i=1}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}$ （其中， $j$ 可以取任意的列号1,2,3,...,n）

2、矩阵行列式的几何理解

一句话概括之，行列式的本质就是线性变换的放大率（伸缩因子）。

几何理解： $A$ 表示 $n$ 维空间到 $n$ 维空间的线性变换，假想原来空间中有一个 $n$ 维的“立方体”（任意形状），其中“立方体”内的每一个点都经过这个线性变换，变成 $n$ 维空间中的一个新立方体，设原立方体的体积为 $V_{1}$ ，新立方体的体积为 $V_{2}$ ，行列式 $det(A)=\frac{V_{2}}{V_{1}}$ 。

1)线性变换

理解行列式之前，需要先理解线性变换。

线性代数中的线性变换：转换矩阵 $A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ 乘以向量 $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} v_{1}\\ v_{2} \end{pmatrix}$ 就是对其进行了线性变换，从而得到转换之后的向量 $\overrightarrow{{v}'}=A\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} a_{11}v_{1}+a_{12}v_{2}\\ a_{21}v_{1}+a_{22}v_{2} \end{pmatrix}$ 。

线性变化中的“”线性”二字，也就是原来的一条直线，在变换了之后还应该是直线。

任何一个空间都可以由一组基构成，也就是说，这个空间上的任何一个点（向量）都可以由这组基以线性组合的形式得到。

如下图， $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} v_{1}\\ v_{2} \end{pmatrix}$ 也可以写作 $v_{1}\overrightarrow{i}+v_{2}\overrightarrow{j}$ （ $\overrightarrow{i}$ 和 $\overrightarrow{j}$ 为基向量， $\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ ， $\overrightarrow{j}=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$ ）

假设我们有原向量 $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}$ ，变换（旋转）矩阵 $A=\begin{pmatrix} cos(90^{\circ}) &-sin(90^{\circ}) \\ sin(90^{\circ}) & cos(90^{\circ}) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &-1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ，从而得到转换之后的向量 $\overrightarrow{{v}'}=A\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} 0 &-1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\times 2-1\times 3\\ 1\times 2+0\times3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ 2 \end{pmatrix}$ 。

从基向量的角度解释：矩阵 $A$ 对向量 $\overrightarrow{v}$ 的变换，其实是施加在其基底上的变换，而新的向量 $\overrightarrow{{v}'}$ 关于新的基底 $(\overrightarrow{{i}'},\overrightarrow{{j}'})$ 的线性组合,与原来的向量 $\overrightarrow{v}$ 是关于基底 $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ 的线性组合是一样的。 $\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ ， $\overrightarrow{j}=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$ ， $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}=2\begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} 0\\ 1\end{pmatrix}$ ，线性组合系数为（2,3）， $\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ ， $\overrightarrow{j}=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$ 经过矩阵 $A$ 的线性变换之后变成新的基底 $\overrightarrow{{i}'}=A\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix} 0 &-1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}$ ， $\overrightarrow{{j}'}=A\overrightarrow{j}=\begin{pmatrix} 0 &-1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\0\end{pmatrix}$ ，新向量 $\overrightarrow{{v}'}=2\overrightarrow{{i}'}+3\overrightarrow{{j}'}=2\begin{pmatrix} 0\\ 1\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} -1\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ 2\end{pmatrix}$ 。

注意：关于旋转矩阵的由来及推导可见《线性代数——线性变换——旋转矩阵（泰勒公式、虚数、欧拉公式）》

所以我们说，一个向量，在经过一个矩阵 $A$ 的变换之后，改变的是组成向量的基，而这个向量关于基的线性组合方式是没有变化的。

换句话说，对于一个线性变换，我们只需要跟踪其基在变换前后的变化，便可以掌握整个空间的变化。而矩阵 $A$ 的列其实与变换后新的基底之间有着某些联系，也就是说，新的基底其实就是矩阵 $A$ 的列向量的线性组合 $\overrightarrow{{i}'}=A\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix} 0 &-1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}=1A_{1}+0A_{2}=1\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}+0\begin{pmatrix} -1\\ 0 \end{pmatrix}$ ，其中 $A_{1},A_{2}$ 是 $A$ 的列。

以上的图形展现的是“旋转”的线性变化，其本质是改变组成向量的基。接下来我们“推移”是怎么改变基的，如下图。

推移矩阵把 $\overrightarrow{v}$ 推移到 $\overrightarrow{{v}'}$ 实际上也是改变了 $\overrightarrow{v}$ 的基底 $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ 。

有原向量 $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}$ ，变换（推移）矩阵 $A=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{4}{3}\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ，从而得到转换之后的向量 $\overrightarrow{{v}'}=A\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} 1 &-\frac{4}{3}\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\times 2-\frac{4}{3}\times 3\\ 0\times 2+1\times3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\\ 3\end{pmatrix}$ 。

从基向量的角度解释：设 $\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ ， $\overrightarrow{j}=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$ ， $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}=2\begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} 0\\ 1\end{pmatrix}$ ，线性组合系数为（2,3）； $\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ ， $\overrightarrow{j}=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$ 经过矩阵 $A$ 的线性变换之后变成新的基底 $\overrightarrow{{i}'}=A\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{4}{3}\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ ， $\overrightarrow{{j}'}=A\overrightarrow{j}=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{4}{3}\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{4}{3}\\1\end{pmatrix}$ ，新向量 $\overrightarrow{{v}'}=2\overrightarrow{{i}'}+3\overrightarrow{{j}'}=2\begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} -\frac{4}{3}\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\\ 3\end{pmatrix}$ 。

2）行列式的几何理解

以上面的旋转矩阵 $A=\begin{pmatrix} cos\theta &-sin\theta \\ sin\theta& cos\theta \end{pmatrix}$ 为例，我们对其求行列式 $\left | A \right |=\begin{vmatrix} cos\theta &-sin\theta \\ sin\theta& cos\theta \end{vmatrix}=cos^{2}\theta +sin^{2}\theta=1$ ，意味旋转矩阵的行列式恒等于1，且不改变面积（或体积），如下图二维平面的旋转展示。

即和上面的结论相符：行列式是线性变换的伸缩因子。

且我们容易得到：

$det(A)> 1$ ，对图形起到放大作用；
$det(A)= 1$ ，图形大小没有变化；
$0< det(A)< 1$ ，对图形起到缩小作用；
$det(A)=0$ ，矩阵不可逆。
$det(A)< 0$ ，改变了基的“左右手法则”。

3）行列式的性质

由上面我们已经知道，行列式是线性变换的伸缩因子，所以很容易得到：

$det(AB)=det(A)\times det(B)=det(BA)$

从“体积”的角度理解为：两次对“体积”的缩放效果是累积的，且和两次操作次序无关。

4）“矩阵 $A$ 可逆” 完全等价于 “ $det(A)\neq 0$ ”

公式推导

由上面我们已知： $det(AB)=det(A)\times det(B)=det(BA)$

且有逆矩阵的性质： $AA^{-1}=E$ （ $E$ 为单位矩阵）

结合可得： $det(AA^{-1})=det(A)\times det(A^{-1})=det(E)=1$

如果 $det(A)=0$ ，则 $det(A^{-1})=\frac{1}{0}$ ，无意义，即 $det(A^{-1})$ 不存在，即矩阵 $A$ 不可逆。

几何理解

$det(A)=0$ 可以理解为线性变换矩阵 $A$ 把 $n$ 维立方体给拍扁了（原来 $n$ 维变成了 $n-1$ 维或 $n-2$ 维，....），例如把3维立方体拍成2维的纸片，纸片体积多少呢？当然是 0 啦！

注意：这里说的体积都是针对 $n$ 维空间而言的， $det(A)=0$ 就表示新的立方体在 $n$ 维空间体积为0，但是可能在 $n-1$ 维还是有体积的，只是在 $n$ 维空间的标准下为0而已。好比一张纸片，“2维体积”也就是面积可以不为0，但是“3维体积”是0。

所以凡是 $det(A)=0$ 的矩阵 $A$ 都是不可逆的，因为这样的变换以后就再也找不到一个矩阵将其变换回去，这样的矩阵必然是没有逆矩阵 $A^{-1}$ 的。

详细可参考：

https://www.matongxue.com/madocs/247.html

https://www.zhihu.com/collection/200330229

三、矩阵的迹

1、矩阵的迹的基本介绍

在线性代数中，一个 $n\times n$ 矩阵 $A$ 的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和被称为矩阵 $A$ 的迹（或迹数），一般记作 $tr(A)$ ， $tr(A)=\sum^{n}_{i=1}a_{ii}$ 。

四、矩阵的特征值及特征向量

1、矩阵的特征值、特征向量的基本介绍

以下知识点来自吴传生主编的《线性代数》

1）特征值、特征向量

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，如果标量 $\lambda$ 和 $n$ 维非零列向量 $x$ 使关系式 $Ax=\lambda x$ 成立，则称 $\lambda$ 是方阵 $A$ 的特征值，非零列向量 $x$ 称为 $A$ 的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。 $Ax=\lambda x$ 可改写为 $(A-\lambda E)x=0$ 。

这是 $n$ 个未知数 $n$ 个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是 $\left | A-\lambda E \right |=0$ ，即

$\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & ... & a_{2n} \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}=0$

2）特征值、特征向量的求解

求n阶方阵的特征值和特征向量的步骤如下：

求出n阶方阵A的特征多项式 $\left | A-\lambda E \right |$
求出特征方程 $\left | A-\lambda E \right |$ =0的全部根， $\lambda _{1}$ ， $\lambda _{2}$ ，......， $\lambda _{n}$ ，即为A的特征值。
把每个特征值 $\lambda _{i}$ 代入线性方程组 $( A-\lambda E)x=0$ ，求出基础解系，就是A对应于 $\lambda _{i}$ 的特征向量，基础解析的线性组合（零向量外）就是A对应于 $\lambda _{i}$ 的全部特征向量。

3）特征值、特征向量的几何解释

上面我们提到，线性变换其实是施加在其基底上的变换，在以 $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ 为基底的二维空间中，向量 $\overrightarrow{v}$ 经过矩阵 $A$ 变换，变成 $A\overrightarrow{v}$ ，可以观察到，调整后 $\overrightarrow{v}$ 和 $A\overrightarrow{v}$ 在同一条直线上，但是 $A\overrightarrow{v}$ 相对于 $\overrightarrow{v}$ 延长了。

此时，我们就称 $\overrightarrow{v}$ 是 $A$ 的特征向量，而 $A\overrightarrow{v}$ 的长度是 $\overrightarrow{v}$ 的长度的 $\lambda$ 倍， $\lambda$ 就是特征值。

所以 $A\overrightarrow{v}=\lambda \overrightarrow{v}$ 可以理解为， $\overrightarrow{v}$ 在 $A$ 的作用下，保持方向不变进行比例为 $\lambda$ 的伸缩。

如果把矩阵看作是运动，则特征值就是运动的速度，特征向量就是运动的方向。

五、解释矩阵的特征值之和等于矩阵的迹，之积等于矩阵的行列式

1、矩阵的特征值之和等于矩阵的迹

已知求 $n$ 阶方阵的特征值，即求 $n$ 阶方阵 $A$ 的特征多项式 $\left | A-\lambda E \right |=0$ 的全部根，即求

$\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & ... & a_{2n} \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}=0$ 的所有 $\lambda$ 。

由韦达定理可知：设 $\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & ... & a_{2n} \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}=b_{n}\lambda ^{n}+b_{n-1}\lambda ^{n-1}+...+b_{1}\lambda +b_{0}=0$ ，其中 $b_{i}$ 代表第 $i$ 次项的系数， $b_{0}$ 代表常数项。则 $\lambda _{1}+\lambda _{1}+...+\lambda _{n}=\sum^{n}_{i=1}\lambda _{i}=-\frac{b_{n-1}}{b_{n}}$ ，其中， $b^{n}$ 为 $\lambda^{n}$ 的系数等于 $(-1)^{n}$ （当 $n$ 为奇数时等于-1，偶数时为1）； $b^{n-1}$ 为 $\lambda^{n-1}$ 的系数，除了主对角元的乘积 $(a_{11}-\lambda )(a_{22}-\lambda )...(a_{nn}-\lambda )$ 的展开项之外，其他展开项的次数都小于 $n-1$ ，因此 $n-1$ 次项的系数 $b^{n-1}$ 就是 $(a_{11}-\lambda )(a_{22}-\lambda )...(a_{nn}-\lambda )$ 中 $\lambda ^{n-1}$ 的系数，等于 $(-1)^{n}(a_{11}+a_{22}+...a_{nn})$ （当 $n$ 为奇数时为负，偶数时为正），则 $\lambda _{1}+\lambda _{1}+...+\lambda _{n}=\sum^{n}_{i=1}\lambda _{i}=-\frac{b_{n-1}}{b_{n}}=\frac{(-1)^{n}(a_{11}+a_{22}+...a_{nn})}{(-1)^{n}}=tr(A)$ ，即矩阵的特征值之和等于矩阵的迹。

2、矩阵的特征值之积等于矩阵的行列式

1）代数理解

同样根据韦达定理可知， $\lambda _{1}\lambda _{2}...\lambda {n}=\prod ^{n}_{i=1}\lambda _{i}=(-1)^{n}\frac{b_{0}}{b_{n}}$ ，其中， $b^{n}$ 为 $\lambda^{n}$ 的系数等于 $(-1)^{n}$ （当 $n$ 为奇数时等于-1，偶数时为1），则可化简为 $\lambda _{1}\lambda _{2}...\lambda {n}=\prod ^{n}_{i=1}\lambda _{i}=\frac{(-1)^{n}b_{0}}{(-1)^{n}}=b_{0}$ ，已知特征多项式 $\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & ... & a_{2n} \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}=b_{n}\lambda ^{n}+b_{n-1}\lambda ^{n-1}+...+b_{1}\lambda +b_{0}$ ，我们令 $\lambda=0$ ，求得 $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}\end{vmatrix}=b_{0}$ ， $b_{0}$ 代表 $n$ 阶方阵 $A$ 的行列式，即 $\lambda _{1}\lambda _{2}...\lambda {n}=\prod ^{n}_{i=1}\lambda _{i}=\frac{(-1)^{n}b_{0}}{(-1)^{n}}=b_{0}=det(A)$ ，矩阵的特征值之积等于矩阵的行列式。

2）几何理解

特征值，理解为通过变换改变了观察者视角，由特征向量产生新的正交基，每个特征值对应着特征向量所在方向上的缩放系数，

行列式，理解为有向体积的缩放系数。

特征值在每个维度上缩放系数之乘积就是总的有向体积缩放系数。

如下图所示，原来的长方体体积 $V=a\cdot b\cdot c$ ，缩放之后的长方体体积等于。 ${V}'=\lambda_{1} a\cdot \lambda_{2} b\cdot \lambda_{3} c=(\lambda_{1} \cdot \lambda_{2} \cdot \lambda_{3})\cdot (a\cdot b\cdot c)=(\lambda_{1} \cdot \lambda_{2} \cdot \lambda_{3})V$

收起

线代行列式、矩阵知识梳理

线代行列式、矩阵知识梳理

一、行列式

1、注意事项

2、行列式性质

3、行列式按行/列展开

3.重要公式

4、克拉默法则

二、矩阵知识

1、各种概念（同型矩阵、逆矩阵等）

2、矩阵四则运算

3、矩阵运算法则汇总

4、重要性质

5、如何求可逆矩阵

三、初等矩阵与初等行变换

1、初等行变换

2、初等矩阵（均可逆）

3、矩阵等价

4、分块矩阵运算解决矩阵转置、逆矩阵、n次方

【线代】行列式、矩阵：题型解法、公式一览

8. 行列式、矩阵、方程组、分段函数的 LaTex 表达

一、行列式

二、矩阵

三、方程组

四、分段函数

线性代数——韦达定理、矩阵行列式、矩阵的迹、矩阵特征值及关系

一、韦达定理

1、一元二次方程

2、一元三次方程

3、一元多次方程

二、矩阵行列式

1、矩阵行列式的基本介绍

2、矩阵行列式的几何理解

三、矩阵的迹

1、矩阵的迹的基本介绍

四、矩阵的特征值及特征向量

1、矩阵的特征值、特征向量的基本介绍

五、解释矩阵的特征值之和等于矩阵的迹，之积等于矩阵的行列式

1、矩阵的特征值之和等于矩阵的迹

2、矩阵的特征值之积等于矩阵的行列式

高等代数第一二章《行列式、矩阵》

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