目录
 
奇异矩阵和非奇异矩阵
 
行列式矩阵简单理解
 
一、代数意义
 
二、几何意义

                         线性代数之行列式矩阵术语中英对照
 
本文基于Steven J. Leon著的第九版《Linear Algebra with Applications》整理，后续会输出其它章节，敬请期待。
 
 
 
determinant 行列式
 
system of linear equations  线性方程组
 
system of homogeneous linear equations  齐次线性方程组
 
solution set    解集
 
singular    奇异    行列式等于0
 
nonsingular 非奇异
 
interchanging   交换
 
sign of the determinant 行列式的符号
 
strictly triangular form    严格三角形式
 
back substitution   回代
 
Cross Product   交叉乘积、向量积
 
Vandermonde determinant 范德蒙德行列式
 
coefficient 方程的系数
 
constant    常数项
 
solution    线性方程组的解
 
coefficient matrix  系数矩阵
 
augmented matrix    增广矩阵
 
pivotal row 枢轴行、主行
 
nonzero entry   非零元 
 
lead variables  首变量
 
free variables  自由变量
 
echelon form    阶梯型
 
row echelon form    行阶梯形型
 
reduced row echelon form    最简化行阶梯型 
 
Gauss-Jordan Elimination    高斯-约旦消元法
 
reduced row echelon matrix  最简化行阶梯矩阵
 
Overdetermined Systems  超定方程组
 
Underdetermined Systems 欠定方程组
 
scalar 标量
 
elimination method  消元法
 
Gaussian elimination    高斯消元法
 
multiplicative inverse  倒数
 
Cramer’s Rule  克莱姆法则
 
matrix  矩阵
 
Matrix Notation 矩阵符号
 
n-tuple n阶、n维
 
dimension   维、维度
 
column(row) vector 列(行)向量
 
Euclidean n-space   欧几里得空间
 
elementary matrix   初等矩阵
 
matrix entry    矩阵的元素
 
zero matrix 零矩阵
 
square matrix   方阵
 
scalar multiplication   数乘
 
scalar product  数积(行向量左乘列向量最终得到标量的操作)
 
Symmetric matrix    对称矩阵
 
Matrix Algebra  矩阵代数
 
multiplicative inverse  矩阵逆运算
 
premultiplying  左乘    相当于实施行变换
 
postmultiplying 右乘    相当于实施列变换
 
finite sequence 有限序列(次)
 
trivial solution    平凡解
 
Triangular Factorization    三角分解法
 
unit lower triangular   单位下三角  对角线元素皆为1的下三角
 
LU Factorization    LU分解  将一个矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积
 
submatrix   子矩阵
 
triangular matrix   三角矩  主对角线上或下全为0的矩阵
 
upper triangular matrix 上三角形矩阵    主对角线(左往右)下全为0
 
lower triangular matrix 下三角形矩阵    主对角线(左往右)上全为0
 
strictly lower triangular matrix    严格下三角  主对角线全为0
 
diagonal matrix 对角矩阵
 
diagonal entries    对角元
 
identity matrix 单位矩阵
 
transpose matrix    转置矩阵
 
elementary row transformation   初等行变换
 
elementary column transformation    初等列变换
 
adjoint matrix  伴随矩阵
 
skew-symmetric matrix   反称矩阵
 
row equivalent  行等价
 
algebraic cofactor  代数余子式
 
cofactor expansion  代数余子式展开
 
minor   子式
 
========================= 行列式与矩阵==============
 

主要记录几个矩阵行列式容易忽略的性质
 
1.矩阵转置的行列式和原矩阵的行列式相等 
  
 2.交换矩阵的任意两行或者两列，行列式符号变反 
  
 3.矩阵若有两行或者两列相等，那么该矩阵行列式为0 
  
 4.矩阵的任一行或者列乘以k之后的行列式等于原矩阵的行列式乘以k 
  
 5.上三角矩阵和下三角矩阵的行列式等于对角线元素的乘积 
 
 
PS:矩阵是用word手写的

说明：本公式只针对在二维或三通道的计算机视觉中所遇到的问题，不代表传统意义上数学知识点范围。
 
行列式
 
行列式概念:
 
矩阵的行列式，称之为det，是基于矩阵所包含的行列数据计算得到的标量。本质上是一个数。
 
1：二阶行列式计算
 
 
2：三阶行列式计算
 
 
3：高阶行列式计算:
 
高阶行列式计算比较复杂。对于三通道未进行压缩的图像而言，描述该图像的矩阵所计算的det甚至手动计算是几乎不可能的，故在这里不再赘述。
 
4：特殊形式行列式计算:
 
对角行列式：
 
 
上三角和下三角行列式：
 
 
5：行列式性质
 
（1）：行列式与它的转置行列式相同
 （2）：互换行列式两行（列），行列式变号
 （3）：行列式的某一行（列）中所有元素都乘于同一个数k，等于用k乘于该行列式
 （4）：行列式如果有两行（列）成比列，则该行列式为零
 （5）：若行列式的某一行（列）的所有元素都是两数之和，则等于对应的两个行列式之和
 （6）：行列式的某一行（列）的各元素乘于同一个倍数然后加到另一行（列）所对应的元素上去，行列式不变
 推论：
 （1）：若行列式有两行（列）完全相同，则该行列式为零
 （2）：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号外
 
矩阵
 
矩阵定义：
 
由mxn个数a_ij（i=1,2,…,m；j=1,2,…n）排成的m行n列数表
 
1：特殊矩阵
 
（1）：行数与列数都等于n的矩阵，称为n阶方阵
 （2）：只有一行的矩阵称为行矩阵
 （3）：只有一列的矩阵称为列矩阵
 （4）：元素全都是零的矩阵称为零矩阵。可记为O
 （5）：只有在对角线上存在非零元素的矩阵可称为对角阵。可记为
 
特别地，对角元素均为1的方阵称之为单位阵，可记为
 
 
2：矩阵加减法
 
（默认进行运算的矩阵为同型矩阵）
 
 
运算律：
 
 
3：数乘矩阵
 
（默认进行运算的矩阵为同型矩阵）
 
 运算律：
 
 
4：矩阵乘法
 
定义：设 $$A=(a_{ij}{)}_{m\times s}$$$$B=(b_{ij}{)}_{s\times n}$$那么规定矩阵A于矩阵B的乘积是一个m x n的矩阵$$C=(c_{ij})$$其中$$\begin{gathered} c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+...+a_{is}{b}_{sj} \\ =\sum _{k=1}^s{a}_{ik}{b}_{kj}(i=1,2,...m;j=1,2,...n) \end{gathered}$$
 
运算律：
 
 
5：矩阵的转置
 
定义：
 
把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作：
 
性质：
 
 
6：矩阵的初等变换
 
（1）：交换矩阵的任意两行
 （2）：用一个非零的标量乘于任意一行
 （3）：将任意一行的数倍加到另一行去
 
初等变换的目的是为了把一个矩阵化成简约矩阵的形式
 
7：简约矩阵
 
（1）：对所有的非零行，左边第一个元素称为首元，为1
 （2）：所有的非零行都位于零行的前面，也就是说所有的零行位于矩阵的底部
 （3）：如果某一行的首元位于第j列，则其它行的第j列不存在非零元素（其他行的第j列元素都为零）
 
8：矩阵的秩
 
矩阵A的秩就是A中非零子式的最高阶数