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线代行列式、矩阵知识梳理
2020-05-10 16:43:48线代行列式、矩阵知识梳理 一、行列式 1、注意事项 行列式只有n×n,没有m×n(m!=n) |A+B|!=|A|+|B| 2、行列式性质 转置后行列式值不变 某行有公因数k,可将k提出 两行互换,行列式值变号---------------------...线代行列式、矩阵知识梳理
一、行列式
1、注意事项
- 行列式只有n×n,没有m×n(m!=n)
- |A+B|!=|A|+|B|
2、行列式性质
- 转置后行列式值不变
- 某行有公因数k,可将k提出
- 两行互换,行列式值变号----------------------->行列式两行相同/成比例,则值为0
- 若行列式某行每一项都是两个数的和,则可将行列式拆成两个行列式的和
- 将某行的k倍加到另一行
3、行列式按行/列展开
###### 1.代数余子式的定义
###### 2.重要推论
- 某一行的所有元素与另一行相应元素对应的代数余子式乘积之和为0
3.重要公式
- 上三角与下三角行列式公式
- 分块矩阵公式
- 拉普拉斯
- 范德蒙行列式
4、克拉默法则
# 1.齐次方程组 若系数行列式=0 <-----> 方程组有非零解(无穷多解) 若系数行列式!=0 <-----> 方程组只有0解 # 2.非齐次方程组 系数行列式!=0 <-----> 方程组有唯一解
二、矩阵知识
1、各种概念(同型矩阵、逆矩阵等)
# 1.同型矩阵(A=B) A、B均为m*n矩阵,且对应位置的元素相等,称A和B为同型矩阵,记做A=B # 2.单位矩阵E 主对角线元素全为1 # 3.对角矩阵 主对角线之外的元素皆为0的矩阵 # 4.对称矩阵 矩阵转置后不变的矩阵 # 5.反对称矩阵 矩阵转置后为-1倍的矩阵 # 6.伴随矩阵(Aij) 将矩阵A的第i行第j列去掉后,系数为(-1)^(i+j)的矩阵 # 7.可逆矩阵(必定是n * n的矩阵) 若AB=E,称A是可逆的,B是A的逆矩阵且B唯一
2、矩阵四则运算
# 1.矩阵加法 要求矩阵都是m*n的矩阵 (A+B)+C = A+B+C # 2.矩阵数乘 k(mA)=m(kA)=(mk)A (k+m)A=kA+mA k(A+B)=kA+kB # 3.矩阵乘法 AB:A的列数=B的行数 AB!=BA AB=0 推不出 A=0或B=0 AB=AC,A!=0 推不出B=C
3、矩阵运算法则汇总
4、重要性质
# 1.矩阵A可逆 等价于 |A|!=0 # 2.二阶伴随矩阵:主对角线互换,次对角线负号 # 3.可逆矩阵的逆矩阵唯一 # 4.行矩阵×列矩阵是一个数 而不是一个矩阵
5、如何求可逆矩阵
# 法1、定义法 # 法2、公式法(二阶矩阵常用,因为二阶矩阵的伴随矩阵易得) # 法3.初等行变换(只能用行变换) (A|E)~~~~(E,A^-1) # 法4.分块矩阵的逆矩阵
三、初等矩阵与初等行变换
1、初等行变换
# 1.用非0常数k乘矩阵A某行的所有元素 (倍乘) # 2.互换矩阵A的两行元素 (互换) # 3.将A的某行元素的k倍加到另外一行上 (倍加)
2、初等矩阵(均可逆)
# 1.定义:单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵 # 2.性质:设有初等矩阵P PA 等价于 A作一次与P相同的行变换 AP 等价于 A作一次与P相同的列变换 # 3.初等矩阵均可逆
3、矩阵等价
A矩阵若可以经过有限次初等变换得到B,称二者等价。且等价矩阵的秩相等
4、分块矩阵运算解决矩阵转置、逆矩阵、n次方
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【线代】行列式、矩阵:题型解法、公式一览
2019-09-20 08:56:35【线代】行列式、矩阵:题型解法、公式一览线代相关的公式实在太多太碎了。先开个头,边背边更新,后续对于公式的记忆方法也会慢慢更的。
一、行列式
1. 解法(方阵才有行列式)
具体型(元素已给出):化为12+1(主/副/拉/范),加边法,递推法,数归法(第一/第二)。
抽象型:行列式性质(互换/倍乘/倍加),矩阵知识(A=BC,∴|A|=|B||C|),特征值(|A|=λ1...λn),方程。
代数余子式:def-行列式,伴随矩阵A*,特征值(A11+A22+A33=λ2λ3+λ1λ3+λ1λ2),Mij与Aij。
2. 行列式七个性质
①
② 某行元素为0,行列式值为0。
③ 两行成比例,值为0。
④ 其余行相等,则单行可加。
⑤ 互换两行,值加负号。
⑥ 倍乘,倍到一行上。
⑦ 倍加,值不变。
二、矩阵
1. 求A^n:r(A)=1则A=α^Tβ消去中间,求平方立方找规律,二项展开(可交换时),初等矩阵,相似。
2. 求A-1:A*,A-1,初等阵
3. A* 的10大公式(Anxn,n≥2)
4. A-1的5个性质
5. 求矩阵方程:直接求逆,化方程组,待定元素。
6. 秩的15大公式
7. 分块阵的6个性质
8. 初等矩阵的4个性质
-
8. 行列式、矩阵、方程组、分段函数的 LaTex 表达
2019-03-12 20:45:00 -
线性代数——韦达定理、矩阵行列式、矩阵的迹、矩阵特征值及关系
2020-05-05 22:55:13一、韦达定理回顾 对于一元二次方程(且),设两个根为,。 则: 且易得到:, ...二、矩阵的特征值及特征向量回顾 以下知识点来自吴传生主编的《线性代数》 【知识点1】: 设是阶方阵,如果标量和...本文主要围绕以下定理,并对相关知识点做回顾和扩充。
定理:设
,...,
(实数或者复数,可以重复)是
阶方阵
的
个特征值,即
,则
,
通俗描述即为:矩阵的特征值之和等于矩阵的迹,矩阵的特征值之积等于矩阵的行列式。
以下分为五个部分介绍:
- 韦达定理
- 矩阵行列式
- 矩阵的迹
- 矩阵的特征值及特征向量
- 解释矩阵的特征值之和等于矩阵的迹,之积等于矩阵的行列式
一、韦达定理
韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
1、一元二次方程
对于一元二次方程
(
且
),设两个根为
,
。
则:
且易得到:
,
以上定理交代了两根之和(积)与方程系数的关系。
2、一元三次方程
对于一元三次方程
,设三个根为
,
,
。
易得到:
,
3、一元多次方程
推广定理:韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系,还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。
设复系数一元n次方程
,其中
代表第
次项的系数,
代表常数项。
则
,
即:所有根之和为(n-1)次项系数与n次项系数之比的相反数,所有根之积为常数项与n次项系数之比再乘以
注:该推广形式的证明一般无法根据求根公式进行,因为5次以上的一元方程没有求根公式。证明步骤较繁琐,是通过将左边的多项式因式分解成
之后,再去括号,比较相同次数的项的系数从而得出结论。这个方法具有普遍性,即使是有求根公式的方程,亦可以通过该方法证明韦达定理,而无需借助求根公式。
二、矩阵行列式
1、矩阵行列式的基本介绍
一个
的方阵A的行列式记为det(A)或者|A|,一个2×2矩阵的行列式可表示如下:
把一个
阶行列式中的元素
所在的第
行和第
列划去后,留下来的
阶行列式叫做元素
的余子式,记作
。记
,叫做元素
的代数余子式。例如:
,
,
注意:余子式和代数余子式是行列式中才有的概念。如上所示,此时的
代表行列式,
代表元素
的余子式,
代表元素
的D代数余子式。
命题:n阶行列式det(A)等于它的任一行(列)的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和:
(其中,
可以取任意的行号1,2,3,...,n)
(其中,
可以取任意的列号1,2,3,...,n)
2、矩阵行列式的几何理解
一句话概括之,行列式的本质就是线性变换的放大率(伸缩因子)。
几何理解:
表示
维空间到
维空间的线性变换,假想原来空间中有一个
维的“立方体”(任意形状),其中“立方体”内的每一个点都经过这个线性变换,变成
维空间中的一个新立方体,设原立方体的体积为
,新立方体的体积为
,行列式
。
1)线性变换
理解行列式之前,需要先理解线性变换。
线性代数中的线性变换:转换矩阵
乘以向量
就是对其进行了线性变换,从而得到转换之后的向量
。
线性变化中的“”线性”二字,也就是原来的一条直线,在变换了之后还应该是直线。
任何一个空间都可以由一组基构成,也就是说,这个空间上的任何一个点(向量)都可以由这组基以线性组合的形式得到。
如下图,
也可以写作
(
和
为基向量,
,
)
假设我们有原向量
,变换(旋转)矩阵
,从而得到转换之后的向量
。
从基向量的角度解释:矩阵
对向量
的变换,其实是施加在其基底上的变换,而新的向量
关于新的基底
的线性组合,与原来的向量
是关于基底
的线性组合是一样的。
,
,
,线性组合系数为(2,3),
,
经过矩阵
的线性变换之后变成新的基底
,
,新向量
。
注意:关于旋转矩阵的由来及推导可见《线性代数——线性变换——旋转矩阵(泰勒公式、虚数、欧拉公式)》
所以我们说,一个向量,在经过一个矩阵
的变换之后,改变的是组成向量的基,而这个向量关于基的线性组合方式是没有变化的。
换句话说,对于一个线性变换,我们只需要跟踪其基在变换前后的变化,便可以掌握整个空间的变化。而矩阵
的列其实与变换后新的基底之间有着某些联系,也就是说,新的基底其实就是矩阵
的列向量的线性组合
,其中
是
的列。
以上的图形展现的是“旋转”的线性变化,其本质是改变组成向量的基。接下来我们“推移”是怎么改变基的,如下图。
推移矩阵把
推移到
实际上也是改变了
的基底
。
有原向量
,变换(推移)矩阵
,从而得到转换之后的向量
。
从基向量的角度解释:设
,
,
,线性组合系数为(2,3);
,
经过矩阵
的线性变换之后变成新的基底
,
,新向量
。
2)行列式的几何理解
以上面的旋转矩阵
为例,我们对其求行列式
,意味旋转矩阵的行列式恒等于1,且不改变面积(或体积),如下图二维平面的旋转展示。
即和上面的结论相符:行列式是线性变换的伸缩因子。
且我们容易得到:
-
,对图形起到放大作用;
-
,图形大小没有变化;
-
,对图形起到缩小作用;
-
,矩阵不可逆。
-
,改变了基的“左右手法则”。
3)行列式的性质
由上面我们已经知道,行列式是线性变换的伸缩因子,所以很容易得到:
从“体积”的角度理解为:两次对“体积”的缩放效果是累积的,且和两次操作次序无关。
4)“矩阵
可逆” 完全等价于 “
”
公式推导
由上面我们已知:
且有逆矩阵的性质:
(
为单位矩阵)
结合可得:
如果
,则
,无意义,即
不存在,即矩阵
不可逆。
几何理解
可以理解为线性变换矩阵
把
维立方体给拍扁了(原来
维变成了
维或
维,....),例如把3维立方体拍成2维的纸片,纸片体积多少呢?当然是 0 啦!
注意:这里说的体积都是针对
维空间而言的,
就表示新的立方体在
维空间体积为0,但是可能在
维还是有体积的,只是在
维空间的标准下为0而已。好比一张纸片,“2维体积”也就是面积可以不为0,但是“3维体积”是0。
所以凡是
的矩阵
都是不可逆的,因为这样的变换以后就再也找不到一个矩阵将其变换回去,这样的矩阵必然是没有逆矩阵
的。
详细可参考:
https://www.matongxue.com/madocs/247.html
https://www.zhihu.com/collection/200330229
三、矩阵的迹
1、矩阵的迹的基本介绍
在线性代数中,一个
矩阵
的主对角线(从左上方至右下方的对角线)上各个元素的总和被称为矩阵
的迹(或迹数),一般记作
,
。
四、矩阵的特征值及特征向量
1、矩阵的特征值、特征向量的基本介绍
以下知识点来自吴传生主编的《线性代数》
1)特征值、特征向量
设
是
阶方阵,如果标量
和
维非零列向量
使关系式
成立,则称
是方阵
的特征值,非零列向量
称为
的对应于特征值
的特征向量。
可改写为
。
这是
个未知数
个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充要条件是
,即
2)特征值、特征向量的求解
求n阶方阵的特征值和特征向量的步骤如下:
-
求出n阶方阵A的特征多项式
-
求出特征方程
=0的全部根,
,
,......,
,即为A的特征值。
-
把每个特征值
代入线性方程组
,求出基础解系,就是A对应于
的特征向量,基础解析的线性组合(零向量外)就是A对应于
的全部特征向量。
3)特征值、特征向量的几何解释
上面我们提到,线性变换其实是施加在其基底上的变换,在以
为基底的二维空间中,向量
经过矩阵
变换,变成
,可以观察到,调整后
和
在同一条直线上,但是
相对于
延长了。
此时,我们就称
是
的特征向量,而
的长度是
的长度的
倍,
就是特征值。
所以
可以理解为,
在
的作用下,保持方向不变进行比例为
的伸缩。
如果把矩阵看作是运动,则特征值就是运动的速度,特征向量就是运动的方向。
五、解释矩阵的特征值之和等于矩阵的迹,之积等于矩阵的行列式
1、矩阵的特征值之和等于矩阵的迹
已知求
阶方阵的特征值,即求
阶方阵
的特征多项式
的全部根,即求
的所有
。
由韦达定理可知:设
,其中
代表第
次项的系数,
代表常数项。则
,其中,
为
的系数等于
(当
为奇数时等于-1,偶数时为1);
为
的系数,除了主对角元的乘积
的展开项之外,其他展开项的次数都小于
,因此
次项的系数
就是
中
的系数,等于
(当
为奇数时为负,偶数时为正),则
,即矩阵的特征值之和等于矩阵的迹。
2、矩阵的特征值之积等于矩阵的行列式
1)代数理解
同样根据韦达定理可知,
,其中,
为
的系数等于
(当
为奇数时等于-1,偶数时为1),则可化简为
,已知特征多项式
,我们令
,求得
,
代表
阶方阵
的行列式,即
,矩阵的特征值之积等于矩阵的行列式。
2)几何理解
特征值,理解为通过变换改变了观察者视角,由特征向量产生新的正交基,每个特征值对应着特征向量所在方向上的缩放系数,
行列式,理解为有向体积的缩放系数。
特征值在每个维度上缩放系数之乘积就是总的有向体积缩放系数。
如下图所示,原来的长方体体积
,缩放之后的长方体体积等于。
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