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  • 机器学习数学基础 线性代数 文章目录机器学习数学基础线性代数线性代数行列式1.行列式按行(列)展开定理矩阵矩阵线性运算1.矩阵加法2.矩阵数乘3.矩阵乘法4....向量组与矩阵的秩之...

    机器学习的数学基础

    线性代数

    行列式

    1.行列式按行(列)展开定理

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    矩阵

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    矩阵的线性运算

    1.矩阵的加法

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    2.矩阵的数乘

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    3.矩阵的乘法

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    4. AT、A(-1)、A^*三者之间的关系

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    5.有关A^*的结论

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    6.有关A^(-1)的结论

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    7.有关矩阵秩的结论

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    8.分块求逆公式

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    向量

    1.有关向量组的线性表示

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    2.有关向量组的线性相关性

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    3.有关向量组的线性表示

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    4.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

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    5.n维向量空间的基变换公式及过渡矩阵

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    6.坐标变换公式

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    7.向量的内积

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    8.Schmidt正交化

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    9.正交基及规范正交基

    向量空间一组基中的向量如果两两正交,就称为正交基;若正交基中每个向量都是单位向量,就称其为规范正交基。

    线性方程组

    1.克莱姆法则

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    2. n阶矩阵A可逆⇔Ax=0只有零解。⇔∀b,Ax=b总有唯一解,一般地,r(A_(m×n))=n⇔Ax=0只有零解。

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    3.非奇次线性方程组有解的充分必要条件,线性方程组解的性质和解的结构

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    4.奇次线性方程组的基础解系和通解,解空间,非奇次线性方程组的通解

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    矩阵的特征值和特征向量

    1.矩阵的特征值和特征向量的概念及性质

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    2.相似变换、相似矩阵的概念及性质

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    3.矩阵可相似对角化的充分必要条件

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    4.实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵

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    二次型

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  • 具有C个世界体积通量的D3-D5探针麸系统中的缺陷CFT中的某些非保护标量算子的单点函数可以表示为Heisenberg自旋链的Bethe本征态与矩阵乘积态之间的重叠。 对于这些单点函数,我们给出行列式的封闭表达式,对任何k值都...
  • 2.4.6 MDETERM——计算数组的矩阵行列式的值 86 2.4.7 MINVERSE——计算数组的逆矩阵 87 2.4.8 MMULT——计算两个数组的矩阵乘积 88 2.4.9 MUNIT——返回指定维度的单位矩阵 89 2.4.10 RAND——返回0到1之间的...
  • 3·3 各种平均值之间的关系 3·4 累积金和分期付款 4.各种数列的和 4·1 乘幂数列的和 4·2 差分数列 4·3 通项是n的整式的数列 4·4 分数项数列 4·5 Σanxn(an是等差数列) 4·6 二重数列相似形 5.数学归纳法 5·...
  • 3·3 各种平均值之间的关系 3·4 累积金和分期付款 4.各种数列的和 4·1 乘幂数列的和 4·2 差分数列 4·3 通项是n的整式的数列 4·4 分数项数列 4·5 Σanxn(an是等差数列) 4·6 二重数列相似形 5.数学归纳法 5·...
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  • 然而在实际问题中,常常会出现特征之间出现多重共线性情况,使得行列式的值接近于0,最终造成回归系数无解或者无意义。为了解决这个问题,岭回归算法方法是在线性回归模型目标函数之上添加一个l2正则项,...

    在介绍岭回归算法与Lasso回归算法之前,先要回顾一下线性回归算法。根据线性回归模型的参数估计公式可知可知,得到的前提是矩阵可逆。换句话说就是样本各个特征(自变量)之间线性无关。然而在实际问题中,常常会出现特征之间出现多重共线性的情况,使得行列式的值接近于0,最终造成回归系数无解或者无意义。

    为了解决这个问题,岭回归算法的方法是在线性回归模型的目标函数之上添加一个l2的正则项,进而使得模型的回归系数有解。具体的岭回归目标函数可表示为如下:

    在Python中,岭回归算法的实现方法如下。

    在Python中sklearn算法包已经实现了所有基本机器学习的算法。直接

    from sklearn.linear_model import Ridge,RidgeCV

    就可以调用该算法。

    Iris数据集的加载与预处理已在前文中介绍过,此处不再累述。定义岭回归算法的方法为如下:

    rigdeCV = RidgeCV(alphas=Lambdas,normalize=True,scoring='neg_mean_squared_error',cv=15)

    其中alphas用于指定多个λ值的元组或数组对象,默认该参数包含0.1、1和10三个值。normalize指是否对数据集进行归一化处理。scoring指的是用于评估模型的度量方法,此处为RMSE均分误差。cv指交叉验证的重数。

    此处我使用的是15重交叉验证法确定的λ值。上面Lambdas为logspace方法生成的数组。

    Lambdas = np.logspace(-5,2,200)

    最后训练,测试:

    rigdeCV.fit(X_train,Y_train)

    predictedResult= rigdeCV.predict(X_test)

    注意此处predictedResult为Series不是List。

    此时岭回归算法分类正确率为0.8。

    岭回归算法固然解决了线性回归模型中矩阵不可逆的问题。但岭回归算法无论如何会保留建模时所有的变量,无法降低模型的复杂度。为了克服岭回归算法的缺点,Lasso回归算法被提了出来。

    与岭回归算法类似,Lasso回归算法同样属于缩减性估计。而且在回归系数的缩减过程中,可以将一些不重要的回归系数缩减为0,以打到变量筛选的目的。Lasso回归算法的目标函数为如下:

    具体在Python上实现的方式与岭回归算法类似,先导入liner_model中的LassoCV类,然后就可以使用:

    lasso_cv = LassoCV(alphas=Lambdas,normalize=True,cv=10,max_iter=10000)

    这里max_iter指的是模型最大迭代次数。其它参数与岭回归类似。

    此时Lasso回归算法的准确率为0.8。

    由于岭回归算法和Lasso回归算法的相似性,在本次实验中,二者的分类结果完全相同,分类准确率同为0.8。考虑到线性回归并不是特别适合分类问题,所以这种结果也可以接受。下一步的学习方向是GBDT以及多种算法的综合模型。

    展开全文
  • 然而在实际问题中,常常会出现特征之间出现多重共线性情况,使得行列式的值接近于0,最终造成回归系数无解或者无意义。 为了解决这个问题,岭回归算法方法是在线性回归模型目标函数之上添加一个l2正则项,...

    在介绍岭回归算法与Lasso回归算法之前,先要回顾一下线性回归算法。根据线性回归模型的参数估计公式可知可知,得到的前提是矩阵可逆。换句话说就是样本各个特征(自变量)之间线性无关。然而在实际问题中,常常会出现特征之间出现多重共线性的情况,使得行列式的值接近于0,最终造成回归系数无解或者无意义。

     为了解决这个问题,岭回归算法的方法是在线性回归模型的目标函数之上添加一个l2的正则项,进而使得模型的回归系数有解。具体的岭回归目标函数可表示为如下:

     

    在Python中,岭回归算法的实现方法如下。

     在Python中sklearn算法包已经实现了所有基本机器学习的算法。直接

    from sklearn.linear_model import Ridge,RidgeCV

    就可以调用该算法。

     Iris数据集的加载与预处理已在前文中介绍过,此处不再累述。定义岭回归算法的方法为如下:

    rigdeCV = RidgeCV(alphas=Lambdas,normalize=True,scoring='neg_mean_squared_error',cv=15)

    其中alphas用于指定多个λ值的元组或数组对象,默认该参数包含0.1、1和10三个值。normalize指是否对数据集进行归一化处理。scoring指的是用于评估模型的度量方法,此处为RMSE均分误差。cv指交叉验证的重数。

    此处我使用的是15重交叉验证法确定的λ值。上面Lambdas为logspace方法生成的数组。

    Lambdas = np.logspace(-5,2,200)

    最后训练,测试:

    rigdeCV.fit(X_train,Y_train)
    predictedResult = rigdeCV.predict(X_test)

    注意此处predictedResult为Series不是List。

    此时岭回归算法分类正确率为0.8。

     

     

    岭回归算法固然解决了线性回归模型中矩阵不可逆的问题。但岭回归算法无论如何会保留建模时所有的变量,无法降低模型的复杂度。为了克服岭回归算法的缺点,Lasso回归算法被提了出来。

     与岭回归算法类似,Lasso回归算法同样属于缩减性估计。而且在回归系数的缩减过程中,可以将一些不重要的回归系数缩减为0,以打到变量筛选的目的。Lasso回归算法的目标函数为如下:

    具体在Python上实现的方式与岭回归算法类似,先导入liner_model中的LassoCV类,然后就可以使用:

    lasso_cv = LassoCV(alphas=Lambdas,normalize=True,cv=10,max_iter=10000)

    这里max_iter指的是模型最大迭代次数。其它参数与岭回归类似。

    此时Lasso回归算法的准确率为0.8。

     

    由于岭回归算法和Lasso回归算法的相似性,在本次实验中,二者的分类结果完全相同,分类准确率同为0.8。考虑到线性回归并不是特别适合分类问题,所以这种结果也可以接受。下一步的学习方向是GBDT以及多种算法的综合模型。

    转载于:https://www.cnblogs.com/asagiyukina/p/10853090.html

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  • 三维空间中刚体运动几种描述方式 旋转矩阵 3×3矩阵,冗余,自身带有约束(正交矩阵,且...一个转轴,一个旋转角,紧凑,旋转矩阵之间可以通过罗德里格斯公式进行转换,后面也会涉及到这个公式; 偏航角,...

    三维空间中刚体运动的几种描述方式

    旋转矩阵

    3×3的矩阵,冗余,自身带有约束(正交矩阵,且行列式为1),在下一步的进一步优化的时候较为困难。

    还是要补充下正交矩阵的定义:逆为自身转置的矩阵,一些典型的性质是(各行是单位向量且两两正交,各列是单位向量且两两正交)

    旋转向量和欧拉角

    一个转轴,一个旋转角,紧凑,与旋转矩阵之间可以通过罗德里格斯公式进行转换,后面也会涉及到这个公式;

    偏航角,俯仰角,滚转角,紧凑,万向锁问题

    四元数

    无奇异性,四个自由度。

    补充

    旋转向量—>(罗德里格斯公式)—>旋转矩阵;反之,通过旋转矩阵的迹,以及特征值为1的特征向量求解旋转向量;

    其他转换不再记录,反正都是一系列的公式进行套就行了,只需要知道它们之间可以相互转换即可。

    Eigen

    Eigen:使用的时候,只需要在CMakeLIsts.txt指定Eigen的头文件目录即可include_directoris()

    Eigen的安装:sudo apat-get install libeigen3-dev

    注意:这里一个计算时间的库ctime

    include <iostream>
    using namespace std;
    #include <ctime>
    // Eigen 部分
    #include <Eigen/Core>
    // 稠密矩阵的代数运算(逆,特征值等)
    #include <Eigen/Dense>
    
    #define MATRIX_SIZE 50
    
    /****************************
    * 本程序演示了 Eigen 基本类型的使用
    ****************************/
    
    int main( int argc, char** argv )
    {
        // Eigen 中所有向量和矩阵都是Eigen::Matrix,它是一个模板类。它的前三个参数为:数据类型,行,列
        // 声明一个2*3的float矩阵
        Eigen::Matrix<float, 2, 3> matrix_23;
    
        // 同时,Eigen 通过 typedef 提供了许多内置类型,不过底层仍是Eigen::Matrix
        // 例如 Vector3d 实质上是 Eigen::Matrix<double, 3, 1>,即三维向量
        Eigen::Vector3d v_3d;
       // 这是一样的
        Eigen::Matrix<float,3,1> vd_3d;
    
    
        // Matrix3d 实质上是 Eigen::Matrix<double, 3, 3>
        Eigen::Matrix3d matrix_33 = Eigen::Matrix3d::Zero(); //初始化为零
        // 如果不确定矩阵大小,可以使用动态大小的矩阵
        Eigen::Matrix< double, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic > matrix_dynamic;
        // 更简单的
        Eigen::MatrixXd matrix_x;
        // 这种类型还有很多,我们不一一列举
    
    
        // 下面是对Eigen阵的操作
        // 输入数据(初始化)
        matrix_23 << 1, 2, 3, 4, 5, 6;
        // 输出
        cout << matrix_23 << endl;
    
        // 用()访问矩阵中的元素
        for (int i=0; i<2; i++) {
            for (int j=0; j<3; j++)
                cout<<matrix_23(i,j)<<"\t";
            cout<<endl;
        }
    
        // 矩阵和向量相乘(实际上仍是矩阵和矩阵)
        v_3d << 3, 2, 1;
        vd_3d << 4,5,6;
        // 但是在Eigen里你不能混合两种不同类型的矩阵,像这样是错的
        // Eigen::Matrix<double, 2, 1> result_wrong_type = matrix_23 * v_3d;
        // 应该显式转换
        Eigen::Matrix<double, 2, 1> result = matrix_23.cast<double>() * v_3d;
        cout << result << endl;
    
        Eigen::Matrix<float, 2, 1> result2 = matrix_23 * vd_3d;
        cout << result2 << endl;
    
        // 同样你不能搞错矩阵的维度
        // 试着取消下面的注释,看看Eigen会报什么错
        // Eigen::Matrix<double, 2, 3> result_wrong_dimension = matrix_23.cast<double>() * v_3d;
    
        // 一些矩阵运算
        // 四则运算就不演示了,直接用+-*/即可。
        matrix_33 = Eigen::Matrix3d::Random();      // 随机数矩阵
        cout << matrix_33 << endl << endl;
    
        cout << matrix_33.transpose() << endl;      // 转置
        cout << matrix_33.sum() << endl;            // 各元素和
        cout << matrix_33.trace() << endl;          // 迹
        cout << 10*matrix_33 << endl;               // 数乘
        cout << matrix_33.inverse() << endl;        // 逆
        cout << matrix_33.determinant() << endl;    // 行列式
    
        // 特征值
        // 实对称矩阵可以保证对角化成功
        Eigen::SelfAdjointEigenSolver<Eigen::Matrix3d> eigen_solver ( matrix_33.transpose()*matrix_33 );
        cout << "Eigen values = \n" << eigen_solver.eigenvalues() << endl;
        cout << "Eigen vectors = \n" << eigen_solver.eigenvectors() << endl;
    
        // 解方程
        // 我们求解 matrix_NN * x = v_Nd 这个方程
        // N的大小在前边的宏里定义,它由随机数生成
        // 直接求逆自然是最直接的,但是求逆运算量大
    
        Eigen::Matrix< double, MATRIX_SIZE, MATRIX_SIZE > matrix_NN;
        matrix_NN = Eigen::MatrixXd::Random( MATRIX_SIZE, MATRIX_SIZE );
        Eigen::Matrix< double, MATRIX_SIZE,  1> v_Nd;
        v_Nd = Eigen::MatrixXd::Random( MATRIX_SIZE,1 );
    
        clock_t time_stt = clock(); // 计时
        // 直接求逆
        Eigen::Matrix<double,MATRIX_SIZE,1> x = matrix_NN.inverse()*v_Nd;
        cout <<"time use in normal inverse is " << 1000* (clock() - time_stt)/(double)CLOCKS_PER_SEC << "ms"<< endl;
        
      // 通常用矩阵分解来求,例如QR分解,速度会快很多
        time_stt = clock();
        x = matrix_NN.colPivHouseholderQr().solve(v_Nd);
        cout <<"time use in Qr decomposition is " <<1000*  (clock() - time_stt)/(double)CLOCKS_PER_SEC <<"ms" << endl;
    
        return 0;
    
    }

    CMakeLists.txt重要的是添加如下内容:

    include_directories( "/usr/include/eigen3" )
    

    结果:

    利用Eigen几何模块实现几种表达方式:

    #include <iostream>
    #include <cmath>
    using namespace std;
    #include <Eigen/Core>
    // Eigen 几何模块
    #include <Eigen/Geometry>
    /****************************
    * 本程序演示了 Eigen 几何模块的使用方法
    ****************************/
    
    int main ( int argc, char** argv )
    {
        // Eigen/Geometry 模块提供了各种旋转和平移的表示
        // 3D 旋转矩阵直接使用 Matrix3d 或 Matrix3f
        Eigen::Matrix3d rotation_matrix = Eigen::Matrix3d::Identity();
        // 旋转向量使用 AngleAxis, 它底层不直接是Matrix,但运算可以当作矩阵(因为重载了运算符)
        Eigen::AngleAxisd rotation_vector ( M_PI/4, Eigen::Vector3d ( 0,0,1 ) );     //角度,旋转轴:沿 Z 轴旋转 45 度
        cout .precision(3);
        cout<<"rotation matrix =\n"<<rotation_vector.matrix() <<endl;                //用matrix()转换成矩阵
        // 也可以直接赋值
        rotation_matrix = rotation_vector.toRotationMatrix();
        // 用 AngleAxis 可以进行坐标变换
        Eigen::Vector3d v ( 1,0,0 );
        Eigen::Vector3d v_rotated = rotation_vector * v;
        cout<<"(1,0,0) after rotation = "<<v_rotated.transpose()<<endl;
        // 或者用旋转矩阵
        v_rotated = rotation_matrix * v;
        cout<<"(1,0,0) after rotation = "<<v_rotated.transpose()<<endl;
    
        // 欧拉角: 可以将旋转矩阵直接转换成欧拉角
        Eigen::Vector3d euler_angles = rotation_matrix.eulerAngles ( 2,1,0 ); // ZYX顺序,即roll pitch yaw顺序
        cout<<"yaw pitch roll = "<<euler_angles.transpose()<<endl;
    
        // 欧氏变换矩阵使用 Eigen::Isometry
        Eigen::Isometry3d T=Eigen::Isometry3d::Identity();                // 虽然称为3d,实质上是4*4的矩阵
        T.rotate ( rotation_vector );                                     // 按照rotation_vector进行旋转
        T.pretranslate ( Eigen::Vector3d ( 1,3,4 ) );                     // 把平移向量设成(1,3,4)
        cout << "Transform matrix = \n" << T.matrix() <<endl;
    
    
        // 用变换矩阵进行坐标变换
        Eigen::Vector3d v_transformed = T*v;                              // 相当于R*v+t
        cout<<"v tranformed = "<<v_transformed.transpose()<<endl;
        // 对于仿射和射影变换,使用 Eigen::Affine3d 和 Eigen::Projective3d 即可,略
    
        // 四元数
        // 可以直接把AngleAxis赋值给四元数,反之亦然
        Eigen::Quaterniond q = Eigen::Quaterniond ( rotation_vector );
        cout<<"quaternion = \n"<<q.coeffs() <<endl;   // 请注意coeffs的顺序是(x,y,z,w),w为实部,前三者为虚部
        // 也可以把旋转矩阵赋给它
        q = Eigen::Quaterniond ( rotation_matrix );
        cout<<"quaternion = \n"<<q.coeffs() <<endl;
        // 使用四元数旋转一个向量,使用重载的乘法即可
        v_rotated = q*v; // 注意数学上是qvq^{-1}
        cout<<"(1,0,0) after rotation = "<<v_rotated.transpose()<<endl;
    
        return 0;
    
    }
    
    

     

    CMakeLists.txt文件:

    cmake_minimum_required( VERSION 2.8 )
    project( geometry )
    # 添加Eigen头文件
    include_directories( "/usr/include/eigen3" )
    add_executable( eigenGeometry eigenGeometry.cpp )

    结果:

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