精华内容
下载资源
问答
  • 该函数使用 Leibniz 公式递归地计算行列式,以将行列式计算为 2x2 矩阵行列式之和。 我已经用一个完整的 10x10 符号矩阵对其进行了测试,它运行良好,而使用 det(A) 时,计算机内存不足并停止计算。
  • 行列式与矩阵

    千次阅读 2021-01-08 19:24:38
    低阶行列式计算: 行列式: 矩阵行列式,称之为det,是基于矩阵所包含的行列数据计算得到的标量。本质上是一个数。 1:二阶行列式计算 2:三阶行列式计算 高阶行列式计算: 特殊形式行列式计算: ...

    说明:本公式只针对在二维或三通道的计算机视觉中所遇到的问题,不代表传统意义上数学知识点范围。

    行列式

    行列式概念:

    矩阵的行列式,称之为det,是基于矩阵所包含的行列数据计算得到的标量。本质上是一个数。

    1:二阶行列式计算

    在这里插入图片描述

    2:三阶行列式计算

    在这里插入图片描述

    3:高阶行列式计算:

    高阶行列式计算比较复杂。对于三通道未进行压缩的图像而言,描述该图像的矩阵所计算的det甚至手动计算是几乎不可能的,故在这里不再赘述。

    4:特殊形式行列式计算:

    对角行列式:
    在这里插入图片描述

    上三角和下三角行列式:
    在这里插入图片描述

    5:行列式性质

    (1):行列式与它的转置行列式相同
    (2):互换行列式两行(列),行列式变号
    (3):行列式的某一行(列)中所有元素都乘于同一个数k,等于用k乘于该行列式
    (4):行列式如果有两行(列)成比列,则该行列式为零
    (5):若行列式的某一行(列)的所有元素都是两数之和,则等于对应的两个行列式之和
    (6):行列式的某一行(列)的各元素乘于同一个倍数然后加到另一行(列)所对应的元素上去,行列式不变
    推论:
    (1):若行列式有两行(列)完全相同,则该行列式为零
    (2):行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号外

    矩阵

    矩阵定义:

    mxn个数a_ij(i=1,2,…,m;j=1,2,…n)排成的mn列数表

    1:特殊矩阵

    (1):行数与列数都等于n的矩阵,称为n阶方阵
    (2):只有一行的矩阵称为行矩阵
    (3):只有一列的矩阵称为列矩阵
    (4):元素全都是零的矩阵称为零矩阵。可记为O
    (5):只有在对角线上存在非零元素的矩阵可称为对角阵。可记为在这里插入图片描述

    特别地,对角元素均为1的方阵称之为单位阵,可记为
    在这里插入图片描述

    2:矩阵加减法

    (默认进行运算的矩阵为同型矩阵)
    在这里插入图片描述

    运算律:
    在这里插入图片描述

    3:数乘矩阵

    (默认进行运算的矩阵为同型矩阵)
    在这里插入图片描述
    运算律:
    在这里插入图片描述

    4:矩阵乘法

    定义:设 A = ( a i j ) m × s A = (a_{ij})_{m\times s} A=(aij)m×s B = ( b i j ) s × n B = (b_{ij})_{s\times n} B=(bij)s×n那么规定矩阵A于矩阵B的乘积是一个m x n的矩阵 C = ( c i j ) C =(c_{i j}) C=(cij)其中 c i j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + . . . + a i s b s j = ∑ k = 1 s a i k b k j ( i = 1 , 2 , . . . m ; j = 1 , 2 , . . . n ) c_{ij}=a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + ...+a_{is}b_{sj}\\=\sum\limits_{k=1}^{s} a_{ik}b_{kj} (i=1,2,...m;j =1,2,...n) cij=ai1b1j+ai2b2j+...+aisbsj=k=1saikbkj(i=1,2,...m;j=1,2,...n)

    运算律:
    在这里插入图片描述

    5:矩阵的转置

    定义:

    把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作:在这里插入图片描述

    性质:
    在这里插入图片描述

    6:矩阵的初等变换

    (1):交换矩阵的任意两行
    (2):用一个非零的标量乘于任意一行
    (3):将任意一行的数倍加到另一行去

    初等变换的目的是为了把一个矩阵化成简约矩阵的形式

    7:简约矩阵

    (1):对所有的非零行,左边第一个元素称为首元,为1
    (2):所有的非零行都位于零行的前面,也就是说所有的零行位于矩阵的底部
    (3):如果某一行的首元位于第j列,则其它行的第j列不存在非零元素(其他行的第j列元素都为零)

    8:矩阵的秩

    矩阵A的就是A中非零子式的最高阶数

    展开全文
  • 文章目录一、前言二、矩阵行变换得到上三角阵接着用同样的方法,想办法继续消去第三行中第二列的元素,使其为0,也就是继续对第三行先乘以第二行第二列a11∗a22−a21∗a12a_{11} * a_{22} - a_{21} * a_{12}a11​∗...

    一、前言

      最近一边复习Docker,一边就继续复习和学习线性代数。当然我也想将D3D12系列教程要继续下去,而目前这个系列的教程要继续深入下去,就必须进入以Shader为核心的主题,此时我发现数学其实将成为真正的核心,因为在Shader的编程中基本都是向量、矩阵、颜色等等的计算与变换了。思前想后,干脆先换个话题,将3D数学好好的做一系列教程出来,作为深入Shader编程教程的前置教程。接着我又发现如果只是讲解纯粹的3D数学,并且只是浅尝辄止的类似一般的3D数学的教程的话,要彻底驾驭Shader编程也还是远远不够,这甚至需要深入掌握诸如微积分、线性代数、傅里叶变换、频谱、随机数生成等等系列的数学知识才有可能彻底掌握Shader的编程。其中尤其是线性代数更是核心中的核心。

      基于这样的认知,干脆我就大规模的复习和学习起数学来,并且先以线性代数作为突破口。这篇教程其实是作为一个热身教程推出来,或者也还算不上教程,严格来讲只是一篇学习笔记而已。

      OK,下面就言归正传,开始看一下为什么说判断一个矩阵是否可逆,通过计算它的行列式是否为0就可以了。当然计算行列式的方法以及计算矩阵的逆矩阵的方法也有很多,证明二者同时成立的关系也有很多,其中主要的就是通过计算代数余子式,以及伴随矩阵的方法。通过这个计算过程,对矩阵的伴随矩阵乘以一个矩阵行列式的倒数就得到了矩阵的逆矩阵,这个方法仅仅是在理论上推导出了一个计算逆矩阵的方法,同时也证明了只有矩阵行列式不为0时才可能取其倒数最终计算矩阵的逆矩阵,也就是当矩阵的行列式不为0时,矩阵的逆才存在。实际的计算中,其实没法利用这个方法,一来计算量太大,光计算一个矩阵的行列式值就已经很耗时了,二来这个方法要计算大量的代数余子式,并且其过程很不直观,一般也是很不容易理解的。当然这也是很多线性代数教科书上的标准内容,但我认为以这样的基础来理解矩阵行列式不为0即可求逆的原理来说,是非常困难的。

      在我复习《线性代数及其应用》这本经典教程的过程中,我发现书中给了一个比较直观的说明,也比较容易理解。当然书中并没有基于此给出复杂的证明,只是一个简单的说明,同时也是用了比较小规模的3X3形式的矩阵来做了例证说明而已,并且其过程及其简化,对于喜欢刨根问底的我来说,此时就是自己动手把书上略去的演算过程全部推导一遍。这篇博客就把整个过程详实的推导,记录并分享给大家。这里要提醒各位的是这个不是严格意义上的数学证明,只是一个以一般的3X3矩阵作为例子的演算推导过程,但是它对于我们理解为什么矩阵行列式不为0可求逆的原因有了一个不同角度的认识。

    二、矩阵行变换得到上三角阵

      对于一个一般的3X3矩阵:
    [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} a11a21a31a12a22a32a13a23a33
      做行变换,以便得到上三角阵,首先对上述矩阵的第二行和第三行乘以一个合适的因子 a 11 a_{11} a11之后再减去各自对应的倍数后,可以使第二行和第三行的第一列元素变为0,其中第二行乘以 a 21 a_{21} a21,第三行乘以 a 31 a_{31} a31,过程如下:
    ⇒ [ a 11 a 12 a 13 a 11 ∗ a 21 a 11 ∗ a 22 a 11 ∗ a 23 a 11 ∗ a 31 a 11 ∗ a 32 a 11 ∗ a 33 ] − [ 0 0 0 a 21 ∗ a 11 a 21 ∗ a 12 a 21 ∗ a 13 a 31 ∗ a 11 a 31 ∗ a 12 a 31 ∗ a 13 ] ⇒ [ a 11 a 12 a 13 0 a 11 ∗ a 22 − a 21 ∗ a 12 a 11 ∗ a 23 − a 21 ∗ a 13 0 a 11 ∗ a 32 − a 31 ∗ a 12 a 11 ∗ a 33 − a 31 ∗ a 13 ] \Rightarrow \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{11} * a_{21} & a_{11} * a_{22} & a_{11} * a_{23} \\ a_{11} * a_{31} & a_{11} * a_{32} & a_{11} * a_{33} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ a_{21} * a_{11} & a_{21} * a_{12} & a_{21} * a_{13} \\ a_{31} * a_{11} & a_{31} * a_{12} & a_{31} * a_{13} \end{bmatrix} \\[2ex] \Rightarrow \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{11} * a_{22} - a_{21} * a_{12} & a_{11} * a_{23} - a_{21} * a_{13} \\ 0 & a_{11} * a_{32} - a_{31} * a_{12} & a_{11} * a_{33} - a_{31} * a_{13} \end{bmatrix} a11a11a21a11a31a12a11a22a11a32a13a11a23a11a330a21a11a31a110a21a12a31a120a21a13a31a13a1100a12a11a22a21a12a11a32a31a12a13a11a23a21a13a11a33a31a13

    接着用同样的方法,想办法继续消去第三行中第二列的元素,使其为0,也就是继续对第三行先乘以第二行第二列 a 11 ∗ a 22 − a 21 ∗ a 12 a_{11} * a_{22} - a_{21} * a_{12} a11a22a21a12之后再减去第三行乘以第三行第二列的元素 a 11 ∗ a 32 − a 31 ∗ a 12 a_{11} * a_{32} - a_{31} * a_{12} a11a32a31a12,过程如下:

    ⇒ [ a 11 a 12 a 13 0 ( a 11 ∗ a 22 − a 21 ∗ a 12 ) ( a 11 ∗ a 23 − a 21 ∗ a 13 ) 0 ( a 11 ∗ a 22 − a 21 ∗ a 12 ) ∗ ( a 11 ∗ a 32 − a 31 ∗ a 12 ) ( a 11 ∗ a 22 − a 21 ∗ a 12 ) ∗ ( a 11 ∗ a 33 − a 31 ∗ a 13 ) ] [ 0 0 0 0 0 0 0 ( a 11 ∗ a 32 − a 31 ∗ a 12 ) ∗ ( a 11 ∗ a 22 − a 21 ∗ a 12 ) ( a 11 ∗ a 32 − a 31 ∗ a 12 ) ∗ ( a 11 ∗ a 23 − a 21 ∗ a 13 ) ] \Rightarrow \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & (a_{11} * a_{22} - a_{21} * a_{12}) & (a_{11} * a_{23} - a_{21} * a_{13}) \\ 0 & (a_{11} * a_{22} - a_{21} * a_{12}) * (a_{11} * a_{32} - a_{31} * a_{12}) & (a_{11} * a_{22} - a_{21} * a_{12}) * (a_{11}* a_{33} - a_{31}* a_{13}) \end{bmatrix} \\[2ex] \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & (a_{11}* a_{32} - a_{31}* a_{12}) * (a_{11}* a_{22} - a_{21}* a_{12}) & (a_{11}* a_{32} - a_{31}* a_{12}) * (a_{11} * a_{23} - a_{21} * a_{13}) \end{bmatrix} a1100a12(a11a22a21a12)(a11a22a21a12)(a11a32a31a12)a13(a11a23a21a13)(a11a22a21a12)(a11a33a31a13)00000(a11a32a31a12)(a11a22a21a12)00(a11a32a31a12)(a11a23a21a13)
    这样就得到了与原矩阵等价的如下的上三角阵:(注意上面我们进行的是行初等变换,所以两个矩阵等价)
    ⇒ [ a 11 a 12 a 13 0 ( a 11 ∗ a 22 − a 21 ∗ a 12 ) ( a 11 ∗ a 23 − a 21 ∗ a 13 ) 0 0 ( ( a 11 ∗ a 22 − a 21 ∗ a 12 ) ∗ ( a 11 ∗ a 33 − a 31 ∗ a 13 ) ) − ( ( a 11 ∗ a 32 − a 31 ∗ a 12 ) ∗ ( a 11 ∗ a 23 − a 21 ∗ a 13 ) ) ] \\ \Rightarrow \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & (a_{11} * a_{22} - a_{21} * a_{12}) & (a_{11} * a_{23} - a_{21} * a_{13}) \\ 0 & 0 & ((a_{11} * a_{22} - a_{21} * a_{12}) * (a_{11}* a_{33} - a_{31}* a_{13})) \\ & & - ( (a_{11}* a_{32} - a_{31}* a_{12}) * (a_{11} * a_{23} - a_{21} * a_{13}) ) \end{bmatrix} a1100a12(a11a22a21a12)0a13(a11a23a21a13)((a11a22a21a12)(a11a33a31a13))((a11a32a31a12)(a11a23a21a13))
    其中矩阵主对角线上最后一个元素可以进一步做如下的展开计算:
    ⇒ ( ( a 11 ∗ a 22 − a 21 ∗ a 12 ) ∗ ( a 11 ∗ a 33 − a 31 ∗ a 13 ) ) − ( ( a 11 ∗ a 32 − a 31 ∗ a 12 ) ∗ ( a 11 ∗ a 23 − a 21 ∗ a 13 ) ) ⇒ ( a 11 ∗ a 22 ∗ a 11 ∗ a 33 − a 11 ∗ a 22 ∗ a 31 ∗ a 13 − a 21 ∗ a 12 ∗ a 11 ∗ a 33 + a 21 ∗ a 12 ∗ a 31 ∗ a 13 ) − ( a 11 ∗ a 32 ∗ a 11 ∗ a 23 − a 11 ∗ a 32 ∗ a 21 ∗ a 13 − a 31 ∗ a 12 ∗ a 11 ∗ a 23 + a 31 ∗ a 12 ∗ a 21 ∗ a 13 ) ⇒ a 11 ∗ a 22 ∗ a 11 ∗ a 33 − a 11 ∗ a 22 ∗ a 31 ∗ a 13 − a 21 ∗ a 12 ∗ a 11 ∗ a 33 + a 21 ∗ a 12 ∗ a 31 ∗ a 13 − a 11 ∗ a 32 ∗ a 11 ∗ a 23 + a 11 ∗ a 32 ∗ a 21 ∗ a 13 + a 31 ∗ a 12 ∗ a 11 ∗ a 23 − a 31 ∗ a 12 ∗ a 21 ∗ a 13 ⇒ a 11 ∗ a 22 ∗ a 11 ∗ a 33 − a 11 ∗ a 22 ∗ a 31 ∗ a 13 − a 21 ∗ a 12 ∗ a 11 ∗ a 33 − a 11 ∗ a 32 ∗ a 11 ∗ a 23 + a 11 ∗ a 32 ∗ a 21 ∗ a 13 + a 31 ∗ a 12 ∗ a 11 ∗ a 23 ⇒ a 11 ∗ ( a 11 ∗ a 22 ∗ a 33 − a 13 ∗ a 22 ∗ a 31 − a 12 ∗ a 21 ∗ a 33 − a 11 ∗ a 23 ∗ a 32 + a 13 ∗ a 21 ∗ a 32 + a 12 ∗ a 23 ∗ a 31 ) ⇒ a 11 ∗ ( a 11 ∗ a 22 ∗ a 33 + a 13 ∗ a 21 ∗ a 32 + a 12 ∗ a 23 ∗ a 31 − a 13 ∗ a 22 ∗ a 31 − a 12 ∗ a 21 ∗ a 33 − a 11 ∗ a 23 ∗ a 32 ) \Rightarrow ((a_{11} * a_{22} - a_{21} * a_{12}) * (a_{11}* a_{33} - a_{31}* a_{13})) \\- ( (a_{11}* a_{32} - a_{31}* a_{12}) * (a_{11} * a_{23} - a_{21} * a_{13}) ) \\[2ex] \Rightarrow (a_{11} * a_{22} * a_{11} * a_{33} - a_{11} * a_{22} * a_{31}* a_{13} - a_{21} * a_{12} * a_{11} * a_{33} + a_{21} * a_{12} * a_{31}* a_{13} )\\ -(a_{11}* a_{32} * a_{11} * a_{23} - a_{11}* a_{32} * a_{21} * a_{13} - a_{31}* a_{12} * a_{11} * a_{23} + a_{31}* a_{12} * a_{21} * a_{13} ) \\[2ex] \Rightarrow a_{11} * a_{22} * a_{11} * a_{33} - a_{11} * a_{22} * a_{31}* a_{13} - a_{21} * a_{12} * a_{11} * a_{33} + a_{21} * a_{12} * a_{31}* a_{13} \\- a_{11}* a_{32} * a_{11} * a_{23} + a_{11}* a_{32} * a_{21} * a_{13} + a_{31}* a_{12} * a_{11} * a_{23} - a_{31}* a_{12} * a_{21} * a_{13} \\[2ex] \Rightarrow a_{11} * a_{22} * a_{11} * a_{33} - a_{11} * a_{22} * a_{31}* a_{13} - a_{21} * a_{12} * a_{11} * a_{33} \\- a_{11}* a_{32} * a_{11} * a_{23} + a_{11}* a_{32} * a_{21} * a_{13} + a_{31} * a_{12} * a_{11} * a_{23} \\[2ex] \Rightarrow a_{11} * (a_{11} * a_{22} * a_{33} - a_{13} * a_{22} * a_{31} - a_{12} * a_{21} * a_{33} \\- a_{11} * a_{23} * a_{32} + a_{13} * a_{21} * a_{32} + a_{12} * a_{23} * a_{31} ) \\[2ex] \Rightarrow a_{11} * (a_{11} * a_{22} * a_{33} + a_{13} * a_{21} * a_{32} + a_{12} * a_{23} * a_{31} \\- a_{13} * a_{22} * a_{31} - a_{12} * a_{21} * a_{33} - a_{11} * a_{23} * a_{32} ) ((a11a22a21a12)(a11a33a31a13))((a11a32a31a12)(a11a23a21a13))(a11a22a11a33a11a22a31a13a21a12a11a33+a21a12a31a13)(a11a32a11a23a11a32a21a13a31a12a11a23+a31a12a21a13)a11a22a11a33a11a22a31a13a21a12a11a33+a21a12a31a13a11a32a11a23+a11a32a21a13+a31a12a11a23a31a12a21a13a11a22a11a33a11a22a31a13a21a12a11a33a11a32a11a23+a11a32a21a13+a31a12a11a23a11(a11a22a33a13a22a31a12a21a33a11a23a32+a13a21a32+a12a23a31)a11(a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31a13a22a31a12a21a33a11a23a32)
    最后就可以发现,上述公式,其实就是 a 11 a_{11} a11乘以原矩阵的行列式:

    a 11 ∗ ( a 11 ∗ a 22 ∗ a 33 + a 13 ∗ a 21 ∗ a 32 + a 12 ∗ a 23 ∗ a 31 − a 13 ∗ a 22 ∗ a 31 − a 12 ∗ a 21 ∗ a 33 − a 11 ∗ a 23 ∗ a 32 ) ⇒ a 11 ∗ d e t ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ a_{11} * (a_{11} * a_{22} * a_{33} + a_{13} * a_{21} * a_{32} + a_{12} * a_{23} * a_{31}- a_{13} * a_{22} * a_{31} - a_{12} * a_{21} * a_{33} - a_{11} * a_{23} * a_{32} ) \\[2ex] \Rightarrow a_{11} * det \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} a11(a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31a13a22a31a12a21a33a11a23a32)a11deta11a21a31a12a22a32a13a23a33

    根据上三角阵的性质,以及矩阵主元的性质,要使原矩阵可逆,那么等价的上三角阵中主对角线上的元素就不能为0,此时就有:

    { a 11 ≠ 0 ( a 11 ∗ a 22 − a 21 ∗ a 12 ) ≠ 0 a 11 ∗ ( a 11 ∗ a 22 ∗ a 33 + a 13 ∗ a 21 ∗ a 32 + a 12 ∗ a 23 ∗ a 31 − a 13 ∗ a 22 ∗ a 31 − a 12 ∗ a 21 ∗ a 33 − a 11 ∗ a 23 ∗ a 32 ) ≠ 0 \begin{cases} a_{11} \neq 0\\[2ex] (a_{11} * a_{22} - a_{21} * a_{12}) \neq 0\\[2ex] a_{11} * (a_{11} * a_{22} * a_{33} + a_{13} * a_{21} * a_{32} + a_{12} * a_{23} * a_{31}\\ \qquad- a_{13} * a_{22} * a_{31} - a_{12} * a_{21} * a_{33} - a_{11} * a_{23} * a_{32} ) \neq 0 \end{cases} a11=0(a11a22a21a12)=0a11(a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31a13a22a31a12a21a33a11a23a32)=0
    根据以上条件,最终就有:
    ( a 11 ∗ a 22 ∗ a 33 + a 13 ∗ a 21 ∗ a 32 + a 12 ∗ a 23 ∗ a 31 − a 13 ∗ a 22 ∗ a 31 − a 12 ∗ a 21 ∗ a 33 − a 11 ∗ a 23 ∗ a 32 ) ≠ 0 ⇒ ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ ≠ 0 (a_{11} * a_{22} * a_{33} + a_{13} * a_{21} * a_{32} + a_{12} * a_{23} * a_{31} \\- a_{13} * a_{22} * a_{31} - a_{12} * a_{21} * a_{33} - a_{11} * a_{23} * a_{32} ) \neq 0 \\[2ex] \Rightarrow \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \neq 0 (a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31a13a22a31a12a21a33a11a23a32)=0a11a21a31a12a22a32a13a23a33=0
      这样就说明了矩阵可逆就要判定其行列式是否为0的原因,其实从推导过程中可以看出,矩阵行列式的值实质上是蕴含在了将原矩阵通过初等行变换变为上三角阵的过程中,只是过程中的式子有些复杂,对于高于3阶的一般矩阵来说,推导的过程就显得有些啰嗦庞杂了,这估计也是为什么一般的线性代数教科书上不已此为基础来证明矩阵可逆通过判定其行列式是否为0的定理的原因了。或者说,矩阵的初等行变换本身就蕴含了矩阵行列式的计算过程,最终主对角线上的最后一个元素中就包含了矩阵行列式因子,这个因子不为0才能保证该元素不为0,是最终保证矩阵等价上三角阵主对角元素不为0 的一个充分条件,而只是上三角阵主对角元素都不0时,上三角阵才可逆,从而原矩阵可逆。

    展开全文
  • 线性代数笔记7——再看行列式与矩阵

    万次阅读 多人点赞 2018-05-30 17:35:11
    前面的文章已经对行列式矩阵做了简单介绍,在经过向量平面方程的铺垫后,让我们以新的视角去审视行列式与矩阵行列式  如果有两个向量<a1, a2>和<b1, b2>,那么这两个向量组成...

      前面的文章已经对行列式和矩阵做了简单介绍,在经过向量与平面方程的铺垫后,让我们以新的视角去审视行列式与矩阵。

    行列式

      如果有两个向量<a1, a2>和<b1, b2>,那么这两个向量组成的行列式是:

     

      看起来只是表示一个简单的计算,仅仅计算了一个数值,但是别忘了,行列式是由向量组成的,它一定会表示向量间的某种关系。

      在《线性代数笔记4——向量3(叉积)》中我们看到,二阶行列式表示了二维平面中以两个向量为临边的平行四边形的面积;三阶行列式表示在三维空间中以三个向量为临边的平行六面体的体积;推广到n维空间,n阶行列式表示在n维空间中图形的n维体积。实际上我们无法有效表示出三维以上的空间。对于物理世界中更多维的空间,绝大多数人都无法想象,但是数学却可以给出明确的定义。

      对于n维空间的行列式,可以表示为:

    Dn = |An×n|

      其中A是一个n×n的矩阵。

      行列式是由向量引出的,解释的也是向量的性质,在看到行列式时一定要在头脑中映射出向量,实际上线性代数的本质就是对向量的研究。

    行列式的性质

      性质1,如果Dn= |A|中某行的元素全为0,那么Dn = 0

      这个性质较为明显,在多维空间中,行列式表示的是体积,如果其中一个维度的模为0,那么体积也是0。

     

      性质2,如果Dn= |A|中某两行元素对应成比例,那么Dn = 0

      很多时候我们都喜欢用实例推导性质,像下边这样:

      或者用代数形式:

     

      但是性质应当由定义推导,然后用计算去验证,而不是用计算去推导。现在我们尝试用行列式的定义去推导。行列式表示的是向量间的关系,以二维空间为例,如果某两行元素对应成比例,那么说明一种一个向量是另一个向量的延伸,它们的夹角是0°或180°,即二者平行,两个平行的向量围成的面积是0:

     

      性质3,如果Dn= |A|中某两行元素互换,那么互换后的行列式变号,即|A|= -|A|

      两个向量的模长是a和b,与x轴的夹角分别是α和β,如下图所示:

      平行四边形的面积:

      如果两个向量互换:

     

      在代数学中,角度、面积、体积可以是负的。用计算去验证:

     

      性质4,倍乘性质

     

      实际上是将外部的k乘到其中的一行,把平行四边形的一条边扩大k倍,则面积也扩大了k倍,如下图所示:

      需要注意的是行列式与矩阵的区别,矩阵扩大k倍是将矩阵中的全部元素都乘以k(矩阵中的每个元素都对应了一个向量的分量,这在下文关于矩阵的介绍中会有所说明),这将有下面的关系:

      性质5,倍加性质

     

      对于更高阶的行列式也一样。下图平行四边形的斜边展示了一个向量加上另一个向量的k倍:

      两个平行四边形的面积是相同的,所以倍加公式成立。

     

      性质6,单行可拆(加)性

      其中*号表元素完全相同,从左到右叫加,从右到左叫拆。以二阶行列式为例:

     

      为了简单,将<b1,b2>和<a1,a2>分别设置在两个坐标轴上,如下图示:

      <a1,a2><b1,b2>所围平行四边形面积是a2 b2,<a1,a2><c1,c2>所围平行四边形面积是a2 c2,<a1,a2>< b1+c1, b2+c2>所围平行四边形面积是a2(b2+c2),由此可见性质6成立。

     

      性质7,以上所有作用于行的性质也可以作用于列上,即|A| = |AT|

    行列式的意义

      行列式是由向量组成的,当Dn = |A| ≠ 0 时,意味着组成|A|的向量全部独立。所谓独立,就是向量围成的n维空间中图形的n维体积不为0。这似乎没有太大价值,但是如果把行列式转换为方程组就意义重大了,以二阶行列式为例:

      可以看到,对于全部独立的向量,方程组有唯一解,否则方程组无解或有无数解。当|A| ≠ 0时,说明至少有一个向量是“多余”的,正是这个多余的向量使得n维体积为0。以阶行列式为例,当体积为0时,说明三个向量在同一平面内,这意味着,一定可以通过倍乘和倍加性质用另外两个向量表示第三个向量,从而完全消除第三个向量。N元一次方程组需要N个完全不同的等式,现在少了一个等式,所以无法得到唯一解。

      线性代数研究的是向量之间的关系,向量间最重要的关系就是独立或不独立,行列式是否等于0正是这种关系的有效描述。

    行列式的计算

      这里只介绍三阶行列式的计算,更多阶还是交给计算机吧。

     

    矩阵

      矩阵在前几章已经有过介绍,这里需要强调的是,矩阵是由向量组成的。

     

      从列上看,A由n个m维列向量组成:

     

      从行上看,A由m个n维行向量组成:

     

    矩阵的秩

      如果一个矩阵Am×n存在k阶子式不为0,且任意k+1阶子式全为0,称这个矩阵的秩是k,r(A)=k。

      子式是行列式,如果A是一个3×4矩阵,它的一个2阶子式和一个3阶子式是:

      这有什么用呢?

      在行列式的意义中我们提到:向量间最重要的关系就是独立或不独立,行列式是否等于0正是这种关系的有效描述。由此看来,矩阵的秩r(A) = k表示矩阵中一定存在一个k阶行列式,这个行列式中的向量全部独立;且矩阵中对于任意k+1阶子式,都存在至少一个多余的向量。简言之,秩意味着矩阵中有且仅有k个独立向量。

    行阶梯形矩阵

      行阶梯矩阵是非零矩阵,它满足这样的性质:1)如果有0行,则0行种最下方;2)从行上看,从左边起,出现连续0的个数自上而下严格递增,如下所示:

      若行阶梯矩阵还满足:1)台角位置元速为1;2)台角正上方元素全为0,则称该矩阵为行最简阶梯矩阵,如下所示:

     

      这有什么用呢?还是联系向量来看问题,在行阶梯矩阵中,阶梯数就是矩阵中独立向量的个数,也就是矩阵的秩;如果矩阵的秩是k,该矩阵一定能通过“初等变换”转化为阶梯矩阵,进而转化为行最简阶梯矩阵。

    矩阵的初等变换

      在经过变换后,矩阵表示的“数表”改变了,但是如果将矩阵看方程组,那么方程组的本质没有变,可以将初等变换看成方程组的消元过程。

      变换1 ,互换变换

     

      变换2,倍率变换

     

      变换3,倍加变换

     

    可逆矩阵与行最简阶梯矩阵

      先给出结论,可逆矩阵一定能够通过若干次变换,转换成同阶单位矩阵,如下所示:

     

      示例

      将下列两个矩阵化为行最简阶梯矩阵:

     

      1) A3×3

      首先计算矩阵的秩,A的最高阶子式是3阶。根据矩阵的性质:某行的元素全为0,那么Dn = 0;|A| = |AT|,所以D3=0。

      现在取一个二阶子式:

      所以矩阵的秩r(A) = 2,这说明矩阵有2个独立向量,或者说矩阵中的第三个向量是多余的,因此矩阵可变换为:

     

      再来看D2,因为D2≠0,所以D2组成的矩阵可逆,也就是:

     

      由此看来可逆的矩阵一定没有多余向量。既然方程组有唯一解,那么矩阵必然能够最终变换为右侧单位矩阵的形式,由此,A的行最简阶梯矩阵是:

     

     

      2) A4×3

      4×3矩阵,必然有矩阵的秩r(A) ≤ 3,说明行向量中一定有至少一个是多余的。由于行向量之间没有明显的倍数关系,所以我们将最右一行视为多余向量:

     

      经过倍加变换:

     

      此时可以看出,<0,9,10>和<0,-1,1>围成的平行四边形面积不为0,<1,2,3>是空间向量,与前两者不在同一维度,所以:

     

      D3对应的矩阵有逆矩阵,并且可变换为同阶单位矩阵,所以:

     

     


    作者:我是8位的

    出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

    本文以学习、研究和分享为主,如需转载,请联系本人,标明作者和出处,非商业用途! 

    扫描二维码关注公众号“我是8位的”

     

    展开全文
  • 使用java实现矩阵行列式的计算,下载者可根据自身需要进行修改
  • 矩阵的基础知识与公式(转置,逆,迹,行列式) References: MatrixCookBook(Version 2012) Chapter1 Chapter1: Basics 1 Basics 注:AH{A^H}AH是A的Transposed and complex conjugated matrix (Hermitian),即...

    矩阵的基础知识与公式(转置,逆,迹,行列式)

    References: MatrixCookBook(Version 2012) Chapter1

    Chapter1: Basics

    1 Basics

    Basics

    A H {A^H} AH是A的Transposed and complex conjugated matrix (Hermitian),即转置复共轭矩阵。

    1.1 矩阵的迹(Trace)

    Trace

    式子(11)表明矩阵的迹是主对角线元素的和。
    式子(12)表明矩阵的迹是矩阵的特征值的和。
    式子(13)表明矩阵的迹等于其转置矩阵的迹。
    式子(14)表明AB的迹等于BA的迹。
    式子(15)表明A+B的迹等于A的迹加B的迹。
    式子(16)表明ABC的迹等于BCA的迹等于CAB的迹。
    式子(17)表明一个nx1的向量aa的转置乘以a所得的常数等于a乘以a的转置所得矩阵的迹。

    1.2 行列式(Determinant)

    Determinant

    Determinant

    前提:此处的A是nxn矩阵。
    式子(18)表明矩阵的行列式等于特征值的连乘积。
    式子(19)表明cA的行列式等于A的行列式的 c n {c^n} cn倍。
    式子(20)表明矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式。
    式子(21)表明矩阵AB的行列式等于矩阵A的行列式乘以矩阵B的行列式。
    式子(22)表明矩阵 A − 1 {A^{-1}} A1的行列式等于矩阵A的倒数。
    式子(23)表明矩阵 A n {A^n} An的行列式等于矩阵A的行列式的n次幂。
    式子(24)表明如果uvnx1向量,那么 I + u v T {I+uv^T} I+uvT的行列式等于 1 + u T v {1+u^Tv} 1+uTv的值。
    式子(25)表明如果A2x2矩阵,I+A的行列式等于 1 + d e t ( A ) + T r ( A ) {1+det(A)+Tr(A)} 1+det(A)+Tr(A),即1+A的行列式+A的迹。
    式子(26)表明如果A3x3矩阵,I+A的行列式等于 1 + d e t ( A ) + T r ( A ) + 1 2 T r ( A ) 2 − 1 2 T r ( A 2 ) {1+det(A)+Tr(A)+\frac{1}{2}Tr(A)^2-\frac{1}{2}Tr(A^2)} 1+det(A)+Tr(A)+21Tr(A)221Tr(A2)
    式子(27)不表。
    式子(28)表示对于微小扰动 ε \varepsilon ε,可以将 ε A \varepsilon A εA近似作为2x2形式处理

    1.3 特例:2x2矩阵

    2x2Matrix

    2x2矩阵有着以上的性质与结论。


    如果觉得文章对您有帮助的话,可以点个赞,是对博主最大的肯定!

    展开全文
  • 【线代】行列式矩阵:题型解法、公式一览
  • 证明∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣|AB|=|A|·|B|∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣ 证明如下: 证明当A是对角阵的时候,∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣|AB|=|A|·|B|∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣ 设A={k10⋯00k2⋯0⋮⋮⋯⋮00⋯kn}A=\begin{Bmatrix} k_1&...
  • 矩阵行列式 和 一系列的数学公式

    千次阅读 2018-03-21 20:30:24
    矩阵的一点知识 一点黑科技 积性函数 常见的积性函数有 除数函数σk(n)=∑d|ndk,表示n的约数的k次幂和,注意σk(n)σk(n)是不同的。 约数个数函数τ(n)=σ0(n)=∑d|n1,表示n的约数个数,一般也写为d(n)。...
  • 行列式矩阵微分

    2020-12-09 16:17:39
    矩阵微分: 行列式的微分:https://zhuanlan.zhihu.com/p/144255438
  • 矩阵行列式的计算及逆矩阵转换

    千次阅读 2018-09-18 22:40:48
    首先将矩阵储存在vector的二维数组中,接着开始进行行之间的·换算。使矩阵转换为上三角形式。 以下是代码: void CJZCalculate3Dlg::det() { vector&lt;vector&lt;double &gt; &gt;...
  • 感觉矩阵行列式这两个跟很多东西都有关而且接触最少 所以先从它们开始补>w P.S.看了很多资料,他们对矩阵行列式这些东西的介绍都很丧病…我会尽量用通俗的语言来写我的笔记= =如果您不喜欢这种风格QAQ那我也没...
  • 矩阵的转置矩阵行列式等于这个矩阵行列式。 ,注意因子反转的次序。以此可推出方块矩阵A是可逆矩阵,当且仅当AT是可逆矩阵,在这种情况下有 (A−1)T= (AT)−1。 两个纵列向量a和b的点积可...
  • matlab开发-矩阵行列式使用Heleibniz公式递归。计算任何符号平方矩阵行列式
  • 线代行列式矩阵知识梳理

    千次阅读 2020-05-10 16:43:48
    线代行列式矩阵知识梳理 一、行列式 1、注意事项 行列式只有n×n,没有m×n(m!=n) |A+B|!=|A|+|B| 2、行列式性质 转置后行列式值不变 某行有公因数k,可将k提出 两行互换,行列式值变号---------------------...
  • 行列式的定义: 用"莱布尼兹展开法"求行列式的值 个人笔记: 鸣谢: https://en.wikipedia.org/wiki/Determinanthttps://en.wikipedia.org/wiki/Determinant
  • 矩阵的求法行列式初等变换 在前面我们以学习了用公式求逆矩阵,但当矩阵A的阶数较大时,求A*很繁琐,此方法不实用,因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵,那么如何找到一种简单的方法呢?
  • 矩阵1 矩阵行列式2 伴随矩阵3 逆矩阵3.1 逆矩阵概念3.2 逆矩阵的性质 1 矩阵行列式 方阵的行列式:将矩阵中的元素拿出来,用行列式的形式表示 A=[2,2,23,3,31,1,1]    ∣A∣=∣2,2,23,3,31,1,...
  • 矩阵行列式求法

    千次阅读 2021-01-26 14:50:50
    矩阵AAA的行列式可表示为∣A∣|A|∣A∣或det(A)det(A)det(A),求法如下: 二阶行列式: ∣abcd∣=ad−bc\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{vmatrix}=ad-bc∣∣∣∣​ac​bd​∣∣∣∣​=ad−bc 三阶...
  • 如果矩阵A中m等于n,称为矩阵A为n阶矩阵(或n阶方阵)从左上到右下的对角线为主对角线,从右上到左下的对角线为次对角线行列式在数学中,是一个函数,其定义域为det的矩阵A,取值为一个标...
  • 矩阵基础概念之行列式与

    千次阅读 2018-11-13 16:15:53
    矩阵基础概念及运算 1. 矩阵的线性运算 性质 1.1 设矩阵A,B,C,DA,B,C,DA,B,C,D为同型矩阵,OOO为零矩阵,k,lk,lk,l为任意常数,则有 A+B=B+AA+B = B+AA+B=B+A (交换律) (A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C = A+(B+C)(A+B)+C...
  • 行列式公式

    千次阅读 2019-05-06 22:14:49
    n*n矩阵A的行列式可按任意行或列的余因子展开式来计算。按第i行展开用 Cij = (-1)i+j det Aij 式给出的余因子写法可写成: det A = ai1Ci1 + ai2Ci2 +…+ainCin 按第j列的余因子展开式为: detA = a1jC1j + a2jC2j +...
  • 矩阵 本质:矩阵是个数表;从线性变换的视角看,矩阵是记录线性变换这一过程的描述信息。记为 Am×nA_{m\times n}Am×n​ 或 A={aij}A=\{a_{ij}\}A={aij​} 或 A={aij}m×nA=\{a_{ij}\}_{m\times n}A={aij​}m×n​...
  • 2020年李永乐线性代数强化笔记-行列式与矩阵

    千次阅读 多人点赞 2020-09-18 18:10:09
    2020年李永乐线性代数强化笔记-行列式与矩阵 文章目录 1 行列式 2 矩阵 1 行列式 2 矩阵 按照自己的节奏前进,万变不离其宗。
  • 矩阵行列式的计算

    千次阅读 2019-12-14 10:34:28
    计算n阶行列式之前,我们首先需要知道余子式代数余子式的概念: 在n阶行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列划去,留下来的n-1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij,令Aij=(-1)i+jMij,并称之为aij的代数...
  • 在通信系统中,多径传播的包络一维分布为...典型案例是由同相分量和正交分量的联合概率密度函数求一维包络和相位的联合概率密度函数,本文具体讲解雅各比行列式在概率密度函数坐标系转换中的应用,给出详细的证明过程。
  • 课程简介18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课,课程视频以及相关资料...课程笔记基于 MIT18.06线性代数课程笔记18:矩阵行列式的性质 中三个基础性质推出的矩阵行列式公式。然后介绍了利用代数余子式从
  • 分块矩阵计算行列式三板斧

    万次阅读 多人点赞 2020-02-24 14:23:57
    第一板斧:上下三角分块 第二板斧: 对角为0零的分块 第三板斧: 全分块 小招:A^2 - B^2 其他招式: 利用特征值计算行列式
  • 矩阵/行列式的意义

    万次阅读 多人点赞 2017-02-24 16:34:24
    一、代数意义 矩阵乘法规则看起来比较复杂,不容易理解其乘法规则背后隐含的意义。现举一个例子说明矩阵乘法的意义。如下图所示,一个商店出售Beef pie,...我们可以创建一个以不同pie单价为元素的1X3的矩阵
  • 以上定理交代了两根之和(积)方程系数的关系。 依次类推: 对于一元三次方程,设三个根为,,。 易得到:, 故对于一元次的方程,我们可以表示为,其中代表第次项的系数,代表常数项。 则, 二、矩阵的特征...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 10,350
精华内容 4,140
关键字:

行列式与矩阵之间的公式