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  • 行列式拉普拉斯定理如何按多行(列)展开
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    2020-12-29 08:08:18

    因为你只问了怎么按多行展开。所以我也就只说明如何按多行展开。如果你还要求证明,那你到时候再补充的问我,我再给你回答。

    一个行列式按指定的k行展开,指的是:先找出这k行的全部k阶子式,然后让这些k阶子式都乘以它们的代数余子式,再将所有的这些乘积求和,最后这个和就等于原来那个行列式。这就是行列式按k行进行拉普拉斯展开的定义。

    当然我们,还要解释这个定义当中的一些名词。而且我们还会对k=2进行一个具体的解释。

    首先讲什么是一个行列式中的一部分元素(实际上是由这部分元素组成的矩阵)的一个k阶子式(如定义中的k行的一个k阶子式),它是指在这部分元素中(指在这个矩阵中)选定k行k列,则由这k行k列的交叉点对应的元素组成的行列式。

    再接着讲一个行列式的某个k阶子式的余子式。首先设这个行列式是n阶行列式且n>k>0。因为我们说的那个某个k阶子式一定占有了这个行列式的K个行和K个列,所以将这个行列式的这k个行和这k个列都划去,则这个行列式还剩下了,正好是n-k个行,n-k个列,因此这剩下的n-k个行,n-k个列组成的行列式,就称为某个k阶子式的余子式。

    最后再说明一个行列式的某个k阶子式的代数余子式。刚才已经讲过了某个k阶子式的余子式。这个代数余子式就是我们讲的那个余子式乘以一个(-1)^m。下面只要算出m等于几就可以了。这就需要我们知道某个k阶子式在原来那个行列式中是在哪几行?哪几列?我们记录这个K阶子式在原来行列式中是在i1行,i2行,i3行,………,ik行;而且是在j1列,j2列,j3列,………,jk列,则m=i1+i2+i3+………+ik+j1+j2+

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    行列互换,值不变(行列具有相同的性质);
    某行全为0,值为0(零向量组成的面积为0);
    某行元素都有公因子k,则k可提到外面(反过来说外面的一个数k乘到行列式里面也只是乘到某一行中来改变一个向量从而使面积扩大k倍);
    某行元素如果是另外两个元素的和,则可以拆成两个行列式的和(其中除了这一行元素,其他行必须一摸一样);互换两行,值反号(代数讲,二阶行列式面积可负?);两行元素呈比例,值为0(两向量平行没有面积);
    某行元素的k倍加到其他行中,值不变(由上面的性质可证)—互换、倍乘、倍加被叫作初等变换(后面的矩阵部分提出)

    3.行列式的逆序数法定义:
    首先来认识几个概念,
    排列:由n个数组成的一个有序数组被称作一个n级排列(注意一个n级排列必须是从1到n一个数都不能漏,都必须乖乖出现,n级排列一共有n!个)
    逆序:在一个排列中,如果位于前面的数大于后面的数,那么这两个数构成逆序
    逆序数:一个排列中,逆序的总数
    奇排列和偶排列:即看逆序数是奇数还是偶数
    有了上述的知识,对n阶行列式定义:
    先在行列式中找n个元素(这n个元素必须满足不在同行同列的条件),然后这样的n个元素一共可以找到n!个。(这里注意是把行固定了顺序都是从第一行依次到最后一行,所以我们只需要看列的逆序数来判断是否有负号。)结果显然已经很明显了,就是把找到的每一组n个元素求积后加起来,至于每项是否有负号,直接看该项列的逆序数—可以直接推出2阶行列式和3阶行列式的计算公式

    4.行列式的展开定理:(第三种定义)
    余子式:在n阶行列式中,去掉aij所在的一行一列,剩下的元素组成一个n-1阶行列式,这个行列式就是aij的余子式,记作Mij
    代数余子式:代数余子式Aij=(-1)i+j余子式Mij
    行列式按某一行展开公式:一行的每个元素乘以它的代数余子式再求和
    (注意:上述定义中,我们一般用几何定义和逆序数定义来加深对行列式的理解和性质的理解证明,实际运算中用的都是展开公式来计算行列式的值)

    几个重要的行列式:
    主对角线行列式:主对角线上的元素求积
    副对角线行列式:(-1)n(n-1)/2 * 副对角线上的元素求积
    拉普拉斯展开式:就是分块行列式,把行列式中的元素分为几块,如在主对角线上的m阶A矩阵,n阶B矩阵,组成的行列式的值为|A||B|,副对角线上的值为(-1)mn|A||B|(一列一列的换,变换成主对角线上一共需要mn次交换)
    范德蒙德行列式:首先要满足n阶行列式的条件,然后看第一行为第二行元素的0次方,最后一行为n-1次方,值为第二行中所有的元素减去所有列数比它小的元素的求积

    具体型行列式的计算:(利用展开+上述几个特殊的行列式+性质)
    直接展开:行列式中0很多或者阶数小的情况
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    爪型:斜爪消平爪
    在这里插入图片描述
    行和相等:加到第一列,提公因子
    在这里插入图片描述
    拉普拉斯展开式:利用性质变换行列式
    在这里插入图片描述
    范德蒙德行列式:利用性质变换行列式
    在这里插入图片描述
    异爪:(递推法)直接展开找关系或者加到第一列再展开也可以(因为这题加到第一列后多为0)(展开时特别注意爪子的方向,展开后图形必须是一致的)
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    注意,行列式中的元素也可以是未知数,这样值就不是一个数而是一个函数了。

    抽象型行列式的计算:用性质+|AB|=|A||B|

    一行的代数余子式*另一行的元素,值为0(即说明aij与Aij无关,即使我们改变一行的元素,它们的代数余子式也不会发生改变)

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空空如也

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行列式拉普拉斯展开

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