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  • 因为你只问了怎么按多行展开。所以我也就只说明如何按多行展开。...这就是行列式按k行进行拉普拉斯展开的定义。当然我们,还要解释这个定义当中的一些名词。而且我们还会对k=2进行一个具体的解释...

    因为你只问了怎么按多行展开。所以我也就只说明如何按多行展开。如果你还要求证明,那你到时候再补充的问我,我再给你回答。

    一个行列式按指定的k行展开,指的是:先找出这k行的全部k阶子式,然后让这些k阶子式都乘以它们的代数余子式,再将所有的这些乘积求和,最后这个和就等于原来那个行列式。这就是行列式按k行进行拉普拉斯展开的定义。

    当然我们,还要解释这个定义当中的一些名词。而且我们还会对k=2进行一个具体的解释。

    首先讲什么是一个行列式中的一部分元素(实际上是由这部分元素组成的矩阵)的一个k阶子式(如定义中的k行的一个k阶子式),它是指在这部分元素中(指在这个矩阵中)选定k行k列,则由这k行k列的交叉点对应的元素组成的行列式。

    再接着讲一个行列式的某个k阶子式的余子式。首先设这个行列式是n阶行列式且n>k>0。因为我们说的那个某个k阶子式一定占有了这个行列式的K个行和K个列,所以将这个行列式的这k个行和这k个列都划去,则这个行列式还剩下了,正好是n-k个行,n-k个列,因此这剩下的n-k个行,n-k个列组成的行列式,就称为某个k阶子式的余子式。

    最后再说明一个行列式的某个k阶子式的代数余子式。刚才已经讲过了某个k阶子式的余子式。这个代数余子式就是我们讲的那个余子式乘以一个(-1)^m。下面只要算出m等于几就可以了。这就需要我们知道某个k阶子式在原来那个行列式中是在哪几行?哪几列?我们记录这个K阶子式在原来行列式中是在i1行,i2行,i3行,………,ik行;而且是在j1列,j2列,j3列,………,jk列,则m=i1+i2+i3+………+ik+j1+j2+j3+………+jk。这样我们就介绍完了一个行列式的某个k阶子式的代数余子式。因此也就介绍完了一个行列式按指定的k行进行拉普拉斯展开。

    最后我们再介绍k=2所对应的拉普拉斯展开。为了更加容易听得懂,我们这里假设原来那个行列式是一个五阶的行列式(设其第i行第j列的元素为a(i,j)),下面我们按定义将这个五阶行列式按指定的两行,不妨设是按第二行和第四行进行拉普拉斯展开:首先是找出这两行的所有二阶子式,先找第一个二阶子式,就是前两列组成的二阶子式,我们简称是由(1,2)列组成的二阶子式,显然这个子式的第一行的元素是a(2,1),a(2,2);第二行的元素是a(4,1),a(4,2)。这样我们已经找出了一个二级子式,我们称它为(1,2)列子式,按字典排列还有(1,3)列子式,(1,4)列子式,(1,5)列子式,(2,3)列子一式,(2,4)列子式,(2,5)列子式,(3,4)列子式,(3,5)列子式,(4,5)列子式。这就是这个五阶行列式,指定了两行(指定的是第二行和第四行)的全部二阶子式。 再让这些二阶子式,都成以他们的代数余子式,然后求和就等于原来那个五阶行列式。这就是五阶行列式按指定的两行(第二行和第四行)的拉普拉斯展开。为了说清楚,我们写出(1,2)列子式的代数式,它等于=[(-1)^m]•{(1,2)列子式的余子式};其中m=i1+i2+j1+j2=2+4+1+2,

    {(1,2)列子式的余子式}=(一个三阶行列式),这个三阶行列式第一行的元素是

    a(1,3),a(1,4),a(1,5),

    第二行的元素是

    a(3,3),a(3,4),a(3,5),

    第三行的元素是

    a(5,3),a(5,4),a(5,5)。

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  • 补充定义为了表述准确并统一记号,先重新叙述以下众所周知的定义:定义(子式、阶子式):设 为任意 阶矩阵,(保序地)选取 的任意 行与 列(交叉处的元素)组成一个方阵,其行列式称为 的一个阶子式;设 是这 行的行标,...

    零.补充定义

    为了表述准确并统一记号,先重新叙述以下众所周知的定义:

    定义(子式、

    阶子式):设

    为任意

    阶矩阵,(保序地)选取

    的任意

    行与

    列(交叉处的元素)组成一个方阵,其行列式称为

    的一个

    阶子式;设

    是这

    行的行标,而

    是这

    列的列标,可将这一

    阶子式记为

    。当

    时,选取一行与一列所形成的方阵即是

    中的某一元素

    ,其行列式为

    ,此时将这个

    阶子式简称为元素

    的子式,记作

    定义(余子式与代数余子式):设

    为任意

    阶方阵,而

    的一个

    阶子式;定义

    去掉第

    行与第

    列后所剩

    阶方阵的行列式,称之为

    的(

    阶)余子式;而带有符号

    (其中

    )的余子式

    则称为

    的(

    阶)代数余子式。

    一.定理的特殊与一般形式

    拉普拉斯定理涉及的是行列式按照行/列的展开问题,教科书上通常有两种主要的形式:

    定理一(行列式按照一行/列展开):设方阵

    ,则

    ;其中

    是元素

    的余子式,而

    元素

    的代数余子式。

    定理二(行列式按照

    行/列展开):设方阵

    ,任取下标为

    行(不失一般性,设

    ),则

    作两点简要的说明:定理一在很多教科书上被用作行列式的定义,现通常被称为“(行列式的)拉普拉斯展开式(Laplace expansion)/(行列式的)余因子展开式(cofactor expansion)”;然而,此式首先由范德蒙(Vandermonde)给出。

    定理二是由拉普拉斯(Laplace)在他1772年的论文中将范德蒙的结论推广至一般形式而得到的,通常被称为“(行列式的)拉普拉斯定理”。

    二.引理

    为了使定理的证明过程清晰流畅,现将其中的关键步骤作为以下一系列引理,先行证明如下:

    引理一:若

    ,则

    证明:因

    ,又因为

    的第

    列中唯一的非零元素,故对于

    阶置换群

    中的置换

    ,若

    则矩阵元

    ;那么

    。考虑到由满足

    的全体置换

    所组成的集合正是集合

    上的置换群

    ,即得——

    。■

    引理二:设

    ,

    ;而

    阶置换群

    中的单位置换,则递归地定义一系列置换

    如下:

    现归纳地假设

    已经定义好,定义

    如下——

    每个

    的符号

    ;特别地,在置换

    作用于

    之后,排在

    后面的元素保序。

    证明:对

    进行归纳。当

    时,特殊情况下(

    )的结论是显然的;而一般情况下(

    )该置换是——

    这一系列对换的效果是将

    同左边的相邻元素对换

    次,显然结果如此;此外,经此置换,排在

    后面的元素依次为

    ,显然保序。现归纳地假定引理结论对

    成立,考虑

    的情形。由于

    的定义依赖于

    ,故先考虑一般情况下的

    ,令一般情况下的

    作用于

    ,得到

    这一系列对换的效果是将

    同左边的相邻元素对换

    次,显然结果如此;此外,经此置换,排在

    后面的元素依次为

    ,依归纳假设,它们保序。故归纳假设成立,引理得证。■

    引理三:设

    ,

    。那么,此置换可以延拓至

    ,即存在

    使得

    ;并且两置换的符号(奇偶性)一致,即

    证明:

    的构造如上所给出,存在性显然。对于两者的奇偶性,考虑置换

    的任一逆序

    ——即

    。依

    的构造,

    ;故

    ,即

    也是

    的逆序。设

    是置换

    的逆序数,则

    的符号为

    ,且可由

    个对换

    生成

    个对换也是

    的一个对换表示。由于置换的符号(奇偶性)不依赖于具体的表示,故

    的其他表示与

    的符号(奇偶性)相同(均为

    ),因此

    两者的符号(奇偶性)是一致的,即

    。■

    三.定理一的证明

    定理一虽然是定理二的直接推论/特殊形式,但可以通过行列式的完全展开式以及行列式的基本性质(多重线性、斜对称性…)得以证明(从而无需使用定理二):

    ,则——

    【注:第二个等号用到了行列式关于列的多重线性,第三、四个等号分别用到了行列式关于列与行的斜对称性(参考引理二中给出的置换,分别对列与行使用

    次和

    次),最后两个等号用到了引理一。】

    四.定理二的证明

    第二条定理的证明涉及关于置换的一些技巧。先从一个较易证明的特殊情形开始:

    命题(行列式按照前

    行展开):设方阵

    ,取前

    行(下标为

    ),则

    证明:在

    阶行列式

    的完全展开式

    中,共有

    个两两不同的项;而等式右边的

    分别为

    阶及

    阶行列式,各自的展开式中分别有

    个两两互异之项,代入行列式的完全展开式,得到

    ——(1)

    【注:其中

    分别为子式和余子式的列标,不失一般性地,假设

    。】。

    由于

    各自涉及的矩阵元交集为空,故(1)式右边可以进一步展开:

    ——(2)

    ,且

    如果能够证明:

    ——(*),则命题即可得证。

    考虑(*)式两边,如本证明开头所述——左边:求和号下共

    个两两不同的项,记

    为这些项组成的集合。

    右边:中括号内的双重求和号下,共有

    个项,而中括号外的求和遍历

    中所有可能的

    元指标集

    ;根据组合的定义,这相当于从

    元集(无重复元素)中选出

    元子集,共

    种不同的选择。那么,依乘法原理,右边求和号下一共有

    个项;记

    为这些项组成的集合。

    显然,左右两边项数相等,即

    ;进而,如果能在

    中找到

    中的每一个元素,那么命题即可得证。

    鉴于

    中的元素皆由置换

    唯一地给定,那么只要考虑置换本身在矩阵元脚标上的作用即可。

    第一步,考虑

    的任意元素

    ,其对应的置换为——

    。设

    的唯一升序排列为

    (

    ),

    的唯一升序排列为

    (

    ),则置换

    (

    皆如引理二所定义)的结果为

    (注意,由于

    均保持

    之后元素的升序,故经过

    这一系列置换之后,第

    个位置上的元素已经自然地处于

    的唯一升序排列

    的状态了)。显然,由于置换

    ,其符号为——

    第二步,在

    的基础上,根据引理三可知存在置换

    使得

    ,同时仍由引理三得知,这一置换

    上的限制为某一

    ,使得

    ,且两者符号相等。

    第三步,在

    的基础上,根据引理三可知存在置换

    使得

    ,同时仍由引理三得知,这一置换

    上的限制为某一

    ,使得

    ,且两者符号相等。

    通过以上三步,可知置换

    可表为

    三者的复合,即

    ,这意味着符号

    综上,可见对于

    中的任意一个元素,均有

    中的某个元素与之相等(无论是乘在一起的矩阵元,还是符号,皆完全一致),那么

    ;另一方面,由于

    ,故

    ,适足所欲。■

    现考虑定理的一般情形,对于方阵

    之下标为

    行(不失一般性,设

    ),显然可以通过引理二的置换将其移至前

    行,得到矩阵

    ,这为行列式

    增添了一个符号因子

    ,即

    。约定

    的子式、余子式与代数余子式的字母记号均带撇,则有

    。依照以上命题给出的特殊情形将行列式

    按照前

    行展开,得到——

    定理二证毕。

    参考

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  • 行列式计算(4)前言(1)今天我们继续讨论行列式一种特殊的计算思路和方法, 以及一类特殊行列式的非...利用行列式展开定理, 做恒等变形, 将行列式做升阶处理, 达到化简计算的目的。(ii)爪形行列式:①爪形行列式的常规...

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    行列式计算(4)

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    (1)今天我们继续讨论行列式一种特殊的计算思路和方法, 以及一类特殊行列式的非常规计算。

    (2)(i)加边法: 

    ①一般来说, 我们计算行列式的主要思路和方法应该是做降阶处理。今天这道题我们不妨尝试反其道而行之。

    ②因为行列式元素的特殊规律,我们不降反升。利用行列式的展开定理, 做恒等变形, 将行列式做升阶处理, 达到化简计算的目的。

    (ii)爪形行列式: 

    ①爪形行列式的常规计算方法是利用主对角线上的元素消0将行列式化成三角行列式计算。本题主对角线上元素是否为0未知, 常规方法计算需要讨论它们是否为0, 这里可以考虑按行列展开处理。

    ②我们一般使用行列式展开定理, 是因为某一行(列)有较多的0, 展开较为方便。这里亦是一种逆向思维, 同时这也是低阶行列式计算时应该考虑的一种思路和方法。本题通过展开法, 则免去了讨论的过程, 而且最后的结果也非常有规律。

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    稿

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    定义

    矩阵的行列式,determinate(简称det),是基于矩阵所包含的行列数据计算得到的一个标量。是为求解线性方程组而引入的。

    二阶行列式

    计算方式:对角线法则

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    三阶行列式

    计算方式:对角线法则

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    n阶行列式

    计算排列的逆序数

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    计算n阶行列式

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    简化计算总结

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    行列式的3种表示方法

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    行列式的性质

    性质1: 行列式与它的转置行列式相等

    注:行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.

    性质2 : 互换行列式的两行(列),行列式变号

    推论 : 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零

    性质3 : 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一个倍数k,等于用数k乘以此行列式.

    推论:行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.

    性质4 : 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.

    性质5 :若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,则等于对应的两个行列式之和.

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    性质6 :把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变.

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    计算行列式的方法

    1)利用定义

    2)利用性质把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值

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    定理中包含着三个结论:

    1)方程组有解;(解的存在性)

    2)解是唯一的;(解的唯一性)

    3)解可以由公式(2)给出.

    定理4 :如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零,则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 .

    定理4′ :如果线性方程组无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零.

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    齐次线性方程组的相关定理

    定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式D不等于0,则齐次线性方程组只有零解,没有非零解.

    定理5′ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零.

    1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件

    1) 方程个数等于未知量个数;

    2) 系数行列式不等于零.

    2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.

    行列式按行(列)展开

    对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.

    本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.

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  • 上三角行列式(下三角行列式、对角形行列式)等于主对角元素的乘积。 阶行列式行列式与其转置相等: 最常见的行列式计算记号: ,分别表示行交换(注意变号),提取公因数(div是除号)还有将某行乘某倍数后加到...
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  • 线性代数(二十四) : 行列式展开式—拉普拉斯公式
  • """ 递归(拉普拉斯展开)计算n阶行列式 传入的一定为"正方形" input: [ [1,2,3,4], [5,6,7,8], [9,1,2,3], [4,5,6,7], ...
  • 行列式按k行展开(拉普拉斯定理)

    千次阅读 多人点赞 2020-05-20 23:42:17
    以下是我的线性代数视频课程的补充内容。
  • 行列式按行展开1余子式2 代数余子式3 按行展开(降阶)4 异乘变零定理5 拉普拉斯定理6 行列式相乘 1余子式 定义:去掉指定元素所在的行和列后构成的行列式,用MijM_{ij}Mij​表示。比如下面取第三行第二列元素2的...
  • 计算n阶行列式

    2021-02-18 13:06:56
    将一个n × n 的行列式进行拉普拉斯展开,即是将其表示成关于行列式的某一行(或某一列)的n个元素与其代数余子式乘积的和。 余子式 在n阶行列式中,把所在的第i行与第j列划去后,所留下来的n-1阶行列式为余子式。...
  • 去掉指定元素所在的行和列后构成的行列式,用MijM_{ij}Mij​表示。比如下面取第三行第二列元素2的余子式;第一行第四列3的余子式 表示 MijM_{ij}Mij​ 例: 2、代数余子式 定义: 就是在余子式前面加上...
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  • 1. 行列式性质1——行列式按任一行展开,其值相等(推论:行列式某一行全为零,则行列式等于零) 2.性质1应用示例 3. 如果行列式有两行元素对应相等,则行列式等于零 4. 若行列式某一行可表示为两...
  • 1.3 行列式按行展开

    千次阅读 2020-01-07 12:01:52
    文章目录余子式代数余子式定理:按某一行展开或按某一列展开:降阶例子定理:异乘变零定理定理:拉普拉斯K阶子式定理描述例子定理:行列式相乘(同阶行列式)参考 余子式 对于行列式中某一个元素,去其掉所在行与...
  • 本篇笔记介绍了行列式按行或按列展开定理、异乘变零定理、拉普拉斯定理和行列式相乘定理。
  • 1、主对角行列式 2、副对角行列式 3、拉普拉斯展开式 设 A 是 m 阶矩阵, B 是 n 阶矩阵,则 主对角线 副对角线 4、范德蒙行列式 ...
  • 拉普拉斯展开式4. 范德蒙行列式5. 数学归纳法和递推法 1. 消零化基本型 适用条件: 某行(列)已有足够多的0元素 阶数不高 例题1. 求n阶行列式∣ab0...000ab...0000a...00....................000....abb00.....
  • 常见行列式_线代

    2020-04-01 23:16:16
    1、主对角行列式 2、副对角行列式 3、拉普拉斯展开式 设 A 是 m 阶矩阵, B 是 n 阶矩阵,则 主对角线 副对角线 4、范德蒙行列式
  • 1.1行列式 二阶行列式 三阶行列式 排列 n阶行列式 总结如下: 行列式的性质 按行展开(可以降阶) 拉普拉斯定理 行列式相乘 克莱姆法则 齐次线性方程组
  • 矩阵行列式求法

    千次阅读 2020-04-26 17:00:40
    矩阵的行列式求法拉普拉斯展开交错和想办法变成上...拉普拉斯展开 根据行列式的代数余子式定义,矩阵按某行或某列展开:det⁡(A)=∑j=1n(−1)i+jaijdet⁡(Aij)=∑i=1n(−1)i+jaijdet⁡(Aij)\operatorname{det}(A)=\s...
  • 【线代】行列式

    2019-08-29 18:42:18
    知识点 二阶线性方程组的求解公式。[《线代》P3] 排列的概念和对换的定理及推论。[《线代》P5] 行列式、上(下)三角形行列式、对角行列式的定义[《线代》P7] 行列式的六个性质及相应...拉普拉斯展开式。[《全书》...
  • 文章目录一、行列式1 行列式的定义2 行列式展开2.1 余子式和代数余子式2.2 行列式按行(列)展开3 行列式的性质4 拉普拉斯定理与范德蒙德行列式4.1 拉普拉斯定理4.2 范德蒙德行列式 一、行列式 1 行列式的定义 n阶...
  • 展开全部具体见图:解释e69da5e6ba903231313335323631343130323136353331333366306535一下:这里就是根据拉普拉斯展开定理,第N阶行列式等于某一行每个元素跟对应代数余子式乘积之和。比如这里第一步,按照第四行...

空空如也

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行列式拉普拉斯展开