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  • 线性代数之行列式偏导 矩阵偏导 针对y或者f(x)是元素,x是矩阵的情况,则元素对矩阵的求导形式如下: 注:这里的 ​和矩阵x是同型(行数列数相同)的。 行列式性质 这里假定A是方阵,则有如下性质: 1 ...

                                线性代数之行列式偏导

    矩阵偏导

    针对y或者f(x)是元素,x是矩阵的情况,则元素对矩阵的求导形式如下:

    :这里的 ​ 和矩阵x是同型(行数列数相同)的。

    行列式性质

    这里假定A是方阵,则有如下性质:

    1 余子式是将行列式的第i行、第j列删除后组成的新行列式,一般用如下符号表示:

    比较一般的例子(M11)见:

    2 对余子式求余因子,则称为代数余子式。表达式为:

    3 行列式的值等于某一行(列)的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和,即  

    4由行列式A的代数余子式Aij 的转置所构成的矩阵叫做伴随矩阵,其定义如下:

    即可简写为: ,其中C为代数余子式。

    5 对于非奇异(行列式不为0)的矩阵A,有如下性质:

    这里由伴随矩阵的定义得: ,因为A可逆,则容易得上式(即中间式子右乘A-1)。

    :这里的A*即是

    行列式偏导

    因为行列式是标量函数,所以之前关于标量函数的定义与性质都适应于行列式。

    按照行列式分量展开的形式看,则有:

    针对整个行列式,则有:

    :1 这里借助矩阵导数的概念:

    2 伴随矩阵等于代数余子式矩阵的转置

    行列式偏导与矩阵逆

    接行列式偏导的定义,针对行列式A是非奇异(行列式不为0)的情况,则可以进一步转换:

    1 将伴随矩阵转换为行列式和矩阵逆的乘积  

    2 再结合常数乘矩阵逆的性质,即可将常数提到外面,最终得  

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  • 矩阵求偏导

    千次阅读 2019-11-05 14:46:08
    转自:https://blog.csdn.net/lirika_777/article/details/79646453
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  • 对范数求偏导

    千次阅读 2017-09-24 21:14:08
    AHA^H表示Hermitian矩阵(A的共轭转置矩阵A∗==A)基础(1)迹(Trace)eig(A)表示A的特征值(2)行列式(Determinant)(3)特例2*2矩阵以上是摘自:The Matrix Cookbook 也可参考维基百科:Matrix calculusL1范数的...

    首先介绍点基础知识,另一方面也算是巩固下:
    A1 表示A的逆矩阵;
    AT 表示A的转置;
    AH 表示Hermitian矩阵(A的共轭转置矩阵A∗==A)

    基础

    这里写图片描述

    (1)迹(Trace)

    eig(A)表示A的特征值

    这里写图片描述

    (2)行列式(Determinant)

    这里写图片描述

    (3)特例2*2矩阵

    这里写图片描述

    以上是摘自:The Matrix Cookbook
    也可参考维基百科:Matrix calculus

    L1范数的次微分

    L1范数不可微。但是存在次梯度,即是次微分的
    L1范数的次梯度如下:

    x||x||1=sign(x)

    其中sign(x) 表示如下:
    sign(x)=+11[1,1]xi>0xi<0xi=0

    L1 范数:
    ||X||1=|x1|+|x2|++|xn|

    例如: x=(3,2,5)T
    故其梯度为:sign(x)=(1,1,-1)

    L2范数的微分

    这里写图片描述

    例如:求解下面函数的偏导数:

    f(W)=12i,jϵSγi,j||wTiXwTjX||22

    得:
    f(W)wi=i,jϵsγi,j(wTiXwTjX)(wTiXwTjX)wi=i,jϵsγi,j(wTiXwTjX)XT=i,jϵsγi,j(wTiwTj)(XXT)

    注意这里得到的是行向量的形式,因此还需要对其进行转置

    以上的推倒是基于上图公式得到。。。

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  • 二重积分和雅可比行列式

    万次阅读 多人点赞 2019-03-13 01:50:40
    若x = x(u, v), y = y(u, v)存在偏导数,则二阶雅可比行列式为= = dxdy = |J2| dudv, (J2的绝对值),且 其中积分区域和积分区域是一一对应的。 二、理解 二重积分的定义中指出,将积分区域任意分割成n个小的闭...

    我们以二重积分为例进行说明,首先说结论:

    一、结论

    若x = x(u, v), y = y(u, v)存在偏导数,则二阶雅可比行列式为 =  =

    dxdy = |J2| dudv,  (J2的绝对值),且

    其中积分区域和积分区域是一一对应的。

    二、理解

    二重积分的定义中指出,将积分区域任意分割成n个小的闭区域:

    Δσ1, Δσ2, …, Δσn,

    其中Δσi表示第i个小闭合区域的面积,在闭合区域上取一点(ξi, ηi), 这一点的函数值与区域Δσi的乘积的总和为,若当各小闭合区域的直径中的最大值λ→0时,这个和的极限总存在,且与区域Dxy的分法及点(ξi, ηi)的取法无关,那么函数f(x, y)在区域Dxy上的二重积分记做:

    dσ为小闭合区域的面积,假设我们将Dxy分隔为一个一个小矩形区域,每一小块积分区域Δσi 在uv坐标系中都对应一块积分区域Δσi',它们是一一对应的,并且Δσi=|J2|Δσi',|J2| 是雅可比行列式的绝对值,可能是常量,但一般情况下是一个变量,所以我们可以保证以下等式成立:

    在xy坐标系中第i块积分区域上任取一点(ξi, ηi),都能在uv坐标系中的第i块积分区域中找到一点(ξi',ηi'),并满足,另外我们知道,所以上述等式成立,那么对上述等式做累加,也固然成立,即:

    '

    故,两边取极限,二重积分也就相等,即一中结论成立。

    下面我们主要说明为什么dxdy = |J2| dudv:

    解释1

    首先我们应该怎么理解dxdy,在xy坐标系中,dx和dy可以看成是小矩形的长和宽,它们相互垂直,dxdy可以简单的理解为两个标量相乘求面积,用来代替Δσi,但是在uv坐标系中,du和dv相互垂直,但是dx和dy代表的是一个平行四边形的两条边,并不垂直,,显然它们并不一定垂直,那么在uv坐标系中我们不能讲dxdy简单的两个标量相乘,而是应该理解为两个向量叉乘所得向量的模(面积):

                         图一:

                                                     
    两边取模,dxdy = |J2|dudv

    https://www.zhihu.com/question/274450639

    另外也可以参考MIT的微积分课程:

    https://open.163.com/movie/2010/8/G/2/M6TUC9K75_M6TUID0G2.html

    18课24分钟,更简单的描述过程。

    其实在xy坐标系中我们也可以将dxdy理解为向量叉乘的模,只不过他们夹角是90度,所以等于标量乘积。

    注:以上描述非常可能是错误的,并没有参考正规资料,只是一个知乎网友提供的描述(见上述链接),我并不确定是否能把dxdy、dudv写成向量的形式,所以请批判性的参考,而且,我无法解释为什么最终du dv两个向量取模没有乘以其夹角的正弦值,如果上述是完全是错误的那么我们只能用面积比值强行解释了:

    解释2

    参考:https://wenku.baidu.com/view/f56aa732b94ae45c3b3567ec102de2bd9605de8b

    我们将积分区域Dxy按照上图右进行划分成N多个小块,根据微积分的定义,计算结果和微分方式无关,所以我们把它为分成这种扭曲的方式,每一个扭曲的小块一一对应uv坐标系中每一个规则的矩形,切他们的面积比值为|J|,也就是dA = |J|dudv

    由于积分的计算结果与积分区域的划分方式无关,所以,其中,即

     

     

     

    以下是上上次编辑此篇博客时留下的,但是没有图,可以忽略。

    下面通过 直观的解释来理解为什么dxdy = |J2| dudv, 我们取积分区域里面的一点(x, y)那么在uv坐标系下与之对应的一点为(u, v),,很显然 (x, y)到(u, v)的坐标变换不是线性的,但是在积分区域的某一个具体点  的很小的一个范围内,可以近似线性的,  因为其偏导数几乎不变,我们可以把看成是常数,那么在(x, y)这一点附近的很小区域内,进行的坐标变换就可以看做是线性变换,  (x, y) 附近的积分区域, 经过坐标变换后,面积将改变,变换前后面积的比值即是,雅可比行列式的值,(动图待制作)

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空空如也

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