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  • 行列式的计算(矩阵外面加个绝对值

    万次阅读 多人点赞 2018-10-12 19:04:31
    我表示很难过,曾经线代,矩阵学的也不算太差,可惜太久没用,导致现在连最基本的行列式都不会了。以后还是要多用,多用,多用,重要的事情说三遍。 2、行列式的计算准则 定义:n阶行列式 等于所有取自不同行...

    1、写在前面

    我表示很难过,曾经线代,矩阵学的也不算太差,可惜太久没用,导致现在连最基本的行列式都不会了。以后还是要多用,多用,多用,重要的事情说三遍。

    2、行列式的计算准则

    定义:n阶行列式

    等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积

    的代数和,这里是1,2,...,n的一个排列,每一项都按下列规则带有符号:当是偶排列时带有正号,当是奇排列时带有负号。这一定义可写成

    这里表示对所有n级排列求和,表示排列的逆序数。

    由定义立即看出,n阶行列式是由n! 项组成的。

    通俗理解:

    行列式某元素的余子式:行列式划去该元素所在的行与列的各元素,剩下的元素按原样排列,得到的新行列式.
    行列式某元素的代数余子式:行列式某元素的余子式与该元素对应的正负符号的乘积.

    即行列式可以按某一行或某一列展开成元素与其对应的代数余子式的乘积之和。

    举一个3*3的例子

    结果为 a1·b2·c3+b1·c2·a3+c1·a2·b3-a3·b2·c1-b3·c2·a1-c3·a2·b1(注意对角线就容易记住了)

    这里一共是六项相加减,整理下可以这么记:

    a1(b2·c3-b3·c2) - a2(b1·c3-b3·c1) + a3(b1·c2-b2·c1)=

    a1(b2·c3-b3·c2) - b1(a2·c3 - a3·c2) + c1(a2·b3 - a3·b2)

    此时可以记住为:

    a1*(a1的余子式)-a2*(a2的余子式)+a3*(a3的余子式)=

    a1*(a1的余子式)-b1*(b1的余子式)+c1*(c1的余子式)

    某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式。

    行列式的每一项要求:不同行不同列的数字相乘

    如选了a1则与其相乘的数只能在2,3行2,3列中找,(即在 b2 b3 c2c3中找)

    而a1(b2·c3-b3·c2) - a2(b1c3-b3·c1) + a3(b1·c2-b2·c1)是用了行列式展开运算:即行列式等于它第一行的每一个数乘以它的余子式,或等于第一列的每一个数乘以它的余子式,然后按照 + - + - + -......的规律给每一项添加符之后再做求和计算。

    举一个4*4的例子

    3、行列式的意义

    举个栗子~
    用三维空间:(x,y,z)
    三个点:
    A(1,0,0)
    B(0,2,0)
    C(0,0,3)

    行列式写为:
    ∣1 0 0∣
    ∣0 2 0∣ = 6
    ∣0 0 3∣

    就是三个点构成的体积:长方体 1*2*3 = 6

    --------------------------------------华丽的分割线------------------------------------------
    现在令:B为B‘(0,2,2),C为C‘(3,0,3)
    行列式写为:
    ∣1 0 0∣
    ∣0 2 2∣ = 6
    ∣3 0 3∣

    三个点构成的长方体体积还是: 1*2*3 = 6

    --------------------------------------华丽的分割线------------------------------------------
    ∣1 0 0∣
    ∣0 2 2∣ = 6
    ∣3 0 3∣

    变成方程的形式:
    1x + 0y + 0z = t1
    0x + 2y + 2z = t2
    3x + 0y + 3z = t2

    每一条方程可以画一个平面
    这里有三个平面,他们相交得到的空间体积等于6

    参考

    https://www.zhihu.com/question/26294660/answer/110251634
     

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  • Problem Description A sequence b1,b2,⋯,bn are called (d1,d2)-arithmetic sequence if and only if there exist i(1≤i≤n) such that for every j(1≤j),bj+1=bj+d1 and for every j(i≤j),bj+1=bj+d2. ...
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  • 十九、行列式的意义

    2019-10-25 09:02:44
    矩阵行列式的意义:1....平行四边形的一个顶点位于笛卡尔坐标系的原点,将与原点相连的两边当成位置向量,再由两个位置向量构成一个矩阵,此时矩阵的行列式绝对值,就是平行四边形的面积 假设: 两...

    矩阵行列式的意义:1. 求解2x2矩阵的逆矩阵  2. 求解平行四边形的面积  3. 作为面积因子

    1. 求解2x2矩阵的逆矩阵

    求2x2矩阵的逆矩阵时,需要用到行列式,前面已经介绍过了

    2. 求解平行四边形的面积

    平行四边形的一个顶点位于笛卡尔坐标系的原点,将与原点相连的两边当成位置向量,再由两个位置向量构成一个矩阵,此时矩阵的行列式的绝对值,就是平行四边形的面积

    假设:

    \vec{v_1} = \begin{bmatrix} a\\ c \end{bmatrix} \:\:\:\: \vec{v_2} = \begin{bmatrix} b\\ d \end{bmatrix}

    两个向量构成的矩阵为:

    \mathbf{A}=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}

    则两个向量构成的平行四边形的面积为:

    area = \left | det(\mathbf{A}) \right | = \left | ad-bc \right |

    证明

    v2在v1上的投影为:

    Proj_{\vec{v_1}}(\vec{v_2}) = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\vec{v_1} \cdot \vec{v_1}} \vec{v_1}

    平行四边形的高h的平方为:
    \begin{align*} h^2 &= \left \| \vec{v_2} \right \| ^2 - \left \|\frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\vec{v_1} \cdot \vec{v_1}} \vec{v_1}\right \|^2\\ &= (\vec{v_2} \cdot \vec{v_2}) - ((\frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\vec{v_1} \cdot \vec{v_1}} \vec{v_1}) \cdot (\frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\vec{v_1} \cdot \vec{v_1}} \vec{v_1})) \\ &= (\vec{v_2} \cdot \vec{v_2}) - (\frac{(\vec{v_1} \cdot \vec{v_2})^2}{(\vec{v_1} \cdot \vec{v_1})^2} (\vec{v_1} \cdot \vec{v_1})) \\ &= (\vec{v_2} \cdot \vec{v_2}) - \frac{(\vec{v_1} \cdot \vec{v_2})^2}{(\vec{v_1} \cdot \vec{v_1})} \end{align*}

    平行四边形的面积为:

    \begin{align*} area^2 &= \left \| \vec{v_1} \right \| ^2 h^2\\ &= (\vec{v_1} \cdot \vec{v_1}) \left ((\vec{v_2} \cdot \vec{v_2}) - \frac{(\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}) ^ 2}{\vec{v_1} \cdot \vec{v_1}} \right ) \\ &= (\vec{v_1} \cdot \vec{v_1}) (\vec{v_2} \cdot \vec{v_2}) - (\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}) ^ 2\\ &= (a^2 + c^2)(b^2 + d^2) - (ab + cd) ^ 2 \\ &= a^2b^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + c^2d^2 - (a^2b^2 + 2abcd + c^2d^2) \\ &= a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2 \\ &= (ad - bc)^2 \end{align*}

    area = \left | ad - bc \right |

    这是一个非常巧妙的结果,矩阵的列向量构造了平行四边形,平行四边形的面积就等于矩阵行列式的绝对值,并且交换矩阵的行或列,面积不变。

     

    3. 作为面积因子

    如果有一个区域(形状任意),假设它的面积为Area,对它进行T变换,得到一个新的区域,新区域的面积为原始面积Area乘以变换矩阵行列式的绝对值。变换矩阵的行列式,本质上是一个面积比例

    证明:

    假设长方形由:

    \vec{v_1} = \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} \:\:\:\: \vec{v_2} = \begin{bmatrix} k_1\\ 0 \end{bmatrix} \:\:\:\: \vec{v_3} = \begin{bmatrix} k_1\\ k_2 \end{bmatrix} \:\:\:\: \vec{v_4} = \begin{bmatrix} 0\\ k_2 \end{bmatrix}

    四个向量指定的点,连接起来构成,长方形的面积为:

    area = k_1k_2

    长方形在变换T下的像,等于对长方形的四个顶点做变换,然后把这些点连接起来。

    假设变换T为:

    T(\vec{x}): R^2 \rightarrow R^2

    T(\vec{x}) = A \vec{x} = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \vec{x}

    T(\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}

    T(\begin{bmatrix} k_1\\ 0 \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ak_1 \\ ck_1 \end{bmatrix}

    T(\begin{bmatrix} k_1\\ k_2 \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1 \\ k_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ak_1 + bk_2 \\ ck_1 + dk_2 \end{bmatrix}

    T(\begin{bmatrix} 0\\ k_2 \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ k_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} bk_2 \\ dk_2 \end{bmatrix}

    根据上一小节的介绍,长方形经过T变换后的像,为平行四边形,因此像的面积为

    B = \begin{bmatrix} ak_1 & bk_2\\ ck_1 & dk_2 \end{bmatrix}

    的行列式的绝对值,即:

    \begin{align*} area &= \left | det(B) \right | \\ &= \left | k_1k_2ad - k_1k_2bc \right |\\ &= \left | (k_1k_2)(ad - bc) \right | \\ &= \left | (k_1k_2) det(A) \right | \end{align*}

    因此,长方形经过T变换后的像的面积,等于长方形的原始面积,乘以变换矩阵行列式的绝对值。同理,任意形状的区域也满足该性质,因为任意区域本质上由一系列的长方形构成

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  • 线性代数-行列式

    2019-07-14 10:32:43
    这里的A、B可能也是一个行列式,但是他们在大的环境下,将他们看成一个变量,而这个时候,有一个角全是0,那么,这个行列式的最终值也可以是对角线上行列式绝对值的乘积。 范德蒙行列式 第一行全是1,第二...

    排列:

    有n个数组成的一个有序数组称为一个n级排列,n级排列共有n!个排列方式。

    逆序:

    一个排列中,一个大的数排在了一个小的数前面,那么这两个数就构成了逆序,必须132,那么3和2就是逆序。

    逆序数:

    在一个n级排列中,逆序的总数就是这个排列的逆序数,记作τ(tao),比如:32514 ,那么就从左往右以此查看每一个数据的逆序,3的逆序有2和1,2的逆序有1,5的逆序有1和4,1和4没有逆序,因为没有比他们小的数在他们的后面,所以将前面的逆序个数全部加起来就是这个排列的逆序数。也就是5.

    -------------------------------------------------------------------------------------------

    行列式

    行列式的定义:

    通过二阶行列式的几何意义,我们清楚的知道了行列式它具体表示的是什么!

    以此类推:我们得到三阶行列式的定义:

    所以,行列式的本质是一个图形的体积:

    二三阶行列式的总结:

    从二三阶行列式,我们可以看出来,他们计算时候的每一项其实都是取自不同行不同列的,且不能重复取,那么这样就很容易的可以确定一个行列式的每一项。

    行列式的一般式子:

    我们官方一点的来说:n阶行列式每一项都是取自不同行、不同列的n个元素的乘积。而一共有n!项。最后求的是这n!项的代数和,也就是有加有减。

    如何确定是“+”还是“-”:当行下标顺序排列的时候,每一项的正负号由列下标的逆序数决定。多看一下上面的这个式子。

     比如计算这一项的正负号:   很明显,行下标已经是顺序排列了,那么列下标213,逆序数为1,所以-1的1次方还是-1,这一项就负的。ok,very easy!

    最后我们发现,行列式最后就是一个可以计算出来的数值,就特喵的是个数!

    --------------------------------------------------------------------------------------------

    行列式的性质:(7个)

    --------------------------------------------------------------------------------------------

    余子式:

    在行列式中,去掉一个元素所在的行和列,比如{\color{Red} a_{ij}},就是去掉第 i 行,第 j 列。那么剩下的元素组成的行列式就是这个元素的余子式,记做{\color{Red} M_{ij}}

    代数余子式:

    在一个元素的余子式的前面加上符号就是这个元素的代数余子式,也就是{\color{Red} (-1)^{i+j}M_{ij}},记作{\color{Red} A_{ij}}。所以有:

    =同时呢,还有{\color{Red} M_{ij}}={\color{Red} (-1)^{i+j}A_{ij}},这也是成立的,想不到的,其实也好理解,就是负负得正

    余子式和代数余子式的值,和被划掉的那个元素是没有关系的,就是那个{\color{Red} a_{ij}}

    行列式的展开公式:

    行列式的值等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式的乘积之和

    注意:

    这是个什么意思呢,由行列式的展开公式可以知道,行列式的值可以等于任一行(列)的元素和他们对应代数余子式的乘积之和,但是!如果串行(列)了,就是乘的不是这一行对应元素的代数余子式,比如乘的是另外一行的元素对应的代数余子式。那么这个展开式的值就是0

    --------------------------------------------------------------------------------------------

    几个重要的行列式

    上下三角行列式

    其值为主对角线元素的乘积

    副对角线的上下三角行列式

    其值同样等于副对角线的乘积,不过他的前面加上了一个符号的表达式,{\color{Red} (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}},原因在于,行列式的每一项都是存在符号问题的,而上面主对角线没有这个,是因为它的逆序数为0.所以不用考虑

    拉普拉斯展开式 

    这个东西该怎么理解?其实原理可以看成是和正副对角线的行列式是一样的,不过这里进行了广义化。这里的A、B可能也是一个行列式,但是他们在大的环境下,将他们看成一个变量,而这个时候,有一个角全是0,那么,这个行列式的最终值也可以是对角线上行列式绝对值的乘积。

    范德蒙行列式

    第一行全是1,第二行是一些数,第三行是这些数对应的平方,最后一行是这些数对应的n-1次方,这就是范德蒙行列式

    他的值,盯着第二行看,就等于后面的减前面的最后将剪出来的值再乘积。比如第二行的元素是4  2  6  8,那么这个行列式的值为(2-4)(6-4)(8-4)(6-2)(8-2)(8-6),每一项都要减的。

    行和相等的行列式

    行列式解题方法:

    1.利用7大性质做恒等变形

    2.话三角形法

    3.范德蒙行列式法

    4.递推法

    5.加边法

    6.爪型行列式化三角法

    解题经验:

    1.碰见这种行列式直接套公式

    2.碰见这种用加边法

    加边法固有格式

    这个是固定格式,第一列一定是这样加,这样的话,我们按列展开又能回到原来的那个行列式。

    3.碰见爪型行列式将他化成三角形行列式

    4.碰见这种类对角线行列式用递推法

    5.碰见类对角线行列式,同时它的角落还有一个非零元素的这种行列式,直接展开,注意是按行还是按列,看那个简单用哪个

    6.还可以使用矩阵的一些特性求行列式

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  • 考研数学-行列式的几何意义

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    当然,如果行列式中含有未知数,那么行列式就是一个多项式。它本质上代表一个数值,这点请与矩阵区别开来。矩阵只是一个数表,行列式还要对这个数表按照规则进一步计算,最终得到一个实数、复数或者多...
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  • 行列式的意义

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    千次阅读 2018-08-01 14:14:11
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