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1、写在前面

我表示很难过，曾经线代，矩阵学的也不算太差，可惜太久没用，导致现在连最基本的行列式都不会了。以后还是要多用，多用，多用，重要的事情说三遍。

2、行列式的计算准则

定义：n阶行列式



等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积



的代数和，这里是1,2，...，n的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当是偶排列时带有正号，当是奇排列时带有负号。这一定义可写成



这里表示对所有n级排列求和，表示排列的逆序数。

由定义立即看出，n阶行列式是由n! 项组成的。

通俗理解：

行列式某元素的余子式：行列式划去该元素所在的行与列的各元素,剩下的元素按原样排列,得到的新行列式.

行列式某元素的代数余子式：行列式某元素的余子式与该元素对应的正负符号的乘积.

即行列式可以按某一行或某一列展开成元素与其对应的代数余子式的乘积之和。

举一个3*3的例子



结果为 a1·b2·c3+b1·c2·a3+c1·a2·b3-a3·b2·c1-b3·c2·a1-c3·a2·b1(注意对角线就容易记住了）

这里一共是六项相加减，整理下可以这么记：

a1(b2·c3-b3·c2) - a2(b1·c3-b3·c1) + a3(b1·c2-b2·c1)=

a1(b2·c3-b3·c2) - b1(a2·c3 - a3·c2) + c1(a2·b3 - a3·b2)

此时可以记住为：

a1*(a1的余子式)-a2*(a2的余子式)+a3*(a3的余子式)=

a1*(a1的余子式)-b1*(b1的余子式)+c1*(c1的余子式)

某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式。

行列式的每一项要求：不同行不同列的数字相乘

如选了a1则与其相乘的数只能在2，3行2，3列中找，（即在 b2 b3 c2c3中找）

而a1(b2·c3-b3·c2) - a2(b1c3-b3·c1) + a3(b1·c2-b2·c1)是用了行列式展开运算：即行列式等于它第一行的每一个数乘以它的余子式，或等于第一列的每一个数乘以它的余子式，然后按照 + - + - + -......的规律给每一项添加符号之后再做求和计算。

1.行列式的定义

行列式是由一些数据排列成的方阵经过规定的计算方法而得到的一个数。当然，如果行列式中含有未知数，那么行列式就是一个多项式。它本质上代表一个数值，这点请与矩阵区别开来。矩阵只是一个数表，行列式还要对这个数表按照规则进一步计算,最终得到一个实数、复数或者多项式。

在二维平面中，矩阵行列式的绝对值代表一个平行四边形的面积，在三维空间中，矩阵行列式的绝对值代表一个平行六面体的体积：



2.行列式的性质

(1)单位矩阵的行列式为1

(2)交换任意的两行，行列式变号

(3)对任意一行来说，行列式是“线性”的





(4)如果行列式有两行相等或者是倍数关系，行列式值为0

(5)对角矩阵的行列式等于对角线上元素的乘积

(6)如果一个方阵的行列式不为0，那么它是可逆的，反之，如果一个方阵可逆，那么它的行列式不为0

(7)



(8)矩阵转置的行列式和原矩阵相同

代数余子式

伴随矩阵：伴随矩阵中的每个元素是原矩阵中该位置元素的代数余子式。

我们可以进一步通过伴随矩阵和行列式值来计算矩阵的逆：

，其中C T是矩阵的伴随矩阵。

 

 



 

 

知乎：行列式的本质是什么？

行列式就是线性变换的放大率！

行列式，记作 det(A)，是一个将方阵 A 映射到实数的函数。行列式等于矩阵特征值的乘积。行列式的绝对值可以用来衡量矩阵参与矩阵乘法后空间扩大或者缩小了多少。如果行列式是 0，那么空间至少沿着某一维完全收缩了，使其失去了所有的体积。如果行列式是 1，那么这个转换保持空间体积不变。

 

 

Reference

https://blog.csdn.net/JUNJUN_ZHAO/article/details/80268901