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  • 一、行列式 二、矩阵 三、方程组 四、分段函数

    一、行列式

     

    二、矩阵

     

    三、方程组

     

    四、分段函数

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  • 对于任何准三角Hopf代数,都存在满足Yang-Baxter方程的通用R矩阵。 众所周知,通用R矩阵对代数张量平方的元素的... 量子Yang-Baxter映射的准行列式的表达降低为行列式的比率,从而给出了经典Yang-Baxter映射的新表达。
  • 线性代数(12): 行列式

    2020-01-11 18:01:31
    文章目录1 什么是行列式2 行列式的基本性质3 行列式与矩阵的逆4 行列式的计算5 初等矩阵与行列式6 行式就是列式7 行列式的代数表达参考资料 注:转载请标明原文出处链接:...

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    注:转载请标明原文出处链接:https://xiongyiming.blog.csdn.net/article/details/103938987


    1 什么是行列式

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    在行列式中,向量排列的顺序是有意义的,交换两行,则行列式的值取反。




    2 行列式的基本性质


    性质:

    (1) 单位矩阵的行列式的值为1;

    (2) 交换行列式的两行,则行列式的值取反;

    (3) 方阵的某一行乘以一个数,则对应的行列式也缩放了k倍;

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    (4)

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    (5) 如果行列式的两行相同,则行列式的值为0;

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    (6) 如果行列式的一行是另一行的k倍,则行列式的值为0;

    (7) 如果行列式有一行为0,则行列式的值为0;

    (8) 如果行列式的一行是另一行的线性组合,则行列式的值为0;

    (9) 如果行列式的一行加(减)另一行的k倍,则行列式的值不变;

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    3 行列式与矩阵的逆

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    4 行列式的计算

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    5 初等矩阵与行列式

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    6 行式就是列式

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    7 行列式的代数表达

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    从上面可以看出,行列式的代数表达即为复杂,计算复杂度高。关于行列式的求解可以直接之前几节学习的内容(利用矩阵)即可。现代数学中,行列式更多是一个理论工具。





    参考资料

    [1] https://coding.imooc.com/class/260.html#Anchor

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  • 特别注意,行列式虽然表达为一系列数字数表,但是其本质式一个数,这个跟矩阵有本质区别. 二阶行列式 D=∣a11a12a21a22∣=a11a22−a12a21 D= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{...

    行列式

    特别注意,行列式虽然表达为一系列数字的数表,但是其本质式一个数,这个跟矩阵有本质的区别.

    二阶行列式

    D=a11a12a21a22=a11a22a12a21 D= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix} =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}

    三阶行列式

    D=a11a12a13a21a22a23a31a32a33 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31a11a23a32a12a21a33 D= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}\\ \space\\ =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}

    全排列与逆序数

    全排列(排列):把n个元数排成一排,就叫做这n个数全排列(也称排列)

    标准排列:先规定n个元素的一个先后次序标准,称这个排列为标准排列

    逆序数:当排列中的两个元素的先后顺序与标准排列的先后顺序不同时,则元素有1个逆序,一个排列所有逆序之和则为逆序数

    奇排列:逆序数为奇数的排列称为奇排列

    偶排列:逆序数为偶数的排列称为偶排列

    n阶行列式

    n阶行列式:

    Dn=det(aij)=a11a12...a1na21a22...a2n............an1an2...ann D_n= det(a_{ij})= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix}\\

    =(j1,j2,j3...jn)(1)t(j1,j2,j3...jn)a1ja2ja3j...anj =\sum_{(j_1,j_2,j_3...j_n)}(-1)^{t(j_1,j_2,j_3...j_n)}a_{1j}a_{2j}a_{3j}...a_{nj}
    其中:t(j1,j2,j3...jn)t(j_1,j_2,j_3...j_n)(j1,j2,j3...jn)(j_1,j_2,j_3...j_n)的逆序数,(j1,j2,j3...jn)\displaystyle\sum_{(j_1,j_2,j_3...j_n)}表示所有可能的n级排列之和
    。行列式DD可以简记为det(aij)det(a_{ij}),其中aija_{ij}表示行列式DD(i,j)(i,j)元。

    行列式的性质

    性质1:行列式与其转置行列式相等。

    例如:
    D=a11a12a13a21a22a23a31a32a33 D= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}\\
    DT=a11a21a31a12a22a32a13a23a33 D^T= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{21}&a_{31}\\ a_{12}&a_{22}&a_{32}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33} \end{vmatrix}\\
    性质2:互换行列式的两行(列),行列式变号。

    推论:行列式有两行(列)相同,则行列式等于0

    证明:根据性质2,将两个相同行(列)互换,则有:

    D=D D=-D
    故:D=0D=0

    性质3:行列式中的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数kk,等于用数kk乘以此行列式。

    例如:

    D=a11a12a13a21a22a23a31a32a33kD=a11a12a13ka21ka22ka23a31a32a33=a11ka12a13a21ka22a23a31ka32a33 D= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}\\ k*D= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ ka_{21}&ka_{22}&ka_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{11}&ka_{12}&a_{13}\\ a_{21}&ka_{22}&a_{23}\\ a_{31}&ka_{32}&a_{33} \end{vmatrix}

    性质4:如果行列式中又两行(列)的元素成比例,则行列式等于0

    性质5:如果行列式的某行(列)是两个数之和,如下:
    D=a11a12...a1i+a1i...a1na21a22...a2i+a2i...a2n..................an1an2...ani+ani...ann D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1i}+a'_{1i} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2i}+a'_{2i} & ... & a_{2n}\\ ...&...&...&...&...&...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{ni}+a'_{ni} & ... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}
    DD等于一下两个行列式之和:
    D=a11a12...a1i...a1na21a22...a2i...a2n..................an1an2...ani...ann+a11a12...a1i...a1na21a22...a2i...a2n..................an1an2...ani...ann D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1i} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2i} & ... & a_{2n}\\ ...&...&...&...&...&...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{ni} & ... & a_{nn}\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a'_{1i} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a'_{2i} & ... & a_{2n}\\ ...&...&...&...&...&...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a'_{ni} & ... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}

    性质6:将行列式的某一行(列)乘以同一数,然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变

    a11...a1i...a1j...a1na21...a2i...a2j...a2n.....................an1...ani...anj...ann=a11...a1i+ka1j...a1j...a1na21...a2i+ka2j...a2j...a2n.....................an1...ani+ka3j...anj...ann \begin{vmatrix} a_{11} & ... & a_{1i} & ... & a_{1j} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & ... & a_{2i} & ... & a_{2j} & ... & a_{2n}\\ ...&...&...&...&...&...&...\\ a_{n1} & ... & a_{ni} & ... & a_{nj} & ... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{11} & ... & a_{1i}+ka_{1j} & ... & a_{1j} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & ... & a_{2i}+ka_{2j} & ... & a_{2j} & ... & a_{2n}\\ ...&...&...&...&...&...&...\\ a_{n1} & ... & a_{ni}+ka_{3j} & ... & a_{nj} & ... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}
    注意:性质6特别重要,基本所有的行列式变换都可以用改性质求得

    克莱姆法则

    如果有n元一次非齐次方程组:

    {a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a23x3+...+a2nxn=b2a31x1+a32x2+a33x3+...+a3nxn=b3......an1x1+an2x2+an3x3+...+annxn=bn(1) \tag{1} \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+...+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+...+a_{2n}x_n=b_2\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+...+a_{3n}x_n=b_3\\ \kern{8em}......\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+a_{n3}x_3+...+a_{nn}x_n=b_n\\ \end{cases}
    如果线性方程组(1)(1)的系数行列式:

    D=a11a12a13...a1na21a22a23...a2na31a32a33...a3n...............an1an2an3...ann D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & ... & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & ... & a_{3n}\\ ...&...&...&...&...\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & ... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}
    如果DD不等于0,那么方程组有唯一解:

    x1=D1Dx2=D2Dx3=D3D......xn=DnD x_1=\dfrac{D_1}{D} \kern{1em} x_2=\dfrac{D_2}{D} \kern{1em} x_3=\dfrac{D_3}{D} \kern{1em} ...... \kern{1em} x_n=\dfrac{D_n}{D}
    其中:
    D1=b1a12a13...a1nb2a22a23...a2nb3a32a33...a3n...............bnan2an3...ann D2=a11b1a13...a1na21b2a23...a2na31b3a33...a3n...............an1bnan3...ann......Dj=a11a12a13a1(j1)b1a1(j+1)...a1na21a22a23a2(j1)b2a2(j+1)...a2na31a32a33a3(j1)b3a3(j+1)...a3n........................an1an2an3an(j1)bnan(j+1)...ann......Dn=a11a12a13...b1a21a22a23...b2a31a32a33...b3...............an1an2an3...bn D_1= \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} & a_{13} & ... & a_{1n}\\ b_2 & a_{22} & a_{23} & ... & a_{2n}\\ b_3 & a_{32} & a_{33} & ... & a_{3n}\\ ...&...&...&...&...\\ b_n & a_{n2} & a_{n3} & ... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}\\ \space\\ D_2= \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 & a_{13} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & b_2 & a_{23} & ... & a_{2n}\\ a_{31} & b_3 & a_{33} & ... & a_{3n}\\ ...&...&...&...&...\\ a_{n1} & b_n & a_{n3} & ... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}\\ \kern{3em}......\\ D_j= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1(j-1)} & b_1 & a_{1(j+1)} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{2(j-1)} & b_2 & a_{2(j+1)} & ... & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{3(j-1)} & b_3 & a_{3(j+1)} & ... & a_{3n}\\ ...&...&...&...&...&...&...&...\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & a_{n(j-1)} & b_n & a_{n(j+1)} & ... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}\\ \kern{3em}\\ ......\\ D_n= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & ... & b_1\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & ... & b_2\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & ... & b_3\\ ...&...&...&...&...\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & ... & b_n\\ \end{vmatrix}

    行列式按行展开

    余子式 : 去掉nn阶行列式中aija_{ij}元素的行(ii行)于列(jj列),剩下的元素组成的新的行列式,则为元aija_{ij}的余子式,记做MijM_{ij},记
    Aij=(1)i+jMij A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}
    为元aija_{ij}代数余子式

    ii行(列)展开
    Dn=det(aij)=a11a12...a1na21a22...a2n............an1an2...ann=j=1naijAiji(1,2,...,n) D_n= det(a_{ij})= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij} \kern{2em} i \isin (1,2,...,n)

    拉普拉斯展开

    行列式选中的某kk行(列)的所有kk阶子式,与其代数余子式的乘积之和等于行列式本身

    范德蒙德行列式

    形如:
    D=11...1x1x2...xnx12x22...xn2............x1n1x2n1...xnn1=Πnij1(xixj) D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & ... & 1\\ x_1 & x_2 & ... & x_n\\ x_1^2 & x_2^2 & ... & x_n^2\\ ... & ... & ... & ...\\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & ... & x_n^{n-1}\\ \end{vmatrix}=\Pi_{n \ge i \ge j \ge 1}(x_i-x_j)

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  • 1、 用ezplot求解隐函数时候输入了函数表达式一直报错 x-y*exp.^y cannot be plotted in the xy-plane. 百思不得其解 猛然发现我这里想表达的...2、多项式根求解,当行列式里面有未知量时候怎么办 syms x;...

    1、 用ezplot求解隐函数的时候输入了函数的表达式一直报错

    x-y*exp.^y cannot be plotted in the xy-plane.
    

    百思不得其解
    猛然发现我这里想表达的是 x = ye^y,下意识的把e改成了
    exp,也就是函数表达式变成了x-y*exp.^y,其实正确表达形式应该是x-y*exp(y)

    2、多项式根的求解,当行列式里面有未知量的时候怎么办

    syms x; %定义符号x
    X = [3-x 4 7 7;
        7 -1-x 3 1;
        10 9 x+2 2;
        5 8 4 1-2*x;]; %输入行列式
    fun=det(X)         %求解多项式的表达式
    
    

    运行:

    fun =
     
    - 2*x^4 + x^3 - 89*x^2 - 823*x - 1834
    

    然后就回到了roots求解多项式的根

    A=[-2,1,-89,-823,-1834];   %输入多项式的系数
    x=roots(A)                 %r = roots(A) 以列向量的形式r返回 A 表示的多项式的根。
    p=poly(x)                  %poly(x) 语法是生成对应根 x 的特征多项式
    
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  • 引言 情人节又称圣瓦伦丁节,是西方传统节日之一,在我国是每年公历2月14日,是一年中最浪漫节日,每个人表达爱意方式不同,例如:和心爱人看一场...行列式 ∣我生爱你你∣\begin{vmatrix} 我 & &生
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  • 线性代数(六)

    2018-07-14 15:25:19
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  • 常见几种矩阵分解方式

    万次阅读 多人点赞 2016-09-25 15:54:23
    对于学习过线性代数同学来说,这个过程应该很熟悉,线性代数考试中求行列式求逆一般都是通过这种方式来求解。然后,将原始矩阵A变为上三角矩阵过程,对应变换矩阵为一个下三角矩阵。这中间过程,就是...
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    2020-07-24 17:52:45
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    2020-05-07 22:22:21
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    2020-07-29 16:41:24
    对于学习过线性代数同学来说,这个过程应该很熟悉,线性代数考试中求行列式求逆一般都是通过这种方式来求解。然后,将原始矩阵A变为上三角矩阵过程,对应变换矩阵为一个下三角矩阵。这中间过程,就是...
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空空如也

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行列式的表达