一、行列式



 

二、矩阵



 

三、方程组



 

四、分段函数

文章目录
1 什么是行列式
2 行列式的基本性质
3 行列式与矩阵的逆
4 行列式的计算
5 初等矩阵与行列式
6 行式就是列式
7 行列式的代数表达
参考资料



注：转载请标明原文出处链接：https://xiongyiming.blog.csdn.net/article/details/103938987




1 什么是行列式












在行列式中，向量排列的顺序是有意义的，交换两行，则行列式的值取反。




2 行列式的基本性质


性质：
(1) 单位矩阵的行列式的值为1；
(2) 交换行列式的两行，则行列式的值取反；
(3) 方阵的某一行乘以一个数，则对应的行列式也缩放了k倍；



(4)



(5) 如果行列式的两行相同，则行列式的值为0；



(6) 如果行列式的一行是另一行的k倍，则行列式的值为0；
(7) 如果行列式有一行为0，则行列式的值为0；
(8) 如果行列式的一行是另一行的线性组合，则行列式的值为0；
(9) 如果行列式的一行加(减)另一行的k倍，则行列式的值不变；





3 行列式与矩阵的逆








4 行列式的计算














5 初等矩阵与行列式




6 行式就是列式











7 行列式的代数表达







从上面可以看出，行列式的代数表达即为复杂，计算复杂度高。关于行列式的求解可以直接之前几节学习的内容(利用矩阵)即可。现代数学中，行列式更多是一个理论工具。






参考资料
[1]  https://coding.imooc.com/class/260.html#Anchor

行列式
特别注意，行列式虽然表达为一系列数字的数表，但是其本质式一个数，这个跟矩阵有本质的区别.
二阶行列式
$D=
\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{vmatrix}
=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$
三阶行列式
$D=
\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{vmatrix}\\
\space\\
=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$
全排列与逆序数
全排列(排列)：把n个元数排成一排，就叫做这n个数全排列(也称排列)


标准排列：先规定n个元素的一个先后次序标准，称这个排列为标准排列


逆序数：当排列中的两个元素的先后顺序与标准排列的先后顺序不同时，则元素有1个逆序，一个排列所有逆序之和则为逆序数


奇排列:逆序数为奇数的排列称为奇排列


偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列

n阶行列式
n阶行列式：
$D_n=
det(a_{ij})=
\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\
...&...&...&...\\
a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}
\end{vmatrix}\\$
$=\sum_{(j_1,j_2,j_3...j_n)}(-1)^{t(j_1,j_2,j_3...j_n)}a_{1j}a_{2j}a_{3j}...a_{nj}$

其中：$t(j_1,j_2,j_3...j_n)$为$(j_1,j_2,j_3...j_n)$的逆序数，$\displaystyle\sum_{(j_1,j_2,j_3...j_n)}$表示所有可能的n级排列之和

。行列式$D$可以简记为$det(a_{ij})$,其中$a_{ij}$表示行列式$D$的$(i,j)$元。
行列式的性质
性质1：行列式与其转置行列式相等。


例如：

$D=
\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{vmatrix}\\$

$D^T=
\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{21}&a_{31}\\
a_{12}&a_{22}&a_{32}\\
a_{13}&a_{23}&a_{33}
\end{vmatrix}\\$

性质2：互换行列式的两行(列)，行列式变号。

推论：行列式有两行(列)相同，则行列式等于0


证明：根据性质2，将两个相同行(列)互换，则有：
$D=-D$

故：$D=0$
性质3：行列式中的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数$k$,等于用数$k$乘以此行列式。 


例如: 

$D=
\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{vmatrix}\\
k*D=
\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
ka_{21}&ka_{22}&ka_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
a_{11}&ka_{12}&a_{13}\\
a_{21}&ka_{22}&a_{23}\\
a_{31}&ka_{32}&a_{33}
\end{vmatrix}$
性质4:如果行列式中又两行(列)的元素成比例,则行列式等于0


性质5:如果行列式的某行(列)是两个数之和,如下:

$D=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1i}+a'_{1i} & ... & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2i}+a'_{2i} & ... & a_{2n}\\
...&...&...&...&...&...\\
a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{ni}+a'_{ni} & ... & a_{nn}\\
\end{vmatrix}$

则$D$等于一下两个行列式之和:

$D=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1i} & ... & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2i} & ... & a_{2n}\\
...&...&...&...&...&...\\
a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{ni} & ... & a_{nn}\\
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... & a'_{1i} & ... & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & ... & a'_{2i} & ... & a_{2n}\\
...&...&...&...&...&...\\
a_{n1} & a_{n2} & ... & a'_{ni} & ... & a_{nn}\\
\end{vmatrix}$
性质6:将行列式的某一行(列)乘以同一数,然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变
$\begin{vmatrix}
a_{11} & ... & a_{1i} & ... & a_{1j} & ... & a_{1n}\\
a_{21} & ... & a_{2i} & ... & a_{2j} & ... & a_{2n}\\
...&...&...&...&...&...&...\\
a_{n1} & ... & a_{ni} & ... & a_{nj} & ... & a_{nn}\\
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
a_{11} & ... & a_{1i}+ka_{1j} & ... & a_{1j} & ... & a_{1n}\\
a_{21} & ... & a_{2i}+ka_{2j} & ... & a_{2j} & ... & a_{2n}\\
...&...&...&...&...&...&...\\
a_{n1} & ... & a_{ni}+ka_{3j} & ... & a_{nj} & ... & a_{nn}\\
\end{vmatrix}$

注意:性质6特别重要,基本所有的行列式变换都可以用改性质求得
克莱姆法则
如果有n元一次非齐次方程组:


$\tag{1}
\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+...+a_{1n}x_n=b_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+...+a_{2n}x_n=b_2\\
a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+...+a_{3n}x_n=b_3\\
\kern{8em}......\\
a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+a_{n3}x_3+...+a_{nn}x_n=b_n\\
\end{cases}$

如果线性方程组$(1)$的系数行列式:


$D=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & ... & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & ... & a_{2n}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & ... & a_{3n}\\
...&...&...&...&...\\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & ... & a_{nn}\\
\end{vmatrix}$

如果$D$不等于0,那么方程组有唯一解:


$x_1=\dfrac{D_1}{D} \kern{1em} x_2=\dfrac{D_2}{D} \kern{1em} x_3=\dfrac{D_3}{D} \kern{1em} ...... \kern{1em} x_n=\dfrac{D_n}{D}$

其中:

$D_1=
\begin{vmatrix}
b_1 & a_{12} & a_{13} & ... & a_{1n}\\
b_2 & a_{22} & a_{23} & ... & a_{2n}\\
b_3 & a_{32} & a_{33} & ... & a_{3n}\\
...&...&...&...&...\\
b_n & a_{n2} & a_{n3} & ... & a_{nn}\\
\end{vmatrix}\\
\space\\
D_2=
\begin{vmatrix}
a_{11} & b_1 & a_{13} & ... & a_{1n}\\
a_{21} & b_2 & a_{23} & ... & a_{2n}\\
a_{31} & b_3 & a_{33} & ... & a_{3n}\\
...&...&...&...&...\\
a_{n1} & b_n & a_{n3} & ... & a_{nn}\\
\end{vmatrix}\\
\kern{3em}......\\
D_j=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1(j-1)} & b_1 & a_{1(j+1)} & ... & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{2(j-1)} & b_2 & a_{2(j+1)} & ... & a_{2n}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{3(j-1)} & b_3 & a_{3(j+1)} & ... & a_{3n}\\
...&...&...&...&...&...&...&...\\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & a_{n(j-1)} & b_n & a_{n(j+1)} & ... & a_{nn}\\
\end{vmatrix}\\
\kern{3em}\\
......\\
D_n=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & ... & b_1\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & ... & b_2\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & ... & b_3\\
...&...&...&...&...\\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & ... & b_n\\
\end{vmatrix}$
行列式按行展开
余子式 : 去掉$n$阶行列式中$a_{ij}$元素的行($i$行)于列($j$列),剩下的元素组成的新的行列式,则为元$a_{ij}$的余子式,记做$M_{ij}$,记

$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$

为元$a_{ij}$的代数余子式
按$i$行(列)展开

$D_n=
det(a_{ij})=
\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\
...&...&...&...\\
a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}
\end{vmatrix}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij} \kern{2em} i \isin (1,2,...,n)$
拉普拉斯展开
行列式选中的某$k$行(列)的所有$k$阶子式,与其代数余子式的乘积之和等于行列式本身
范德蒙德行列式
形如:

$D=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & ... & 1\\
x_1 & x_2 & ... & x_n\\
x_1^2 & x_2^2 & ... & x_n^2\\
... & ... & ... & ...\\
x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & ... & x_n^{n-1}\\
\end{vmatrix}=\Pi_{n \ge i \ge j \ge 1}(x_i-x_j)$

1、 用ezplot求解隐函数的时候输入了函数的表达式一直报错
x-y*exp.^y cannot be plotted in the xy-plane.

百思不得其解

猛然发现我这里想表达的是 x = ye^y，下意识的把e改成了

exp，也就是函数表达式变成了x-y*exp.^y，其实正确表达形式应该是x-y*exp(y)
2、多项式根的求解，当行列式里面有未知量的时候怎么办
syms x; %定义符号x
X = [3-x 4 7 7;
    7 -1-x 3 1;
    10 9 x+2 2;
    5 8 4 1-2*x;]; %输入行列式
fun=det(X)         %求解多项式的表达式


运行：
fun =
 
- 2*x^4 + x^3 - 89*x^2 - 823*x - 1834

然后就回到了roots求解多项式的根
A=[-2,1,-89,-823,-1834];   %输入多项式的系数
x=roots(A)                 %r = roots(A) 以列向量的形式r返回 A 表示的多项式的根。
p=poly(x)                  %poly(x) 语法是生成对应根 x 的特征多项式