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  • 行最简矩阵计算器
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    2020-12-06 13:15:21

    1252. 奇数值单元格的数目

    给你一个 n 行 m 列的矩阵,最开始的时候,每个单元格中的值都是 0。

    另有一个索引数组 indices,indices[i] = [ri, ci] 中的 ri 和 ci 分别表示指定的行和列(从 0 开始编号)。

    你需要将每对 [ri, ci] 指定的行和列上的所有单元格的值加 1。

    请你在执行完所有 indices 指定的增量操作后,返回矩阵中 「奇数值单元格」 的数目。

    ed74d17ea2682394943ddb3cf708a05c.png

    输入:n = 2, m = 3, indices = [[0,1],[1,1]]

    输出:6

    解释:最开始的矩阵是 [[0,0,0],[0,0,0]]。

    第一次增量操作后得到 [[1,2,1],[0,1,0]]。

    最后的矩阵是 [[1,3,1],[1,3,1]],里面有 6 个奇数。

    class Solution:
        def oddCells(self, n: int, m: int, indices: List[List[int]]) -> int:
            matrix=[[0]*m for _ in range(n)] #生成n行m列矩阵
            ans=0
            for x,y in indices:
                for i in range(n): #矩阵所有行第y列+1
                    matrix[i][y] +=1 
                for j in range(m): #矩阵所有列第x行+1
                    matrix[x][j] +=1
            for line in matrix:    #第一次for循环得到的是行
                for elem in line:  #第二次for循环得到的是每行里的元素
                    if elem%2==1:
                        ans+=1
            return ans

    867. 转置矩阵

    给定一个矩阵 A, 返回 A 的转置矩阵。矩阵的转置是指将矩阵的主对角线翻转,交换矩阵的行索引与列索引。

    思路:R*C的矩阵变成C*R的矩阵,ans[c][r]=A[r][c]

    class Solution(object):
        def transpose(self, A):
            R, C = len(A), len(A[0])
            ans = [[None] * R for _ in range(C)] #新矩阵 C行R列
            for r, row in enumerate(A):
                for c, val in enumerate(row):
                    ans[c][r] = val
            return ans

    118. 杨辉三角

    给定一个非负整数 numRows,生成杨辉三角的前 numRows 行。

    c20074498f3b1cbecdab660e6f686633.png
    输入: 5
    输出:
    [
         [1],
        [1,1],
       [1,2,1],
      [1,3,3,1],
     [1,4,6,4,1]
    ]

    解法一:推荐

    思路:插0

    1. j行的数据由j-1行算出
    2. j-1行的数据若为[1,3,3,1],前面插一个0,变成[0,1,3,3,1]
    3. 执行相加[0+1,1+3,3+3,3+1,1]=[1,4,6,4,1],当前数据=当前+下一个元素,最后一个1不修改
    4. 第0行特殊,为【1】,注意,第K行有第K+1个数据
    class Solution:
        def generate(self, numRows: int) -> List[List[int]]:
            if numRows<1:
                return []
            else:
                ans=[]
                r=[1]
                ans.append(r.copy())
                for i in range(1,numRows): #这里加不加1要看题目从是有第0行,还是从第一行开始算
                    r.insert(0,0)          #r.insert(index,object) 在index处插入object
                    for j in range(i):
                        r[j]=r[j]+r[j+1]
                    ans.append(r.copy())
                return ans

    解法二:

    class Solution:
        def generate(self, numRows: int) -> List[List[int]]:
            dp=[[0]*n for n in range(1,numRows+1)] 
            for i in range(numRows):
                dp[i][0]=dp[i][-1]=1
            for i in range(0,numRows):
                for j in range(0,i+1):
                    if(dp[i][j]==0):
                        dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j]
            return dp

    119. 杨辉三角 II

    给定一个非负索引 k,其中k ≤ 33,返回杨辉三角的第k行。

    输入: 3输出: [1,3,3,1]

    class Solution:
        def getRow(self, rowIndex: int) -> List[int]:
            r=[1]
            for i in range(1,rowIndex+1):
                r.insert(0,0)
                for j in range(i):
                    r[j]=r[j]+r[j+1]
            return r

    566. 重塑矩阵

    在MATLAB中,有一个非常有用的函数 reshape,它可以将一个矩阵重塑为另一个大小不同的新矩阵,但保留其原始数据。给出一个由二维数组表示的矩阵,以及两个正整数r和c,分别表示想要的重构的矩阵的行数和列数。重构后的矩阵需要将原始矩阵的所有元素以相同的行遍历顺序填充。如果具有给定参数的reshape操作是可行且合理的,则输出新的重塑矩阵;否则,输出原始矩阵。

    输入: 
    nums = 
    [[1,2],
     [3,4]]
    r = 1, c = 4
    输出: [[1,2,3,4]]
    解释:行遍历nums的结果是 [1,2,3,4]。新的矩阵是 1 * 4 矩阵, 用之前的元素值一行一行填充新矩阵。

    思路:先检查原矩阵是否能够重塑,矩阵先拉成一维,再重塑

    class Solution:
        def matrixReshape(self, nums: List[List[int]], r: int, c: int) -> List[List[int]]:
            if len(nums)*len(nums[0])!=r*c:
                return nums
            l=[]
            new=[]
            for i in nums:   #拉成一维
                l+=i
            for j in range(0,len(l),c):  #重塑
                new.append(l[j:j+c])
            return new

    766. 托普利茨矩阵

    如果一个矩阵的每一方向由左上到右下的对角线上具有相同元素,那么这个矩阵是托普利茨矩阵。给定一个 M x N 的矩阵,当且仅当它是托普利茨矩阵时返回 True。

    输入: 
    matrix = [
      [1,2,3,4],
      [5,1,2,3],
      [9,5,1,2]
    ]
    输出: True
    解释:
    在上述矩阵中, 其对角线为:
    "[9]", "[5, 5]", "[1, 1, 1]", "[2, 2, 2]", "[3, 3]", "[4]"。
    各条对角线上的所有元素均相同, 因此答案是True。

    思路:对角线法,对于(r1,c1),(r2,c2);r1-c1=r2-c2时,这两点属于同一个对角线

    让groups【r-c】存储每个对角线上遇到的第一个元素,如果之后遇到的任何一个值不等于之前存储的值,那么这个矩阵就是托普利茨矩阵,否则不是

    class Solution(object):
        def isToeplitzMatrix(self, matrix):
            groups={}
            for r,row in enumerate(matrix):
                for c,val in enumerate(row):
                    if r-c not in groups:
                        groups[r-c]=val
                    elif groups[r-c]!=val:
                        return False
            return True
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    从契克卡德开始,机械计算像一株微弱的小火苗,时而明亮,时而暗淡,在一小群“极客”的守护下顽强地燃烧了两个世纪。星星之火还未燎原,与数字打着交道的人们,仍被手动计算的繁重和易错折磨得焦头烂额。

    直到19世纪初,莱布尼茨逝世百年之后,一个技术精湛又有商业头脑的法国人,在弥补了步进计算器的缺陷之后,将机械计算推广到了全世界。

    他叫查尔斯·泽维尔·托马斯(Charles Xavier Thomas)。

    托马斯早年经历

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    查尔斯·泽维尔·托马斯(Charles Xavier Thomas),1785-1870,法国发明家、企业家。(图片来自维基百科)

    托马斯出生于法国莱茵河畔一个叫科尔马(Colmar)的美丽小镇,早年在军队工作,是整个法国军队后勤补给的检查员,繁重的计算使他萌生了建造实用机械计算器的想法。

    他总结了帕斯卡和莱布尼茨的经验教训,经过两年的潜心研究,在一位巴黎钟表匠的帮助下,于1820年完成了第一台原型机,并取得了专利。托马斯给了它一个极普通的名字——算术仪(arithmometer)。随后这台机器,和后续零零散散的几台改良机一起,在托马斯的工作台上搁置了30年之久。

    在1819年退伍之后,托马斯一头扎进了保险事业。

    19世纪动荡的法国没有健全的消防体系,少数大城市设立了专门的消防站,但装备简陋,队伍还主要是由非专业的志愿者组成的。每次发生火灾,损失都十分惨重。托马斯从中看到了火险的商机,特地到保险体系比较健全的英国学习系统知识,成为法国第一批开拓保险市场的商客。他分别在1829年和1843年创办了保险公司Le Soleil和L'Aigle,Soleil和Aigle在法语中分别是“太阳”和“鹰”的意思,前者象征法国先前的历代君王,后者象征拿破仑·波拿巴(Napoléon Bonaparte),这样就更全面地覆盖了当时政治信仰各不相同的客户。

    这两家公司在托马斯的经营下成长为法国保险业的龙头老大,在1946年国有化后运营至今。

    花甲之后,功成名就的托马斯终于重拾起年轻时的发明专利,把算术仪推向全世界成了他晚年的第二事业。这份事业,掀起了世界范围内计算方式的变革,算术仪的热销成为人类开启自动化计算时代的里程碑。

    算术仪

    采购算术仪的买家会得到一个质感厚重的木盒,打开盒盖,只见里头是一架结构精致的黄铜机械。算术仪有4种主流型号,分别支持10位数、12位数、16位数和20位数的计算,各型号机身的宽度都在18cm左右,高度约在10~15cm范围,长度与位数相关,10位算术仪约长45cm,20位算术仪约长70cm。

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    1875年生产的20位算术仪(图片来自维基百科)

    算术仪是对步进计算器的改进,机身同样分为可动和不动两大部分。

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    算术仪组成结构(原图来自维基百科)

    可动部分主要用于显示计算结果,以及计算手柄的旋转圈数,借助两侧的把手可以将其抬起并左右移动,这把手同时也是清零按钮,可以实现计算结果和旋转圈数的一键清零(左侧把手清零计算结果,右侧把手清零旋转圈数)。

    不动部分主要用于置数和计算,托马斯用滑钮代替传统的旋钮(这在后来也成为经典的输入装置之一),每个滑钮下都藏着一个阶梯轴,与阶梯轴啮合的是一个与滑钮联动的小齿轮,滑钮推到某个数字的位置,小齿轮就与阶梯轴相应数量的齿啮合。这样,相对“大块头”的阶梯轴就可以始终呆在原位,减少机械损耗。

    不论加减乘除,算术仪的计算手柄都是顺时针旋转的,托马斯设计了一个用于选择运算模式的滑钮,上下分别与一对朝向相反的锥形齿轮之一啮合,以此实现示数轮的正转与反转。

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    图片来自Youtube《How the Arithmometer Works》

    相比前面几位机械计算器的发明者,托马斯是幸运的。他的时代,有着更好的机械制造能力。在此基础上,他贴心的细节设计为用户提供了最大限度的便利,比如一键清零、滑钮置数、手柄始终顺时针旋转——正是这些看似微小的改进,使得算术仪虽与步进计算器的用法大致相似,却更受欢迎。

    为了提高可靠性,托马斯在内部结构的改进上下了更多功夫,比如考虑到手柄旋转过快可能导致齿轮由于惯性转过头,便引入了槽轮机构(Geneva drive)——一种可以严格限制受动轮旋转角度的装置。

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    图片来自Youtube《How the Arithmometer Works》

    在进位上,托马斯采用的仍是最简单的单齿机构,但结构精细,比前人的设计可靠得多。

    这台机器能力几何?据当时英国伦敦一本名为《绅士》的杂志报道,8位数乘8位数仅需18秒,16位数除以8位数仅需24秒,而借助它进行16位数的开平方运算也只需75秒。

    后话

    1851年,66岁的托马斯开始了算术仪的商业生产,作为一件正式商品,每台算术仪上都标有独一无二的产品序列号,并附带使用说明书。托马斯的尝试非常成功,他在余生的20年时间里卖出了大约1000台算术仪。

    1821年,托马斯因发明了算术仪而获得法国荣誉军团骑士勋章^1。1857年,他又因推广了算术仪的使用而获得军官勋章。

    除了托马斯的公司,整个欧洲还先后出现了约20家竞争对手。截至1915年停产,这些公司总共生产了约5500台算术仪,其中四成内销法国,六成出口世界。各国军队、政府、金融公司和科研机构纷纷采购,传统计算员的工作模式发生了质的改变。

    他们的习惯动作从计算尺的一抽一拉,变成了手柄的不停旋转,一个“手摇计算”的时代正式开启。

    参考文献

    • Wikipedia. Charles Xavier Thomas[EB/OL].
    • Wikipedia. Arithmometer[EB/OL].
    • J. Joly. Thomas de Colmar[EB/OL].
    • Wikipedia. Geneva drive[EB/OL].
    • 百度百科. 法国荣誉军团勋章[EB/OL].
    展开全文
  • 实际上,合同变换法可以看作配方法的矩阵形式,同时配备了一个替换矩阵储存计算器。因此在替换效果上是与配方法是一样的。为了体现二次型的标准形不是唯一的,上面的合同变换利用合同变换将二次型化为了规范形。 ...

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    前期回顾:通过《如何理解二次型的定义》,我们已经知道学习二次型的最佳办法是将其理解为一个二次方程,并研究如何将所有的二次方程图像进行分类。通过《如何理解二次型的线性替换》,可以知道非退化的线性替换实际是坐标系的替换导致的图像方程的改变,而常见的线性替换有配方法、合同变换法、正交替换法。《如何理解二次型的标准形和惯性定理》告诉我们了线性替换的终极目标。

    下面,让我们通过例子: 将二次型

    化为标准形,多角度、全方位来比较一下二次型的三种线性替换法的区别:

    一、线性替换之配方法

    • 难度系数:
    • 繁琐指数:
    • 效果指数:

    配方法的最大优势是技术要求不高。使用初中所学的多项式配方运算就可以得到二次型的标准形。但得到非退化替换矩阵,还是需要简单的矩阵线性运算+矩阵取逆运算。

    然而,配方法计算过程非常繁琐,需要不断地配方,记下每一次配方使用的替换矩阵。最终的替换矩阵还需要将所有配方得到的替换矩阵相乘、取逆才能得到。如果二次型的变量太多,配方法不是一个好的选择。

    下面用配方法来看一下文章开始的例子:

    可得二次型的标准形为:

    这里所用的替换公式可以通过取逆得到

    注意:这里仅仅配方了一次,多次配方会带来更加繁琐的计算。

    下面来看看配方法的实际效果: 令

    实际得到的是一个椭圆,上面的配方法的实际效果如下:

    00317f61ced62936861b0b30b22f7de3.png

    如果你懵了,请阅读《如何理解二次型的线性替换》。由上期内容《如何理解二次型的标准形和惯性定理》可以知道,上面的椭圆曲线在

    新坐标系下的方程为

    正惯性指数为2告诉我们:原来的曲线为一个椭圆(圆需要理解为特殊的椭圆哦)。

    57ec956ab0dba1de98b8620c9cc5fce9.png

    然而,如果想在

    坐标系下找出这个椭圆的长轴和短轴却不是一件很显然的事情。注意:坐标系改变诱导了坐标的变换,内积(长度)的计算公式也需要度量矩阵的帮助。从图中你会清晰的发现,
    坐标系中
    轴并不是椭圆的长轴与短轴。

    二、线性替换之合同变换法

    • 难度系数:
    • 繁琐指数:
    • 效果指数:

    合同变换法的技术要求一般,仅仅需要矩阵的初等行列运算。但是合同变换法的计算过程也是比较繁琐的,需要不断地进行矩阵的行列初等变换。它的优势在于:得到二次型的标准形的同时,也可以得到相应的替换矩阵。

    下面用合同变换法来看一下文章开始的例子:

    上面矩阵的合同变换可得二次型的标准形为:

    这里所用的替换公式为:

    注意:合同变换的第三步已经可以使二次型变为标准形。这个标准形与配方法得到的标准形是一致的。

    实际上,合同变换法可以看作配方法的矩阵形式,同时配备了一个替换矩阵储存计算器。因此在替换效果上是与配方法是一样的。为了体现二次型的标准形不是唯一的,上面的合同变换利用合同变换将二次型化为了规范形。

    可以知道二次曲线

    新坐标系下的方程为

    正惯性指数为2告诉我们原来的曲线为一个椭圆(圆依然需要理解为特殊的椭圆哦)。

    a4268426d083140614bd70cb156c936c.png

    同样的道理,如果让你在

    坐标系下找出这个椭圆的长轴和短轴却不是一件很容易的事情。

    72722c8d3dc0efa097e284f6a9d7b49b.png

    三、线性替换之正交变换法

    • 难度系数:
    • 繁琐指数:
    • 效果指数:

    正交替换法实际为实对称矩阵的相似对角化。它所需的技术要求比较高:特征值、特征向量、施密特正交化法等。当然,高技术带来的就是一级棒的替换效果。下面用正交替换法来看一下文章开始的例子:

    • 求得矩阵
      得特征值为

    • 分别解出特征向量、并单位化得

    上面的正交替换法使得二次型的标准形变成了

    所用的替换矩阵可以通过取逆得到

    注意:这里省略了特征值、特征向量等繁琐的计算。下面来看看配方法的实际效果:

    e3fca6cfb2520af0b4cbd43588e64852.png

    正交替换法提供了一个单位直角坐标系

    ,而且在这个坐标系中,原二次曲线的方程为

    578e622ca65c0e40704db4d96af7defa.png

    由高中的数学知识知道曲线为一个椭圆,

    坐标系中
    轴即为椭圆的长轴与短轴。椭圆的长短轴的长度也很容易计算。

    可以看出二次型的三种线性替换都有各自的优势,大家需要根据不同的需要选择不一样的线性替换。

    展开全文
  • 这是上一章21二次型的续章节。二次型(下)。本文重点介绍正定矩阵和正定二次型。内容简单,阅读时间四十五分钟内。...其特点是:(1)A的所有特征值都是正的(2)矩阵A行最简的主元都是正的。也就是对角阵...

    这是上一章21二次型的续章节。二次型(下)。

    本文重点介绍正定矩阵和正定二次型。内容简单,阅读时间四十五分钟内。

    本章参考视频有,厦门大学—高等代数、清华—线性代数(马辉)、麻省理工—线性代数

    本人只记录实用的,不会所有都写进去。

    正定矩阵虽然之前19章已经提到过,但具体的判定要需要学习。

    1、正定矩阵A是对称矩阵中的一种。其特点是:

    (1)A的所有特征值都是正的

    (2)矩阵A行最简的主元都是正的。也就是对角阵是正的,对角元也是正的。
    (3)正定矩阵A化为二次型后,

    (4)

    ,并且行列式detA>0

    以上4条,只要任意一条成立(其它三条也必然成立),即可以认为在对称矩阵的前提下,这个对称矩阵是“正定矩阵”。

    注意:

    可以将

    x写为[x1,x2,...,xn]

    xT写为:

    x1

    x2

    ...

    xn

    然后这两个向量再和A左右相乘。

    但其实 运用上一章二次型的方法,“将A矩阵去写成二次型方程”,就是

    比如:A矩阵为

    2 6

    6 20

    转为二次型为

    这个二次型刚好等于用三个矩阵相乘

    的值。

    2、半正定矩阵:

    正定矩阵行列式detA>0,而当行列式detA≥0时,这个对称矩阵是半正定矩阵。

    性质是:(基于首先是个对称矩阵的前提下)

    (1)每个特征值大于或等于0

    (2)detA≥0

    举个例子吧:

    有二阶矩阵A:

    2 6

    6 ?

    ?号这个位置,如果等于18就是半正定矩阵,因为行列式为0;如果大于18就是正定矩阵,det>0。

    另外如果是

    2 6

    6 18

    二次型判定即是:

    这个式子的结果 x存在有可能让整个式子等于0的情况,所以是半正定。

    对于

    2 6

    6 20

    这个式子的结果恒大于0,所以是正定。

    另外:

    通过矩阵是正定矩阵,我们可以转化为xTAx ,所代表的二次型方程的二阶导数必然为正数,那么即是有最小值。

    3、判定极大极小值:

    若二次型方程一阶导数必为0,则有极值,但不清楚极大还是极小;

    二阶导数为正,是最小值;是一个U型曲线

    二阶导数为负,是最大值。是一个倒U型曲线。

    引申:

    当det=0时,必能化简有0行或0列,为奇异矩阵(参见之前章节中“运转路线”)

    也就是说如果这是个半正定矩阵,那么一定是奇异矩阵,不可逆矩阵。

    如果是正定矩阵,就是非奇异的,可逆矩阵,满秩,不降维。

    4、正定二次型:

    (概念)

    在第1点补充注意部分,提及矩阵A可以写成

    ,去判断正定性质,

    而A矩阵用上一章“矩阵化二次型”的方法得到的“二次型方程”就正是

    那么,

    如果这个矩阵A对应的二次型方程,去除方程中未知数全部取0的情况,方程恒大于0,那这个二次型方程就称之为“正定二次型”。

    也就是:

    永远都大于0,

    且判定大于0的条件是基于“去除x1,x2,...xn全部取0”的情况。(注意:是不全为0,也就是多个未知数中,可以取0,但不要全部取0.)

    这就是正定二次型。

    判断正定二次型的计算方法和“不全为0”的理解,见本章第6点。

    5、负定型、半负定型、不定型、正定型、半正定型:

    正定矩阵对应正定二次型(正定型),

    半正定矩阵对应半正定二次型(半正定型),

    还有负定型、半负定型、不定型:

    看下书上概念:

    e93b44b359ea8478e88ddde76f06f67c.png

    注:

    上面的第五点可理解为:其它情形的 f 称为不定。

    00cd01fc31f55bdf45466a9f68fa125b.png

    6、判断正定二次型的计算方法: 配方法

    12fcadeba00341d406a60dd385cb89eb.png

    运用配方法:

    (1)化为:

    469c3249227c870d965837742296dacb.png

    可见如果不取0,这个方程恒大于0,所以它是正定矩阵。

    假若取0,为了不违反“未知数不能全为0”的先决条件,那只是x1取0,x2不能取0;

    又或者x2取0,x1不能取0,这样也可以。无论哪种情况,都是恒大于0,正定矩阵。

    (2)(3)

    305a7417ed8546f13f028ce3fde61e86.png

    (2)的情况,显然x1=x2时,方程为0;但如果x1不等于x2,方程大于0.

    所以方程≥0,为半正定矩阵、半正定型。

    (3)将 第一项拆分为

    ,然后和
    比较大小,发现当x1=1,x2=1,时候,左边为0.25,右边为四分之五,所以小减大是小于零的;但这个二次型方程更加易知大于0的情况。

    所以方程≥0,为半正定矩阵、半正定型。

    7、正定矩阵A的合同矩阵B(合同关系矩阵)仍然是正定的。

    以下对于正定矩阵互相等价的性质:

    fd211ce226c6bbb84fea8d6dc212cf44.png

    (6)A的所有顺序主子式皆大于0。(顺序主子式:参见第19章。补充:顺序主子式一定是从

    开始的。)

    A是n阶实对称矩阵,当存在下面任意一种情况,则(1)—(6)之间可以互推。

    p是正惯性。n是秩。

    注意:A正定,可推

    正定,合同关系下的B也正定,但A*B一般不正定。

    另外:正定矩阵里面的最大的数在正定矩阵的主对角线上。

    8、(题目)

    题目1:

    fbbf937f331547afa45b98bd1ca2bb2b.png

    3a9ac73faa926e31520864d795d86353.png

    思路:通过顺序主子式判断。

    题目2:

    75c3cc9564b751434301da06e3a6b9e9.png

    这一题:

    厦门大学 高等代数课程 第九章 二次型_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili

    最后一章节,第22分钟开始。本人没看。以后用到再学习。

    这是最后一道题目,也是我认为其他题目中,比较有用处的一道。

    有些怅怀,高代的二次就学完了,厦大的部分都完结了,虽不是特别完整,但于工作之中,追求实效,“实际”和“效率”,我对我自己是满意的,不是100分,可是我希望给自己打上100分的成绩。

    明天开始进入结束的章节:可能四天我就要结束代数的部分。

    奇异值分解,伪逆。


    (完)

    敬—高效现实的一天。

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