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  • 用数学公式角度理解傅里叶变换我们觉得傅里叶变换太难,除了它的概念不好理解之外,最重要的原因是高数没有学好,最基本的积分微分三角函数都不理解,这怎么能学好呢?比如书上给你一个最简单的公式,因为别人觉得...

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    用数学公式的角度理解傅里叶变换

    我们觉得傅里叶变换太难,除了它的概念不好理解之外,最重要的原因是高数没有学好,最基本的积分微分三角函数都不理解,这怎么能学好呢?比如书上给你一个最简单的公式,因为别人觉得这个公式太简单了,只要稍微学过高数的人都能推导出来,但是你的高数在一年级是没有好好学,到了二年级就基本全部忘光了。这学期来学习信号与系统当然难。不过没关系,本文将带你用最基本的数学公式来理解最复杂的傅里叶变换,包括指数形式和三角形式的傅里叶变换。

    什么是完备的三角正交基础

    在这个集合中任意两个函数不同的函数在一个周期内(如
    )的上下定积分为0。
    。则称
    在区间
    内正交(内即为0) 举一个最简单的例子:

    是奇函数在
    上的积分为0.其他的都是一样的。我就不多举例子了。

    傅里叶级数的公式的推导

    我们知道任意一个周期函数

    都能通过无限三角函数叠加得到。这一点我默认大家都会。那么这句话是不是可以当翻译为

    但是大家感觉这个公式好像和书本上的不大一样啊??? 其实书本上的公式就是这个式子变形过去的,但是书上并没有给出变形的过程,而是直接给出变了形之后的傅里叶级数的三角形式。搞的大家不知所云。看下面:

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    这样就得到书上得公式了。 现在我们来求

    • ;两边同时在一个周期内积分

    c886b9aa730285fbde02bc20638ef4b9.png

    可得

    • ;两边同时乘以

    时,
    正交为0 当
    时,
    不正交不为0

    所以

    • ;两边同时乘以
      方法和求
      的方法一模一样。这里就不重复了,自己动手试一下。 至此,我们就全部得到了傅里叶级数的三角形式了。 下面的这两种写法都对,一般我们写第二种。

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    指数形式的傅里叶级数

    上面我们知道了三角形式的傅里叶级数,下面我们来看看指数形式的傅里叶级数了

    欧拉公式

    别的不多说我们先来证明这个公式,另外我们在欧拉公式的时候要记上面那个公式,在此基础上会变形就可以了。 要推倒这个公式就必须会高数中的泰勒公式,如果你不知道泰勒公式,建议你去翻一下课本。 证明:

    这三个公式分别为其省略余项的麦克劳林公式,其中麦克劳林公式为泰勒公式的一种特殊形式在

    的展开式中把x换成

    所以可得:

    由此可得:
    所以:
    由上面的式子可以推导出:

    那么将这两个式子带去傅里叶级数的三角形式:

    2e8cb1c4dac71013195a2cf67269211a.png

    的方法很简单,直接把在最上面求得
    ,带入到
    中就求出来了。

    2de91fe6412825586d893b9caf39117b.png

    至此,傅里叶级数的三角形式和指数形式都推导出来了。这些式子都要自己一步一步推导出来,只有把这个公式理解了,才能进行后续的学习,要不然后面学习傅里叶变换你根本搞不清楚。比如,傅里叶级数是求周期信号的,傅里叶变换是求非周期信号的。因为非周期信号不好求,所以我们学了很多的傅里叶变换对,学了傅里叶变换的性质,当然学这些性质的目的一方面是为了我们更好的理解傅里叶变换,另一方面是为了我们能够方便我们利用数学公式来求解非周期信号的傅里叶变换和频谱。

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  • 进入圆周分孔后,代表起始角到终止角为逆时针方向将提示操作者输入参数:RADIUS半径ST.ANGLE起始角度(第一个孔中心在圆弧上的角度)END.ANGLE终止角度(最后一个孔中心在圆弧上的角度)HOLENUM分孔数DIRE...

    圆周分孔

    一、课题目的:

    1.

    掌握圆周分孔的铣削方法

    2.

    分析铣削中出现的问题和注意事项。

    二、功能介绍

    WE6800M-2

    系列数显表提供功能,可用于加工

    XY

    平面圆弧上均布分布的孔。

    进入圆周分孔后,代表起始角到终止角为逆时针方向将提示操作者输入参数:

    RADIUS

    半径

    ST.ANGLE

    起始角度(第一个孔中心在圆弧上的角度)

    END.ANGLE

    终止角度(最后一个孔中心在圆弧上的角度)

    HOLE NUM

    分孔数

    DIRECT

    角度方向

    注:

    1.

    角度方向分逆时针方向和顺时针方向,

    0

    代表起始角到终止角为逆时针方向、

    1

    代表起始角到终止角为顺时针方向。

    2.

    输入参数后数显表便自动计算出圆周各孔的位置,操作者按↓或↑选择孔号,

    然后铣刀移到

    X

    轴显示值为

    0.000

    Y

    轴显示值为

    0.000

    处,便是该孔的位置。

    三、课题所用工、夹、量具

    槽铣刀

    四、操作步骤

    1

    :在正常的显示状态时,将显示尺寸单位跳到工制:

    移动机床,将坐标原点设在

    O

    2

    :按

    ,进入圆周分孔功能。

    如果参数已输入,接着按

    ,直接进入加工状态。

    3

    :输入半径

    主视窗

    Y

    视窗显示原来设置的半径,副视窗显示“

    RADIUS

    依次按

    注:若输入半径为

    0

    ,系统会提示出错,并让用户重新输入。如果输入数位

    错误,在未按

    前,可直接按

    ,重新输入;如果已按下了

    ,进入下

    一个参数,则需要按

    ,回到半径设置,再进行设置。其它参数设置错

    误,也同样处理。

    4

    :输入起始角

    副视窗显示“

    ST.ANGLE

    ,Y

    视窗显示原来设置的起始角。

    依次按

    5

    :输入终止角

    副视窗显示“

    END.ANGLE

    ”,

    Y

    视窗显示原来设置的终止角。

    依次按

    6

    :输入分孔数

    副视窗显示“

    HOLENUM

    ,Y

    视窗显示上次设置的分孔数。

    依次按

    注:若输入分孔数小于

    2

    ,系统提示错误,并让用户重新输入。

    7:

    输入角度方向

    副视窗显示“

    DIRECT

    ,Y

    视窗显示原来的方向;

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  • 他看到朋友家里物品摆放一片混乱,所有物品摆放毫无规律可言,从数学的角度讲:所有物品在空间上杂乱无章的分布着。大概就如下图一般。这让傅里叶很不舒服,在他心里,一切事物都应该井井有条。于是,他开始帮朋友...

    有一天,傅里叶到朋友家做客。他看到朋友家里物品摆放一片混乱,所有物品摆放毫无规律可言,从数学的角度讲:所有物品在空间上杂乱无章的分布着。

    大概就如下图一般。

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    这让傅里叶很不舒服,在他心里,一切事物都应该井井有条。

    于是,他开始帮朋友整理这个房间,把所有物品归类,并摆放整齐,把一些不重要的垃圾扔掉。整理后,房间就变得如此整洁。

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    傅里叶非常享受这个过程,如果人生处处可以如此整洁干净该有多好。作为数学家的傅里叶发现,数学上的很多函数(周期函数,非周期函数,离散函数,连续函数)要么杂乱无章(非周期函数),要么单调冗长(周期函数),在傅里叶眼中,这些函数所代表的数据就像他朋友的房间一样杂乱无章,如果他能将这些数据整理归纳的有规律一些该有多好?

    傅里叶打算帮这个世界所有的函数和数据进行归纳整理,这可比帮朋友整理房间有趣得多,也有价值得多。于是,傅里叶先生提出了傅里叶变换,并且从数学上严格证明了傅里叶变换的可行性,并给出了傅里叶变换公式。

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    这只是其最基本的变换公式,已经足以让很多人放弃对傅里叶变换的热爱。今天,几乎所有工科类本科生都在学傅里叶变换,但是几乎所有人都学不明白,这是因为教材一上来就给你这两个枯燥无味而又繁杂无比的数学公式,他们从来也不告诉我们傅里叶为什么要做这项工作,以及做这项工作的意义是什么,也许那些讲课的老师也不知道。

    在很多对数学不感兴趣人的眼中,傅里叶变换就是一堆复杂的数学公式,让人摸不着头脑,又不知道傅里叶究竟在干什么。傅里叶变换就是把一堆时间上或空间上的函数或数据(在傅里叶眼中他们杂乱,冗余)进行统计、分类、归纳、整理,并在频率谱上进行展示。

    傅里叶想,当我们把自己的人生事件按照时间顺序展开以后也可以做成一个时间上的离散函数,随着时间的推移,我们不停地重复着吃喝拉撒睡等事件,如果你把这个函数拉长到人生的长度,你会发现这些数据杂乱无章又毫无头绪,人生事件在时间上展开得到的函数类似一个持续了两万多天的近似周期函数(因为每天我们在干很多重复的事情),这让热爱干净整洁的傅里叶受不了,我们的人生既然如此单调无聊,为什么还要花费如此多数据来存储这一生呢?

    人生时域图大概就像下图一样是一个单调(此处单调是无味的意思)冗长的近似周期函数。

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    傅里叶说,我有办法把这些数据变得更加有条理一些,你们要不要看。于是,傅里叶统计了人生各种事件发生的频率,比如频率最高的可能是睡觉、上厕所、吃饭、学习、闲聊、工作等事情,这样傅里叶只要把这些事件按照发生频率高低排列在坐标轴上,并记录各种事件发生频率,如此,你再来看人生事件统计图就变得清晰多了,你的一生可能是这样的:睡觉两万五千次,上厕所五万次,吃饭八万次。。。结婚一次,生孩子一次。。。

    人生事件经过傅里叶变换,人生就被拆解成如此简单。

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    同样描述一生的函数,傅里叶变换后的数据让我们从不同的角度看到了人生的真相,原来漫长的人生竟如此荒诞。我们还可以给这个图起名叫人生事件频谱图。傅里叶变换后的数据,不仅仅是对数据的重新归纳和整理,甚至是一种哲学思维方式,教会我们从不同侧面看待人生本质,很明显,傅里叶变换后的人生频谱图更接近人生真相,也更便于我们思考人生,进而改变人生。

    这样归纳整理后的好处:整洁,清晰,节省空间,甚至突破你看待问题的思维方式。

    你要记录自己一生的所有事件,原来需要1G的数据空间,现在1M的数据空间就够了,如果你想把一些不重要的数据(人生中只出现了非常少次数,而且没有任何价值的事件)忽略不计,可能只需要1K的数据就能存储下来,这在原来的时域空间里是非常困难的,因为这些不重要的事件混乱无章的夹插于人生的各个时间点,你很难将他们单独挑出来扔掉,但是从频率域来看,这些排在末尾的小事件一清二楚。

    如此看来,傅里叶变换又像一张簸箕,经过颠簸之后,它可以把重要的事情和不重要的事情进行分类,之后把那些不重要的事情去掉,以节省空间。这件事情在现代计算机数据编码上的应用非常广泛。我们每天在网络上浏览的图片、视频和音频数据,本质上他们都是杂乱无章的二进制数据比特流,从时域上看他们并没有太多的规律可言,如果你想把这些数据全部存储在网络上,这将耗费大量的数据空间,让人抓狂。

    在傅里叶眼中,这些数据就像人生事件一样,有大量的重复和冗余,也有大量的不重要信息夹杂其中,在时间域和空间域上我们没有办法很好的处理他们,但只要通过傅里叶变换,一旦进入频域这些数据就变得整洁有序,我们就可以轻松地处理它们,把那些末尾不重要的数据扔掉之后存储,这样数据就变得很小,需要的时候再进行傅里叶逆变换还原到时间域和空间域,它们就又变成原来的视频和音频信号,扔掉那些不重要的数据对画质和音质的损失并不明显,人眼看不出太多差别,但是对电脑存储器而言,极大地降低了存储负担。

    除此之外,傅里叶变换还在很多工程领域都有非常重要的作用,所以傅里叶变换才成了现在很多大学工科类本科生必修课程和理论,尽管如此,今天大多数本科生在学完傅里叶变换之后仍然是一脸迷茫,不知所云。如果按照我今天的故事重新思考傅里叶变换,之后再去看书上的理论和公式,会不会有不同的见解?

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    注意:以上关于傅里叶的所有故事纯属虚构。

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  • 在三维旋转理论体系中,罗德里格旋转公式(根据欧林·罗德里格命名)是在给定转轴和旋转角度后,旋转一个向量的有效算法。如果v是在中的向量,k是转轴的单位向量,θ是旋转角度(根据叉乘的方向确定正负号),那...

    (这是从维基百科拿来的公式)

    在三维旋转理论体系中,罗德里格旋转公式(根据欧林·罗德里格命名)是在给定转轴和旋转角度后,旋转一个向量的有效算法。如果v是在\mathbb{R}^3中的向量,k是转轴的单位向量,θ是旋转角度(根据叉乘方向确定正负号),那罗德里格旋转公式表达为:

    \mathbf{v}_\mathrm{rot} = \mathbf{v} \cos\theta + (\mathbf{k} \times \mathbf{v})\sin\theta  + \mathbf{k} (\mathbf{k} \cdot \mathbf{v}) (1 - \cos\theta).


    (以下是推导出的公式,可以直接编程使用了)


    输入:

    V = (vx, vy, vz) = (u, v, w),这是待旋转的一个向量。

    K = (kx, ky, kz) = (x, y, z),这是单位化后的转轴。

    输出:Vrot

    计算过程及公式:

    Vrot = V cosT + (K * V) sinT + K ( K . V) (1- cosT)

     = (u, v, w) cosT + (yw - zv, zu - xw, xv - yu) sinT + (x, y, z)(xu + yv + zw)(1 - cosT)


     Vrot.x = u cosT + (yw - zv) sinT + x (xu + yv + zw) ( 1- cosT)

     Vrot.y = v cosT + (zu - xw) sinT + y (xu + yv + zw) ( 1- cosT)

     Vrot.z = w cosT + (xv - yu) sinT + z (xu + yv + zw) ( 1- cosT)




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空空如也

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