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  • 一、雷达方程 二、三维ADC输出 三、距离、速度、角度计算

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    一、雷达方程

    二、距离、速度、角度理论


    一、雷达方程

    雷达方程又叫雷达距离方程,最大距离的计算。

    1.首先是发射功率Pt,发射天线增益G

    2.目标反射截面积RCS(Radar Cross-Section,σ西格玛)

    雷达散射截面是度量目标在雷达波照射下所产生回波强度的一种物理量,简称RCS。它是目标的假想面积,用一个各向均匀的等效反射器的投影面积来表示,该等效反射器与被定义的目标在接收方向单位立体角内具有相同的回波功率。一般用符号σ表示目标的雷达散射截面。有两种表达方式:

    1平方米:一架飞机的RCS不是一个单值,对于每个视角、不同雷达频率等都对应不同的RCS。例如F-16的某个波段的RCS值正前方为4平方米,而侧向则大于100平方米

    2分贝平方米(dBsm):用雷达散射截面的对数值的十倍来表示,符号是σdBsm,单位是分贝平方米(dBsm),即σdBsm=10lgσ。例如,RCS值0.1平方米对应的是-10分贝平方米(即-10dBsm)。

    目标处面积σ对于雷达天线所张的立体角为

    目标接收到的功率:

    3.目标截获到入射波功率后再均匀地向整个空间辐射,单位立体角内辐射功率为

    4.接收机接收到目标回波

    此时雷达天线接收到功率为:

    接收机能检测到回波信号的最小功率为S_min,即P_r >S_min(下面是P_r)

    于是:

    那么S_min 与什么有关呢

    6.最小检测功率

    考虑到实际损耗和环境因素,且雷达方程中存在有效反射面积和最小可检测信号,它们常作为估算值,反射截面积对不同目标有不同的定义,最小检测信号根据输入输出端损耗功率和检验统计量计算

    输出端噪声功率:

    输入端信号功率:

    最小可检测功率为:

    由此可得:

      

    信噪比为:

    接收机系统噪声功率:

    所以信噪比为

    得到:

    或者

    功率和dB的关系:

    dB的引入是为了把乘除关系变为加减便于工程运算。[dB] = 10lg(输出功率w/输出功率w),如输入功率为1w输出功率1000w,那么系统增益为10lg(1000/1) = 30dB;

    dBm表示功率的绝对值。最常用的单位1mW,与mW 有关的分贝单位就是 dBm。1mW=0dBm 、2mW =3dBm 、1000mW=30dBm;

    在雷达中由于最后表示的是接收功率与接收机噪音的比值,所以一般使用db进行加减运算

    二、距离、速度、角度理论

    3DFFT 分别在距离维,速度维,天线维FFT; 距离维有256个sample, 速度维有128个chirps,天线维角度维有4个通道;每个chirp采样256个点,涉及到采样定理,最终形成256x128x4cell

    测量距离:

    FMCW是连续波线性调频脉冲信号,fc是起始频率,fc+B/2 *k是中心频率,也叫载频.采样采集的是中频信号(如图4所示).

    所以

    但是实际情况下并非全采样,f_IF/ B = tao/T_pri, 代入tao,求得,d = C/2 * T_pri/ B * f_IF

    B' = B/(fs/n_sample *T_pri) = B/T_pri *n_sample *1/fs

    傅里叶变换理论:观测窗口(Tc)可以分辨间隔超过1/T HZ的频率分量,意味着频率差满足,就可以分辨出两个IF单音信号

    测量速度:

    经过CFAR检测之后然后检测峰值确实会得到Range 和Doppler的峰值索引,也就是多个chirps测速法,但是最大不模糊速度为十几m/s,在实际使用中并不满足需求超出不模糊速度就会产生速度模糊,因此需要对速度扩展,中国余数定理是很好的速度扩展算法,对速度进行解模糊。后面博客会对讲解中国余数定理原理和在雷达中的应用 。

    连续发射间隔Tc的连续波

    ,相位差,由此推导出速度 

    由于相位差在<Π时具有非模糊性,因此推导出最大速度

    速度分辨率

    ,  ,   由此可得 ΔV = λ/ (2*N*Tc)

    实际使用中为V=(doppler_bin -M/2 -1)*del_v = (-n_chirps/2:n_chirps -1)*lambda/(2*T_pri)

    测量角度:

    角度估计又叫DOA估计,关于角度估计的算法包括相关性测角,MUSIC,相位法测角,振幅法测角,后面会单独讨论测角算法,这里介绍基础的角度估计原理。

    角度分辨力:比如,如果有两个信号,一个在50度,另一个在52度,(都以某个方向为参考),如果有一阵列,主波束对准50度方向接收信号,但同时52度的信号也进来了,就说明它的角分辨力不够,接收时没法“区分开”这两个相差2度的信号;但如果52度的信号进不来,就说明这个阵的角分辨力至少可以小到2度。——角分辨力越高,越能分辨两个在方向上靠得很近的信号。上面说的其它信号“进不来”,是需要有量来说话的,通常有-3dB,-10dB等,比期望信号低这么多,就说信号“进不来”。

    角度准确度:衡量主波束最大增益方向(可以看成是波束的“顶点”)是不是“对准”了期望方向

    角度精度:精度”一般是指能精确到什么程度。比如,能到达1度、0.5度、0.05度等。不同应用对精度有不同要求。软硬件实现时,数字的位数(字的长度)对精度有很大影响。

    精度和准确度的关系:精度不够,也将导致偏差,即导致准确度下降,但二者的概念不等同。

    ,当l=λ/2 时为+-90°视场角.

    角度分辨率 λ/(N*d*cos(θ)),N表示接收天线的个数.

    通过CFAR已经可以估计出噪音的阈值,通过检测256*128单元与噪音+14db比较,然后又是局部3*3最大值,可以检测出目标;对于检测到的目标进行峰值细化,在单元R_bin + i*spec_2d/sum(i,j spec_2d) {i=-1,0,1,j=-1,0,1};D_bin + j*spec_2d/sum(i,j spec_2d) {i=-1,0,1,j=-1,0,1};i表示距离bin,j表示dopplerbin.

    基于相关性的角度估计算法首先要得到相关性曲线,然后进行相关操作和半波有效性检测即可,下面是线性阵列相关性曲线获得的方法

    c=3.0e8;
    f0=77.0e6;
    lambd=c/f0;
    d=[0,1,2,3]*lambd/2;
    real_angle= (0:180)*pi/180 - pi/2;
    fai = 2*pi*sin(real_angle')* d/lambd;
    for i=2:length(d)
        if ~isempty(find(fai(:,i) >=pi))
            fai(find(fai(:,i) >=pi),i) = fai(find(fai(:,i) >=pi),i)-2*pi;
        end
        if ~isempty(find(fai(:,i) <=-pi))
            fai(find(fai(:,i) <=-pi),i) = fai(find(fai(:,i) <=-pi),i)+2*pi;
        end
    end
    lut = exp(1*1i*fai);
    lut_deg =angle(lut);
    plot(real_angle*180/pi,lut_deg);

    参考链接:

    雷达角度精度设计:https://www.zhihu.com/question/419839750

    雷达反射截面积:http://blog.sina.com.cn/s/blog_4abb4fac0100f4ck.html

    雷达方程:

    https://wenku.baidu.com/view/c6f41d1b964bcf84b9d57bb8.html

    https://wenku.baidu.com/view/0047bd2e710abb68a98271fe910ef12d2bf9a949.html

    https://wenku.baidu.com/view/7d561fac360cba1aa811daa4.html

    毫米波雷达系统性能参数分析 https://blog.csdn.net/nuaahz/article/details/92842160

     

     

    展开全文
  • 数学角度计算

    千次阅读 2019-07-29 18:20:07
  • 从群论角度理解欧拉公式

    千次阅读 2017-11-25 00:00:00
    欧拉公式是我认为最美的公式,没有之一。他将自然底数e、圆周率π、虚数单位i、自然数的起始1用等号联系在一起,仿佛解释了世上数与数的关系。 >>>>  前段时间我们讲解了的内涵,今天我们来讲的含义。 ...

    欧拉公式是我认为最美的公式,没有之一。他将自然底数e、圆周率π、虚数单位i、自然数的起始1用等号联系在一起,仿佛解释了世上数与数的关系。

    >>>


    前段时间我们讲解了的内涵,今天我们来讲的含义。


    如果你稍微学过数学分析或者高等数学,想必你应该知道如下公式:



    当你学习这个公式的时候,你是否想过这个公式背后有哪些不可告人的秘密呢?华罗庚曾经写过这么一首诗:


    数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞;

    数无形时少直觉,形少数时难入微;

    数形结合百般好,隔离分家万事休;

    切莫忘,几何代数流一体,永远联系莫分离。


    所以,公式是不可思议的咒语,我们找到他背后的“形”来解开他的秘密。


    基础群论


    群论是研究对称性本质的一个领域。

    例如正方形是一个对称图形,什么意思呢?换句话说,你在正方形上施加哪些作用能使他和原来一样。例如:


    将他旋转90°

    以中轴为中心翻转


    我们把每一个作用称为“正方形的对称性”,而所有的对称性的组成是一个“对称群”,简称为“群”。


    同样,对于一个圆形来说,它以任意角度旋转都是对圆形的对称作用,这些作用落在 0到 2π 之间,这个我们称之为“旋转群”。这些作用的好处是,一个作用与圆上的一个点都是一一对应(也叫“映射”)的关系。


    当然群论不只是研究一个对称集合是什么,群论的核心是了解对称性之间如何相互影响。例如:


    在圆上,先逆时针旋转270°,再逆时针旋转120°,其效果等价于你直接逆时针旋转30°。

    所以在圆的旋转群中,270°+120°=30°。


    总的来说,群中存在某种运算使得作用A“加上”作用B等价于作用C。


    加法群和乘法群


    上面讲的东西都太过于陌生,我们来讲大家熟悉的东西——数。数包含了两个群:加法群和乘法群。


    对于一条直线来说,对他进行左右滑动操作都能使他与原来重合,这个群也叫:直线的对称群。他像圆一样,每个作用和直线上的每个点形成映射关系。举个例子:


    • 数字2,关联作用是数轴向右滑动2个单位长度。



    • 同理,-2,关联作用是数轴向左滑动2个单位长度。



    • 在实数中表达3+2=5,关联作用是数轴先向右滑动3个单位长度,再向右滑动2个单位长度,共滑动5个单位长度,这里不再作图演示。


    在这个群里,每个滑动作用都和唯一的实数关联,所以这个群有个特殊的名字“实数加法群”,如果我们将这个结果扩展到复数域会怎么样呢?显然也是适用的,如:2+2i关联作用是复平面先向右滑动2个单位,再向上滑动2个单位。这个群,我们称之为“复数加法群”。



    大家想想对于一条直线,还有其他作用使他与原来相同么?对的,压缩扩张,这个群又叫“压扩群”。同样,他也像“加法群”一样每个作用和直线上的每个点形成映射关系。举个例子:


    • 假设原点不动,数字2的关联作用是数轴上的1点被扩张两倍。    



    • 同理,假设原点不动,数字4的关联作用是数轴上的2点被扩张两倍。



    • 当然对于数字4,假设原点不动,你也可以把他的关联作用看成是数轴上的1点被扩张四倍,这里不再作图展示。


    在这个群里,每个压缩扩张作用都和唯一的实数关联,这个群同样有个特殊的名字“正实数乘法群”,如果我们将这个结果扩展到复数域会怎么样呢?例如2+2i,我们一起来尝试一下,同样,假设原点不动:



    然后,进行缩放:



    这次我们发现一个问题,无论我们怎么压扩,1点都无法离开实轴,所以,这个群不只有压缩扩张,还存在旋转。



    我们注意到,假设原点不动,i关联的作用是将1旋转90°。所以与 i 对应的乘法为旋转90°。如果我进行两次旋转,即让平面旋转180°:



    我们发现复平面上的任何一个点都可以通过先旋转,再缩放的形式求得,而这个群称为“复数乘法群”。举个例子:点2+i



    你可以这么想:我们先旋转约26.59°:



    然后再放大(根号5)倍:



    数字,不管是实数还是复数,都可以看作两个不同方式的群,他们既可以通过滑动得到,此时,群运算看上去是普通的加法运算;也可以通过旋转和缩放得到,此时,群运算看上去是普通的乘法运算。


    幂运算


    还记得你第一次学习幂运算时,老师怎么解释的吗?

    是两个2相乘。

    是三个2相乘。

    是两个2乘上三个2,共五个2

    不失一般性,对于正实数来讲:



    但是,当数域被扩充,我们会遇到幂是-1,1/2,甚至是i。前两者,我们让他们满足刚刚的公式,例如:定义为,因为所以,这种定义叫做“保持群结构”,有时我们会叫他为“良定义”。用原有思考方式很难得到i为幂的定义,但我们这样思考:


    假设,函数是映射关系,我输入x,他输出。比如,我输入2,他输出4。当我输入i的时候,他会映射到,这是一种我们没有见过的映射,根据以上启发,与i相关的运算可看成旋转。此时数学家想到,把虚轴映射成一个圆从而解决幂是虚数的问题。



    将垂直滑动映射成旋转,即将直线上的复数,也就是i的倍数,映射到单位圆上的复数。记得实数上e的定义是什么吗?对的,单位时间的增长倍数(如果这个地方不懂,请查看我前期文章:指数函数与自然对数)。为“保持群结构”,把直线1单位增长映射到圆上1弧度增长,即:。同理,直线2单位增长映射到圆上2弧度增长,即:。直线π个增长映射到圆上π个弧度,即:,即走过半个圆,这就是数字-1:



    前期解疑


    Q:自然对数与指数函数的关系,写得最好的是柯朗和约翰《微积分和数学分析引论》第一卷第二章。

    A:笔者也很喜欢柯朗的《微积分和数学分析引论》,我也推荐大家看柯朗的其他作品《什么是数学》《物理数学方法》等。

     

    Q:pai是圆的周长和直径比

    A:笔者手误,笔者能力有限,感谢大家指正!

     

    Q:原来的一美元(蓝点),一美元所赚得的一美分(绿点),五十美分所赚得的25美分(红点),中第二句是不是错了,我觉得是:一美元所赚得50美分(绿点)。

    A:笔者手误,感谢指正!应为:一美元所赚得的一美  元  (绿点),文章中所赚得的一美元是指最终赚的一美元,而非6月与12月的差。

     

    Q:年增长率位100%,假设第一年为1,第二年是2,第三年是4,第n年就是2的n次方,和e有什么关系!!!

    A:请查看前期文章:指数函数与自然对数

     

    Q:其中有个ln(4)你写成了ln(2)

    A:笔者手误,感谢指正!

     

    Q:坐等解释exp(复数)!!

    A:满足你愿望了吗?

     

    Q:我有一个问题,大家帮我想想,现在我把一元钱存银行,四年300%的利率,但是我存满两年就算取出来,请问我能取多少钱?

    A:首先,我们讲的是复利,而非单利,如果300%为复利,那么直接用我们所提供的公式代入两年进行运算即可。




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  • 在三维旋转理论体系中,罗德里格旋转公式(根据欧林·罗德里格命名)是在给定转轴和旋转角度后,旋转一个向量的有效算法。如果v是在中的向量,k是转轴的单位向量,θ是旋转角度(根据叉乘的方向确定正负号),那...

    (这是从维基百科拿来的公式)

    在三维旋转理论体系中,罗德里格旋转公式(根据欧林·罗德里格命名)是在给定转轴和旋转角度后,旋转一个向量的有效算法。如果v是在\mathbb{R}^3中的向量,k是转轴的单位向量,θ是旋转角度(根据叉乘方向确定正负号),那罗德里格旋转公式表达为:

    \mathbf{v}_\mathrm{rot} = \mathbf{v} \cos\theta + (\mathbf{k} \times \mathbf{v})\sin\theta  + \mathbf{k} (\mathbf{k} \cdot \mathbf{v}) (1 - \cos\theta).


    (以下是推导出的公式,可以直接编程使用了)


    输入:

    V = (vx, vy, vz) = (u, v, w),这是待旋转的一个向量。

    K = (kx, ky, kz) = (x, y, z),这是单位化后的转轴。

    输出:Vrot

    计算过程及公式:

    Vrot = V cosT + (K * V) sinT + K ( K . V) (1- cosT)

     = (u, v, w) cosT + (yw - zv, zu - xw, xv - yu) sinT + (x, y, z)(xu + yv + zw)(1 - cosT)


     Vrot.x = u cosT + (yw - zv) sinT + x (xu + yv + zw) ( 1- cosT)

     Vrot.y = v cosT + (zu - xw) sinT + y (xu + yv + zw) ( 1- cosT)

     Vrot.z = w cosT + (xv - yu) sinT + z (xu + yv + zw) ( 1- cosT)




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空空如也

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