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  • 两个向量相似度计算

    2021-08-18 16:29:39
    先将两个句子转换成向量。 将向量用余弦公式计算相似度

    先将两个句子转换成向量。

     将向量用余弦公式计算相似度

     

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  • 衡量两个向量相似度的方法:余弦相似度

    万次阅读 多人点赞 2019-08-03 15:40:33
    import numpy as np def cos_sim(vector_a, vector_b): ... 计算两个向量之间的余弦相似度 :param vector_a: 向量 a :param vector_b: 向量 b :return: sim """ vector_a = np.mat(vector_a) vector...

    余弦相似度

    在NLP的任务里,会对生成两个词向量进行相似度的计算,常常采用余弦相似度公式计算。

    余弦相似度用向量空间中两个向量夹角的余弦值作为衡量两个个体间差异的大小。余弦值越接近1,就表明夹角越接近0度,也就是两个向量越相似,这就叫"余弦相似性"。

    在这里插入图片描述
    我们知道,对于两个向量,如果他们之间的夹角越小,那么我们认为这两个向量是越相似的。余弦相似性就是利用了这个理论思想。它通过计算两个向量的夹角的余弦值来衡量向量之间的相似度值。

    公式如下:
    在这里插入图片描述

    实现方式

    手撸一个

    公式很简单,调用numpy基本运算手撸一个。

    def cos_sim(vector_a, vector_b):
        """
        计算两个向量之间的余弦相似度
        :param vector_a: 向量 a 
        :param vector_b: 向量 b
        :return: sim
        """
        vector_a = np.mat(vector_a)
        vector_b = np.mat(vector_b)
        num = float(vector_a * vector_b.T)
        denom = np.linalg.norm(vector_a) * np.linalg.norm(vector_b)
        sim = num / denom
        return sim
    

    sklearn.metrics.pairwise 包

    官方文档

    • cosine_similarity()
      传入一个变量a时,返回数组的第i行第j列表示a[i]与a[j]的余弦相似度。
    • pairwise_distances()
      该方法返回的是余弦距离,余弦距离= 1 - 余弦相似度,同样传入一个变量a时,返回数组的第i行第j列表示a[i]与a[j]的余弦距离。

    例子

    def learn_cosine_similarity():
        a = [[1, 3, 2], [2, 2, 1]]
        from sklearn.metrics.pairwise import cosine_similarity
        from sklearn.metrics.pairwise import pairwise_distances
        print('sim1:', cos_sim(a[0] ,a[1]))
        print('sim2:', cosine_similarity(a))
        print('sim3:', pairwise_distances(a,metric="cosine"))
    

    Output:

    sim1: 0.8908708063747479
    sim2: [[1.         0.89087081]
     [0.89087081 1.        ]]
    sim3: [[0.         0.10912919]
     [0.10912919 0.        ]]
    

    与欧几里得距离的联系

    在NLP任务比较词向量、实体向量相似度的场景中,例如Word2Vec,知识图谱实体向量做相似度计算时,对于目标向量进行归一化后,余弦距离和欧几里得距离具有单调性, 即:
    在这里插入图片描述
    在这个场景下,我们对于最终得到实体向量进行归一化后,用余弦距离或者用欧几里得距离就是等价的。

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  • 计算一组向量相似度

    2019-09-28 01:16:09
    以多维几何空间考虑,两组向量相似度可以描述为在多维几何空间中的距离关系,距离越远,相似度越低。对原文有修改,如有疑惑,请拜访原文。 原文地址:距离 计算 总结 在做分类时常常需要估算不同样本之间的...

            以多维几何空间考虑,两组向量的相似度可以描述为在多维几何空间中的距离关系,距离越远,相似度越低。对原文有修改,如有疑惑,请拜访原文。

            原文地址:距离       计算      总结       

            在做分类时常常需要估算不同样本之间的相似性度量(Similarity Measurement),这时通常采用的方法就是计算样本间的“距离”(Distance)。采用什么样的方法计算距离是很讲究,甚至关系到分类的正确与否。

      本文的目的就是对常用的相似性度量作一个总结。


    本文目录:

    4. 闵可夫斯基距离:1. 欧氏距离2. 曼哈顿距离3. 切比雪夫距离

    5. 标准化欧氏距离 6. 马氏距离

    7. 夹角余弦

    8. 汉明距离. 9. 杰卡德距离 & 杰卡德相似系数

    10. 相关系数 & 相关距离

    11. 信息熵

    1. 欧氏距离(Euclidean Distance)

           欧氏距离是最易于理解的一种距离计算方法,源自欧氏空间中两点间的距离公式。

    (1)二维平面上两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的欧氏距离:

    (2)三维空间两点a(x1,y1,z1)与b(x2,y2,z2)间的欧氏距离:

    (3)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的欧氏距离:

      也可以用表示成向量运算的形式:

    (4)Matlab计算欧氏距离

    Matlab计算距离主要使用pdist函数。若X是一个M×N的矩阵,则pdist(X)将X矩阵M行的每一行作为一个N维向量,然后计算这M个向量两两间的距离。

    例子:计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的欧式距离

    X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2]

    D = pdist(X,'euclidean')

    结果:

    D =

        1.0000    2.0000    2.2361


    2. 曼哈顿距离(Manhattan Distance)

           从名字就可以猜出这种距离的计算方法了。想象你在曼哈顿要从一个十字路口开车到另外一个十字路口,驾驶距离是两点间的直线距离吗?显然不是,除非你能穿越大楼。实际驾驶距离就是这个“曼哈顿距离”。而这也是曼哈顿距离名称的来源, 曼哈顿距离也称为城市街区距离(City Block distance)

    (1)二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的曼哈顿距离

    (2)两个n维向量a( x11,x12,…,x1n )与 b( x21,x22,…,x2n )间的曼哈顿距离

    (3) Matlab计算曼哈顿距离

    例子:计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的曼哈顿距离

    X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2]

    D = pdist(X, 'cityblock')

    结果:

    D =

         1     2     3


    3. 切比雪夫距离 ( Chebyshev Distance )

           国际象棋玩过么?国王走一步能够移动到相邻的8个方格中的任意一个。那么国王从格子(x1,y1)走到格子(x2,y2)最少需要多少步?自己走走试试。你会发现最少步数总是max( | x2-x1 | , | y2-y1 | ) 步 。有一种类似的一种距离度量方法叫切比雪夫距离。

    (1)二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的切比雪夫距离

    (2)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的切比雪夫距离

      这个公式的另一种等价形式是

           看不出两个公式是等价的?提示一下:试试用放缩法和夹逼法则来证明。

    (3)Matlab计算切比雪夫距离

    例子:计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的切比雪夫距离

    X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2]

    D = pdist(X, 'chebychev')

    结果:

    D =

         1     2     2


    4. 闵可夫斯基距离(Minkowski Distance)

    闵氏距离不是一种距离,而是一组距离的定义。

    (1) 闵氏距离的定义

           两个n维变量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的闵可夫斯基距离定义为:

    其中p是一个变参数。

    当p=1时,就是曼哈顿距离

    当p=2时,就是欧氏距离

    当p→∞时,就是切比雪夫距离

           根据变参数的不同,闵氏距离可以表示一类的距离。

    (2)闵氏距离的缺点

      闵氏距离,包括曼哈顿距离、欧氏距离和切比雪夫距离都存在明显的缺点。

      举个例子:二维样本(身高,体重),其中身高范围是150~190,体重范围是50~60,有三个样本:a(180,50),b(190,50),c(180,60)。那么a与b之间的闵氏距离(无论是曼哈顿距离、欧氏距离或切比雪夫距离)等于a与c之间的闵氏距离,但是身高的10cm真的等价于体重的10kg么?因此用闵氏距离来衡量这些样本间的相似度很有问题。

           简单说来,闵氏距离的缺点主要有两个:(1)将各个分量的量纲(scale),也就是“单位”当作相同的看待了。(2)没有考虑各个分量的分布(期望,方差等)可能是不同的。

    (3)Matlab计算闵氏距离

    例子:计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的闵氏距离(以变参数为2的欧氏距离为例)

    X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2]

    D = pdist(X,'minkowski',2)

    结果:

    D =

        1.0000    2.0000    2.2361


    5. 标准化欧氏距离 (Standardized Euclidean distance )

    (1)标准欧氏距离的定义

      标准化欧氏距离是针对简单欧氏距离的缺点而作的一种改进方案。标准欧氏距离的思路:既然数据各维分量的分布不一样,好吧!那我先将各个分量都“标准化”到均值、方差相等吧。均值和方差标准化到多少呢?这里先复习点统计学知识吧,假设样本集X的均值(mean)为m,标准差(standard deviation)为s,那么X的“标准化变量”表示为:

      而且标准化变量的数学期望为0,方差为1。因此样本集的标准化过程(standardization)用公式描述就是:

      标准化后的值 =  ( 标准化前的值  - 分量的均值 ) /分量的标准差

      经过简单的推导就可以得到两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的标准化欧氏距离的公式:

      如果将方差的倒数看成是一个权重,这个公式可以看成是一种加权欧氏距离(Weighted Euclidean distance)

    (2)Matlab计算标准化欧氏距离

    例子:计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的标准化欧氏距离 (假设两个分量的标准差分别为0.5和1)

    X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2]

    D = pdist(X, 'seuclidean',[0.5,1])

    结果:

    D =

        2.0000    2.0000    2.8284

     

    6. 马氏距离(Mahalanobis Distance)

    (1)马氏距离定义

           有M个样本向量X1~Xm,协方差矩阵记为S,均值记为向量μ,则其中样本向量X到u的马氏距离表示为:

           而其中向量Xi与Xj之间的马氏距离定义为:

           若协方差矩阵是单位矩阵(各个样本向量之间独立同分布),则公式就成了:

           也就是欧氏距离了。

      若协方差矩阵是对角矩阵,公式变成了标准化欧氏距离。

    (2)马氏距离的优缺点:量纲无关,排除变量之间的相关性的干扰。

    (3) Matlab计算(1 2),( 1 3),( 2 2),( 3 1)两两之间的马氏距离

    X = [1 2; 1 3; 2 2; 3 1]

    Y = pdist(X,'mahalanobis')

    结果:

    Y =

        2.3452    2.0000    2.3452    1.2247    2.4495    1.2247


    7. 夹角余弦(Cosine)

           有没有搞错,又不是学几何,怎么扯到夹角余弦了?各位看官稍安勿躁。几何中夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异,机器学习中借用这一概念来衡量样本向量之间的差异。

    (1)在二维空间中向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式:

    (2) 两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)的夹角余弦

           类似的,对于两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n),可以使用类似于夹角余弦的概念来衡量它们间的相似程度。

      即:

           夹角余弦取值范围为[-1,1]。夹角余弦越大表示两个向量的夹角越小,夹角余弦越小表示两向量的夹角越大。当两个向量的方向重合时夹角余弦取最大值1,当两个向量的方向完全相反夹角余弦取最小值-1。

           夹角余弦的具体应用可以参阅参考文献[1]。

    (3)Matlab计算夹角余弦

    例子:计算(1,0)、( 1,1.732)、( -1,0)两两间的夹角余弦

    X = [1 0 ; 1 1.732 ; -1 0]

    D = 1- pdist(X, 'cosine')  % Matlab中的pdist(X, 'cosine')得到的是1减夹角余弦的值

    结果:

    D =

        0.5000   -1.0000   -0.5000


    8. 汉明距离(Hamming distance)

    (1)汉明距离的定义

           两个等长字符串s1与s2之间的汉明距离定义为将其中一个变为另外一个所需要作的最小替换次数。例如字符串“1111”与“1001”之间的汉明距离为2。

           应用:信息编码(为了增强容错性,应使得编码间的最小汉明距离尽可能大)。

    (2)Matlab计算汉明距离

      Matlab中2个向量之间的汉明距离的定义为2个向量不同的分量所占的百分比。

           例子:计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的汉明距离

    X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2];

    D = PDIST(X, 'hamming')

    结果:

    D =

        0.5000    0.5000    1.0000


    9. 杰卡德相似系数(Jaccard similarity coefficient)

    (1) 杰卡德相似系数

           两个集合A和B的交集元素在A,B的并集中所占的比例,称为两个集合的杰卡德相似系数,用符号J(A,B)表示。

      杰卡德相似系数是衡量两个集合的相似度一种指标。

    (2) 杰卡德距离

           与杰卡德相似系数相反的概念是杰卡德距离(Jaccard distance)。杰卡德距离可用如下公式表示:

      杰卡德距离用两个集合中不同元素占所有元素的比例来衡量两个集合的区分度。

    (3) 杰卡德相似系数与杰卡德距离的应用

           可将杰卡德相似系数用在衡量样本的相似度上。

      样本A与样本B是两个n维向量,而且所有维度的取值都是0或1。例如:A(0111)和B(1011)。我们将样本看成是一个集合,1表示集合包含该元素,0表示集合不包含该元素。

    p :样本A与B都是1的维度的个数

    q :样本A是1,样本B是0的维度的个数

    r :样本A是0,样本B是1的维度的个数

    s :样本A与B都是0的维度的个数

    那么样本A与B的杰卡德相似系数可以表示为:

    这里p+q+r可理解为A与B的并集的元素个数,而p是A与B的交集的元素个数。

    而样本A与B的杰卡德距离表示为:

    (4)Matlab 计算杰卡德距离

    Matlab的pdist函数定义的杰卡德距离跟我这里的定义有一些差别,Matlab中将其定义为不同的维度的个数占“非全零维度”的比例。

    例子:计算(1,1,0)、(1,-1,0)、(-1,1,0)两两之间的杰卡德距离

    X = [1 1 0; 1 -1 0; -1 1 0]

    D = pdist( X , 'jaccard')

    结果

    D =

    0.5000    0.5000    1.0000


    10. 相关系数 ( Correlation coefficient )与相关距离(Correlation distance)

    (1) 相关系数的定义

    相关系数是衡量随机变量X与Y相关程度的一种方法,相关系数的取值范围是[-1,1]。相关系数的绝对值越大,则表明X与Y相关度越高。当X与Y线性相关时,相关系数取值为1(正线性相关)或-1(负线性相关)。

    (2)相关距离的定义

    (3)Matlab计算(1, 2 ,3 ,4 )与( 3 ,8 ,7 ,6 )之间的相关系数与相关距离

    X = [1 2 3 4 ; 3 8 7 6]

    C = corrcoef( X' )   %将返回相关系数矩阵

    D = pdist( X , 'correlation')

    结果:

    C =

        1.0000    0.4781

        0.4781    1.0000

    D =

    0.5219

          其中0.4781就是相关系数,0.5219是相关距离。


    11. 信息熵(Information Entropy)

           信息熵并不属于一种相似性度量。那为什么放在这篇文章中啊?这个。。。我也不知道。 (╯▽╰)

    信息熵是衡量分布的混乱程度或分散程度的一种度量。分布越分散(或者说分布越平均),信息熵就越大。分布越有序(或者说分布越集中),信息熵就越小。

           计算给定的样本集X的信息熵的公式:

    参数的含义:

    n:样本集X的分类数

    pi:X中第i类元素出现的概率

           信息熵越大表明样本集S分类越分散,信息熵越小则表明样本集X分类越集中。。当S中n个分类出现的概率一样大时(都是1/n),信息熵取最大值log2(n)。当X只有一个分类时,信息熵取最小值0


    参考资料:

    [1]吴军. 数学之美 系列 12 - 余弦定理和新闻的分类.

    http://www.google.com.hk/ggblog/googlechinablog/2006/07/12_4010.html

    [2] Wikipedia. Jaccard index.

    http://en.wikipedia.org/wiki/Jaccard_index

    [3] Wikipedia. Hamming distance

    http://en.wikipedia.org/wiki/Hamming_distance

    [4] 求马氏距离(Mahalanobis distance )matlab版

    http://junjun0595.blog.163.com/blog/static/969561420100633351210/

    [5] Pearson product-moment correlation coefficient

    http://en.wikipedia.org/wiki/Pearson_product-moment_correlation_coefficient

    转载于:https://www.cnblogs.com/wishchin/p/9199912.html

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  • 两个图片提取的两个特征向量,二维结构,结构如下: array([[ 2.62957041e+00, 7.46614219e-05, 2.37797423e-05, ..., -4.94050192e-04, 2.06032040e-03, 4.94050192e-04], [-1.05751487e+00, 0.00000000e+00...
  • 1.余弦相似度可用来计算两个向量的相似程度 对于如何计算两个向量的相似程度问题,可以把这它们想象成空间中的两条线段,都是从原点([0, 0, …])出发,指向不同的方向。两条线段之间形成一个夹角,如果夹角为0度,...

    1.余弦相似度可用来计算两个向量的相似程度

    对于如何计算两个向量的相似程度问题,可以把这它们想象成空间中的两条线段,都是从原点([0, 0, …])出发,指向不同的方向。两条线段之间形成一个夹角,如果夹角为0度,意味着方向相同、线段重合;如果夹角为90度,意味着形成直角,方向完全不相似;如果夹角为180度,意味着方向正好相反。因此,我们可以通过夹角的大小,来判断向量的相似程度。夹角越小,就代表越相似。

    以二维空间为例,上图的a和b是两个向量,我们要计算它们的夹角θ。余弦定理告诉我们,可以用下面的公式求得:

    假定a向量是[x1, y1],b向量是[x2, y2],那么可以将余弦定理改写成下面的形式:

    余弦的这种计算方法对n维向量也成立。假定A和B是两个n维向量,A是 [A1, A2, …, An] ,B是 [B1, B2, …, Bn] ,则A与B的夹角θ的余弦等于:

    余弦值越接近1,就表明夹角越接近0度,也就是两个向量越相似,这就叫"余弦相似性"。

    余弦值的范围在[-1,1]之间,值越趋近于1,代表两个向量的方向越接近;越趋近于-1,他们的方向越相反;接近于0,表示两个向量近乎于正交。

    特殊情况分析:

    (1)夹角为0度 :此时向量A与向量B应该是最相似的,余弦相似度应该为1。按照公式(4),我们计算很容易计算出来cosθ=1。

    (2)夹角为90度 :此时余弦相似度为0。

    (3)夹角为180度 :此时余弦相似度为-1,两个向量的方向完全相反。

    一般情况下,相似度都是归一化到[0,1]区间内,因此余弦相似度表示为 cosineSIM = 0.5cosθ + 0.5

    1. 余弦相似度的python实现

    复制代码

    import numpy as np

    def bit_product_sum(x, y):
    return sum([item[0] * item[1] for item in zip(x, y)])

    def cosine_similarity(x, y, norm=False):
    “”" 计算两个向量x和y的余弦相似度 “”"
    assert len(x) == len(y), “len(x) != len(y)”
    zero_list = [0] * len(x)
    if x == zero_list or y == zero_list:
    return float(1) if x == y else float(0)

    # method 1
    res = np.array([[x[i] * y[i], x[i] * x[i], y[i] * y[i]] for i in range(len(x))])
    cos = sum(res[:, 0]) / (np.sqrt(sum(res[:, 1])) * np.sqrt(sum(res[:, 2])))
    
    # method 2
    # cos = bit_product_sum(x, y) / (np.sqrt(bit_product_sum(x, x)) * np.sqrt(bit_product_sum(y, y)))
    
    # method 3
    # dot_product, square_sum_x, square_sum_y = 0, 0, 0
    # for i in range(len(x)):
    #     dot_product += x[i] * y[i]
    #     square_sum_x += x[i] * x[i]
    #     square_sum_y += y[i] * y[i]
    # cos = dot_product / (np.sqrt(square_sum_x) * np.sqrt(square_sum_y))
    
    return 0.5 * cos + 0.5 if norm else cos  # 归一化到[0, 1]区间内
    

    if name == ‘main’:
    print cosine_similarity([0, 0], [0, 0]) # 1.0
    print cosine_similarity([1, 1], [0, 0]) # 0.0
    print cosine_similarity([1, 1], [-1, -1]) # -1.0
    print cosine_similarity([1, 1], [2, 2]) # 1.0
    print cosine_similarity([3, 3], [4, 4]) # 1.0
    print cosine_similarity([1, 2, 2, 1, 1, 1, 0], [1, 2, 2, 1, 1, 2, 1]) # 0.938194187433

    复制代码

    1. 余弦相识度 vs 欧氏距离

    余弦距离使用两个向量夹角的余弦值作为衡量两个个体间差异的大小。相比欧氏距离,余弦距离更加注重两个向量在方向上的差异。

    借助三维坐标系来看下欧氏距离和余弦距离的区别:

    从上图可以看出,欧氏距离衡量的是空间各点的绝对距离,跟各个点所在的位置坐标直接相关;而余弦距离衡量的是空间向量的夹角,更加体现在方向上的差异,而不是位置。

    如果保持A点位置不变,B点朝原方向远离坐标轴原点,那么这个时候余弦距离是保持不变的(因为夹角没有发生变化),而A、B两点的距离显然在发生改变,这就是欧氏距离和余弦距离之间的不同之处。

    欧氏距离和余弦距离各自有不同的计算方式和衡量特征,因此它们适用于不同的数据分析模型:

    欧氏距离能够体现个体数值特征的绝对差异,所以更多的用于需要从维度的数值大小中体现差异的分析,如使用用户行为指标分析用户价值的相似度或差异。
    余弦距离更多的是从方向上区分差异,而对绝对的数值不敏感,更多的用于使用用户对内容评分来区分兴趣的相似度和差异,同时修正了用户间可能存在的度量标准不统一的问题(因为余弦距离对绝对数值不敏感)。
    

    正因为余弦相似度在数值上的不敏感,会导致这样一种情况存在:

    用户对内容评分,按5分制,X和Y两个用户对两个内容的评分分别为(1,2)和(4,5),使用余弦相似度得到的结果是0.98,两者极为相似。但从评分上看X似乎不喜欢2这个 内容,而Y则比较喜欢,余弦相似度对数值的不敏感导致了结果的误差,需要修正这种不合理性就出现了调整余弦相似度,即所有维度上的数值都减去一个均值,比如X和Y的评分均值都是3,那么调整后为(-2,-1)和(1,2),再用余弦相似度计算,得到-0.8,相似度为负值并且差异不小,但显然更加符合现实。 那么是否可以在(用户-商品-行为数值)矩阵的基础上使用调整余弦相似度计算呢?从算法原理分析,复杂度虽然增加了,但是应该比普通余弦夹角算法要强。

    1. 在计算文本相似度上基本流程

    (1)使用TF-IDF算法,找出两篇文章的关键词;

    (2)每篇文章各取出若干个关键词(比如20个),合并成一个集合,计算每篇文章对于这个集合中的词的词频(为了避免文章长度的差异,可以使用相对词频);

    (3)生成两篇文章各自的词频向量;

    (4)计算两个向量的余弦相似度,值越大就表示越相似。

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空空如也

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