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  • 频谱功率谱

    万次阅读 2019-07-03 19:31:10
    功率谱功率谱功率谱密度函数的简称,是在有限信号的情况下,单位频带范围内信号功率的变换状况,功率随频率而变化,即信号功率在频域的分布状况,从而表现成为功率谱,它是专门对功率能量的可...

    1.首先进行定义分析

    频谱:频谱是频率谱密度的简称,是频率的分布曲线。复杂振荡分解为振幅不同和频率不同的谐振荡,这些谐振荡的幅值按频率排列的图形叫做频谱。频谱将对信号的研究从时域引入到频域,从而带来更直观的认识。

    功率谱:功率谱是功率谱密度函数的简称,是在有限信号的情况下,单位频带范围内信号功率的变换状况,功率随频率而变化,即信号功率在频域的分布状况,从而表现成为功率谱,它是专门对功率能量的可用有限信号进行分析所表现的能量。它含有频谱的一些幅度信息,不过相位信息被舍弃掉了。

    功率谱表示了信号功率随着频率的变化关系。 常用于功率信号(区别于能量信号)的表述与分析,其曲线(即功率谱曲线)一般横坐标为频率,纵坐标为功率。由于功率没有负值,所以功率谱曲线上的纵坐标也没有负数值,功率谱曲线所覆盖的面积在数值上等于信号的总功率(能量)。

    对比分析:

    相比之下,频谱极为不严格,主要是体现信号的平均变换,要求的只是一段时间平均量。

    所以经常说在频谱信号不同的情况下,它的功率谱很可能是一样的。

     

    2、方式

    功率谱是对信号研究,不过它是从能量的方面来对信号研究的。

    而频谱也是用来形容信号的,只是的表示方式变了,从时域转变成了频域表示,也就是说一种信号的表示方式不同而已。

    功率谱与频谱和的区别归根结底就是信号、功率、能量三者之间的关联

    3、计算

    功率谱的计算需要信号先做自相关,然后再进行FFT运算。

    频谱的计算则是将信号直接进行FFT就行了

     

    4.1频谱程序test

    clf;fs=100; %采样频率
    Ndata=32; %数据长度
    N=32; %FFT的数据长度
    n=0:Ndata-1;t=n/fs;    %数据对应的时间序列
    x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);    %时间域信号
    y=fft(x,N);    %信号的Fourier变换
    mag=abs(y);     %求取振幅
    f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率
    subplot(2,2,1),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅
    xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');
    title('Ndata=32 Nfft=32');grid on;
    Ndata=32;    %数据个数
    N=128;      %FFT采用的数据长度
    n=0:Ndata-1;t=n/fs;    %时间序列
    x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
    y=fft(x,N);
    mag=abs(y);
    f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率
    subplot(2,2,2),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅
    xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');
    title('Ndata=32 Nfft=128');grid on;
    Ndata=136;    %数据个数
    N=128;      %FFT采用的数据个数
    n=0:Ndata-1;t=n/fs; %时间序列
    x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
    y=fft(x,N);
    mag=abs(y);
    f=(0:N-1)*fs/N;    %真实频率
    subplot(2,2,3),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅
    xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');
    title('Ndata=136 Nfft=128');grid on;
    Ndata=136;     %数据个数
    N=512;     %FFT所用的数据个数
    n=0:Ndata-1;t=n/fs; %时间序列
    x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
    y=fft(x,N);
    mag=abs(y);
    f=(0:N-1)*fs/N;    %真实频率
    subplot(2,2,4),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅
    xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');
    title('Ndata=136 Nfft=512');grid on;

    %所有的去基线漂移的方法以及用pWelch方法求功率谱
    clear 
    load('I:\20190502data\testlfp4.mat');
    sig_raw=lfp4;
    NLen=length(sig_raw);
    fs=1000;%采样频率,可从软件上设定
    Ts=1/fs;%时间间隔为采样频率的倒数
    n=0:1/fs:1;
    nfft=1024;
    window=hanning(250);
    noverlap=20; %数据无重叠
    range='onesided'; %频率间隔为[0 Fs/2],只计算一半的频率

    %方法1:低通
    %思路为低通得到趋势线,然后做差
    fmaxd=5;%截止频率为3Hz
    fmaxn=fmaxd/(fs/2);
    [b,a]=butter(1,fmaxn,'low');
    dd=filtfilt(b,a,lfp4);%通过5Hz低通滤波器的信号
    Y1=lfp4-dd;          %去除这一段信号,得到去基线漂移的信号
    %绘图
    figure()
    subplot(3,1,1),plot(lfp4,'b');xlabel('原始信号');
    subplot(3,1,2),plot(dd,'b');xlabel('趋势线');
    subplot(3,1,3),plot(Y1,'b');xlabel('去除基线漂移的信号')
    title('lowpass');
    x1=Y1;
    [Pxx_1,f_1]=pwelch(x1,window,noverlap,nfft,fs,range);
    figure()
    plot(f_1,Pxx_1);
    xlim([0 100]);
    xlabel('Frequency (Hz)');
    title('Welch Power Spectral Density Estimate');
    ylabel('Power/frequency (dB/Hz)');
    grid on;
    %method2  highpass
    [bbw,abw]=cheby1(4,0.5,1.5/180,'high');
    Y2=filtfilt(bbw,abw,lfp4); 
    figure()
    subplot(2,1,1),plot(lfp4);xlabel('原始信号');
    subplot(2,1,2),plot(Y2);xlabel('去除基线漂移的信号');
    title('highpass');
    [Pxx_2,f_2]=pwelch(Y2,window,noverlap,nfft,fs,range);
    figure()
    plot(f_2,Pxx_2);
    xlim([0 100]);
    xlabel('Frequency (Hz)');
    title('Welch Power Spectral Density Estimate');
    ylabel('Power/frequency (dB/Hz)');
    grid on;

    %wavelet

    x=lfp4;
    y3 = DeBaseline_Wavelet(x);
    figure()
    subplot(211)
    plot(x);
    subplot(212);
    plot(y3);
    title('wavelet');
    [Pxx_3,f_3]=pwelch(y3,window,noverlap,nfft,fs,range);
    figure()
    plot(f_3,Pxx_3);
    xlim([0 100]);
    xlabel('Frequency (Hz)');
    title('Welch Power Spectral Density Estimate');
    ylabel('Power/frequency (dB/Hz)');
    grid on;
    function y = DeBaseline_Wavelet(x)
    s = x;
    maxlev=7; %分解6尺度
    wavename ='coif5'; %小波函数名称(需根据信号定)
    [C,L] = wavedec(s,maxlev,wavename);
    %提取分解后逼近系数和细节系数
    A7=appcoef(C,L,wavename,7);

    D1=detcoef(C,L,1);
    D2=detcoef(C,L,2);
    D3=detcoef(C,L,3);
    D4=detcoef(C,L,4);
    D5=detcoef(C,L,5);
    D6=detcoef(C,L,6);
    D7=detcoef(C,L,7);

    %将第一尺度置零
    D1= zeros(1,length(D1))'; %去掉高频噪声
    D2= zeros(1,length(D2))';
    A7=zeros(1,length(A7));
    C2 = [A7,D7',D6',D5',D4',D3',D2',D1']; %新的系数
    y = (waverec(C2,L,wavename))'; %重构去基线后信号
    end

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  • 来源:CSDN liyuanbhu 的博客 。...其中,准确的说明功率谱密度的概念需要用到一点平稳随机过程的知识,考虑多数人对随机过程不太了解,我这里尽量只用最简单的傅立叶分析的基本概念来说明,这样虽...

    5b3e168c8abc348f6326965a17f93ec8.png

    来源:CSDN liyuanbhu 的博客 。


    在做声学信号处理时,经常会遇到下面几个概念:能谱、功率谱、倍频程谱、1/3 倍频程谱,这些概念有区别也有联系。大家谈论问题时,经常将其中一些概念混用。以下将这几种术语做一个梳理,记录在这里。其中,准确的说明功率谱密度的概念需要用到一点平稳随机过程的知识,考虑到多数人对随机过程不太了解,我这里尽量只用最简单的傅立叶分析的基本概念来说明,这样虽然不太严谨,但是对于我们平常的应用来说也够用了。

    时域信号可以表示为时间t 的函数x(t)。如果这个信号满足绝对可积条件,即要求:

    158b7c959b441835a44dee87b0427262.png

    那么,这个信号就有傅立叶变换:

    8685bfd455f5ac4c362004bd85aae775.png

    8e472344256f47bd272098f735d22202.png

    其中X(f) 称为信号的频率谱密度,简称频谱 (spectrum)。|X(f)| 称为振幅谱 (amplitude spectrum),argX(f) 称为相位谱 (phase spectrum)。

    信号的能量定义为:

    2639638d8d3f7f2389312b9b928c5d5a.png

    对于能量无限的信号我们可以计算其平均功率:

    080907f09382de50cd7cbbd29b7b908d.png

    对于能量无限但是平均功率有限的信号,我们称之为功率信号。由帕塞瓦尔 (Parseval) 等式可知有如下等式:

    debca1d3c50365a327577b16e2aa32e7.png

    其中第一项我们通常称为信号的能量,因此,|X(f)|² 就被称为信号的能量谱密度,简称能谱 (Energy spectrum)。

    对于功率信号:

    56d6aeb5bd15083f3cf5f3f2ea477107.png

    这时我们称:

    3de06afb0e7933f9159647330bc3f68d.png

    186b3b03b2e5043e9a0b6f8ff30f3f39.png

    为信号的功率谱密度 (power spectral density, PSD),或者谱功率分布 (spectral power distribution, SPD),简称功率谱 (power spectrum)。功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数 (W/Hz) 表示。

    信号的功率谱密度,信号自相关函数的傅里叶变换。只有当且仅当信号是广义的平稳过程的时候,功率谱密度才存在。如果信号不是平稳过程,那么自相关函数一定是两个变量的函数,这样就不存在功率谱密度,但是可以使用类似的技术估计时变谱密度。我们看到求取功率谱密度时有个取极限的过程。实际计算时,通常是取有限的一段时间,并对信号采样。设采集频率为fs,采样时间间隔为Δ。那么,离散信号x[n] 与连续信号x(t) 的关系如下:

    537f134d5c0aa90da3a8455634906ce0.png

    这时的平均功率为:

    ad7f78368ff7e094ba187195f625bf1a.png

    离散傅立叶变换表达式如下:

    69527cd39173d23c3a03cfaec17b877e.png

    cec08a2aff37d121794ba3e00d30944c.png

    这里Xm 对应的频率为:

    bb956766382286908817b4770a55b65f.png

    1c9f0caf676f8a50ea078de921e8aa42.png

    cae3f7de56cb7eaa95c884fe1737d3be.png

    由帕塞瓦尔 (Parseval) 等式可知有如下等式:

    6cd5e9551ff431c34794d4a128378cd0.png

    因此,功率谱密度的估计式如下:

    709d3b481de52ca35d97af70d8a14f16.png

    60f8ab0279b34992d526e861a5926510.png

    这里计算功率谱密度时,除以fs/N 是因为,每个Xm 实际上是fs/N 带宽内的功率。

    倍频程功率谱

    在音频分析领域,经常要分析音频信号的频谱,这时最常用的是倍频程功率谱和1/3倍频程功率谱。所谓倍频程功率谱,是将音频分为一个个的频段,然后分别计算每个频段内的功率谱。相邻频段的宽度为二比一的关系。1/3倍频程是将倍频程再细分为三段。下表给出了IEC推荐的频段划分方法。

    7c0caf65b6cba1845cd2919463b0aa5a.png

    由于每个频段的宽度是不同的,所以画出的倍频程频谱与普通的功率谱的图形有很大的差异。之所以有倍频程功率谱,是有其历史原因的。在数字信号处理技术普及以前,人们是通过设计一系列的滤波器并测量滤波器输出的功率来确定其频谱的。无法将频段分的很细,因此人们就按照倍频程来设计滤波器(按照倍频程来设计的滤波器的Q 值是相同的,因此可以用同一类型,不同参数的滤波器组来实现)。

    但是,利用DFT技术,是可以计算出倍频程功率谱的。方法很简单,只要将一个倍频程内的DFT 计算出的各个子频段的功率叠加就可以了。为了计算结果准确,至少要保证每个倍频程内有3到4条谱线。我们知道,频率越低的倍频程,带宽越窄,因此只要能保证最低的那个倍频程能满足这个条件,其他的倍频程肯定也能满足的。1/3倍频程的计算方式也类似。

    不过,这样计算出的倍频程功率谱与用滤波器组获得的倍频程功率谱是有一些差别的。原因在于,滤波器组的截止特性没有DFT的结果好。除此之外,信号在进入滤波器组之前还会先进一个预滤波器,也就是对信号做加权,通常有所谓的A加权、B加权和C加权。具体的,可以参考 IEC 60651 “Standard for Sound Level Meters”,上面写的很清楚。

    原文链接:

    https://blog.csdn.net/liyuanbhu/article/details/42675765

    a1de2fefcff35a2c8c23b759cafb1117.png

    关联阅读:倍频程的简单介绍

    关于倍频程的问题

    频谱、能量谱和功率谱频谱和功率谱密度计算

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  • 频谱、能谱、功率谱、倍频程谱、1/3 倍频程谱

    万次阅读 多人点赞 2015-01-13 14:07:11
    其中,准确的说明功率谱密度的概念需要用到一点平稳随机过程的知识,考虑多数人对随机过程不太了解,我这里尽量只用最简单的傅立叶分析的基本概念来说明,这样虽然不太严谨,但是对于我们平常的应用来说也够用了。

    在做声学信号处理时经常会遇到下面几个概念:能谱、功率谱、倍频程谱、1/3 倍频程谱。这些概念有区别也有联系。大家谈论问题时经常将其中一些概念混用。最近有点时间,我将这几种术语做一个梳理,记录在这里。其中,准确的说明功率谱密度的概念需要用到一点平稳随机过程的知识,考虑到多数人对随机过程不太了解,我这里尽量只用最简单的傅立叶分析的基本概念来说明,这样虽然不太严谨,但是对于我们平常的应用来说也够用了。

    时域信号可以表示为时间t的函数x(t)。如果这个信号满足绝对可积条件,即要求:


    那么这个信号就有傅立叶变换:

    其中X(f)称为信号的频率谱密度,简称频谱(spectrum)|X(f)| 称为振幅谱(amplitude spectrum),argX(f) 称为相位谱(phase spectrum)。

    信号的能量定义为:

    对于能量无限的信号我们可以计算其平均功率:

    对于能量无限但是平均功率有限的信号,我们称之为功率信号。由帕塞瓦尔(Parseval)等式可知有如下等式:


    其中第一项我们通常称为信号的能量,因此 |X(f)|2 就被称为信号的能量谱密度,简称能谱(Energy spectrum)

    对于功率信号:

    这时我们称:


    为信号的功率谱密度(power spectral density, PSD),或者谱功率分布(spectral power distribution, SPD),简称功率谱(power spectrum)。功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数(W/Hz)表示。

    信号的功率谱密度也信号自相关函数的傅里叶变换。只有当且仅当信号是广义的平稳过程的时候功率谱密度才存在。如果信号不是平稳过程,那么自相关函数一定是两个变量的函数,这样就不存在功率谱密度,但是可以使用类似的技术估计时变谱密度。我们看到求取功率谱密度时有个取极限的过程。实际计算时通常是取有限的一段时间。并对信号采样。设采集频率为 fs,采样时间间隔为Δ。那么离散信号x[n] 与连续信号 x(t) 的关系如下:

    这时的平均功率为:


    离散傅立叶变换表达式如下:

    这里Xm对应的频率为:

    由帕塞瓦尔(Parseval)等式可知有如下等式:

    因此,功率谱密度的估计式如下:


    这里计算功率谱密度时除以fs/N 是因为,每个Xm 实际上是fs/N 带宽内的功率。

     

    倍频程功率谱

    在音频分析领域,经常要分析音频信号的频谱,这时最常用的是倍频程功率谱和1/3倍频程功率谱。所谓倍频程功率谱,是将音频分为一个个的频段,然后分别计算每个频段内的功率谱。相邻频段的宽度为二比一的关系。1/3倍频程是将倍频程再细分为三段。下表给出了IEC推荐的频段划分方法。

    Band

    number

    Octave band

    center frequency

    One-third octave band

    center frequency

    Band limits

    Lower

    Upper

    14

    31.5

    25

    22

    28

    15

    31.5

    28

    35

    16

    40

    35

    44

    17

    63

    50

    44

    57

    18

    63

    57

    71

    19

    80

    71

    88

    20

    125

    100

    88

    113

    21

    125

    113

    141

    22

    160

    141

    176

    23

    250

    200

    176

    225

    24

    250

    225

    283

    25

    315

    283

    353

    26

    500

    400

    353

    440

    27

    500

    440

    565

    28

    630

    565

    707

    29

    1000

    800

    707

    880

    30

    1000

    880

    1130

    31

    1250

    1130

    1414

    32

    2000

    1600

    1414

    1760

    33

    2000

    1760

    2250

    34

    2500

    2250

    2825

    35

    4000

    3150

    2825

    3530

    36

    4000

    3530

    4400

    37

    5000

    4400

    5650

    38

    8000

    6300

    5650

    7070

    39

    8000

    7070

    8800

    40

    10000

    8800

    11300

    41

    1600

    12500

    11300

    14140

    42

    16000

    14140

    17600

    43

    20000

    17600

    22500

    由于每个频段的宽度是不同的,所以画出的倍频程频谱与普通的功率谱的图形有很大的差异。之所以有倍频程功率谱,是有其历史原因的。在数字信号处理技术普及以前,人们是通过设计一系列的滤波器并测量滤波器输出的功率来确定其频谱的。无法将频段分的很细,因此人们就按照倍频程来设计滤波器(按照倍频程来设计的滤波器的Q值是相同的,因此可以用同一类型,不同参数的滤波器组来实现)。

     

    但是,利用DFT技术,是可以计算出倍频程功率谱的。方法很简单,只要将一个倍频程内的DFT 计算出的各个子频段的功率叠加就可以了。为了计算结果准确,至少要保证每个倍频程内有34条谱线。我们知道,频率越低的倍频程,带宽越窄,因此只要能保证最低的那个倍频程能满足这个条件,其他的倍频程肯定也能满足的。1/3倍频程的计算方式也类似。

    不过,这样计算出的倍频程功率谱与用滤波器组获得的倍频程功率谱是有一些差别的。原因在于滤波器组的截止特性没有DFT的结果好。除此之外,信号在进入滤波器组之前还会先进一个预滤波器,也就是对信号做加权,通常有所谓的A加权、B加权和C加权。具体的,可以参考 IEC 60651 Standard for Sound Level Meters”,上面写的很清楚。



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  • 到功率谱密度,那就不得不提功率谱,能量谱密度,频谱频谱密度的概念。我最近也写过类似的文章,文章介绍了集中“谱”的基本概念,可以作为一种基础知识了解。1Ω的电阻我们为什么关注一个1Ω的电阻呢?图1就是...

    说到功率谱密度,那就不得不提功率谱,能量谱密度,频谱,频谱密度的概念。

    我最近也写过类似的文章,文章介绍了集中“谱”的基本概念,可以作为一种基础知识了解。

    1Ω的电阻

    我们为什么关注一个1Ω的电阻呢?图1

    就是因为它是1,所以在计算中可以省略。

    图1 1Ω电阻两端的电压信号x(t)

    给定一个1Ω的电阻,其两端电压为V,电流为I,那么在时间T之内,电阻消耗的能量Er为:

    那么电阻在单位时间内消耗的能量,我们称之为瞬时功率Pr

    看到没,平方!这就是很多教科书求功率能量时候,为什么一上来,就喜欢平方!

    现在我们把电压换成普通信号x(t),x(t)随着时间t变化。

    那么现在信号的功率为Px

    在时间T内,信号的能量可以表示为Ex

    把这里时间变化区间改成∞,也就是积分上下限,改为为-∞到+∞,可以定义为一般信号的能量E:

    如果E存在为一个正的有限值,我们把x(t)叫做能量信号。

    现在定义信号x(t)的平均功率为P,能量除以时间就是功率

    若第一个极限E存在,即称为能量信号;

    若第二个极限P存在,则称为功率信号。

    这个2个公式适用与普遍的信号的,一个不存在,就试试另外一个!

    一个信号可以既不是能量信号,也不是功率信号,但不可能既是能量信号,又是功率信号。在实际的通信系统中,信号都具有有限的发射功率、有限的持续时间,因而具有有限的能量E。但是,若信号的持续时间非常长,例如广播信号,则可以近似认为它具有无限长的持续时间。此时,认为定义的信号平均功率是一个有限的正值,但是其能量近似等于无穷大。我们把这种信号称为功率信号。

    能量与功率信号举例

    首先先看阶跃信号与绝对指数信号,见图2图2 左边为阶跃信号,右边为绝对值指数信号

    阶跃信号u(t)

    根据能量与功率公式,可以计算出

    能量E无穷大,功率P为1/2,所以阶跃信号为功率信号。

    “绝对”指数信号e^|2t|

    根据能量与功率公式,可以计算出

    能量E为1/2,功率P为0,所以绝对指数信号为能量信号。

    复指数信号e^(-jwt)

    根据能量与功率公式,可以计算出

    功率P为1,能量E为无穷大,所以复指数信号为功率信号。图3 复指数信号的三维图

    现在我们来自己动手算一个信号f(t)=e^(-2t),它是什么信号呢?图4 指数函数e^-2t

    功率信号与能量信号小结

    对于无限长时间的周期信号,均为功率信号;

    对于非周期信号,再分为三种情况,见图5所示图5 能量信号与功率信号的常见形式,来源网络

    功率信号的频谱

    功率信号,尤其是周期性的功率信号,它的频谱就是我们熟悉的傅里叶级数。

    设一个周期性功率信号s(t)的周期为T0,则将其频谱(frequency spectrum)函数定义为下式积分变换。其中f0=1/T0,n为整数,C(nf0)表示C是nf0的函数,并简记为Cn。图6 功率信号的频谱

    当n=0时,C0表示频率为0的分量,即是直流分量。

    上述的公式同样适用于非周期的功率信号。

    对于周期性的功率信号来说,其频谱函数Cn是离散的,只在f0的整数倍上取值。由于n可以取负值,所以在负频率上Cn也有值。

    通常Cn为双边谱。图7 周期信号的频谱

    双边谱中的负频谱仅在数学上有意义。在物理上,并不存在负频率。

    但是我们可以找到物理上实信号的频谱和数学上的频谱函数之间的关系:

    C-n = Cn*

    即负频谱和正频谱的模是偶对称的,相位是奇对称的。

    对于非周期的功率信号,可将其周期看作是无穷大,然后再用图X中的公式去计算。

    能量信号的频谱

    能量信号的频谱,就是其傅里叶变换。

    设一个能量信号为s(t),则将它的傅里叶变换S(f)定义为它的频谱密度(frequencuy spectrum density)图8 能量信号的频谱密度

    能量信号的频谱密度S(f)和周期性功率信号的频谱Cn的主要区别:

    S(f)是连续谱,Cn是离散谱

    S(f)的单位是V/Hz,Cn的单位是V

    能量信号的能量有限,并分布在连续频率轴上,所以每个频率段f上信号的幅度是无穷小;只有在一小段频率间隔df上才有确定的非零振幅。

    功率信号的功率有限,但能量无限,它在无限多的离散频率点上有确定的非零振幅。

    一般,讨论能量信号的问题时,频谱密度也会常常成为频谱。

    频谱密度和频谱这两个概念,在一般的教材上,不做严格区分!

    能量信号的能量谱

    能量是守恒的,不会管你变换来、变换去。所以,不管是在时域还是频域,能量守恒。

    这也是巴塞伐尔定理,见图X中E和ET的公式

    能量信号s(t),其傅里叶变换为S(f)。

    在频率轴上取一小块频率△f,然后|S(f)|^2△f就是这一块频率对应的能量。

    那么在频率轴f上的积分,就是信号的能量E。见图9的上半部分。图9 能量信号的能量谱密度

    G(f)就是能量谱密度。如果信号是能量信号,通过傅里叶变换,就很容易分离不同频域分量所对应的能量,频率f对应的能量为: df = |X(f)|²d(f),对f积分就能得到信号的总能量,由此, |X(f)|² 就定义为能量谱密度,也常简称为能量谱,意为能量在某一频率上的分布集度或,量纲是J/Hz 。

    功率信号的功率谱密度

    由于功率信号具有无穷大的能量,所以按照能量E的公式,这个积分是不存在的。

    但是我们可以把这个信号截断成小块。

    例如,把信号s(t)截断成一个截短信号sT(t),-T/2

    这样sT(t)就是一个能量信号了,我们利用傅里叶变换可以求出其能量谱密度|ST(f)|^2。

    根据巴塞伐尔定理,我们可以定义功率谱密度(PSD,power spectrum density)图10 功率信号得到功率谱密度

    图10中P(f)就是定义的功率谱密度。

    功率谱密度在频率轴上积分,T趋向无穷大,就是信号的功率。

    有上述的内容可知,功率信号一般为周期信号,也是非周期的形式。

    功率信号具有周期性

    如果这个功率信号恰巧是周期信号。

    生活中最常见。

    可以将T选作等于信号的周期T0,并且用傅里叶级数代替傅里叶变换,求出信号的频谱图11 巴塞伐尔定理

    Cn为此周期信号的傅里叶级数的系数。若f0是此信号的基波频率,则Cn是此信号的第n此谐波的振幅;

    |Cn|^2为第n次谐波的功率,可以称为信号的(离散)功率谱。

    注意,这里是功率谱,而不是功率谱密度!

    如果还想用功率谱密度表示此离散谱,可以利用δ函数的性质图12 周期性功率信号的功率与功率谱密度

    高斯脉冲实例

    这里我们举一个高斯脉冲的例子。

    高斯脉冲的傅里叶变换是可以手动计算得出的,各位小伙伴可以挑战一下,正确答案可以私信我哦。

    这里直接给出结论,就是高斯脉冲的傅里叶变换仍然还是高斯函数形式。

    我们先画出一个高斯脉冲,中心点在2.5ns处,幅度值为1V,窗口时间为5ns。

    利用FFT函数,求出其双边幅度谱与相位谱。

    见图13。图13 高斯脉冲的双边谱

    FFT计算的过程中,其实隐含着将这个高斯脉冲周期延拓的过程。所以这里的信号可以看作为周期性的,而且在每个周期内其能量是有限的。

    所以,这里是周期功率信号。

    由上文分析可知,其功率谱为频谱系数的平方,功率谱密度为单位频率处的功率,即df处的功率。

    见图14。图14 高斯脉冲的双边功率谱与密度

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