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  • 灵敏度分析使用MATLAB编写完成

    热门讨论 2012-05-29 23:56:05
    灵敏度分析matlab代码编写,运筹学中的灵敏度分析的求解均可用此方法
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  • clear all  clc hold off %sample of size N N=100; %sample generation x1=rand(N,1)-0.5; x2=rand(N,1)-0.5; x3=rand(N,1)-0.5; ...%set n....说明参数敏感性为:X2>X1>X3
    clear all 
    clc
    hold off
    %sample of size N
    N=100;

    %sample generation
    x1=rand(N,1)-0.5;
    x2=rand(N,1)-0.5;
    x3=rand(N,1)-0.5;

    plot(x1,x2,'o')
    hold on
    plot(x1,x3,'o')


    %model evaluations
    y=4*x1.^2+3*x2+x3;


    %set n. of stripes
    r=10;


    for i=1:r
    t=(i-1)/r-0.5;
    ind=find(x1<t+1/r & x1>t);
    condmean1(i)=mean(y(ind));
    ind=find(x2<t+1/r & x2>t);
    condmean2(i)=mean(y(ind));
    ind=find(x3<t+1/r & x3>t);
    condmean3(i)=mean(y(ind));
    end


    S1=var(condmean1)
    S2=var(condmean2)
    S3=var(condmean3)
    plot(x1,y,'o')
    hold on; grid
    plot([-.5+1/(2*r):1/r:.5-1/(2*r)],condmean1,'ro')
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    本文采用Morris方法对参数的全局灵敏度进行评价。通过计算各个影响因素对输出结果的影响进行灵敏度分析。

    假设模型为,为模型中影响因素的个数,每个影响因素的变动范围为其拟合值的5%-20%。假设将其每个影响因素的变化范围映射到区间[0,1],然后分成N个均匀间隔,成为 {0,1/(N-1),...,1}。

    为了计算个参数的基本效应,需要(+1)模拟值,其方法与对每个参数扰动的局部灵敏度方法相同,称为一个“路径”。通过随机生成参数集的多个路径,我们得到了每个参数的基本效果的集合。计算总数为,其中r为路径数。

    一次路径的步骤如下:

    (1)构建×m(m=+1)的矩阵B:

    一开始每个参数必须随机从{0,1/(N-1),...,1}中取值作为样本。每个轨迹采样都有一个随机生成的不同起点。在矩阵B中,第1列表示每个参数的样本,相邻两列只有一个参数的取值不同。1表示变化的因素,0表示不变的因素。

    Morris方法的全局敏感性分析

    (2)一次依次改变一个参数,把矩阵B中相邻两列作为模型的输出参数,即

    Morris方法的全局敏感性分析

    式中,这里∆为预先设定的变化量,。由基本效应(EE)来评估,其定义为

    Morris方法的全局敏感性分析

    其中是输出比例因子,参数集可以通过蒙特卡罗随机采样随机选择。

    一次路径结束,重复r次。

    本实验的目的是估计初等效应分布的平均值和均方差,这些初等效应分布是用Morris方法的全局灵敏度分析中的r次独立随机路径估计的,

    Morris方法的全局敏感性分析

    平均值和均方差称为第参数的灵敏度因子,可对该参数的灵敏度进行判断:当平均值很小时,则说明该参数对模型的影响很小,该参数不重要;当平均值较大,则说明该参数与模型输出有线性关系;均方差比较小时,则说明该参数与其他参数的相关性弱;但当平均值和均方差都比较大时,则说明该参数与模型输出有非线性关系,并且该参数与其他参数的相关性、关联性强。

    代码获取

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  • 基于MATLAB的地铁站换乘人数敏感度分析.rar
  • 后台回复 灵敏性分析源代码 获取整理资源 调用单纯形程序: function [x,z,flg,sgma]=simplexfun(A,A1,b,c,m,n,n1,cb,xx) % A,b are the matric in Ax=b % c is the matrix in max z=cx % A1 is the matric in ...

    调用单纯形程序:
    function [x,z,flg,sgma]=simplexfun(A,A1,b,c,m,n,n1,cb,xx)
    % A,b are the matric in Ax=b
    % c is the matrix in max z=c
    x
    % A1 is the matric in simplex table
    % m is the numbers of row in A and n is the con number in A
    % n1 is the nubers of artificial variables,and artificial variables are default as the last % n1
    variables in x.
    % cb is the worth coefficient matrix for basic variables
    % xx is the index matrix for basic variables
    % B1 is the invers matrix for the basic matrix in simplex table.The initial
    % matrix is default as the last m con in the matrix A.
    x=zeros(n,1);
    z=0;
    B1=A1(:,n-m+1:n);
    sgma1=c-(cbB1)A;
    [masg,kk]=max(sgma1);
    k=kk(1);
    flg=0;
    ll=0;
    while (masg>0)&&(ll<20)
    ll=ll+1;
    thita=1000+zeros(m,1);
    for i=1:m
    if A1(i,k)>0
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    thita(i)=A1(i,k)\b(i);
    end
    end
    [r8,c8]=find(thita>999);
    if sum(c8)<m
    [mith,rr]=min(thita);
    r=rr(1);
    aa=A1(r,k);
    for i=1:m
    if ir b®=b®/aa;
    for j=1:n
    A1(r,j)=A1(r,j)/aa ;
    end
    end
    end
    for i=1:m
    if i~=r
    cc=A1(i,k)
    b(i)=b(i)-b®*cc;
    for j=1:n
    A1(i,j)=A1(i,j)-A1(r,j)cc;
    end
    end
    end
    cb®=c(k);
    xx®=k;
    B1=A1(:,n-m+1:n);
    sgma1=c-(cb
    B1)*A;
    [masg,kk]=max(sgma1);
    k=kk(1);
    thita=100+zeros(m,1);
    else
    flg=3;
    masg=-1;
    x=‘unbound solution’;
    z=‘inf’;
    end
    end
    if flg~=3
    if n1
    0
    sgma1=c-(cb
    B1)A
    [rc,ccc]=find(sgma1<-0.0000000001);
    if sum(rc)==n-m
    flg=1;
    else
    flg=2;
    end
    x=zeros(n,1);
    for i=1:m
    x(xx(i))=b(i);
    end z=c
    x;
    else
    x=zeros(n,1);
    for i=1:m
    x(xx(i))=b(i);
    end
    xa=x((n-n1+1):n,:);
    ra=find(xa);
    if sum(ra)==0
    sgma1=c-(cb
    B1)A;
    [rc,ccc]=find(sgma1<-0.00000001);
    if sum(rc)==n-m
    flg=1;
    else
    flg=2;
    end
    z=c
    x;
    else
    flg=4;
    x=‘nothing’;
    z=‘nothing’;
    end
    end
    end
    sgma=sgma1;
    ll;
    A=[1,2,1,0,0;4 0 0 1 0;0 4 0 0 1];
    A1=A;
    b=[8;16;12];
    c=[2 3 0 0 0];
    m=3;
    n=5
    cb=[0 0 0];
    xx=[3,4,5];
    然后调用单纯行解法 simplexfun111 ;
    求出值,并返回 B1,b,
    然后输入: r=1,2,3 求之。

    在这里插入图片描述

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  • 在直接数字域设计中,我们常常需要用到PID算法,而PID算法投入单片机使用时,往往需要硬件的支持,在调试时非常麻烦。本文通过Matlab仿真的手段实现PID,方便了开发者对系统的设计和实时调试。

    0.符号说明

    1. y(k)——系统响应输出的离散值
    2. u(k)——数字PID控制输出的离散值
    3. r(k)——期望输出的离散值(事先已知),在本例中为常数(即阶跃输入)
    4. e(k)——e(k)=r(k)-y(k),为期望值-实际值,是单位负反馈的误差比较信号
      图片来源于百度百科
      注:图片来源于百度百科

    1.如何根据连续系统建立差分方程

    1.1.获取连续系统的传递函数

    线性定常系统的控制中,PID是个非常常见的控制方式,如果可以通过Matlab仿真出PID的控制效果图,那么对系统设计时的实时调试将会容易得多。在这里我们将会以一个利用系统辨识参数的PID设计为为例展示Matlab仿真PID的过程。
    首先需要对一个未知的系统的参数进行辨识,以延迟环节可以忽略不计的电机调速系统为例。将时间戳导入xdata向量,对应的时刻转速导入ydata向量,进行系统辨识

    链接:Matlab的系统辨识

    我们就以上文链接中辨识的系统传递函数为例:
    G ( s ) = 0.998 0.021 s + 1 G(s)=\frac{0.998}{0.021s+1} G(s)=0.021s+10.998因此通过tf函数建立系统结构体如下:

    sys=tf(0.998,[0.021,1]);   %建立被控对象传递函数,即式4.1
    

    1.2.获取离散系统的传递函数

    由于是数字PID仿真,我们需要选取一个采样时间,本案例选用的是0.005s(注意,采样周期应该小于系统纯滞后时间的0.1倍)。在对其进行数字PID控制前,我们需要将这个系统离散化:

    ts=0.005;  %采样时间=0.005s
    dsys=c2d(sys,ts,'z');      %离散化
    

    dsys即我们根据采样周期离散化的Z变换系统。首先我们需要提取这个Z变化d那系统的参数方便后面的计算:

    [num,den]=tfdata(dsys,'v');%'v'代表强制以向量的格式(默认为元胞数组)输出num和den
    

    1.3.转换为差分方程

    求解出的Z变换表达式为 d s y s = n u m ( 1 ) ⋅ z + n u m ( 2 ) d e n ( 1 ) ⋅ z + d e n ( 2 ) = 0.2114 z − 0.7881 dsys=\frac{num(1)\cdot z +num(2)}{den(1)\cdot z+den(2)}=\frac{0.2114}{z-0.7881} dsys=den(1)z+den(2)num(1)z+num(2)=z0.78810.2114
    在PID仿真的过程中我们需要求解出时域表达式 ,因此需要借助差分方程解决,对于以下的Z变换:

    \begin{equation}
    Y(z)=dsys\cdot U(z)=\frac{num(2)}{den(1)\cdot z+den(2)}\cdot U(z)
    \label{eq:Sample1}
    \end{equation}

    \begin{equation}
    zY(z)+den(2)Y(z)=num(1)zU(z)+num(2)U(z)
    \label{eq:Sample2}
    \end{equation}
    对上式进行反Z变换,可以得到以下的差分方程:

    \begin{equation}
    y(k+1)+den(2)y(k)=num(1)u(k+1)+num(2)u(k)
    \label{eq:Sample3}
    \end{equation}

    \begin{equation}
    y(k+1)=-den(2)y(k)+num(1)u(k+1)+num(2)u(k)
    \label{eq:Sample4}
    \end{equation}
    位置型PID仿真时实际上可以不需要保存前一个数据(u(k)和y(k)),增量型PID必须要保存前一个数据。这里我们使用了位置型PID,但仍然利用 u 1 u_1 u1 y 1 y_1 y1保存了上一个数据,仅仅是为了演示这一过程。\begin{equation}
    y(k+1)=-den(2)y(k)+num(1)u(k+1)+num(2)u(k)
    \end{equation}
    可以转换为下面的式子:
    \begin{equation}
    y(k)=-den(2)y_1+num(1)u(k)+num(2)u_1
    \label{eq:Sample5}
    \end{equation}
    我们的差分方程就这样建立完毕。注意,此差分方程仅仅是描述系统模型的运算规律的,和我们的控制无关。因此是y(k)和u(k)的映射关系。我们下面的控制则是利用负反馈信号e(k)导出u(k)的输出,求解的是控制器u(k)的序列值。

    2.基本PID控制原理

    以位置型PID控制为例。将连续的PID控制转换为数字式时,微分环节被用差分代替,积分环节被累加和代替,比例环节则保持不变。差分的实现非常简单,只需要用 e ( k + 1 ) − e ( k ) e(k+1)-e(k) e(k+1)e(k) e ( k ) − e 1 e(k)-e_1 e(k)e1等效即可。积分的实现在每一次运算的后面都累加原来的误差,即Ee=Ee+e_1;即可。PID的控制器输出 u ( k ) = K p ⋅ e ( k ) + K d ⋅ ( e ( k ) − e 1 ) + K i ⋅ E e u(k)=Kp\cdot e(k)+Kd\cdot (e(k)-e_1)+Ki\cdot Ee u(k)=Kpe(k)+Kd(e(k)e1)+KiEe
    PID控制器构造完毕,我们需要通过r(k)和y(k)得到e(k),再通过e(k)得出u(k),进而再求解出y(k),再结合r(k)求解出e(k),…以此循环,求解出离散的响应点。
    详细的代码如下:

    ts=0.005;  %采样时间=0.005s
    sys=tf(0.998,[0.021,1]);   %建立被控对象传递函数,即式4.1
    dsys=c2d(sys,ts,'z');      %离散化
    [num,den]=tfdata(dsys,'v');   %
    e_1=0;      %前一时刻的偏差      
    Ee=0;       %累积偏差
    u_1=0.0;    %前一时刻的控制量
    y_1=0;       %前一时刻的输出
    %PID参数
    kp=0.22;    
    ki=0.13;
    kd=0;
    u=zeros(1,1000);%预先分配内存
    time=zeros(1,1000);%时刻点(设定1000个)
    for k=1:1:1000
        time(k)=k*ts;   %时间参数
        r(k)=1500;      %期望值
        y(k)=-1*den(2)*y_1+num(2)*u_1+num(1)*u(k);%系统响应输出序列
        e(k)=r(k)-y(k);   %误差信号
        u(k)=kp*e(k)+ki*Ee+kd*(e(k)-e_1); %系统PID控制器输出序列
        Ee=Ee+e(k);    %误差的累加和
        u_1=u(k);    	%前一个的控制器输出值
        y_1=y(k);    	%前一个的系统响应输出值
        e_1=e(k);		%前一个误差信号的值
    end
    %(仅绘制过渡过程的曲线,x坐标限制为[0,1])
    p1=plot(time,r,'-.');xlim([0,1]);hold on;%指令信号的曲线(即期望输入)
    p2=plot(time,y,'--');xlim([0,1]);%不含积分分离的PID曲线
    hold on;
    

    输出的PID控制曲线如下:
    PID控制

    3.比较PID输出,分析参数产生的影响

    一个基本的PID就完成了。下面如果我们想要知道修改PID的三个参数kp,ki,kd会带来什么效果,只需要在程序中修改即可。为了方便起见,我们建立一个PID的数组,kp,ki,kd每次都取数组的一个值,然后设定一个大循环开始循环仿真。再利用subplot输出子图的方式将所有的PID效果都输出到一个图进行对比。该代码根据上述代码修改已经很容易,PID比较图的代码如下:

    close all
    PID=[0.22,0.13,0;
        0.4,0.13,0;
        0.4,0.25,0;
        0.8,0.23,0.4;
        0.8,0.2,1;
        0.7,0.2,0.9];%初始化PID参数
    for pid=1:1:6
    ts=0.005;  %采样时间=0.005s
    sys=tf(0.998,[0.021,1]);   %建立被控对象传递函数,即式4.1
    dsys=c2d(sys,ts,'z');      %离散化
    [num,den]=tfdata(dsys,'v');   %
    e_1=0;      %前一时刻的偏差      
    Ee=0;       %累积偏差
    u_1=0.0;    %前一时刻的控制量
    y_1=0;       %前一时刻的输出
    %PID参数
    kp=PID(pid,1);    
    ki=PID(pid,2);
    kd=PID(pid,3);
    u=zeros(1,1000);
    time=zeros(1,1000);
    for k=1:1:1000
        time(k)=k*ts;   %时间参数
        r(k)=1500;      %给定量
        y(k)=-1*den(2)*y_1+num(2)*u_1+num(1)*u(k);
        e(k)=r(k)-y(k);   %偏差
        u(k)=kp*e(k)+ki*Ee+kd*(e(k)-e_1);   
        Ee=Ee+e(k);    
        u_1=u(k);    
        y_1=y(k);    
        e_1=e(k);
    end
    subplot(2,3,pid);
    p1=plot(time,r,'-.');xlim([0,1]);hold on;
    p2=plot(time,y,'--');xlim([0,1]);
    title(['Kp=',num2str(kp),' Ki=',num2str(ki),' Kd= ',num2str(kd)]);
    hold on;
    end
    

    输出的子图矩阵如下:
    PID子图矩阵
    可以发现,修改Kp会造成上升时间的缩短,但是有可能也会带来较大的超调。积分的增加是一个严重的滞后环节,会减小相位裕度,也会带来超调(超调量并不是绝对的,相对于较小的Kp可能会产生较大的超调,而Kp较大时超调会减小(例如第一行的1图和2图的对比))。然而积分的引入也是必要的,否则将会很长时间无法削弱误差e(k)(例如第二行第二个图)。微分的引入相当于一个超前校正,会减少超调,但是过渡的微分很可能会造成尾部振荡,系统逐渐变得不稳定。因此微分和积分之间需要一个平衡,当满足这个平衡的时候,系统几乎没有振荡,同时响应速度也较快。(第一行的图3是积分过多,产生超调,第二行的图1和图3就比较理想)
    综合上述,PID的调节经验可以归结为以下几点:

    • Kp较小时,系统对微分和积分环节的引入较为敏感,积分会引起超调,微分可能会引起振荡,而振荡剧烈的时候超铁也会增加。
    • Kp增大时,积分环节由于滞后产生的超调逐渐减小,此时如果想要继续减少超调可以适当引入微分环节。继续增大Kp系统可能会不太稳定,因此在增加Kp的同时引入Kd减小超调,可以保证在Kp不是很大的情况下也能取得较好的稳态特性和动态性能。
    • Kp较小时,积分环节不宜过大,Kp较大时积分环节也不宜过小(否则调节时间会非常地长),在下面这个例子中我们还会介绍到,当使用分段PID,在恰当的条件下分离积分,可以取得更好的控制效果。原因在于在稳态误差即将满足要求时,消除了系统的滞后。因此系统超调会明显减少。本例中采样的抗积分饱和的方法是遇限削弱积分法。

    4.改进PID算法(遇限削弱积分法)

    遇限削弱积分法的原理是
    u ( k ) > u m a x u(k)>u_{max} u(k)>umax时,若e(k)>0即输出值还未到达指定值,则认为积分会带来滞后,不再积分。
    u ( k ) < 0 u(k)<0 u(k)<0时,若e(k)<0即输出值超过了指定值,则认为积分会带来滞后,不再积分。
    在本案例中认为 u m a x = r ( k ) u_{max}=r(k) umax=r(k)
    改进PID算法如下(需要些两个循环,当然也可以用一个循环,将其中的PID设为一个子过程调用):

    close all
    ts=0.005;  %采样时间=0.005s
    sys=tf(0.998,[0.021,1]);   %建立被控对象传递函数,即式4.1
    dsys=c2d(sys,ts,'z');      %离散化
    [num,den]=tfdata(dsys,'v');   %
    e_1=0;      %前一时刻的偏差      
    Ee=0;       %累积偏差
    u_1=0.0;    %前一时刻的控制量
    y_1=0;       %前一时刻的输出
    %PID参数
    kp=0.22;    
    ki=0.13;
    kd=0;
    u=zeros(1,1000);
    time=zeros(1,1000);
    for k=1:1:1000
        time(k)=k*ts;   %时间参数
        r(k)=1500;      %给定量
        y(k)=-1*den(2)*y_1+num(2)*u_1+num(1)*u(k);
        e(k)=r(k)-y(k);   %偏差
        u(k)=kp*e(k)+ki*Ee+kd*(e(k)-e_1);   
        Ee=Ee+e(k);    
        u_1=u(k);    
        y_1=y(k);    
        e_1=e(k);
    end
    p1=plot(time,r,'-.');xlim([0,1]);hold on;
    p2=plot(time,y,'--');xlim([0,1]);
    hold on;
    a=1;%控制积分分离的二值数
    e_1=0;Ee=0;u_1=0.0;y_1=0;%重新初始化       
    for k=1:1:1000
        time(k)=k*ts;   %时间参数
        r(k)=1500;      %给定量
        y(k)=-1*den(2)*y_1+num(2)*u_1;
        e(k)=r(k)-y(k);   %偏差
        u(k)=kp*e(k)+ki*Ee+kd*(e(k)-e_1);   
         if ((u(k)>r(k)) && (e(k)>0))||((u(k)<0) && (e(k)<0))
             a=0;
         else 
             a=1;
         end     
        Ee=Ee+a*e(k);    
        u_1=u(k);    
        y_1=y(k);    
        e_1=e(k);
    end
    p3=plot(time,y,'-');xlim([0,1]);
    title('含积分分离与不含积分分离的对比');
    legend([p1,p2,p3],'指令信号','不含积分分离','含积分分离');
    

    输出的曲线对比图如下:
    积分分离之后的改进PID
    可以发现,系统的超调量明显减少了,调节时间也减少了一点。原因在于我们采用了分段PID的手段,既消除了稳态误差还削弱了积分环节带来的滞后影响。

    5.simulink仿真

    需要的模块名称(不区分大小写)如下:

    • gain(参数分别为0.22和0.13/0.005)
    • sum(参数分别为"|±"和"|++")
    • integrator
    • scope
      注意:本文使用的是离散PID仿真,而simulink使用的是连续系统仿真,转换PID参数时P参数不变,I参数应该除以仿真间隔Ts=0.005,D参数应该乘Ts。

    以表中第一组PI参数为例:
    在这里插入图片描述
    得到的示波器曲线如下:
    在这里插入图片描述

    希望本文对您有帮助,谢谢阅读。

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