非齐次方程组的解


  
设非齐次方程组AmxnX=b，则： 

  A. 当r(A) = m时，方程组有解 

  B. 当r(A) = n 时，方程组有唯一解 

  C. 当m = n时，方程组有唯一解 

  D. 当r(A) = r < n时，方程有无穷多组解


分析：本题主要想强调一个结论：原来无关，变高（维度扩大）无关。这个结论有个兄弟：原来相关，变胖（数目变多）相关。 

向量通常是竖着的一条，在矩阵中列向量是与原本的向量定义形式一致。所以我们说的变高，变胖，对应到行向量中来，是反着的。因此，要熟练掌握这个结论的推导过程。

对于非齐次方程组，解的判定是从是否可以线性表出出发的。是否可以表出又可以从秩得来。若r(A)≠r(A|b)，则b无法被向量组线性表出，即误解。 

有解的情况必须是r(A)=r(A|b)，再对这个进行分类: 

+ 唯一解的情况是：r(A)=r(A|b)=n

+ 无穷多解：r(A)=r(A|b)=r<n

本题中的r(A|b)待定是重点。 

对于A，行向量组线性无关。m是行向量的个数，增加b对应的列，向量组仍是m个，因此，r(A|b)也等于m。那么可以自导方程组有解。具体是唯一解还是无穷多解，需要看m和n的关系。

对于BCD都是无法解答r(A|b)的数值。

首先，只有齐次方程有基础解系这个概念，也就是（AX=0）这个形式。

从一个角度上来说，基础解系是一个向量组，而解向量是一个向量。可以说基础解系是多维的，解向量是二维的。

表达式 X = k1a + k2b + k3c 中，(a,b,c)便是基础解系。 （k1a + k2b + k3c）是解向量

笔者这两天做张宇试卷遇到一道与无关解个数有关的题目，有点恶心：
首先要牢记这样一条定理：

Ax=0的基础解系中含有n-r(A)个向量，而Ax=b的解的极大无关组含有n-r(A)+1个向量
题中给出非齐次方程，系数矩阵为4阶矩阵，且有三个不同的解；注意这里是说三个不同的解，由此可以推出r(A)<n；

A选项：如果三个不同的解线性无关，虽然两两相减所得是齐次方程的无关解，但是不能保证基础解系只有两个无关解向量，故A选项错误；
B选项：如果r(A)=2，则齐次方程组有两个无关解向量，这样的话根据前面的定理，齐次方程组可以有三个无关解向量，所以这三个解向量可以无关也可以相关，故B选项错误；
C选项：如果三个解向量线性无关，根据前面的定理，这说明n-r(A)+1>=3，即r(A)<=2，所以C选项错误；
D选项：如果三个解向量线性相关，则基本与题设没什么变化，故r（A）<n，即r(A)<=3，所以D选项正确；

上一节呢，我们学习了《向量组线性表示与线性相关》，这次我们续接上一节的内容，来学习下《齐次与非齐次方程组解的结构定理》

知识点补充：
矩阵中知识点落下一个“对称矩阵”，在这个部位加上~…


一、线性方程组





二、求解线性方程组的步骤



三、齐次方程组解的结构定理







四、非齐次方程组解的结构定理





五、练习












至此：《齐次与非齐次方程组解的结构定理》，我们就先学习到这里~接下来进入《特征值与特征向量》相关的学习！

！！！版权声明！！！
本系列为博主学心得与体会，所有内容均为原创（✿◡‿◡）
欢迎传播、复制、修改。引用、转载等☞请注明转载来源。感谢您的配合
用于商业目的,请与博主采取联系，并请与原书版权所有者联系，谢谢！\(≧▽≦)/
我的联系方式：email–> 1209551258@qq.com
！！！版权声明！！！


生活嘛~　最重要的就是开心喽~　Ｏ（∩＿∩）Ｏ～～