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  • 齐次方程的解 设非齐次方程组AmxnX=bA_{mxn}X = b,则: A. 当r(A) = m时,方程组有解 B. 当r(A) = n 时,方程组有唯一解 C. 当m = n时,方程组有唯一解 D. 当r(A) = r 时,方程有无穷多组解 分析:本...

    非齐次方程组的解

    设非齐次方程组AmxnX=b,则:
    A. 当r(A) = m时,方程组有解
    B. 当r(A) = n 时,方程组有唯一解
    C. 当m = n时,方程组有唯一解
    D. 当r(A) = r < n时,方程有无穷多组解

    分析:本题主要想强调一个结论:原来无关,变高(维度扩大)无关。这个结论有个兄弟:原来相关,变胖(数目变多)相关。
    向量通常是竖着的一条,在矩阵中列向量是与原本的向量定义形式一致。所以我们说的变高,变胖,对应到行向量中来,是反着的。因此,要熟练掌握这个结论的推导过程。

    对于非齐次方程组,解的判定是从是否可以线性表出出发的。是否可以表出又可以从秩得来。若r(A)r(A|b),则b无法被向量组线性表出,即误解。
    有解的情况必须是r(A)=r(A|b),再对这个进行分类:
    + 唯一解的情况是:r(A)=r(A|b)=n
    + 无穷多解:r(A)=r(A|b)=r<n

    本题中的r(A|b)待定是重点。
    对于A,行向量组线性无关。m是行向量的个数,增加b对应的列,向量组仍是m个,因此,r(A|b)也等于m。那么可以自导方程组有解。具体是唯一解还是无穷多解,需要看m和n的关系。

    对于BCD都是无法解答r(A|b)的数值。

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  • 首先,只有齐次方程有基础解系这个概念,也就是(AX=0)这个形式。 从一个角度上来说,基础解系是一个向量组,而解向量是一个向量。可以说基础解系是多维解向量是二维。 表达式 X = k1a + k2b + k3c 中,(a,b,...

    首先,只有齐次方程有基础解系这个概念,也就是(AX=0)这个形式。
    从一个角度上来说,基础解系是一个向量组,而解向量是一个向量。可以说基础解系是多维的,解向量是二维的。
    表达式 X = k1a + k2b + k3c 中,(a,b,c)便是基础解系。 (k1a + k2b + k3c)是解向量

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  • 笔者这两天做张宇试卷遇到一道与无关解个数有关的题目,有点恶心: 首先要牢记这样一条定理: Ax=0的基础解系中含有n-r(A...A选项:如果三个不同的解线性无关,虽然两两相减所得是齐次方程的无关解,但是不能保证基

    笔者这两天做张宇试卷遇到一道与无关解个数有关的题目,有点恶心:

    首先要牢记这样一条定理:

    Ax=0的基础解系中含有n-r(A)个向量,而Ax=b的解的极大无关组含有n-r(A)+1个向量
    题中给出非齐次方程,系数矩阵为4阶矩阵,且有三个不同的解;注意这里是说三个不同的解,由此可以推出r(A)<n;

    A选项:如果三个不同的解线性无关,虽然两两相减所得是齐次方程的无关解,但是不能保证基础解系只有两个无关解向量,故A选项错误;

    B选项:如果r(A)=2,则齐次方程组有两个无关解向量,这样的话根据前面的定理,齐次方程组可以有三个无关解向量,所以这三个解向量可以无关也可以相关,故B选项错误;

    C选项:如果三个解向量线性无关,根据前面的定理,这说明n-r(A)+1>=3,即r(A)<=2,所以C选项错误;

    D选项:如果三个解向量线性相关,则基本与题设没什么变化,故r(A)<n,即r(A)<=3,所以D选项正确;

    
    

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  • 上一节呢,我们学习了《向量组线性表示与线性相关》,这次我们续接上一节内容,来学习下《齐次与非齐次方程解的结构定理》 知识点补充: 矩阵中知识点落下一个“对称矩阵”,在这个部位加上~… 一、线性方程组...

    上一节呢,我们学习了《向量组线性表示与线性相关》,这次我们续接上一节的内容,来学习下《齐次与非齐次方程组解的结构定理》

    知识点补充:

    矩阵中知识点落下一个“对称矩阵”,在这个部位加上~…
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    一、线性方程组

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    二、求解线性方程组的步骤

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    三、齐次方程组解的结构定理

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    四、非齐次方程组解的结构定理

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    五、练习

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    至此:《齐次与非齐次方程组解的结构定理》,我们就先学习到这里~接下来进入《特征值与特征向量》相关的学习!


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    千次阅读 2012-11-06 08:53:34
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  • 求解非齐次线性方程组算法

    万次阅读 2011-09-10 17:43:06
    1. 非齐次线性方程组有解的条件 如下非齐次线性方程组: 由系数矩阵和常数列向量构成增广矩阵如下: 无情况: 唯一情况: 无穷情况:   2. 高斯消元法求解 步骤: 1) 消元法 ...
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  • 当公式或文字展示不完全时,记得向左←滑动哦!摘要:本节我们主要介绍...首先我们来考虑一下齐次线性方程组假设阶矩阵的秩为的话,那么它的解向量(即基础解系)个数为个,它的所有解都是由个解向量构成的.接下来我...
  • %求齐次线性方程 clear A=[2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19]; %输入系数矩阵A b=[-2;7;-23;43]; %输入常数列向量b [R,s]=rref([A,b]); %把增广矩阵最简行阶梯矩阵赋给R [m,n]=size(A);...

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齐次方程的解向量