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  • 常系数线性非齐次方程组特的求法—待定系数法,孙静,,本文研究了求常系数线性非齐次方程组特的方法—待定系数法。文章从研究非齐次项为常数向量与 相乘的常系数线性非齐次方程组的�
  • c2​,...,cn−r​, 由B(或A)的行最简形,即可写出含n-r个参数的通 齐次方程的结构定理 齐次方程组 Am×nX=0A_{m×n}X = 0Am×n​X=0的基础系所含向量个数为 n−r (r=R(A))n-r \ \ \ (r=R(A))n−r (r=R(A)) ...

    对称矩阵

    • 元素以对角线为对称轴对应相等的矩阵就叫做对称矩阵
    • 对称矩阵具有的特性:
      • 对称矩阵中 a i j = a j i a_{ij} = a_{ji} aij=aji
      • 对称矩阵一定是方阵, 并且对于任何的方阵A, A + A T A + A^T A+AT是对称矩阵
      • 除对角线外的其他元素均为0的矩阵叫做对角矩阵
      • 矩阵中的每个元素都是实数的对称矩阵叫做实对称矩阵
      • A = { a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n } A =\left \{\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{array} \right \} A=a11a21an1a12a22an2a1na2nann
      • a 12 = a 21 a i j = a j i a 1 n = a n 1 a_{12} = a_{21} \\ a_{ij} = a_{ji} \\ a_{1n} = a_{n1} a12=a21aij=ajia1n=an1

    线性方程组

    • 设有n个未知数m个方程的线性方程组 { a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 1 ⋯ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + . . . + a m n x n = b m \left \{\begin{array}{cccc}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = b_1 \\\cdots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n = b_m\end{array} \right. a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b1am1x1+am2x2+...+amnxn=bm
    • 可以写成以向量x为未知元的向量方程 A x = b Ax = b Ax=b
    • 可将上述线性方程组和向量方程混同使用

    定理1

    • n元齐次线性方程组 A x = 0 Ax = 0 Ax=0 有非零解的充要条件是 R ( A ) < n R(A) < n R(A)<n
    • 推论:当m < n时,齐次线性方程组 A m × n x = 0 A_{m×n} x = 0 Am×nx=0 一定有非零解

    定理2

    • 对于n元线性方程组 A x = b Ax=b Ax=b
      • 无解的充要条件是 R ( A ) < R ( A , b ) ; R(A) < R(A, b); R(A)<R(A,b);
      • 有唯一解的充要条件是 R ( A ) = R ( A , b ) = n R(A) = R(A,b) = n R(A)=R(A,b)=n
      • 有无穷多解的充要条件是 R ( A ) = R ( A , b ) < n R(A) = R(A,b) < n R(A)=R(A,b)<n

    求解线性方程组的步骤

    • (1) 对于非齐次线性方程组,把它的增广矩阵B化成行阶梯形,从中可同时看出 R ( A ) R(A) R(A) R ( B ) R(B) R(B). 若 R ( B ) < R ( B ) R(B) < R(B) R(B)<R(B), 则方程组无解.
    • (2) 若 R ( A ) = R ( B ) R(A) = R(B) R(A)=R(B), 则进一步把B化成行最简形. 而对于齐次线性方程组,则把系数矩阵A化成行最简形.
    • (3) 设 R ( A ) = R ( B ) = r R(A) = R(B) = r R(A)=R(B)=r, 把行最简形中r个非零行的非零首元所对应的未知量取作非自由未知量, 其余n-r个未知量取作自由未知量, 并令自由未知量分别等于 c 1 , c 2 , . . . , c n − r c_1, c_2, ..., c_{n-r} c1,c2,...,cnr, 由B(或A)的行最简形,即可写出含n-r个参数的通解

    齐次方程组解的结构定理

    • 齐次方程组 A m × n X = 0 A_{m×n}X = 0 Am×nX=0的基础解系所含向量个数为 n − r     ( r = R ( A ) ) n-r \ \ \ (r=R(A)) nr   (r=R(A)) 设一个基础解系为: ξ 1 , ξ 2 , ⋯   , ξ n − r \xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-r} ξ1,ξ2,,ξnr, 则通解为: x = k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + . . . + k n − r ξ n − r     ( k i ∈ R ) x = k_1 \xi_1 + k_2\xi_2 + ... + k_{n-r} \xi_{n-r} \ \ \ (k_i \in R) x=k1ξ1+k2ξ2+...+knrξnr   (kiR)

    例1

    • { x 1 + x 2 − x 3 − x 4 = 0 2 x 1 − 5 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 0 7 x 1 − 7 x 2 + 3 x 3 + x 4 = 0 \left \{\begin{array}{cccc}x_1 + x_2 - x_3 - x_4 = 0 \\2x_1 - 5x_2 + 3x_3 + 2x_4 = 0 \\7x_1 - 7x_2 + 3x_3 + x_4 = 0\end{array} \right. x1+x2x3x4=02x15x2+3x3+2x4=07x17x2+3x3+x4=0 基础解系和通解

    • 分析

      • 对系数矩阵A作初等行变换,变为行最简形矩阵, 有
      • A = ( 1 1 − 1 − 1 2 − 5 3 2 7 − 7 3 1 ) ∼ ( 1 0 − 2 7 − 3 7 0 1 − 5 7 − 4 7 0 0 0 0 ) A = \left (\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 2 & -5 & 3 & 2 \\ 7 & -7 & 3 & 1 \end{array} \right ) \sim \left ( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & -\frac{2}{7} & -\frac{3}{7} \\ 0 & 1 & -\frac{5}{7} & -\frac{4}{7} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ) A=1271571331211000107275073740
      • 化为: { x 1 = 2 7 x 3 + 3 7 x 4 x 2 = 5 7 x 3 + 4 7 x 4 \left \{\begin{array}{cccc}x_1 = \frac{2}{7} x_3 + \frac{3}{7} x_4 \\x_2 = \frac{5}{7} x_3 + \frac{4}{7} x_4\end{array} \right. {x1=72x3+73x4x2=75x3+74x4
      • ( x 3 x 4 ) = ( 1 0 ) , ( 0 1 ) \left (\begin{array}{cccc}x_3 \\x_4\end{array} \right ) = \left (\begin{array}{cccc}1 \\0\end{array} \right ),\left (\begin{array}{cccc}0 \\1\end{array} \right ) (x3x4)=(10),(01) ( x 1 x 2 ) = ( 2 7 5 7 ) , ( 3 7 4 7 ) \left (\begin{array}{cccc}x_1 \\x_2\end{array} \right ) = \left (\begin{array}{cccc}\frac{2}{7} \\\frac{5}{7}\end{array} \right ),\left (\begin{array}{cccc}\frac{3}{7} \\\frac{4}{7}\end{array} \right ) (x1x2)=(7275),(7374),合起来得到基础解系
      • 基础解系为: ξ 1 = ( 2 7 5 7 1 0 ) , ξ 2 = ( 3 7 4 7 0 1 ) \xi_1 =\left (\begin{array}{cccc}\frac{2}{7} \\\frac{5}{7} \\1 \\0\end{array} \right ),\xi_2 =\left (\begin{array}{cccc}\frac{3}{7} \\\frac{4}{7} \\0 \\1\end{array} \right ) ξ1=727510,ξ2=737401
      • 通解为: A = ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) = c 1 ( 2 7 5 7 1 0 ) + c 2 ( 3 7 4 7 0 1 ) ,     ( c 1 , c 2 ∈ R ) A =\left (\begin{array}{cccc}x_1 \\x_2 \\x_3 \\x_4\end{array} \right ) = c_1\left (\begin{array}{cccc}\frac{2}{7} \\\frac{5}{7} \\1 \\0\end{array} \right ) + c_2\left (\begin{array}{cccc}\frac{3}{7} \\\frac{4}{7} \\0 \\1\end{array} \right ), \ \ \ (c_1, c_2 \in R) A=x1x2x3x4=c1727510+c2737401,   (c1,c2R)
    • η ∗ \eta^* η是非齐次方程组 A m ✖ × n X = b A_{m✖×n} X = b Am×nX=b的一特解,则当非齐次线性方程组有无穷多解时其通解为: x = k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + ⋯ + k n − r ξ n − r + η ∗ ( k i ∈ R ) x = k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_{n-r}\xi_{n-r} + \eta^* (k_i \in R) x=k1ξ1+k2ξ2++knrξnr+η(kiR)

    • 其中 k 1 ξ 1 + ⋯ + k n − r ξ n − r k_1\xi_1 + \cdots + k_{n-r} \xi_{n-r} k1ξ1++knrξnr为对应齐次线性方程组的通解

    例2

    • 求解方程组 { x 1 − x 2 − x 3 + x 4 = 0 , x 1 − x 2 + x 3 − 3 x 4 = 1 , x 1 − x 2 − 2 x 3 + 3 x 4 = − 1 2 , \left \{\begin{array}{cccc}x_1 - x_2 - x_3 + x_4 = 0,x_1 - x_2 + x_3 - 3x_4 = 1,x_1 - x_2 - 2x_3 + 3x_4 = - \frac{1}{2},\end{array} \right. {x1x2x3+x4=0,x1x2+x33x4=1,x1x22x3+3x4=21,
    • 分析
      • B = ( 1 − 1 − 1 1 1 − 1 1 − 3 1 − 1 − 2 3 ∣ 0 1 − 1 2 ) → ( 1 − 1 0 − 1 0 0 1 − 2 0 0 0 0 ∣ 1 2 1 2 0 ) B = \left (\begin{array}{cccc}1 & -1 & -1 & 1 \\1 & -1 & 1 & -3 \\1 & -1 & -2 & 3\end{array} \right |\left.\begin{array}{cccc}0 \\1 \\-\frac{1}{2}\end{array} \right ) \to\left (\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & -1 \\0 & 0 & 1 & -2 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array} \right |\left.\begin{array}{cccc}\frac{1}{2} \\\frac{1}{2} \\0\end{array} \right ) B=111111112133012110010001012021210
      • 可见 R ( A ) = R ( B ) = 2 < 4 R(A) = R(B) = 2 < 4 R(A)=R(B)=2<4, 故方程组有无穷多解
      • { x 1 = x 2 + x 4 + 1 2 x 3 = 2 x 4 + 1 2 ⇒ { x 1 = x 2 + x 4 + 1 2 x 2 = x 2 x 3 = 2 x 4 + 1 2 x 4 = x 4 ⇒ ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) = C 1 ( 1 1 0 0 ) + C 2 ( 1 0 2 1 ) + ( 1 2 0 1 2 0 )     ( C 1 , C 2 ∈ R ) . \left \{\begin{array}{cccc}x_1 = x_2 + x_4 + \frac{1}{2} \\x_3 = 2x_4 + \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow\left \{\begin{array}{cccc}x_1 = x_2 + x_4 + \frac{1}{2} \\x_2 = x_2 \\x_3 = 2x_4 + \frac{1}{2} \\x_4 = x_4\end{array} \right. \Rightarrow \left ( \begin{array}{cccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array} \right ) = C_1 \left ( \begin{array}{cccc} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right ) + C_2 \left ( \begin{array}{cccc} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right ) + \left ( \begin{array}{cccc} \frac{1}{2} \\ 0 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right ) \ \ \ (C_1, C_2 \in R). {x1=x2+x4+21x3=2x4+21x1=x2+x4+21x2=x2x3=2x4+21x4=x4x1x2x3x4=C11100+C21021+210210   (C1,C2R).
      • { x 1 = x 2 + x 4 + 1 2 x 3 = 2 x 4 + 1 2 \left \{\begin{array}{cccc}x_1 = x_2 + x_4 + \frac{1}{2} \\x_3 = 2x_4 + \frac{1}{2}\end{array} \right. {x1=x2+x4+21x3=2x4+21
      • x 2 = x 4 = 0 x_2 = x_4 = 0 x2=x4=0, 则 x 1 = x 3 = 1 2 x_1 = x_3 = \frac{1}{2} x1=x3=21, 即得方程组的一个解 η ∗ = ( 1 2 0 1 2 0 ) \eta^* =\left (\begin{array}{cccc}\frac{1}{2} \\ 0 \\ \frac{1}{2} \\ 0\end{array} \right ) η=210210
      • 在对应的齐次线性方程组 { x 1 = x 2 + x 4 , x 3 = 2 x 4 \left \{ \begin{array}{cccc}x_1 = x_2 + x_4, \\ x_3 = 2x_4\end{array} \right. {x1=x2+x4,x3=2x4 中取
      • ( x 2 x 4 ) = ( 1 0 ) \left (\begin{array}{cccc}x_2 \\x_4\end{array} \right ) = \left (\begin{array}{cccc}1 \\0\end{array} \right ) (x2x4)=(10) ( 0 1 ) \left (\begin{array}{cccc}0 \\1\end{array} \right ) (01),则 ( x 1 x 3 ) = ( 1 0 ) \left (\begin{array}{cccc}x_1 \\x_3\end{array} \right ) =\left (\begin{array}{cccc}1 \\0\end{array} \right ) (x1x3)=(10) ( 1 2 ) \left (\begin{array}{cccc}1 \\2\end{array} \right ) (12)
      • 即得对应的齐次线性方程组的基础解系 ξ 1 = ( 1 1 0 0 ) , ξ 2 = ( 1 0 2 1 ) \xi_1 =\left (\begin{array}{cccc}1 \\1 \\0 \\0 \end{array} \right ), \xi_2 = \left ( \begin{array}{cccc}1 \\0 \\2 \\1\end{array} \right ) ξ1=1100,ξ2=1021
      • 于是所求通解为: ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) = c 1 ( 1 1 0 0 ) + c 2 ( 1 0 2 1 ) + ( 1 2 0 1 2 0 ) ,     ( c 1 , c 2 ∈ R ) . \left (\begin{array}{cccc}x_1 \\x_2 \\x_3 \\x_4\end{array} \right ) = c_1 \left (\begin{array}{cccc}1 \\1 \\0 \\0\end{array} \right ) + c_2 \left (\begin{array}{cccc}1 \\0 \\2 \\1\end{array} \right ) + \left (\begin{array}{cccc}\frac{1}{2} \\0 \\\frac{1}{2} \\0\end{array} \right ), \ \ \ (c_1, c_2 \in R). x1x2x3x4=c11100+c21021+210210,   (c1,c2R).

    例3

    • 求解齐次线性方程组 { x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 = 0 2 x 1 + x 2 − 2 x 3 − 2 x 4 = 0 x 1 − x 2 − 4 x 3 − 3 x 4 = 0 \left \{\begin{array}{cccc}x_1 + 2x_2 + 2x_3 + x_4 = 0 \\2x_1 + x_2 - 2x_3 - 2x_4 = 0 \\x_1 - x_2 - 4x_3 - 3x_4 = 0\end{array} \right. x1+2x2+2x3+x4=02x1+x22x32x4=0x1x24x33x4=0
    • 分析:
      • 对系数矩阵 A = ( 1 2 2 1 2 1 − 2 − 2 1 − 1 − 4 − 3 ) A =\left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & 2 & 1 \\2 & 1 & -2 & -2 \\1 & -1 & -4 & -3 \\\end{array} \right ) A=121211224123施行初等行变换化为最简阶梯形
      • r 2 − 2 r 1 , r 3 − r 1 r_2 - 2r_1, r_3 - r_1 r22r1,r3r1
        • ( 1 2 2 1 0 − 3 − 6 − 4 0 − 3 − 6 − 4 ) \left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & 2 & 1 \\0 & -3 & -6 & -4 \\0 & -3 & -6 & -4\end{array} \right ) 100233266144
      • r 3 − r 2 r_3 - r_2 r3r2
        • ( 1 2 2 1 0 − 3 − 6 − 4 0 0 0 0 ) \left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & 2 & 1 \\0 & -3 & -6 & -4 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array} \right ) 100230260140
      • − 1 3 r 2 - \frac{1}{3} r_2 31r2
        • ( 1 2 2 1 0 1 2 4 3 0 0 0 0 ) \left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & 2 & 1 \\0 & 1 & 2 & \frac{4}{3} \\0 & 0 & 0 & 0\end{array} \right ) 1002102201340
      • r 1 − 2 r 2 r_1 - 2r_2 r12r2
        • ( 1 0 − 2 − 5 3 0 1 2 − 4 3 0 0 0 0 ) \left (\begin{array}{cccc}1 & 0 & -2 & -\frac{5}{3} \\0 & 1 & 2 & -\frac{4}{3} \\0 & 0 & 0 & 0\end{array} \right ) 10001022035340
      • 等价式: { x 1 = 2 x 3 + 5 3 x 4 x 2 = − 2 x 3 + 4 3 x 4 \left \{\begin{array}{cccc}x_1 = 2x_3 + \frac{5}{3}x_4 \\x_ 2= -2x_3 + \frac{4}{3}x_4\end{array}\right. {x1=2x3+35x4x2=2x3+34x4
      • 令: x 3 = c 1 , x 4 = c 2 x_3 = c_1, x_4 = c_2 x3=c1,x4=c2
      • 写出参数形式的通解,再改写为向量形式
      • 通解: ( x 1 = 2 c 1 + 5 3 c 2 x 2 = − 2 c 1 − 4 3 c 2 x 3 = c 1 x 4 = c 2 ) \left (\begin{array}{cccc}x_1 = 2c_1 + \frac{5}{3}c_2 \\x_2 = -2c_1 - \frac{4}{3}c_2 \\x_3 = c_1 \\x_4 = c_2\end{array} \right ) x1=2c1+35c2x2=2c134c2x3=c1x4=c2
      • 即: ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) = c 1 ( 2 − 2 1 0 ) + c 2 ( 5 3 − 4 3 0 1 ) \left (\begin{array}{cccc}x_1 \\x_2 \\x_3 \\x_4\end{array} \right ) = c_1\left (\begin{array}{cccc}2 \\-2 \\1 \\0\end{array} \right ) + c_2\left (\begin{array}{cccc}\frac{5}{3} \\- \frac{4}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array} \right ) x1x2x3x4=c12210+c2353401, 其中 c 1 , c 2 c_1, c_2 c1,c2为任意实数

    例4

    • 求解非齐次线性方程组 { x 1 − 2 x 2 + 3 x 3 − x 4 = 1 3 x 1 − x 2 + 5 x 3 − 3 x 4 = 2 2 x 1 + x 2 + 2 x 3 − 2 x 4 = 3 \left \{\begin{array}{cccc}x_1 - 2x_2 + 3x_3 - x_4 = 1 \\3x_1 - x_2 + 5x_3 - 3x_4 = 2 \\2x_1 + x_2 + 2x_3 - 2x_4 = 3\end{array} \right. x12x2+3x3x4=13x1x2+5x33x4=22x1+x2+2x32x4=3
    • 分析:
      • 对增广矩阵只用行变换化阶梯形
      • B = [ 1 − 2 3 − 1 3 − 1 5 − 3 2 1 2 − 2 ∣ 1 2 3 ] → r [ 1 − 2 3 − 1 0 5 − 4 0 0 0 0 0 ∣ 1 − 1 2 ] B =\left [\begin{array}{cccc}1 & -2 & 3 & -1 \\3 & -1 & 5 & -3 \\2 & 1 & 2 & -2\end{array} \right |\left.\begin{array}{cccc}1 \\2 \\3\end{array} \right ] \overset{\text{r}}{\to}\left [\begin{array}{cccc}1 & -2 & 3 & -1 \\0 & 5 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array} \right | \left.\begin{array}{cccc} 1 \\ -1 \\2 \end{array} \right ] B=132211352132123r100250340100112
      • 最后一行对应的方程是 0 = 2 0 = 2 0=2, 所以无解

    例5

    • 解方程组 { x 1 + 2 x 2 + x 4 = 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 − 3 x 4 = 8 2 x 1 + 4 x 2 + 2 x 4 = 6 x 1 + 2 x 2 − x 3 + 5 x 4 = − 2 \left \{\begin{array}{cccc}x_1 + 2x_2 + x_4 = 3 \\x_1 + 2x_2 + x_3 - 3x_4 = 8 \\2x_1 + 4x_2 + 2x_4 = 6 \\x_1 + 2x_2 - x_3 + 5x_4 = -2\end{array} \right. x1+2x2+x4=3x1+2x2+x33x4=82x1+4x2+2x4=6x1+2x2x3+5x4=2
    • 分析
      • 第一步:把增广矩阵用行变换化阶梯形,如果 R ( A ) ≠ = R ( B ) R(A) \neq = R(B) R(A)==R(B), 则无解
      • 如果 R ( A ) = R ( B ) R(A) = R(B) R(A)=R(B), 则继续化为最简阶梯形
      • B = [ 1 2 0 1 1 2 1 − 3 2 4 0 2 1 2 − 1 5 ∣ 3 8 6 − 2 ] → r [ 1 2 0 1 0 0 1 − 4 0 0 0 0 0 0 0 0 ∣ 3 5 0 0 ] B =\left [\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 1 \\1 & 2 & 1 & -3 \\2 & 4 & 0 & 2 \\1 & 2 & -1 & 5 \\\end{array} \right |\left.\begin{array}{cccc}3 \\8 \\6 \\-2\end{array} \right ] \overset{\text{r}}{\to} \left [ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right | \left. \begin{array}{cccc} 3 \\ 5 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right ] B=11212242010113253862r10002000010014003500
      • 第二步:写出等价的(独立的)方程组,保留第一个未知数在左边其余的移到右边,移到右边的称为自由变量
      • [ 1 2 0 1 0 0 1 − 4 ∣ 3 5 ] → { x 1 = − 2 x 2 − x 4 + 3 x 3 = 4 x 4 + 5 \left [\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & -4\\\end{array} \right |\left.\begin{array}{cccc}3 \\5\end{array} \right ] \to\left \{\begin{array}{cccc}x_1 = -2x_2 - x_4 + 3 \\x_3 = 4x_4 + 5 \end{array} \right. [1020011435]{x1=2x2x4+3x3=4x4+5
      • 第三步:令自由变量为任意实数,写出通解。再改写为向量形式。 { x 1 = − 2 x 2 − x 4 + 3 x 3 = 4 x 4 + 5 \left \{\begin{array}{cccc}x_1 = -2x_2 - x_4 + 3 \\x_3 = 4x_4 + 5\end{array} \right. {x1=2x2x4+3x3=4x4+5
      • x 2 = k 1 , x 4 = k 2 x_2 = k_1, x_4 = k_2 x2=k1,x4=k2, 通解: { x 1 = − 2 k 1 − k 2 + 3 x 2 = k 1 x 3 = 4 k 2 + 5 x 4 = k 2 \left \{\begin{array}{cccc}x_1 = -2k_1 - k_2 + 3 \\x_2 = k_1 \\x_3 = 4k_2 + 5 \\x_4 = k_2\end{array} \right. x1=2k1k2+3x2=k1x3=4k2+5x4=k2
      • 即: x = k 1 [ − 2 1 0 0 ] + k 2 [ − 1 0 4 1 ] + [ 3 0 5 0 ] x = k_1\left [\begin{array}{cccc}-2 \\1 \\0 \\0\end{array} \right ] + k_2\left [\begin{array}{cccc}-1 \\0 \\4 \\1\end{array} \right ] + \left [\begin{array}{cccc}3 \\0 \\5 \\0\end{array} \right ] x=k12100+k21041+3050
      • k 1 , k 2 k_1, k_2 k1,k2 为任意常数
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  • end end f=rref(c) % f = % % 1 0 -1 -1 % 0 1 -1 -2 % 0 0 0 0 %有了这个后续工作就好求了 result b = 0 3 -3 c = -2 1 1 0 1 -2 1 3 1 1 -2 -3 方程相容 该齐次线性方程组具有无穷多。 任一的通式中含有1个...

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    code

    clear

    clc

    % 系数矩阵

    a=[-2 1 1;1 -2 1;1 1 -2];

    b=[0;3;-3]

    c=[a b] % 增广矩阵

    r_a=rank(a);

    r_c=rank(c);

    d=size(a);

    if(r_a==r_c)

    fprintf('方程相容\n');

    if(r_a

    e=d(2)-r_a;

    fprintf('该齐次线性方程组具有无穷多解。\n任一解的通解式中含有%i个任意常数\n',e);

    end

    end

    f=rref(c)

    % f =

    %

    % 1 0 -1 -1

    % 0 1 -1 -2

    % 0 0 0 0

    %有了这个后续工作就好求了

    result

    b =

    0

    3

    -3

    c =

    -2 1 1 0

    1 -2 1 3

    1 1 -2 -3

    方程相容

    该齐次线性方程组具有无穷多解。

    任一解的通解式中含有1个任意常数

    f =

    1 0 -1 -1

    0 1 -1 -2

    0 0 0 0

    >>

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  • 首先,只有齐次方程有基础解系这个概念,也就是(AX=0)这个形式。 从一个角度上来说,基础解系是一个向量组,而解向量是一个向量。可以说基础解系是多维的,解向量是二维的。 表达式 X = k1a + k2b + k3c 中,(a,b,...

    首先,只有齐次方程有基础解系这个概念,也就是(AX=0)这个形式。
    从一个角度上来说,基础解系是一个向量组,而解向量是一个向量。可以说基础解系是多维的,解向量是二维的。
    表达式 X = k1a + k2b + k3c 中,(a,b,c)便是基础解系。 (k1a + k2b + k3c)是解向量

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  • 以封面的齐次方程组为例。将它用矩阵形式表达出来:首先,先讲通的求法,第一步:将系数矩阵A进行初等行变换,将它阶梯化(加减消元)。初等行变换就是以前学过的加减消元法突然发现A的秩r(A)=2<4,说明方程组...

    以封面的齐次方程组为例。

    将它用矩阵形式表达出来:

    首先,先讲通解的求法,第一步:将系数矩阵A进行初等行变换,将它阶梯化(加减消元)。初等行变换就是以前学过的加减消元法

    突然发现A的秩r(A)=2<4,说明方程组只有两个有效约束,可是方程组却有五个未知数,这样就会有5-2=3个自由变量。然后我们进行第二步:归一排他。用初等变换,将每一行首位不为零的数化为1(归一),再将此列的其他所有元素化为0(排他)

    选每行首位数字为1的元素对应的变量为固定变量(x1和x2),那么后三个就为自由变量。接下来就可进行最后一步:书写通解。k1,k2,k3取任何数

    至此,通解就求出来了,但是

    为什么要这样去求呢?

    为什么要将系数矩阵阶梯化呢?

    为什么通解的后三行要写成单位矩阵呢?

    为什么要归一排他呢?

    为什么后三列元素要变号后才能写入通解的前两行呢?

    上面这五个问题是我当初学线性代数时产生的疑问。我的老师并没有讲,她只讲了怎么求,而没告诉我们背后的原理。但是,作为一个理科生,就会放任问题在脑海中盘旋吗,当然不行。

    下课后,我对这一系列疑问逐一进行了参透。我认为应该这样去理解:

    首先,将系数矩阵阶梯化,可以求出矩阵的秩,而秩可以拿来判断方程租解的情况,在前面的例子里,r(A)=2<4(行数),根据克莱姆法则,可以判断出齐次方程组有无数个解。我们把这些解看成一个个列向量,而通解就是这无数个解向量中的极大无关组。换句话说,这三个解不仅自己内部线性无关,而且其他的解可以通过这三个解线性组合得到。简直太强大有没有。

    系数矩阵的秩还告诉了我们另一个重要信息,那就是方程组当中有多少个变量受约束,多少个变量自由(自由的意思就是可以任意取),在前面例子里可以得出自由变量有:              5(未知数个数)-2(秩或有效约束个数)=3个。(可见矩阵秩的重要性)

    其次,后三行为何要写成单位阵样式呢?是因为我们在求通解的过程中,人为的将 x1 和 x2看成受约束的变量,而  x3,x4,x5  看成了自由变量。这就好比在五维空间中要想表示一个任意向量,需要5个无关基向量,但是其中两个基向量的大小和方向已经被约束条件固定住了,只剩下三个是自由的了,相当于降维打击成了三维,而三维空间中最简单的基向量就是

    (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)。因为变量自由,可以任意取,为什么不取三个最简单的呢。而且这样也就顺带保证了通解中的三个向量是线性无关的。

    最后,为什么要归一排他呢?为什么要变号呢?因为这样就可以让我们构造的三个向量是方程组的解了。比如:

    到这里,这三个向量,既是方程组的解又是所有解的极大无关组,将他们线性组合,就可以得到通解。

    我不知道我的老师不给我们讲原理是出于什么,是想让我们自己去探索还是对于工科生只要知道结论就好了?但是不管怎样,不管是不是工科生,都应该抱有一种无所谓而为之的求学态度,不可以觉得,就算知道了背后原理又有什么用呢。我去探索原理其实动机很简单,就是觉得这样很好玩,很有意思。

    如果我有错别字和逻辑不合理的地方请严肃指出。

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齐次方程的解向量