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  • 在考研数学中,微分方程是一个重要的章节,每年必考,其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分,它也是求解二阶常系数非齐次线性微分...一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析微分方程中最主要...

    在考研数学中,微分方程是一个重要的章节,每年必考,其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分,它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础,但很多同学对其求解公式不是十分理解,做题时也感到有些困惑,为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握,文都网校考研数学辅导老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明,供考研的朋友们学习参考。

    一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析

    微分方程中最主要的考研数学考点是一阶线性微分方程和二阶常系数线性微分方程,大家对它们的各种求解方法和通解公式及特解求法一定要熟练掌握,而三阶微分方程则仅对数一和数二的考生有些要求,但仅限于三阶常系数线性齐次微分方程。关于可降阶的高阶微分方程实际上也仅限于二阶微分方程。另外,对于变量可分离的微分方程和齐次微分方程大家也要掌握其求解方法。文都网校考研数学辅导老师衷心地期望各位考生能学好考好、金榜题名。*** 热点推荐 ***

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  • 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解 二阶常系数非齐次线性微分方程的形式为: ay″+by′+cy=f(x) 微分方程的通解 = 对应的二阶常系数齐次线性微分方程通解 + 自身的一个特解 简单记为:通解 = 齐次通解 + ...

    二阶常系数非齐次线性微分方程的通解

    见课文原文:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    下面看转的一片博客文章:

    二阶常系数非齐次线性微分方程的形式为:

    							    ay″+by′+cy=f(x)
    

    微分方程的通解 = 对应的二阶常系数齐次线性微分方程通解 + 自身的一个特解
    简单记为:通解 = 齐次通解 + 特解。

    二阶常系数齐次线性微分方程通解的解法:二阶常系数齐次线性微分方程的通解

    下面只需要解出微分方程的特解即可

    对应微分方程:

    							    ay″+by′+cy=f(x)
    

    右式f(x)有两种形式:
    ①f(x)=eλxPm(x)e^{\lambda x}Pm(x)
    此时微分方程对应的特解为:
    y∗=xkRm(x)eλx

    其中:在这里插入图片描述
    得到这个不完全的特解后根据需要求出其不同阶的导数然后带入微分方程,即可解出特解中的系数,到这里,就得到了微分方程的完整特解,于齐次通解相加即的微分方程的通解。

    例:
    求微分方程 2y″+y′−y=2exe^{x} 的通解

    解:
    微分方程对应的齐次微分方程的特征方程为 2r2r^{2}+r−1=0
    可得通解:
    y=c1ex+c2e12xy=c^{_{1}}e^{-x}+c^{_{2}}e^{\frac{1}{2}x}

    微分方程的右式f(x)=2e^x满足f(x)=eλxe^{\lambda x}Pm(x)型,且λ=1,m=0λ=1,m=0,
    所以,设特解为:

    y∗=aexe^{x}

    所以y∗=aexe^{x}、y∗′=aexe^{x}、y∗″=aexe^{x}
    带入微分方程左式得:2aex+aexaexe^{x}+ae^{x}−ae^{x}=2e^{x}

    得:a=1

    所以特解为:

    y∗=exe^{x}

    微分方程的通解为:

    y=c1ex+c2e12x+exy=c^{_{1}}e^{-x}+c^{_{2}}e^{\frac{1}{2}x}+e^{x}

    转自:https://blog.csdn.net/baishuiniyaonulia/article/details/79690752

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  • 微分方程与特征方程当特征方程的解为两个不同的实根时,微分方程的通解为:若为两个相同重根:若为共轭虚根:但这些都是怎么来的呢,为何要用特征方程来辅助研究呢?为了解决这一问题,我去图书馆查阅了一些电子资料...

    下面的微分方程,为二阶常系数齐次线性微分方程。微分方程与特征方程

    当特征方程的解为两个不同的实根时,微分方程的通解为:

    若为两个相同重根:

    若为共轭虚根:

    但这些都是怎么来的呢,为何要用特征方程来辅助研究呢?为了解决这一问题,我去图书馆查阅了一些电子资料才得知。

    对于齐次线性微分方程,形如下面:

    线性微分方程的解有无数个,但是它解的结构有点类似线性方程组,在无数个解当中有一组线性无关的解,找出他们就可以表示其他所有解。可是,怎么判断方程有几个线性无关的特解呢?这时候就需要特征方程来辅助了。特征方程中P(x)可看作一个常数

    这种微分方程的解具有什么样的结构,取决于它的系数函数P(x)和阶数。我们设计一个一元 n次方程,未知数最高次数对应微分方程的最高阶数,把微分方程的系数函数作为一元n次方程未知数的系数,这样,一元n次方程有几个解就能说明微分方程有几个线性无关特解。

    根据代数基本定理,复系数一元n(n>=1)次多项式在复数域至少有一个根,重根按重复次数计算(只有一个根说明有n个相同重根)。这就注定了特征方程一定有n个解,对应的n阶微分方程就有必n个线性无关特解。

    什么叫线性无关呢?按照我个人的理解,对于两个量来说,它们两个相除后,得数不是常数(成比例)就无关,对于多个量来说就是不能相互表示。

    打一个不太恰当的比方,七个葫芦娃个个本事都不一样,谁也无法替代谁,就算前六个葫芦娃联手也无法替代老七宝葫芦的重要作用。但是他们合体成葫芦小金刚就不一样了,如果把小金刚算作第八个葫芦娃,那么他们八个就线性相关了,因为小金刚会的技能无非就是前七个技能的组合,并没有多出来新技能,前七个葫芦娃就算不合体,相互配合打团战,也是可以打出小金刚一个人的作战效果的。总之,用数学化语言讲,葫芦小金刚是七个葫芦娃的线性表示(单从技能组合上来看)。

    在一组函数中,如果每一个函数都无法被其他函数表示,那么这一组就线性无关。线性无关

    那么对于二阶常系数齐次线性微分方程就更简单了。

    我们只需要找到两个无关的特解就可以线性表示所有的解。我观察后突然发现,二阶导、一阶导和原函数之间就差了个常数p和q,那得有一个函数求导后之和原来相差一个常数。学过的初等函数中只有自然函数e做底数的指数函数和常数函数。

    我们把候选函数代进方程里:结果就是特征方程

    所以λ取什么值完全要看特征方程的眼色,如果是两个不同实根,那两个无关特解就可以这样设:

    如果是两个相同重根,这样设:

    将y2代入微分方程后:

    若是两个共轭虚根:

    根据欧拉公式:

    可以将它变换:

    线性微分方程的解的结构和线性方程组类似,可进行类比。

    以前我学习微分方程都是直接背公式的,也不知道它是怎么来的,心里一直因为这个阴云不散,不管是做相关的题目还是解决力学上的微分方程,总是提笔忘式,我下定决心要弄清楚。我觉得,对一个知识一定要立体的,多方位的学习才能牢牢掌握。如果不是去探究微分方程通解的数学原理我可能都不知道欧拉公式能这么用,并且我也在探究的过程中享受到了“朝闻道夕死可矣”的快乐。

    下笔要想有神,必须要对自己的知识清清楚楚。

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  • 本文主要内容:介绍一阶非齐次线性微分方程的通解的应用、特解求解举例,以及二阶微分方程可用该通解求解的情形。一、方程通解公式 一阶非齐次线性微分方程的解析式为:y'+p(x)=q(x),则其通解表达式如下:y=e^[-∫p...

    本文主要内容:介绍一阶非齐次线性微分方程的通解的应用、特解求解举例,以及二阶微分方程可用该通解求解的情形。

    一、方程通解公式

    一阶非齐次线性微分方程的解析式为:y'+p(x)=q(x),

    则其通解表达式如下:y=e^[-∫p(x)]dx{∫q(x)*e^[∫p(x)dx]dx+c}.

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    二、通解公式的实际应用

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    本例中,p(x)=2x,q(x)=4x.

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    本例中,p(x)=-1/x,q(x)=2x^2.

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    本例中,p(x)=1/x,q(x)=sinx/x.

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    本例中,先要将y'前面的系数x变形除后,得到:p(x)=1/x,q(x)=e^x/x.

    34fe95cfce6535899309545aba9bf2d1.png

    本例中,p(x)=-a,q(x)=e^mx.

    f4de3b49b31372224ce3b9da75dae213.png

    此例中,要反过来用一阶非齐次线性微分方程的通解公式,其中:p(y)=-3/y,q(y)=-y/2.

    三、用公式求特解情况举例

    d398e127c94d2c1e3c6256a28ce1b5eb.png

    本例中p(x)=1/x,q(x)=4/x,求满足y(x=1)=0时的特解。

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    本例中p(x)=(2-3x^2)/x^3,q(x)=1,求满足y(x=1)=0时的特解。

    四、二阶微分方程可使用通式求解举例

    3c95c7693ecd74ec47b133086fca84c7.png

    y''+y'/x=4,此时先对y'按照通式公式来求解,再对y'积分求解得到y,通解中含有两个常数系数c1和c2,此时P=1/x,Q=4。

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    y''=y'+x,此时先对y'按照通式公式来求解,再对y'积分求解得到y,通解中含有两个常数系数c1和c2,此时P=-1,Q=x。

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    xy''+y'=lnx,此时先对y'按照通式公式来求解,再对y'积分求解得到y,通解中含有两个常数系数c1和c2,此时P=1/x,Q=lnx/x.

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齐次线性微分方程的通解