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  • 二阶常系数齐次线性微分方程通解

    千次阅读 2020-12-23 06:36:46
    下面的微分方程,为二阶常系数齐次线性微分方程。...对于齐次线性微分方程,形如下面:线性微分方程有无数个,但是它的结构有点类似线性方程组,在无数个当中有一组线性无关的,找出他们就可以表示其...

    下面的微分方程,为二阶常系数齐次线性微分方程。微分方程与特征方程

    当特征方程的解为两个不同的实根时,微分方程的通解为:

    若为两个相同重根:

    若为共轭虚根:

    但这些都是怎么来的呢,为何要用特征方程来辅助研究呢?为了解决这一问题,我去图书馆查阅了一些电子资料才得知。

    对于齐次线性微分方程,形如下面:

    线性微分方程的解有无数个,但是它解的结构有点类似线性方程组,在无数个解当中有一组线性无关的解,找出他们就可以表示其他所有解。可是,怎么判断方程有几个线性无关的特解呢?这时候就需要特征方程来辅助了。特征方程中P(x)可看作一个常数

    这种微分方程的解具有什么样的结构,取决于它的系数函数P(x)和阶数。我们设计一个一元 n次方程,未知数最高次数对应微分方程的最高阶数,把微分方程的系数函数作为一元n次方程未知数的系数,这样,一元n次方程有几个解就能说明微分方程有几个线性无关特解。

    根据代数基本定理,复系数一元n(n>=1)次多项式在复数域至少有一个根,重根按重复次数计算(只有一个根说明有n个相同重根)。这就注定了特征方程一定有n个解,对应的n阶微分方程就有必n个线性无关特解。

    什么叫线性无关呢?按照我个人的理解,对于两个量来说,它们两个相除后,得数不是常数(成比例)就无关,对于多个量来说就是不能相互表示。

    打一个不太恰当的比方,七个葫芦娃个个本事都不一样,谁也无法替代谁,就算前六个葫芦娃联手也无法替代老七宝葫芦的重要作用。但是他们合体成葫芦小金刚就不一样了,如果把小金刚算作第八个葫芦娃,那么他们八个就线性相关了,因为小金刚会的技能无非就是前七个技能的组合,并没有多出来新技能,前七个葫芦娃就算不合体,相互配合打团战,也是可以打出小金刚一个人的作战效果的。总之,用数学化语言讲,葫芦小金刚是七个葫芦娃的线性表示(单从技能组合上来看)。

    在一组函数中,如果每一个函数都无法被其他函数表示,那么这一组就线性无关。线性无关

    那么对于二阶常系数齐次线性微分方程就更简单了。

    我们只需要找到两个无关的特解就可以线性表示所有的解。我观察后突然发现,二阶导、一阶导和原函数之间就差了个常数p和q,那得有一个函数求导后之和原来相差一个常数。学过的初等函数中只有自然函数e做底数的指数函数和常数函数。

    我们把候选函数代进方程里:结果就是特征方程

    所以λ取什么值完全要看特征方程的眼色,如果是两个不同实根,那两个无关特解就可以这样设:

    如果是两个相同重根,这样设:

    将y2代入微分方程后:

    若是两个共轭虚根:

    根据欧拉公式:

    可以将它变换:

    线性微分方程的解的结构和线性方程组类似,可进行类比。

    以前我学习微分方程都是直接背公式的,也不知道它是怎么来的,心里一直因为这个阴云不散,不管是做相关的题目还是解决力学上的微分方程,总是提笔忘式,我下定决心要弄清楚。我觉得,对一个知识一定要立体的,多方位的学习才能牢牢掌握。如果不是去探究微分方程通解的数学原理我可能都不知道欧拉公式能这么用,并且我也在探究的过程中享受到了“朝闻道夕死可矣”的快乐。

    下笔要想有神,必须要对自己的知识清清楚楚。

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  • 二阶常系数齐次线性微分方程 通解

    千次阅读 2020-12-23 06:38:50
    微分方程的实函数的通解为, y = 2c1e^[x+b][cos(2x)] + 2c2e^[x+b][sin(2x)] = e^x[2c1e^bcos(2x) + 2c2e^bsin(2x)] 其中,c1,c2 是任意常数。 记 C1 = 2c1e^b, C2 = 2c2e^b, 有 y = e^x[C1cos(2x) + C2sin(2x)] ...

    满意答案

    yanweishizu

    2013.07.12

    采纳率:46%    等级:12

    已帮助:13567人

    y'' - 2y' + 5y = 0,

    设y = e^[f(x)],则

    y' = e^[f(x)]*f'(x),

    y''= e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x).

    0 = y'' - 2y' + 5y = e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x) - 2e^[f(x)]*f'(x) + 5e^[f(x)],

    0 = [f'(x)]^2 + f''(x) - 2f'(x) + 5,

    当f(x) = ax + b, a,b是常数时。

    f''(x) = 0,

    f'(x) = a.

    0 = a^2 - 2a + 5.

    2^2 - 4*5 = -16 < 0.(2^2-4*5)^(1/2)=4i.

    a = [2 + 4i]/2 = 1 + 2i或a = [2-4i]/2 = 1 - 2i.

    y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1+2i)x + b] = e^[x+b]*e^(2ix)

    y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1-2i)x + b] = e^[x+b]*e^(-2ix)

    因2个解都满足微分方程。所以,微分方程的实函数解为,

    y = e^[x+b]*e^(2ix) + e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)+e^(-2ix)] = 2e^[x+b][cos(2x)]

    y = e^[x+b]*e^(2ix) - e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)-e^(-2ix)] = 2e^[x+b][sin(2x)]

    微分方程的实函数的通解为,

    y = 2c1e^[x+b][cos(2x)] + 2c2e^[x+b][sin(2x)]

    = e^x[2c1e^bcos(2x) + 2c2e^bsin(2x)]

    其中,c1,c2 是任意常数。

    C1 = 2c1e^b, C2 = 2c2e^b,

    y = e^x[C1cos(2x) + C2sin(2x)]

    C1,C2为任意常数。

    这个,可能就是特征方程无实数根时,通解的由来吧~~

    【俺记忆力很差,公式都记不住,全靠傻推。。

    这样的坏处是费时,好处是,自己推1遍,来龙去脉就清楚1些了。

    不知道,俺的傻推过程对你的疑问有点帮助没~~】

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  • 1/3二阶常系数齐次线性微分方程通解证明来源:文都教育在考研数学中,微分方程是一个重要的章节,每年必考,其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分,它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的...

    1 / 3

    二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明

    来源:文都教育

    在考研数学中,

    微分方程是一个重要的章节,

    每年必考,

    其中的二阶常系数齐次线性微

    分方程是一个基本的组成部分,

    它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础,

    但很多

    同学对其求解公式不是十分理解,

    做题时也感到有些困惑,

    为了帮助大家对其通解公式有更

    深的理解和更牢固的掌握,

    文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明,

    供考

    研的朋友们学习参考。

    一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析

    通解公式

    :设

    0

    y

    py

    qy

    ,

    p

    q

    为常数,特征方程

    0

    2

    q

    p

    的特征根为

    1

    2

    ,

    ,则

    1

    )当

    1

    2

    且为实数时,通解为

    1

    2

    1

    2

    x

    x

    y

    C

    e

    C

    e

    2

    )当

    1

    2

    且为实数时,通解为

    1

    1

    1

    2

    x

    x

    y

    C

    e

    C

    xe

    3

    )当

    1

    2

    ,

    i

    时,通解为

    1

    2

    (

    cos

    sin

    )

    x

    y

    e

    C

    x

    C

    x

    证:若

    0

    2

    q

    p

    的特征根为

    1

    2

    ,

    ,则

    1

    2

    1

    2

    (

    ),

    p

    q

    

    ,将其代入方

    0

    y

    py

    qy

    中得

    1

    2

    1

    2

    (

    )

    y

    py

    qy

    y

    y

    y

    2

    1

    2

    2

    1

    2

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    0

    y

    y

    y

    y

    y

    y

    y

    y

    2

    z

    y

    y

    展开全文
  • 介绍了求解二阶常系数非齐次线性微分方程的2种简易方法———降阶法和积分法,扩大了可求解二阶常系数非齐次线性微分方程的范围,并举例说明了它们的应用.
  • 二阶常系数齐次线性微分方程一般形式为: y"+py’+qy=0 (1-1) 其中p,q为常数。 以r^k代替上式中的y(k)(k=0,1,2) ,得一代数方程 r²+pr+q=0 这方程称为微分方程(1-1)的特征方程 按特征根的情况,可直接写出...

    二阶常系数齐次线性微分方程一般形式为:
    y"+py’+qy=0 (1-1)
    其中p,q为常数。
    以r^k代替上式中的y(k)(k=0,1,2) ,得一代数方程
    r²+pr+q=0
    这方程称为微分方程(1-1)的特征方程
    按特征根的情况,可直接写出方程1-1的通解。
    (1)特征方程有两个不相等的实数根,r1≠r2,则1-1的通解为
    y=C1e(r1x)+C2*e(r2x)
    (2) 特征方程有两个相等的实数根,r1=r2=r,方程1-1的通解为
    y=(C1+C2
    x)e^(rx)
    (3)特征方程有一对共轭复根,r1=α+i
    β,r1=α-iβ,,则方程1-1的通解为
    y=e^(αx)(C1
    cos(βx)+C2*sin(βx)).

    展开全文
  • (光看一遍书很快就又忘了,在此记录一下) y′′+py′+qy=0y''+py'+qy=0y′′+py′+qy=0 ...第三步:根据特征方程的两个根的不同情形,按照下列表格写出微分方程通解: 特征方程r2+pr+q=0r^2+pr+q=...
  • 在考研数学中,微分方程是一个重要的章节,每年必考,其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分,它也是求解二阶常系数非齐次线性微分...一、二阶常系数齐次线性微分方程通解分析微分方程中最主要...
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  • 7—8常系数非齐次线性微分方程求法(真的很简单!)
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  • 形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程,Q(x)称为自由项。一阶,指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性,指的是方程简化后的每一项关于y、y'的指数为1。
  • 齐次线性微分方程解的结构 非齐次线性微分方程,是具有非齐次项的线性微分方程。...非齐次线性微分方程通解,是由其对应的 齐次方程的通解 加上 非齐次线性微分方程的一个特解 组成。 笔记以及例题如下: ...
  • (6/300)一阶线性齐次微分方程通解

    万次阅读 多人点赞 2020-03-13 22:43:43
    一阶线性齐次微分方程通解 标题首先应该认识方程的形式: dy/dx+P(x)y=Q(x) 然后就来思考怎么去解这个方程了 我们最终希望是得到一个y=f(x)的形式,怎么解呢?先通过线性代数的知识进行引入: 求AX=b的通解...
  • 常系数齐次线性微分方程的解法

    千次阅读 2020-11-19 11:03:31
    常系数齐次线性微分方程的解法 常系数齐次线性微分方程的形式: dnxdtn+a1dn−1xdtn−1+⋯+an−1dxdt+anx=0(1)\frac{d^nx}{dt^n}+a_1\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}\frac{dx}{dt}+a_nx=0\tag{1}dtndnx​+...
  • 所以齐次方程通解是62616964757a686964616fe58685e5aeb931333431376633:y=ae^(3x)+be^(-x)。只需求其特解y*。根据右边4e^x,可设y*=ke^x,代入左边得:ke^x-2ke^x-3ke^x=4e^x。解得k=-1。特征根方程r^2+...
  • 在假设二阶变系数非齐次线性微分方程两个变系数关系已知的前提下,利用降阶法推出几类二阶变系数齐次线性微分方程通解表达式.
  • 文章编号:1007-9831(2007)02-0001-02几种可降阶的三阶变系数齐次线性微分方程类型张敬,周莉(齐齐哈尔大学理学院,黑龙江齐齐哈尔161006)摘要:讨论了三阶变系数齐次线性微分方程可降...
  • 常系数齐次线性微分方程

    千次阅读 2020-03-08 19:53:10
    一、二阶常系数齐次线性微分方程通解 二、推广到高阶
  • §12.8 高阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程的引入 【例1】设有一弹簧,它的上端固定,下端挂一个质量为的物体。当物体处于静止状态时,作用在物体上的重力与弹性力大小相等,方向相反。这个位置就是物体的...
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  • 赵士银【摘要】针对自由项为几类常见类型的三阶常系数非齐次线性微分方程,得到了求此类微分方程的特公式,使求三阶常系数非齐次线性微分方程的特更加简易.【期刊名称】《西华大学学报(自然科学版)》【年(卷),期】...
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  • 通解及设特解的步骤: 一般式形式:ay’’+by’+cy=f(x) &&第一步:求特征根: 令ar²+br+c=0,解得r1和r2两个值,(这里可以是复数,例如(βi)²=-β²) &&第二步:通解: 若r1≠r2,则y=C1e(r1...

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齐次线性微分方程的通解