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  • MATLAB最速下降

    2015-03-16 01:27:07
    MATLAB最速下降法,简单,快速,易读
  • MATLAB最速下降法求解函数极小值1.题目2.matlab代码2.1主函数2.2调用函数2.3运行结果3.分析 写在前面:最速下降法求解函数极小值的理论部分已经写在上一篇文章中,这篇文章直接进行具体问题的求解并附上matlab代码。...


    写在前面:最速下降法求解函数极小值的理论部分已经写在上一篇文章中,这篇文章直接进行具体问题的求解并附上matlab代码。

    1.题目

    在这里插入图片描述
    设初始点为[x1 x2]=[-2.5 4.5] ,ε≤0.01,求目标函数的极小值。

    2.matlab代码

    2.1主函数

    syms x1 x2 s; %声明符号变量
    
    f1 =  x1^4 - 2*x1^2*x2 - 2*x1*x2 + x1^2 + 2*x2^2 + 4.5*x1 - 4*x2 + 4;%设定目标函数
    
    k=steepest_descent(f1,x1,x2,s,[-2.5,4.25],10^(-2));  %设定起始点[x1 x2]=[-2.5,4.25]和精度10^(-2)
    
    result_string=sprintf('在 %d 次迭代后求出极小值\n',k);%在迭代多少次之后求出极小值
    disp(result_string);
    

    2.2调用函数

    function   k = steepest_descent(f,x1,x2,s,start_point,thereshold) 
        
        k = 0;%迭代次数赋值初始化
        
        grad_f = [diff(f,x1) diff(f,x2)]; %计算f的梯度
        
        delta = subs(grad_f,[x1,x2],[start_point(1),start_point(2)]);
        %计算起点的梯度
        
        step=1; %设置初始步长为1
        
        current_point = start_point;%起点值赋给当前点
        
        %最速下降法的主循环,判断条件为:梯度的模与所给精度值进行比较
        while norm(delta) > thereshold  
            
            k = k + 1;%迭代次数+1
            
            %一维探索 求最优步长(此时方向已知,步长s为变量)
            x_next = [current_point(1),current_point(2)] - s* delta/norm(delta);% 计算x(k+1)点,其中步长s为变量 
            f_val = subs(f,[x1,x2],[x_next(1),x_next(2)]);% 将x值带入目标函数中
            step = abs(double(solve(diff(f_val,s)))); % 对s求一阶导,并加绝对值符号,得到最优步长的绝对值
            step = step(1);%更新步长
            
            %计算x(k+1)点
            current_point = double([current_point(1),current_point(2)] - step * delta/norm(delta));
            
            %计算x(k+1)点的梯度值
            delta = subs(grad_f,[x1,x2],[current_point(1),current_point(2)]);
            
            %计算函数值
            f_value = double(subs(f,[x1,x2],[current_point(1),current_point(2)]));
            
            %输出迭代计算过程
            result_string=sprintf('k=%d, x1=%.6f, x2=%.6f, step=%.6f f(x1,x2)=%.6f',...
            k,current_point(1),current_point(2),step,f_value);
            disp(result_string);
            
        end
    end
    

    (使用代码时,只需要把主函数中目标函数 ;起始点; 精度,重新设置成你所需要的就可运行。)

    2.3运行结果

    在这里插入图片描述

    3.分析

    将收敛条件由ε≤0.01改为ε≤10^(-6),运行结果如下:
    在这里插入图片描述
    可以看出,利用最速下降法求函数极小值时,在最初几步迭代中函数值下降很快,但当函数值越接近理论极小值时,函数值下降的越慢,同时,越接近理论极小值时,步长也越小,因此最速下降法的收敛速度并不快,这是因为函数在x(k)点处的负梯度方向为其最速下降方向仅仅是针对该点处而言,,一旦离开该点,原先方向就不是最速下降方向了。

    最速下降方向只是针对当前的计算点而言,并非是全局的最速下降方向

    最速下降法优点:对初始点选择要求低,远离极值点时收敛速度快
         缺点:越逼近理论极小值,收敛速度越慢

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  • matlab最速下降法函数

    2014-08-09 10:45:11
    基于matlab编写的最速下降法函数文件,简单好用
  • 说一下:最速下降法并不是很好的办法,比他更好的办法是共轭梯度法。但是,因为共轭梯度法是在最速下降法的基础之上产生的,所以我们还是先来介绍一下最速下降法。我们具体代码实现一下:% 最速下降法,计算线性方程...

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    说一下:最速下降法并不是很好的办法,比他更好的办法是共轭梯度法。但是,因为共轭梯度

    法是在最速下降法的基础之上产生的,所以我们还是先来介绍一下最速下降法。

    efd6971da6992713ef821d9be7e9e2b0.png

    28c543ff8eac09cfe48fda1eb0d33ff3.png

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    33b534250e7ea252b2592a68a71cc05d.png

    7c91cecf1be473924bf79b15d34cbfee.png

    b7591650015bc0bbffc6afdca75709f9.png

    ba1037218d09c4d2679d08a16b470bf2.png

    6300a72bfe1466d9bd5da77803788a72.png

    d5d89b2d4b25ae57787583ce4eb8089e.png

    我们具体代码实现一下:

    % 最速下降法,计算线性方程组的解
    function [x,k] = steepest_descent(A,b,x0,tol)
    % tol为输入误差容限,x0为迭代初始值
    
    % 默认最多迭代3000次,超出3000次会给出警示
    max1 = 3000;
    
    r = b-A*x0;
    
    % dot命令用于求内积
    a = dot(r,r)/dot(A*r,r);
    
    x = x0+a*r;
    k = 1;
    
    while norm(x-x0)>=tol
        x0 = x;
        
        r = b-A*x0;
        a = dot(r,r)/dot(A*r,r);
        
        x = x0+a*r;
    
        k = k+1;
        if(k>=max1)
            disp('迭代次数超过',max1,'次,方程组可能不收敛');
            return;
        end
        
        [k,x']
    end

    我们用这个线性方程组进行迭代尝试

    1e9dbd515ca0f49249e13de464966c0c.png

    在编辑界面输入如下命令:

    A = [4,-2,-1;-2,4,-2;-1,-2,3];
    
    % 注意必须加'表示转置
    b = [0,-2,3]';
    x0 = [1,1,1]';
    [x,k] = steepest_descent(A,b,x0,0.001)

    最后计算结果如下:

    d7efd47bcb15724d1eb880394fd95b6d.png
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  • matlab最速下降

    2011-11-20 14:19:16
    一个用matlab编写的最速下降法,包括进退法,黄金分割法等一维搜索算法
  • 对于多目标最优化问题的最速下降法 给出定数 , 和 ,选择初始点 , 令 计算方向 计算 ,如果 ,那么中止算法 选择满足 的最大的 ,并且把这个设为stepsize 令 , ,返回step 2 上述算法中,如果 十分小的的时候, ...

    61a8d9a1ec0649c9f3c488205130df97.png
    • 参考资料
    留德华叫兽:【学界】多目标优化详解zhuanlan.zhihu.com
    4179369925bda02e114c9306c6b9dc8b.png

    [1] J. Fliege and B. F. Svaiter, “Steepest descent methods or multicriteria optimization,”Mathematical Methods of Operations Research, 51, pp. 479–494, 2000.

    • 准备

    在某些约束条件下,把多个目标函数最小化或者最大化的问题,被称为多目标优化问题。在这个问题中,不一定存在使得所有的目标函数同时最小或者最大的解。这里,关于我们需要引入关于解的最优性的一个概念——帕累托最优。帕累托解是指,当想要改善某个目标函数时,最少有一个其他的目标函数变坏的这样的解。帕累托解一般不是唯一的,而是集合。

    对于多目标优化问题的解法,熟知的可能就是加权平均法。但是通过reformulation有可能使得原来的优化问题变成非有界问题。但是值得注意的是,权重的确定对于问题的求解来说也是十分重要。当然,有许多改进的方法如启发式算法等。

    • 多目标优化问题

    多目标优化问题可表示为

    这里,

    的部分集合,
    是成分为
    的连续可微函数,即对于任意的
    ,有

    我们知道对于单一目标函数的优化问题,对于任意的

    ,满足
    为全局最优解。但是,正如我们刚才提到的,多目标优化问题中满足同时最小化的解不一定存在。基于此,我们给出帕累托解 (Pareto optimal) 的数学概念,即为不存在满足
    的这样的
    。如果将满足条件改为
    ,则成为弱帕累托解 (weakly Pareto optimal)。另外,我们定义目标函数的雅可比矩阵为
    ,则有满足
    被称为帕累托停留点 (Pateto stationary), 这里
    为正实数集合。如果为单一目标函数时,即m为1的时候,对于
    ,则有
    ,这也就是单一目标函数的最优化问题的停留点。

    明显地,我们可以得到

    不是帕累托停留点时, 满足
    是存在的。因此,满足
    存在。特别是
    上的下降方向。这里,
    为定数。

    92f99e22309dd14609c56b7660cbd2d6.png
    弱帕累托解和帕累托解
    • 最速下降法

    对于单目标无约束最优化问题,我们熟知的探索方向是在

    次迭代
    。下面,我们介绍对多目标的最优化问题的最速下降法。

    首先,对于

    ,定义如下函数

    基于上述函数,考虑如下最优化问题

    但是,这里

    。由于这个最优化问题的目标函数为强凸函数,存在唯一的解,可写为

    我们称它为最优化问题的最速下降方向。我们定义最优化问题的目标函数为

    如果

    的时候,那么
    ,即单一目标最小化优化问题的最速下降方向。基于以上,我们用松弛变量重新将上述最优化问题reformulation为

    由于这个最优化问题的为凸规划,所以很多的求解器可以handle。

    • 对于多目标最优化问题的最速下降法
    1. 给出定数
      ,选择初始点
      , 令
    2. 计算方向
    3. 计算
      ,如果
      ,那么中止算法
    4. 选择满足
      的最大的
      ,并且把这个设为stepsize
    5. ,返回step 2

    上述算法中,如果

    十分小的的时候, 那么理论上在step 3中的
    • 最后一言

    除了最速下降法还有投影梯度法和牛顿法来求解多目标优化问题。另外,将多目标优化问题 和鲁棒优化结合的问题也十分有意思,值得深入探究。

    如果有什么疑问或者建议,可以给我发邮件。➡ zhaoyou728 at outlook.com

    展开全文
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    什么是随机梯度下降法?

    ① 当训练集较大时,梯度下降算法显得计算量非常大。

    ② 跟普通梯度下降不同的方法:随机梯度下降(stochastic gradient descent),这种方法我们可以将算法运用到较大训练集的情况中。

    ③ 我们依然以线性回归为例,但随机梯度下降的思想也可以应用于其他的学习算法,比如逻辑回归、神经网络或者其他依靠梯度下降来进行训练的算法中。

    ④ 随机梯度下降在每一步迭代中,不用考虑全部的训练样本,只需要考虑一个训练样本,如下图右边公式所示:

    324b9a65f47658f39d6071668c5c3986.png

    ⑤ 随机梯度下降法的第一步是将所有 m 个训练样本从 i 从 1 到 m 中进行循环。

    注:首先是我的第一个训练样本(x(1),y(1)),然后只对这第一个训练样本,对它的代价函数计算一小步的梯度下降。

    注:换句话说,对第一个样本把参数 θ 稍微修改一点,使其对第一个训练样本的拟合变得好一点。

    注:完成这个内层循环以后,再转向第二个训练样本,利用上一次训练得到的 θj,以此类推,直到完成所有的训练集。

    ⑥ 这个重复循环会多次遍历整个训练集,跟批量梯度下降不同,随机梯度下降不需要等到对所有m个训练样本求和来得到梯度项,而是只需要对单个训练样本求出这个梯度项。

    fbc5ef2ce22811c861408b6dcbc9c5e2.png

    ⑦ 批量梯度下降更新参数 θ 的收敛过程会倾向于一条近似的直线,一直找到全局最小值。

    ⑧ 随机梯度下降中,每一次迭代都会更快,每一次迭代只需要保证对一个训练样本拟合好就行了, 所以看起来它是以某个比较随机、迂回的路径在朝全局最小值逼近。

    ⑨ 实际上随机梯度下降是在某个靠近全局最小值的区域内徘徊,而不是直接逼近全局最小值并停留在那点,所以通常我们用随机梯度下降法,也能得到一个很接近全局最小值的参数。

    注:外层循环执行的次数取决于训练样本的大小,通常一次就够了,最多到10次,是比较典型的。

    Python基础积累

    if、else

    _username='Alex Li'
    _password='abc123'
    username=input("username:")
    password=input("password:")
    if _username==username and _password==password:
        print(("Welcome user {name} login...").format(name=username))
    else:
        print("Invalid username or password!")

    运行结果:

    username: XXXX ( 这里我输入的是:Alex Li )

    password: XXXX ( 这里我输入的是:abc123 )

    Welcome user Alex Li login...

    注:变量可以前面可以带下划线。

    注:if、else语句后面加冒号。

    注:== 两个等号用来作判断作用。

    "♥每天积累一点点♥"

    展开全文
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