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  • 已知两个集合,这两个集合的交集和并集的MATLAB代码,txt文档
  • 先创建2个向量a和b,intersect求交集,union求并集; 文本如下; > a = [7 9 11 13 101] a = 7 9 11 13 101 > b = [6 8 11 37 101] b = 6 8 11 37 101 > intersect(a,b) ans = 11 101 >...

    先创建2个向量a和b,intersect求交集, union求并集;

    文本如下;

    > a = [7 9 11 13 101]

    a =

         7     9    11    13   101

    > b = [6 8 11 37 101]

    b =

         6     8    11    37   101

    > intersect(a,b)

    ans =

        11   101

    > union(a,b)

    ans =

         6     7     8     9    11    13    37   101

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  • 目录前言假如你是大学生(一)符号表达式函数极限泰勒展开函数求导不定积分定积分前言上一篇实际上是一个小插曲,向大家介绍并展示了一段简短的python小程序在实现“文件批量处理”方面的强大功用!接着上上一篇...

    目录

    • 前言

    • 假如你是大学生(一)

      • 符号表达式

      • 函数求极限

      • 泰勒展开

      • 函数求导

      • 求不定积分

      • 求定积分


    前言

    上一篇实际上是一个小插曲,向大家介绍并展示了一段简短的python小程序在实现

    文件批量处理

    方面的强大功用!

    接着上上一篇,今天我们继续来看Matlab常用指令假如你是大学生系列一(高等数学上册)。

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    假如你是大学生(一)

    前面两篇我们介绍的小学生中学生系列的Matlab指令其实是非常初级的,甚至可以说,Matlab对于小学生和中学生来说只能算是一个高级的计算器。而其真正功能之强大,指令之丰富,体现在大学生系列。(Matlab在大学各种数学类课程、物理化学类课程、工程类课程、经济金融类等课程中都具有重要作用!)下面我们介绍一些及其常用的指令和用法。

    符号表达式

    之前已经介绍过,利用符号表达式可以定义一个函数表达式,所有的符号表达式定义都从syms指令开始,比如你的表达式包含x,y两个变量,那么你要首先定义两个符号变量:

    syms x y

    紧接着就可以写出你的符号表达式,例如想画一个双曲面的三维图,

    f=x^2-y^2;
    fsurf(f)

    立刻得到

    2abb036c0a29bc85cd60006e1cf038b5.png

    其中fsurf指令可以快速绘制符号表达式的三维曲面图,你只要指定函数表达式,调用该函数就可以很快绘制曲面图,不需要指定任何数据信息。这和之前介绍过的快速绘制符号表达式的二维曲线图的指令fplot用法类似。(以后我们专门讲绘图指令时会再提。)

    我们可以利用符号表达式来进行简单的公式推演,例如

    syms x y
    f1=x-y;
    f2=x+y;
    f1^3*f2^3
    expand(ans)

    得到

    22580a14c7a04ce8505c40905e67452e.png

    其中expand指令是把乘积结果展开。

    我们也可以对符号表达式进行化简,例如

    syms x y
    f=(x^3+y^3)/(x+y)
    simplify(f)

    得到

    15b8f3795fe488b5228e698400cae471.png
    image-20201219185613535

    其中simplify指令是对结果进行化简。

    函数求极限

    微积分中求极限是最基本的操作。在matlab中求极限的指令为limit(f,var,a),即求

    的值。例如,我们求下面这个常见的极限

    syms x
    f=sin(x)/x;
    limit(f,x,0)

    得到结果

    1b5654c8f4cb930d54ffb4867d39a787.png

    完全正确!对于高等数学中所有的求极限题目都可以一网打尽!

    泰勒展开

    Matlab中求一个函数f的某个自变量x某点x0处截断的泰勒展开利用指令taylor(f,x,x0),其中x0若是缺失则默认在0处展开,例如求函数在0处的前几阶泰勒展开:

    syms x
    f=tan(x);
    taylor(f,x)
    6325e296149410aec27861e7e4fb6176.png

    (若没有指定展开到多少阶,默认最高只展开到6阶)我们可以指定展开到n阶,利用taylor(f,x,x0,'order',n).例如展开到13阶

    taylor(f,x,'order',13)

    得到

    9ce5f01ac3f664cd4906f46e88406427.png

    我们也可以对二元函数进行泰勒展开(这是高等数学下册所学,不要求掌握的内容),例如求函数的前13阶展开:

    syms x y
    f=tan(x*y);
    taylor(f,[x,y],'order',13)

    得到

    cdbfa23d1e49e097c57bcbee1793fa6a.png

    有了这个工具,你还说不会泰勒展开吗?复杂函数的泰勒展开你还需要手算吗?

    4f5b185e2fc61700b940163de95dd08e.png

    函数求导

    微积分中求导是第二基本操作。在matlab中求导的指令为diff(f,var,n),即对函数f的某个变量varn阶导数。例如,我们求函数

    的一阶导数,有

    syms x 
    f=sin(x)/x;
    df1=diff(f,x)

    得到

    55c07e5910bff5eecd8479a667d3751d.png

    对其求2阶导,只要指定一个阶数2

    df2=diff(f,x,2)
    simplify(df2)

    立刻得到

    3d535ca3841c05eaa7df21f858830fbb.png

    其中我再次利用了simplify函数进行化简!

    我们也可以求偏导数,例如对如下函数求x偏导

    syms x y z
    F=x^2+y^2+z*sin(x*y);
    dFx=diff(F,x)

    即指定求导变量为x即可,得到

    03c02db7c1cac3d29894372fce635cc5.png

    求不定积分

    微积分中求积分是第三基本操作。在matlab中求不定积分的指令为int(f,var),即对函数f的某个变量var求积分。例如,我们求积分

    有:

    syms x
    f=x*exp(x)
    J=int(f)

    得到

    d1de3f9018ae570b1d75a33b8a2b4284.png

    我们可以求多元函数关于某一变量的积分(其他的变量当成常数对待),例如求

    有:

    syms x y
    f=x*exp(x*y)
    J=int(f,y)

    得到

    ddebec7cb1cb40c6e9e96c78554cc4f6.png

    求定积分

    定积分就是在不定积分基础上加上积分上下限,有多种方法。

    • 方法一,符号表达式利用int(f,x0,x1)求函数fx0x1区间的积分。例如,求积分

      (还记得高等数学教材中是如何求此积分的吗?上册教材利用“夹逼定理”,即先求圆域积分再求正方形域积分,最后取极限;下册是利用二元函数极坐标系求积分,最后取极限)在matlab中只需要两三行程序:

      syms x
      f=exp(-x^2);
      int(f,0,inf)

      得到

      355c2334bae5869001d10aa8d6a8ccb3.png
      e4307fc1a5fc012e67143f82ff00017b.png
    • 方法二,匿名函数(前面说过匿名函数怎么定义)情况下利用integral(f,x0,x1)求函数fx0x1区间的积分。例如,依然求上面的积分,则有

      f=@(x)exp(-x.^2);
      integral(f,0,inf)

      得到

      3ee7b2f97395aafe78a467e04e75b2a5.png

      注意这里面得到的是数值结果(除了符号表达式下得到的是精确的解析解外,其他情况下都是数值解!)

      integral指令求一元函数的定积分可以说是非常强大!任何复杂的一元函数都可以利用该指令求出数值积分!后面我们将会讲到对应的二重积分和三重积分求积指令分别为integral2integral3.

    • 方法三,各种数值积分。例如quad(f,a,b)利用复化辛普森求积算法计算积分(精度比较高),trapz(x,y)利用梯形公式计算积分(精度最低)。例如,依然计算上面的积分,利用quad函数有

      f=@(x)exp(-x.^2);
      quad(f,0,1000)

      (注意quad中的上下限不能出现无穷符号inf,所以如果你的求积区间存在无穷大,要使用quad指令,可以把无穷大用一个相对较大的数值取代,例如这里我把无穷大取代为1000)得到

      131d82bcbe7e03590d96308f218aea40.png

      integral的结果一致。(有人可能会问把无穷替换为一个相对较大的数,积分出来结果能不能反映真实值?很显然,如果一个函数在0到无穷大的区间内积分收敛,即积分结果是一个定值,那么你取0到1000和0到10000积分得到的结果应该很接近,如果说你取了两种相对较大的区间,发现积分结果差别比较大,可能存在两种原因,第一,被积函数在无穷范围内积分不收敛!第二,你取的“相对较大”的数还不够大!)

      我们再利用trapz函数来求此积分,有

      x=0:1000;
      f=exp(-x.^2);
      trapz(x,f)

      (先把0到1000离散成很多个点x,显然我也不可能取0到无穷大的离散点,所以就取一个相对较大的数1000。再计算每个离散点处被积函数的值f.然后调用trapz函数计算积分)得到

      0ef1b892b561336fcf411f3bbf36672f.png

      和上面的结果有些许差别。(因为精度较低)

    ~~Matlab常用指令假如你是大学生系列二(高等数学下册)~~见下期喽~

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  • 这几天在看色域映射(Gammut Mapping)内容时碰到了凸包交集(Intersection of Convex Hulls)的问题,有一个比较巧妙的算法可以轻松地解决这个问题,这里记录备用。实际上这个算法并不限制于凸多边形,对于存在内陷的...

    这几天在看色域映射(Gammut Mapping)内容时碰到了求凸包交集(Intersection of Convex Hulls)的问题,有一个比较巧妙的算法可以轻松地解决这个问题,这里记录备用。实际上这个算法并不限制于凸多边形,对于存在内陷的多边形也能给出交集。将一些二维条件置换为三维参数,可以很容易地把这个算法扩展到三维空间中,即求多面体的交集(Intersection of Polyhedron)。

    如上图所示,深蓝色和红色代表两个多边形 A 和 B,中间浅蓝色部分即是两个多边形的交集。在 MATLAB 中,我们已知多边形 A 和 B 各顶点的坐标,现在要求的是浅蓝色交集构成的多边形的顶点坐标。算法其实很简单,遵循以下流程:构造一个以两个多边形顶点为元素的集合 S

    for 多边形 A 的每条边 as e1

    for 多边形 B 的每条边 as e2

    if (e1 与 e2 存在交点)

    将交点放入集合 S 中

    for 集合 S 中的每个元素 as e

    if (e 属于 A 且 e 属于 B)

    % 不做处理,即保留 e

    else

    将 e 从 S 中删除

    返回 S

    如果需要求并集(Union),只需要把第9行的 e 属于 A 且 e 属于 B 改为 e 属于 A 或 e 属于 B 即可。

    这里涉及两个问题:如何求两条线段交点坐标,以及如何判断一点是否位于多边形之内。所幸的是,这两个问题 MATLAB 都提供了现成的函数。polyxpoly 函数(需安装绘图工具箱)能够计算多边形的交点坐标,这里我们仅仅用它来计算两条线段的交点坐标;而 inpolygon 函数能够判断一点是否位于多边形内。polyxpoly 函数用法如下[xi, yi] = polyxpoly(x, y, X, Y);

    其中 x 为第一个多边形各顶点 x 坐标构成的列向量,y 为第一个多边形各顶点 y 坐标构成的列向量,X 与 Y 同理。对于两条线段来说,$x = {[{x_1},{x_2}]^T}$,$y = {[{y_1},{y_2}]^T}$,$X = {[{X_1},{X_2}]^T}$,$Y = {[{Y_1},{Y_2}]^T}$,如下图所示。对于多边形来说 $x_i$、$y_i$ 是代表交点坐标的一对列向量,但是对于两条线段来说 $x_i$、$y_i$ 则仅仅表示交点的坐标。

    inpolygon 函数用法如下IN = inpolygon(X, Y, xv, yv);

    其中 xv、yv 表示构成多边形各顶点的一组列向量,与 polyxpoly 函数中的 x、y 类似;X、Y 为需要判断的点的坐标构成的列向量,例如 $X = {[1,3,5,7]^T}$,$Y = {[8,6,4,2]^T}$,则代表需要判断是否位于多边形内的四点分别是$(1,8)$,$(3,6)$,$(5,4)$ 和 $(7,2)$。返回的 IN 为一逻辑列向量,长度与 X、Y 相等,若为1则表示对于的 $(X, Y)$ 位于多边形内(或恰好在多边形上),为0则表示在多边形外。例如先创建一个五边形:t = linspace(0,2*pi,6);

    xv = cos(t);

    yv = sin(t);

    xv = [xv,xv(1)];

    yv = [yv,yv(1)];

    然后随机产生100个坐标点X = randn(100,1);

    Y = randn(100,1);

    判断这100个点是否位于五边形内,返回一列向量 IN,为1则代表是,为0代表否IN = inpolygon(X, Y, xv, yv);

    让100个点中位于五边形内的用红色星号表示,五边形外的用蓝色圆圈表示,绘制图像plot(xv, yv, 'k', X(IN), Y(IN), '*r', X(~IN), Y(~IN), 'ob');

    结果如下图所示

    有了以上两个函数,就可以进行多边形求交集了。我一般习惯用 convhull 函数生成多边形,即随机生成若干个点,然后求这些点的最小凸包就得到了一个凸多边形。Qhull 算法给出了求凸包(二维至九维)的快速实现。假设已经得到了多边形 A 的顶点 x, y 坐标的一对列向量 poly1_x、poly1_y,以及多边形 B 的一对列向量 poly2_x、poly2_y,则它们的交集的各顶点坐标构成的一对列向量为 [ints_x,ints_y]。以下是完整代码。function [ints_x, ints_y] = polygon_intersect(poly1_x, poly1_y, poly2_x, poly2_y)

    % 求两个个凸多边形的交集

    % poly1_x,poly1_y 分别为第一个多边形的各个顶点的x,y坐标,均为列向量

    % poly2_x,poly2_y 分别为第二个多边形的各个顶点的x,y坐标,均为列向量

    % ********************************************************** %

    % Let S be the set of vertices from both polygons.

    % For each edge e1 in polygon 1

    % For each edge e2 in polygon 2

    % If e1 intersects with e2

    % 1. Add the intersection point to S

    % Remove all vertices in S that are outside polygon 1 or 2

    % ********************************************************** %

    S(:,1) = [poly1_x; poly2_x]; % 将两个多边形的坐标存入 S 中,顺序无所谓

    S(:,2) = [poly1_y; poly2_y];

    num = size(poly1_x, 1) + size(poly2_x, 1) + 1;

    for i = 1:size(poly1_x, 1) - 1

    for j =1:size(poly2_x, 1) - 1

    X1 = [poly1_x(i); poly1_x(i+1)];

    Y1 = [poly1_y(i); poly1_y(i+1)];

    X2 = [poly2_x(j); poly2_x(j+1)];

    Y2 = [poly2_y(j); poly2_y(j+1)];

    [intspoint_x, intspoint_y] = polyxpoly(X1, Y1, X2, Y2); % 求两条线段交点的x,y坐标

    if ~isempty(intspoint_x) % 若两条线段无交点则跳至下一组线段,若有交点则将交点的x,y坐标存至S中

    S(num, 1) = intspoint_x;

    S(num, 2) = intspoint_y;

    num = num + 1; % 存入 S 后往下递推一行

    end

    end

    end

    IN = inpolygon(S(:,1), S(:,2), poly1_x, poly1_y);

    S(IN == 0, :) = []; % 剔除掉不位于多边形 A 中的顶点坐标

    IN = inpolygon(S(:,1), S(:,2), poly2_x, poly2_y);

    S(IN == 0, :) = []; % 剔除掉不位于多边形 B 中的顶点坐标

    X = S(:, 1); % 得到交集多边形的各个顶点坐标

    Y = S(:, 2);

    k = convhull(X, Y);

    ints_x = X(k);

    ints_y = Y(k);

    plot(poly1_x, poly1_y, 'r', poly2_x, poly2_y, 'b', ints_x, ints_y, 'k');

    最终效果如下图所示,中间紫色的多边形即表示多边形 A 和 B 的交集。

    如果需要求多个多边形的交集,则可以循环调用 polygon_intersect 函数。当某两个多边形之间交集为零时,可以考虑以同样倍数增大这两个多边形使得它们之间存在交集(下面的代码并没有考虑到这点)。这里我将输入设定为元胞数组,其第 i 项为第 i 个多边形的 x, y 坐标构成的一对列向量,即 $\mathrm{polygon}\{i\} = \left[ {{{[{x_1},{x_2},{x_3},…]}^T},{{[{y_1},{y_2},{y_3},…]}^T}} \right]$。function [ints_x, ints_y] = Multipolyints(polygon)

    if ~strcmp(class(polygon), 'cell') % 检查输入是否为元胞数组

    error('The input must be a cell.');

    end

    for i = 2:length(polygon) % 循环调用 polygon_intersect 函数

    polygon1 = polygon{1};

    polygon2 = polygon{i};

    [ints_x, ints_y] = polygon_intersect(polygon1(:,1), polygon1(:,2), polygon2(:,1), polygon2(:,2));

    polygon1 = [ints_x, ints_y];

    end

    效果如下。

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  • 第七行的交集呢 元素“0”不算 结果应该输出为 第一行M1∩M2∩M3∩M4={1,2} 第二行M1∩M2∩M3∩M4={2} 第三行M1∩M2∩M3∩M4={3} 第四行M1∩M2∩M3∩M4={4} 第五行M1∩M2∩M3∩M4={5} 第六行M1∩M2∩M3∩M4={6} 第七...

    M1=1425760257600031425764257600576000060000007600000M2=1273000273000030000004127300541273065412737300000M3=1240000240000036571244000000571240065712407124000M4=12457602457...

    M1 =

    1 4 2 5 7 6 0

    2 5 7 6 0 0 0

    3 1 4 2 5 7 6

    4 2 5 7 6 0 0

    5 7 6 0 0 0 0

    6 0 0 0 0 0 0

    7 6 0 0 0 0 0

    M2 =

    1 2 7 3 0 0 0

    2 7 3 0 0 0 0

    3 0 0 0 0 0 0

    4 1 2 7 3 0 0

    5 4 1 2 7 3 0

    6 5 4 1 2 7 3

    7 3 0 0 0 0 0

    M3 =

    1 2 4 0 0 0 0

    2 4 0 0 0 0 0

    3 6 5 7 1 2 4

    4 0 0 0 0 0 0

    5 7 1 2 4 0 0

    6 5 7 1 2 4 0

    7 1 2 4 0 0 0

    M4 =

    1 2 4 5 7 6 0

    2 4 5 7 6 0 0

    3 1 2 4 5 7 6

    4 5 7 6 0 0 0

    5 7 6 0 0 0 0

    6 0 0 0 0 0 0

    7 6 0 0 0 0 0

    比如以上四个矩阵 怎么分别求的M1,M2,M3,M4的第一行,第二行,第三行...第七行的交集呢 元素“0”不算

    结果应该输出为 第一行M1∩M2∩M3∩M4={1,2} 第二行M1∩M2∩M3∩M4={2} 第三行M1∩M2∩M3∩M4={3} 第四行M1∩M2∩M3∩M4={4}

    第五行M1∩M2∩M3∩M4={5} 第六行M1∩M2∩M3∩M4={6} 第七行M1∩M2∩M3∩M4={7} !!!!元素“0”不算 !!!!!

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  • 用去取两个矩阵或者向量之间的交集。 具体形式 C = intersect(A, B); C = intersect(A, B, ‘rows’); [C, ia, ib] = intersect(A, B) 例子 C = intersect(A, B); 两个矩阵或者向量之间,在全局中寻找共有...
  • matlab应用——极限,求导,积分,解方程,函数绘图....更多内容尽在个人专栏:matlab学习这一节开始我们正式进入函数绘图,内容比较繁杂,我尽量把它整合的简洁一些。单一图像:首先我们看看只有一个函数的绘图...
  • 展开全部这是32313133353236313431303231363533e58685e5aeb931333363366162相关度的结果,对于一般的矩阵X,执行A=corrcoef(X)后,A中每个值的所在行a和列b,反应的是原矩阵X中相应的第a个列向量和第b个列向量的...
  • 一种解决方案是使用在this tutorial for finding the intersection point of two lines in 2-D中导出的等式(更新:这是因特网存档链接,因为该站点不再存在).您可以先创建两个矩阵:一个用于保存线端点的x坐标,另一个...
  • MATLAB求多个集合的交集

    千次阅读 2016-05-15 21:35:54
    %将每一个集合放入矩阵的每一行,集合元素个数小于其他集合用零补齐...%建立一个一维矩阵存放每俩个集合的交集元素  cc=zeros(1,m+n);%存放所有集合的交集  v=0;%为了判断集合  for i=1:b%外层循环从第一行开始,
  • 不小心鸽了一节,这一节我们正式开始聊聊matlab里的多项式。多项式表示方法:MATLAB中,一个多项式用一个1行n+1列的矩阵表示:[an,an-1,...,a2,a1,a0]矩阵的每一个元素表示多项式每一项的系数,从高次向低次排列。...
  • matlab中使用intersect对两个数据集求交集,默认情况下交集会按照从小到大的顺序排列,可以使用‘stable’来让返回数据按照某个数据集的顺序返回,原文如下: ...
  • matlab两个集合的 交集 和 并集

    万次阅读 2015-11-21 16:29:53
    求交集: >> aa=[1 2 3] >> bb=[2 3 4] >> intersect(aa,bb) ans = 2 3 求并集: >> union(aa,bb) ans = 1 2 3 4
  • 1.两个集合的交集 使用函数 intersect C = intersect(A,B) for vectors A and B, returns the values common tothe two vectors with no repetitions. C will be sorted. >> a=[3 2 1]; >> b=[2 1 6...
  • 表面)点和点集的关系内点外点边界点点集E内点集E外点集E边界上存在领域属于E存在领域与E交集为空任意领域与E、CUE皆有交集重要的平面点集名称含义开集没边界点闭集包含内点和边界点连通集任意两点连连看开区域连通开...
  • 两个凸多边形交集

    2021-01-20 00:42:40
    ref: 【算法】求两个凸多边形的交集的面积 http://9801.me/?p=3502 【计算几何】多边形交集 ... 求多边形(Convex Hull)交集的 MATLAB 实现 ...c++ 多边形求交集代码(凸多边形与凸多边形交集) https://liumi

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