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  • 总结:求傅里叶变换,通常必须用函数fft(), 但是求出来的是双边谱,需要转换为单边谱。这个时候有一标准化的动作: y=fft(s); p2=abs(y/L); p1=p2(1:L/2+1); p1(2:end-1)=2*p1(2:end-1); 完整代码如下: %% ...

     总结:求傅里叶变换,通常必须用函数fft(),   但是求出来的是双边谱,需要转换为单边谱。这个时候有一标准化的动作:

    y=fft(s);
    p2=abs(y/L);
    p1=p2(1:L/2+1);
    p1(2:end-1)=2*p1(2:end-1);

     完整代码如下:

    %% Noisy Signal
    % Use Fourier transforms to find the frequency components of a signal buried 
    % in noise.
    % Specify the parameters of a signal with a sampling frequency of 1 kHz and
    % a signal duration of 1 second.
    % Copyright 2015 The MathWorks, Inc.
    Fs = 1000;            % Sampling frequency                    
    T = 1/Fs;             % Sampling period       
    L = 1000;             % Length of signal
    t = (0:L-1)*T;        % Time vector
    %% 
    % Form a signal containing a 50 Hz sinusoid of amplitude 0.7 and a 120 Hz 
    % sinusoid of amplitude 1.
    
    S = 0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t);
    %% 
    % Corrupt the signal with zero-mean white noise with a variance of 4.
    
    X = S + 2*randn(size(t));
    %% 
    % Plot the noisy signal in the time domain. It is difficult to identify 
    % the frequency components by looking at the signal |X(t)|. 
    figure(1);
    subplot(311)
    plot(1000*t(1:50),X(1:50));
    title('Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise');
    xlabel('t (milliseconds)');
    ylabel('X(t)')
    %% 
    % Compute the Fourier transform of the signal. 
    Y = fft(X);
    %%
    % Compute the two-sided spectrum |P2|.  Then compute the single-sided
    % spectrum |P1| based on |P2| and the even-valued signal length |L|.
    P2 = abs(Y/L);
    P1 = P2(1:L/2+1);
    P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);
    %% 
    % Define the frequency domain |f| and plot the single-sided amplitude
    % spectrum |P1|.  The amplitudes are not exactly at 0.7 and 1, as expected, because of the added 
    % noise. On average, longer signals produce better frequency approximations.
    f = Fs*(0:(L/2))/L;
    subplot(312)
    plot(f,P1);
    title('Single-Sided Amplitude Spectrum of X(t)');
    xlabel('f (Hz)');
    ylabel('|P1(f)|');
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    Y = fft(S);
    P2 = abs(Y/L);
    P1 = P2(1:L/2+1);
    P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);
    subplot(313);
    plot(f,P1);
    title('Single-Sided Amplitude Spectrum of S(t)')
    xlabel('f(Hz)');
    ylabel('|P1(f)|');
    grid on;

    运行结果:

     

    后来发现太麻烦了,还是有一个自己写得fft函数比较顺手:

    function [f, spectrum ] = gan_fft(s,Fs,L)
    %GAN_FFT 此处显示有关此函数的摘要
    %   此处显示详细说明
    y=fft(s);
    p2=abs(y/L);
    p1=p2(1:L/2+1);
    p1(2:end-1)=2*p1(2:end-1);
    f = Fs*(0:(L/2))/L;
    spectrum=p1;
    
    end
    
    

     

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  • 开的这个坑大概就是写写从另一个视角来看快速离散傅里叶变换FFT。oi当中常见的FFT的推导方法是从多项式乘法出发,作为多项式乘法的优化算法出现,关于多项式的相关理论详见Miskcoo大佬的blog从多项式乘法到快速...

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    开的这个坑大概就是写写从另一个视角来看快速离散傅里叶变换FFT。oi当中常见的FFT的推导方法是从多项式乘法出发,作为多项式乘法的优化算法出现,关于多项式的相关理论详见Miskcoo大佬的blog从多项式乘法到快速傅里叶变换 - Miskcoo's Space,写的十分详细。

    在这个专题下,将会依次讲解傅里叶级数FS,傅里叶变换FT,离散时间傅里叶变换DTFT,离散傅里叶变换DFT。主要是参考wys在WC2018上讲课的课件。


    首先在这篇文章中介绍傅里叶级数的相关内容。傅里叶级数作为一种周期函数的无穷级数展开,它将周期函数表示为正弦函数和余弦函数构成的级数。正如泰勒级数将连续且在

    处任意阶可导的函数表示为
    这样由幂函数构成的级数一样,傅里叶级数将周期函数表示为
    ,其中角频率
    的周期。对于周期函数,可以很容易地联想到最典型的正余弦函数,而且它们的周期大小是十分易于调整的,这也就启发我们去使用它们来表示各类周期函数。

    一、正交性

    傅里叶级数的基础是三角函数系

    的正交性。正交是对于线性无关的抽象概念,类比向量正交即为内积等于零的概念,函数的正交同样采用内积等于零来判断。

    现定义两个实函数

    的内积。若
    在闭区间
    上可积且平方可积,则它们的内积

    上,三角函数系是两两正交的,它们满足如下性质,

    前两个式子显然成立,后三个式子的推导主要是利用积化和差公式,在这里给出最后一个式子的推导过程。

    由此可以得到三角函数系

    上同样正交。

    二、展开为傅里叶级数

    傅里叶级数表示为

    ,其中需要求出的是展开后的系数

    首先考虑最为特殊的

    ,对上式两侧同时从
    积分,可以由三角函数系的正交性发现求和号内的项均为0,

    因而得到

    求出

    然后要求的是除

    外的其余系数
    。先求
    ,在等号两侧同乘
    ,再同时从
    积分,同样是由三角函数的正交性,可以得到等号右侧除了
    不为0外,其余项皆等于0。

    于是便有

    计算得

    对于

    也是采取类似的方法,得

    同样满足
    的等式,这便是傅里叶级数当中写成
    而非
    的目的所在。因而可以将所有情况综合起来写为

    三、傅里叶级数的收敛性

    与其它的级数展开相同,傅里叶级数同样需要判断收敛性,若级数不收敛于

    ,则不能在两者之间画等号。关于傅里叶级数的收敛性目前没有它的充分必要条件,只有一些可以用来判断收敛的充分不必要条件。其中最常用的为狄利克雷条件
    对于一个周期为
    的函数
    ,如果它满足:

    (1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
    (2)在一个周期内只有有限个极值点。
    那么
    的傅里叶级数收敛于

    狄利克雷条件只是傅里叶级数收敛的充分条件,而非必要条件,级数收敛不代表该条件成立。

    由以上推导,我们便可以写出一个周期函数的傅里叶级数。

    例如周期为

    的函数
    ,在
    ,求
    的傅里叶级数。

    狄利克雷条件显然成立,所以

    四、傅里叶级数的指数形式

    通过观察傅里叶级数的形式,不难发现它的每一项与欧拉公式的形式十分相似,可以通过代数变形来使用复指数表示傅里叶级数。

    表示虚数单位,傅里叶级数的指数形式为

    其中

    指数形式与三角形式是相等的,推导如下

    五、傅里叶级数的几何意义

    关于傅里叶级数的几何意义,可以类比向量基底的概念。在欧几里得空间当中,可以通过选取一组正交基,使得空间内的所有向量都可以由这组正交基线性表出。

    傅里叶级数是利用三角函数系的正交性,通过这样一组正交基张成了函数空间,将这个函数空间当中的函数全部表示为三角函数的线性组合。

    考虑傅里叶级数的系数

    ,令
    ,则系数可以写作
    。正如向量空间当中基底分解的系数为
    ,其中
    为基向量,傅里叶级数所做的就是将函数
    投影到三角函数系这样一组正交基上,通过这组基线性表出

    六、傅里叶级数的物理意义

    如果将

    看作是一个周期信号,则傅里叶级数将
    分解到各个频率的正余弦波之上。

    例如

    表示如下信号

    3a9e8ef11c9aca4801a2bc5771de5a8b.png

    傅里叶级数将其分解为以下四种信号

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    94cf71ba730144f33b2006e7cf726224.png

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    傅里叶级数的局限性在于其只适用于周期函数 ,对于非周期函数我们需要更为强大的工具,通过对傅里叶级数的推广将会得到适用范围更加广泛的傅里叶变换。

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  • (5)傅里叶级数、傅里叶系数、傅里叶变换的关系是什么?(6)周期信号傅里叶级数中的傅里叶系数物理意义是什么?(7)周期信号傅里叶级数中的傅里叶系数与非周期信号傅里叶变换的关系是什么?(8)非周期信号的...

    学过《信号与系统》课程的人往往会被许多问题所困惑,如:

    (1)周期信号傅里叶级数表示什么内容?

    (2)信号的频谱表示什么?

    (3)通过信号的频谱我们能知道什么?

    (4)信号的时域和频域的关系是什么?

    (5)傅里叶级数、傅里叶系数、傅里叶变换的关系是什么?

    (6)周期信号傅里叶级数中的傅里叶系数物理意义是什么?

    (7)周期信号傅里叶级数中的傅里叶系数与非周期信号傅里叶变换的关系是什么?

    (8)非周期信号的傅里叶变换到底是什么意思?

    (9)傅里叶变换的物理意义是什么?

    (10)复数形式的傅里叶变换的物理意义?

    (11)为什么周期信号的傅里叶变换在相应频率处出现冲激函数?

    (12)为什么正弦(或余弦)信号的傅里叶变换是冲激函数?

    上述问题尽管看上去有些零碎,其实它们是有联系的,下面,我从头到尾把这些问题串起来,内容可能比较多,如果你想知道结果,则需要你耐心阅读,并希望下面的内容能对你有所帮助,更详细的内容和应用还请参见我写的《信号与系统分析和应用》一书,本书在高等教育出版社出版发行。

    要知道傅里叶变换把时域信号变换为频域函数(频谱),首先需要知道信号的频谱是什么。我在教学的时候,规定时域是“信号”,频域是“函数”。

    注意,下面我站在求解“频谱”的角度来说问题!

    一、周期信号及其频谱

    1、先从周期信号说起

    周期信号的频谱表示了这个周期信号含有的所有不同频率余弦信号的频率、幅度和初相位这三个“参数”,每个余弦的这“三个参数”表征了这个余弦的全部信息,信号的频谱是用原周期信号含有的所有各个频率余弦信号的“三参数”来表征原时域信号的组成成分和分量(傅里叶级数是在时域用余弦信号的形式来表征周期信号的组成,注意:傅里叶级数是时域的,它的自变量是时间t)。

    我们不能总是喋喋不休地只讨论一个复杂的时间信号是由哪些基本信号合成的,而我们真正要关心的是这个复杂信号的“组成成分”和这些“成分的分量”。我非常赞赏网友用的“配方”这个词,它一针见血地指出了一个混合物(相当于时域信号)和它的组成成分及其分量(频谱---信号配方)。可以看到,周期信号的“配方”就是组成这个周期信号的各个频率的余弦的“频率”、“幅度”和“初相位”这“三个参数”。

    如一副中药相当于原时域信号,而它的“药单”相当于其“频谱”。

    一副混合好的中药(相当于一个复杂信号),你从下面图中看不出组成它的各成分的分量。

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    一副混合好的中药(相当于一个复杂信号),你看不出组成它的各成分的分量

    要想知道它的组成成分和分量,你一定要拿到它的药单

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    药单上列出了一副中药的组成成分和各味药的“分量”。对应我们讨论的信号来说,药名相当于“余弦信号的频率”,重量相当于“余弦信号的幅度”。可以看到,这个药单图只有“各个味药”和它的重量,这个药单其实相当于“信号的幅度谱”。我们也可以把各味药的产地标上(也可以理解为余弦信号的初相位)。反过来,我们按着“药单”去抓药就能构成一副中药。

    2、傅里叶积分公式(对非周期信号来说就是它的傅里叶变换)的伟大之处在哪里?

    在这里为什么我要说“傅里叶积分公式”而不说“傅里叶变换”?因为,求周期信号的频谱是用傅里叶积分公式,而求非周期信号的频谱的公式我们通常称其为“傅里叶变换”,其实,傅里叶变换也是傅里叶积分公式。

    傅里叶积分公式的伟大之处在于:利用整数倍频率的正、余弦分量的“正交性”,通过积分公式能求出原信号的“配方”或者说求出组成原信号所有不同频率余弦(或正弦)信号的“三参数”,也就是我们在信号与系统课程中讲到“频谱”。

    傅里叶积分公式要完成两个任务:第一个是利用整数倍频率的正、余弦分量的“正交性”,从一个“混合物”(一个复杂信号)中分离出其中的一个成分(某个频率的余弦),另一个是它像一杆秤似的称出被分离出来的那个成分的“分量”(余弦的幅度和初相位)。我们不但要知道一个混合物的“成分”,还要知道其中某个成分的“分量”。所以,傅里叶积分公式兼有“成分分离器”和“秤”的双重作用。

    下面就让我们去看看如何从复杂信号中分离出一个余弦,然后怎样求出被分离出来的这个余弦的幅度和初相位(这是一个真正伟大的工作)。

    3、周期信号的表示以及它的频谱的求解

    我们先看看一个周期信号的时域表示(傅里叶级数),然后就让我们去见证一个伟大的傅里叶积分公式,它是如何求出这个周期信号的“配方”(频谱),也就是用傅里叶积分公式如何从周期信号中分离出一个余弦以及怎样求出这个余弦的幅度和初相位的(这是一个真正伟大的工作)。

    (1)周期信号三角函数形式的傅里叶级数

    为了尽快完成下面内容,下面我把我写的《信号与系统分析和应用》书上内容直接复制过来,更详细内容还请参见这本书。

    请注意:为什么我把周期信号三角函数形式的傅里叶级数写成下面的形式,而不是公式(4.2-8)的形式?因为只有这样才能充分理解信号频谱以及频谱的作用、傅里叶系数、非周期确知信号的傅里叶变换的物理意义,才能充分理解我写的下面的内容。

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    特别要注意:所谓的傅里叶级数是在时域表示原周期信号的组成。

    由公式(4.2.2)可知:

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    这样就能计算出一个周期信号的频谱了(“配方”或“药单”)。我们将所有“三参数”按频率的位置表示出来就是原周期信号的“频谱”了,因此,下面的周期信号的傅里叶级数公式才是与“频谱”对应的周期信号三角函数形式的傅里叶级数。

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    用上面公式表示周期信号三角函数形式的傅里叶级数才能更好地理解信号的“频谱”到底表示了什么?以及后面我要说的非周期信号傅里叶变换的“物理意义”是什么,才能更好理解信号频域分析的目的。那么,公式(4.2-8)可以看做求解信号频谱的中间环节,当然,它也是三角函数形式的傅里叶级数,只是用它不利于理解信号频谱表示的内容(也有特殊情况)。

    可以说,公式(4.2-10)以及(4.2-11)是“最伟大的积分公式”之一。这两个公式为什么能计算出an和bn?我们需要讨论信号的正交性问题。

    下面把《信号与系统分析和应用》书上内容复制过来。

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    注意:上面积分区间一定在是整倍周期期间才成立。

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    这样,下面的积分公式的物理意义就很清楚了:

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    想必大家已经领略到了数学的伟大魔力了吧。

    4、周期信号组成成分的表示---信号频谱

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    可以看到,频谱图(a)和(b)表示了组成原周期信号的所有不同频率余弦信号的“频率”(横坐标)、“幅度”以及“初相位”这三个参数,这与公式(4.2.2)是对应的,这就是为什么我将周期信号傅里叶级数写成公式(4.2.2)的根本原因。

    信号频谱的作用就是用图形(频谱图)或公式(向量形式)来表示组成这个周期信号的所有不同频率的余弦信号的“三参数” (幅度、初相和频率或角频率),也就是说,频谱是用“参数”的形式表示原信号的组成成分,我们不但要知道信号的组成成分还要知道这些成分的份额,这就是大家说到的“原信号的配方”。从频谱图上,我们就能看到原周期信号含有的所有频率的余弦(或正弦)信号的幅度和相位的大小,也就知道了周期信号含有的所有频率成分以及这些频率成分对原信号的贡献大小。上面图(c)是将图(a)和(b)合成一个图(合成的原则请参见《信号与系统分析和应用》书)。

    5、周期信号复指数形式的傅里叶级数与傅里叶系数(复数形式的信号频谱)

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    周期信号复指数形式傅里叶级数中的傅里叶系数Xn是用复数的形式表示每个余弦信号的幅度和初相位信息(包含余弦信号的两个参数)。它的积分公式其实还是求an和bn,只是用一个积分公式一起求出的,还是利用“正交性”,傅里叶系数Xn就是复数形式的原周期信号的“频谱”(“药单”或“配方”)。

    二、非周期信号的傅里叶变换

    非周期信号的傅里叶变换是从周期信号复指数形式傅里叶级数中的傅里叶系数Xn推导来的(注意:不是从傅里叶级数推导来的!),所以,非周期信号的傅里叶变换就是非周期信号的“频谱”。绝对可积信号的傅里叶变换是自变量为频率或角频率的相量函数,它含有原时域信号含有的所有频率余弦信号的“三参数”信息(频率信息是由傅里叶变换的自变量来表征的)。但是,绝对可积非周期信号含有的每个余弦信号的幅度都趋于无穷小,非周期信号的傅里叶变换中的幅度谱是每个余弦信号无穷小的幅度乘上一个无穷大的周期。如果一个非周期信号是确知信号,则它的傅里叶变换就是一个自变量为频率或角频率的确知相量函数(所以,不能把它叫做信号),这说明,这个原确知时间信号含有的所有频率余弦信号的幅度和初相不是孤立的,他们满足一定关系,这个关系就是以自变量为频率或角频率的“频域函数”。更多内容请参看我写的《信号与系统分析和应用》书上第4章和第5章内容。

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    下面举个信号的例子:

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    上面是信号傅里叶变换是复函数的物理意义。下面看看因果稳定系统的频率响应的物理意义

    因果稳定系统的频率响应是此系统单位冲激响应的傅里叶变换,由于此系统是因果稳定系统,则其频率响应也是复函数。

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    可以看到,信号的傅里叶变换与系统单位冲激响应的傅里叶变换即使都是复函数,但是,它们的物理意义是不同的。

    三、周期信号的傅里叶变换以及冲激函数的作用

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    除了上述对信号进行傅里叶变换得到信号的频谱以及对系统单位冲激响应进行傅里叶变换而得到系统频率响应,这些“傅里叶变换”都有其物理意义,人们还发现时域信号经过傅里叶变换后在变换域内其频域函数之间的运算比时域简单,人们借助于频域运算可以简化时域里的运算。最后,简单总结一下傅里叶变换:

    (1)对信号进行傅里叶变换得到信号的频谱;

    (2)对系统单位冲激响应进行傅里叶变换得到系统频率响应;

    (3)经过傅里叶变换后能使运算简单;

    如果你手里有《信号与系统分析和应用》教材,请你关注“信号与系统分析”微信公众号,那里面列出书中发现的问题。

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  • 光通信与数学 - 基础1光通信与数学 - 泰勒展开式与欧拉公式光通信与数学 - 傅里叶级数(实数域)光通信与数学 - 傅里叶级数(复指数域)傅里叶变换傅里叶变换推导傅里叶级数可将任意周期为p的函数变换到复指数空间,此处...
    Mathematics->Fourier transform非完备性证明,逻辑自洽,深入浅出,构建光通信数学观。

    光通信与数学 - 基础1

    光通信与数学 - 泰勒展开式与欧拉公式

    光通信与数学 - 傅里叶级数(实数域)

    光通信与数学 - 傅里叶级数(复指数域)

    里叶变换傅里叶变换推导傅里叶级数可将任意周期为p的函数变换到复指数空间,此处探讨周期P无限大会发生什么?c3563aab5c5d16b9e4e36425b624cd07.png

    f(ε)表达式称为傅里叶变换,亦称频谱,频率ε的单位为赫兹。

    s(x)表达式称为傅里叶逆变换。

    f(ε)与s(x)一起称为傅里叶变换对。

    角频率形态

    角频率ω=2πε(以弧度/秒为单位),代入傅里叶变换对

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    非周期矩形函数的傅里叶变换

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    进行python数学模拟。

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    对于非周期的矩形函数,其傅里叶变换为连续的曲线,说明其频率分量为连续的,且每个频率分量值都是实数值,即自变量x发生变换时频率分量值保持不变。

    创造属于你自己的变换

    傅里叶认为正余弦函数或复指数函数是构成世界的基础,创造了傅里叶变换。是否存在其他变换呢,沃尔什认为矩形方波是构成世界的基础,创造了沃尔什变换。那么如何创造属于你自己的变换呢?

    1、找一组你认为构成世界的完备正交基,该正交基构成一个内积函数空间。

    2、将原函数和每个基进行内积运算,得到变换系数。

    3、原函数可表达为每个基乘以对应变换系数的和,即可将原函数投影到内积函数空间。

    发散

    假设一个多元函数s(x,y,z,...),其自变量{x,y,z,...}随着时间t一起改变,而导致函数值s也改变,将函数记为s(t),在确定的时间都有确定的值,如s(t0),s(t1),s(t2)等。当然t也可以理解为空间。

    假设观测到宇宙中不知名的信号,不知道其多元函数原始表达式s(x,y,z,...),只能通过测量得到s(t),s(t)受限于观察者所在的时空,可能测不到某些高维时空值,只能算原始表达式s(x,y,z,...)的观察表达式。

    举例说明,假设观察者所处的三维时空为内积函数空间,如果观察表达式s(t)是一个二维椭圆,那么假设原始表达式s(x,y,z,...)也一定是二维椭圆,但如果观察表达式s(t)是一个三维空间球体,可能无法证明原始表达式s(x,y,z,...)是三维还是四维甚至更高维空间球体。

    量子不确定性怎么来的,为什么对于电子双缝干涉实验会有观察者效应,是不是也受限于观察者时空局限呢,也许可以在光通信与物理篇尝试探讨。

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    离散傅里叶变换、快速傅里叶变换、卷积小波变换与OTDR算法微积分

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