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  • 一.MATLAB求微分方程的解析解MATLAB中求微分方程的解析解的函数如下: 1.这里的引号单双皆可,但必须为英文输入法下的引号。2.在表达微分方程时,用字母D表示,D2,D3表示二阶、三阶微分,后面跟的是要求解的因变量。3...

    一.MATLAB求微分方程的解析解

    MATLAB中求微分方程的解析解的函数如下:

    1.这里的引号单双皆可,但必须为英文输入法下的引号。

    2.在表达微分方程时,用字母D表示,D2,D3表示二阶、三阶微分,后面跟的是要求解的因变量。

    3.自变量可以指定,不写时Matlab会默认为t。

    4.在单引号中的方程的书写必须符合Matlab的语法规范,如‘y-Dy=2*x’,乘号不能省略。

    5.初始值可以不给,不给求出来就是通解。

    6.如果有多个微分方程,那么计算的实际上是微分方程组。

    7.如果微分方程形式较为复杂,往往是得不到解析解的。

    例:

    1.

    fd0b39f558a118073e6609d075281d36.png

    也可以这样写

    syms 

    2.

    如果方程中含有不是应变量与自变量的参数

    %法1
    

    3.

    dsolve

    4.

    dsolve

    5.

    dsolve

    另外可以通过MATLAB的mupad或实时脚本来对运算结果来化简。

    在命令行直接输入mupad即可

    01ce9349fe26aa1d761dc5204fed86a5.png

    新建实时脚本

    daa9156530df0c0c3307ff6224358d5f.png

    化成Latex代码

    latex

    1802d41067be9adc4ca23580db9b2944.png

    二.MATLAB求微分方程的数值解

    Matlab中求微分方程的数值解的函数如下:

    [
    • 代表变量,
      代表函数值,solver代表求解函数,常见的函数有7种,
      代表自变量的初值和终值,也可以指定一个向量。
    • 代表函数的初始值
    • 表示待解的微分方程编写的
      函数文件名,且微分方程要写成
      标准形式,且要放在当前的工作文件下。
    • 可以设置相对误差与绝对误差。

    标准形式:

    这里

    只是变量名,可以自己选择。
    • 若求解的是一个含有
      个未知数的方程组,则
      维向量,
      文件中待解方程组应为一个
      维列向量。

    刚性问题与非刚性问题的区别,有的微分方程,未知函数随时间(自变量)的变化比较缓慢,有的微分方程中未知函数在某些时间段内会发生剧烈的变化。前者是非刚性问题,后者是刚性问题。

    例1:求方程

    的数值解,初始值
    ,
    范围是
    1. 化为标准形式
    2. 建立
      文件df1.m
    function
    1. 在命令行输入命令:

    例2:求微分方程组:

    的数值解。自变量
    ,初始值
    1. 建立
      文件(df2.m)

    注:

    都是一行三列的向量
    function

    在命令行中输入命令:

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  • ContentsLP问题的基本(可行)解Matlab代码基本原理Matlab代码初始化是否随机生成LP问题还是自己指定LP问题初始化系数矩阵A和b找到初始的基本可行解展示线性规划问题求解线性规划的单纯型function script_LP()LP...

    介绍求解LP问题最优解的Matlab代码。

    bcc6a97de03fd58314614b957d7cda61.png

    Contents

    • 求LP问题的基本(可行)解Matlab代码

    • 基本原理

    • Matlab代码

    • 初始化

    • 是否随机生成LP问题还是自己指定LP问题

    • 初始化系数矩阵A和b

    • 找到初始的基本可行解

    • 展示线性规划问题

    • 求解线性规划的单纯型法

    function script_LP()

    求LP问题的基本(可行)解Matlab代码

    基本原理

    考虑如下线性规划问题的标准型: max Z= CX s.t. {AX=b,X>=0}

    假定A是m*n阶矩阵,并且A的秩r(A)=m。那么,求解该问题的最优解的的步骤: 

    1. 找到初始的基本可行解;

    2.  判断是否最优;

    3.  非最优时,从一个基本可行解变换到更好的基本可行解(进基、出基、旋转);

    单纯形法的本质上是每次去找更好的顶点(基本可行解),一直找到最优的顶点(基本可行解)为止。

    d4af9aef23ba3aae8ab38d5f6d41a7fe.png

    换句话说,单纯形法的要点包括以下三个部分:

    462cf2d60623b47afac85139c94df26b.png

    第一部分,可以用之前的求解基本可行解的代码来实现。第二和第三部分,则需要用到LP问题的典式的概念。

    36dd5620f341798bd8fb60a134a27bbe.png

    6319ccb469b77846e901696078eb010a.png

    60991e6341c4ba29a26321e4c2b777ee.png

    Matlab代码

    初始化

    clc %清屏
    clear all % 清除变量
    close all % 关掉图像窗口
    format rat

    是否随机生成LP问题还是自己指定LP问题

    choose = 0;if choose

    初始化系数矩阵A和b

    m = 3; %矩阵A的行数
    n = 8; %矩阵A的列数% 随机生成一个m*n行满秩矩阵A
    is_opt_flag = 0;
    NumMax = 10; % 矩阵A的最大元素while is_opt_flag==0
    A = randi(NumMax,m,n);if rank(A) ==m
    is_opt_flag=1;endend
    b = randi(NumMax,m,1);
    C = randi(NumMax,n,1);
    [m,n] = size(A);

    找到初始的基本可行解

    idxs = nchoosek(1:n,m); % 所有可能的基阵的下标组合
    count = size(idxs,1); % 所有可能的基阵个数
    have_no_basic_feasible = 1; % 是否有基本可行解
    k = 1;while k <= count && have_no_basic_feasible% 按顺序从A中挑出m列组成B
    BIdx = idxs(k,:);
    B = A(:,BIdx);% 判断B是否构成基阵
    str = [repmat('P%d,',1,m-1) 'P%d'];if det(B) ~= 0% 令XN=0,解方程BXB+NXN=b,计算基本解为XB=B^(-1)b,XN=0;
    X = zeros(1,n);
    XB = B\b; % 基本解的基变量XB
    XN = 0; % 基本解的非基变量XN为0
    X(BIdx)=XB;% 判断是否为基本可行解if sum(XB<0) == 0
    fprintf(['\n=========================================\n1. 列向量' str '能构成基阵.\n'],BIdx); % B不是奇异矩阵,能构成基阵
    fprintf('2. 该基阵对应的初始基本可行解:\n X= [%s].\n\n=========================================\n',rats(X));
    have_no_basic_feasible = 0;endend
    k=k+1;endif have_no_basic_feasible
    fprintf('\n=========================================\n1. 未找到初始的基本可行解.\n');return;end

    else
    A = [1 2 1 0 0;3 2 0 1 0; 0 2 0 0 1];
    b = [30;60;24];
    C = [40;50;0;0;0];
    [m,n] = size(A);
    X = [0;0;30;60;24];
    BIdx = [3,4,5];end

    展示线性规划问题

    disp('系数矩阵A是:')
    disp(A)
    disp('列向量b是:')
    disp(b)
    disp('系数向量c是:')
    disp(C)
    fprintf('\n=========================================\n')
    disp('目标函数f=CX是:')
    str = ['f=' repmat('%dx%d+',1,n-1) '%dx%d.\n'];
    v =[];for j =1:n
    v =[v,C(j),j];end
    fprintf(str,v)
    disp('约束组AX=b是:')
    str = [repmat('%dx%d+',1,n-1) '%dx%d=%d.\n'];for i = 1:m
    v =[];for j =1:n
    v =[v, A(i,j),j];end
    fprintf(str,[v,b(i)])end
    fprintf('\n=========================================\n')
    [X,Z] = simplex(A,b,C,X,BIdx);

    af23f0b825f6306a372b66e3ad5ff7b0.png

    系数矩阵A是:

    1 2 1 0 0
    3 2 0 1 0
    0 2 0 0 1
    列向量b是:
    30
    60
    24
    系数向量c是:
    40
    50
    0
    0
    0
    =========================================
    目标函数f=CX是:
    f=40x1+50x2+0x3+0x4+0x5.
    约束组AX=b是:
    1x1+2x2+1x3+0x4+0x5=30.
    3x1+2x2+0x3+1x4+0x5=60.
    0x1+2x2+0x3+0x4+1x5=24.
    =========================================

    function [X,Z] = simplex(A,b,C,X,BIdx)

    求解线性规划的单纯型法

    单纯形法的基本原理,可以从不同角度去理解: 

    1)从基本解的角度来理解,就是从一个基本可行解出发,去找另一个更好的基本可行解; 

    2)从典式的角度来理解,就是从一个典式变换到另外一个典式; 

    3)从矩阵运算的角度来理解,就是找初始基本可行解,判断最优(检验数小于0),换基运算(进基、出基、旋转运算)的过程。

    [m,n] = size(A);
    is_opt_flag = 0; % 是否找到最优解
    NIdx = setdiff(1:n,BIdx); % 非基变量下标
    iter_num = 0;while ~is_opt_flag
    B = A(:,BIdx); % 基阵B
    N = A(:,NIdx); % 非基阵N
    CB = C(BIdx); % 基变量对应的系数CB
    CN = C(NIdx); % 非基变量对应的系数CN
    X = zeros(1,n);
    XB = B\b; % 基本解的基变量XB
    XN = 0; % 基本解的非基变量XN为0
    X(BIdx)=XB;
    Z = CB'*XB; % 目标函数值
    iter_num = iter_num+1;
    fprintf('第%d次单纯形迭代,当前的基本可行解:\n X= [%s].\n',iter_num,rats(X));
    sigma = CN'-CB'/B*N; % 非基变量的判别数
    [max_sigma,enter_basic_idx] = max(sigma); % 进基变量下标if max_sigma <=0
    is_opt_flag = 1;
    fprintf('\n=========================================\n找到该问题的最优解:\n X= [%s].\n',rats(X));else
    enter_basic_idx = NIdx(enter_basic_idx);
    dk = (B\b)./(B\A(:,enter_basic_idx)); % 计算ratioif sum(dk<=0) == m
    fprintf('3. 该问题无有界解.\n');return;else
    [d_idx,~] = find(dk>0);
    [~, leave_basic_idx] = min(dk(dk>0));
    leave_basic_idx = d_idx(leave_basic_idx);
    leave_basic_idx = BIdx(leave_basic_idx); % 出基向量下标
    BIdx = union(setdiff(BIdx,leave_basic_idx),enter_basic_idx); % 更新基向量下标
    NIdx = union(setdiff(NIdx,enter_basic_idx),leave_basic_idx); % 更新非基向量下标endendend

    fcff765538e8c0246640caeb135b441a.png

    第2次单纯形迭代,当前的基本可行解:

    X= [0 0  30  60  24].
    第2次单纯形迭代,当前的基本可行解:
    X= [0  12  6  36  0].
    第3次单纯形迭代,当前的基本可行解:
    X= [6  12  0  18  0].
    第4次单纯形迭代,当前的基本可行解:
    X= [15 15/2  0  0  9].
    =========================================
    找到该问题的最优解:X= [15  15/2  0  0  9].

    Published with MATLAB® R2015b

    bcc6a97de03fd58314614b957d7cda61.png

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  • matlab中的向量

    千次阅读 2014-05-27 01:53:02
    向量之间进行除运算,使用不加点的矩阵除“A/B”时,问题可以描述为:给定两个向量A、B,一个常量x,使得A=x * B。 举个例子: [2 4]/[1 2]=2。很显然,当两个向量中对应的每一组元素都有固定的比值时,答案...
           向量之间进行除法运算,使用不加点的矩阵除法“A/B”时,问题可以描述为:给定两个向量A、B,求一个常量x,使得A=x * B。
        举个例子: [2 4]/[1 2]=2。很显然,当两个向量中对应的每一组元素都有固定的比值时,答案很简单,就等于任一组对应元素之比。但若两个向量中对应的元素之比并不是都相等时,除出来的结果等于多少呢?例如: [2 5] / [1 2] = ? 不论哪个常数 x 都不能使得 [2 5] = x * [1 2] 成立。那此时的矩阵(向量)除法还有没意义呢?有意义!在很多时候,我们测得了两组向量数据,并且知道它们之间满足一个固定的倍数关系,具体的比值需要我们去求,但由于各种原因,数据存在测量误差,每一组数据的比值又都不一样,只能选一个比较合适的比值,使得其中一个向量乘上这个比值后与另一个向量尽量相等(两个向量中对应的元素尽量相等,全部相等是不可能的)。怎样才叫尽量相等呢?我们一般喜欢用误差的最小平方和来表示,以 [2 5] / [1 2] 为例,即求一个常量x,使得
         (2 - x * 1)^2 + (5 - x * 2)^2
         最小。

         于是,一个向量间的除法问题,转化为了一个求单变量2次函数的最小值问题,求极值很简单,对函数求导再令其等于0就OK了。更一般地,我们考虑求如下两个向量的除法问题:
         A=[A1 A2 ………… An ],   B=[B1 B2 ………… Bn ]
         求x,使得f(x)=(A1 - x * B1)^2   + (A2 - x * B2)^2 ……   +   (An - x * Bn)^2 最小。

         解:对f求导得:
         f'(x)=2(A1-x * B1) * (-B1)    + 2(A2-x * B2) * (-B2) ……   + 2(An-x * Bn) * (-Bn)
              =-2A1 * B1 + B1^2 * x - 2A2* B2 + B2^2 * x …… -2An * Bn + Bn^2 * x
              =-2(A1 * B1 + A2 * B2 ……+ An * Bn) + 2(B1^2 + B2^2 …… + Bn^2)x

         令f'(x)=0,对x求解可得到:
              x= (A1 * B1 + A2 * B2 ……+ An * Bn) / (B1^2 + B2^2 …… + Bn^2)

         用matlab的语句表示出来,也就是x=sum(A.*B)/sum(B.^2)

        例如,在matlab中运行:

        A=[ 2   5 ];
        B=[ 1   2 ];
        A/B

        ans=

               2.4000

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  • 目标函数J(W)可以按泰勒展开,如果只取泰勒展开的二阶项,则J(W)可以近似表达为W的二次函数,即: 其中g为梯度向量,H为Hessian矩阵,如果将g和H展开其形式如下: 这个优化问题求解一般有梯度下降和牛顿两种。...

    96a8c86691287e69c607279994e50b96.png

    有监督学习,一般最终转化为如下优化问题:

    其中,J为目标函数,也叫做损失函数,W为要学习的权重,是一个多维向量。

    目标函数J(W)可以按泰勒展开,如果只取泰勒展开的二阶项,则J(W)可以近似表达为W的二次函数,即:

    其中g为梯度向量,H为Hessian矩阵,如果将g和H展开其形式如下:

    这个优化问题求解一般有梯度下降法和牛顿法两种。

    梯度下降法

    1、梯度

    首先要理解什么叫梯度,

    给定J(W),其梯度是如下式构成的一个向量

    向量是有方向的,所以梯度也是有方向的,梯度指向的是J(W)增长最快的方向,那增长最快的方向怎么理解呢?假如W增加微小固定长度的△W,即W_new=W+△W,则J(W_new)有可能变大,也有可能变小,因为△W虽然长度固定,但方向任意。那有没有一个方向,使得J(W_new)的变化最大,答案是梯度方向g和梯度负方向-g,梯度方向是增大最快,梯度负方向是减小最快。这就是梯度的意义,指向J(W)增长最快的方向。

    2、梯度下降

    所以梯度下降法是在梯度的负方向上,前进一小步:

    其中,

    是学习率。

    这里有人常常误解,

    代表的就是在梯度负方向上前进的距离,这种说话其实忽略了梯度g并不是单位长度,所以真实步长是:

    一般

    为微小常量,常取0.01,0.001,0.0001等值,所以梯度越大,真实步长越大,梯度越小,真实步长越小,有时候这不利于收敛,因为梯度大,代表变化大,步长大有可能越过最优点,梯度小,则有可能位于局部最优点或者鞍部,较小的步长,很难逃逸出去,所以才有了RMSProp等改进方案。

    3、梯度下降的效果分析

    如果将J(W)在Wt附近按二阶泰勒展开,

    梯度下降

    代入上述泰勒展开,

    进而可以得出,前进

    的步长后,J(W)的变化为:

    △J等式右边第一项是函数倾斜引起的减少量,第二项是函数曲率对△J的修正。

    可以看出,如果第二项过大,梯度下降的经过步长

    后,事实上是往山顶走,并非往J(W)的山底走。

    如果,

    则学习率

    理论上可以任意大,然而当l_r较大时,二阶泰勒展开的准确性也就不高了,因此可以用启发式寻找合适的学习率

    如果,

    则理论的最优解为:

    将g单位化,即

    则,

    我们知道H是Hessian矩阵,那么对于单位向量e,

    代表J(W)在点W0点,e方向的曲率。当e方向与H的最大特征值λ_max的特征向量方向一致时,曲率最大,为λ_max。所以如果单位梯度d与H的最大特征值λ_max的特征向量方向一致时,最优学习率为1/λ_max。如果泰勒展开的二阶近似足够精确,则H的特征值决定了学习率的尺度。

    牛顿法

    我们知道,J(W)的二阶泰勒展开为下式:

    求极值点,则可以得到:

    此式就是牛顿法的迭代公式。

    类比梯度下降,一般把上式等式右边第二项

    叫做牛顿方向,记为:

    假设学习率为

    ,则,最终的迭代公式为:

    牛顿法优点是收敛速度快,特别的对于一个正定的二次函数,牛顿法只需一步即可找到最小值。

    但牛顿法也存在一定的缺点。


    1)据牛顿方向的计算公式可知,牛顿方向由Hessian矩阵的逆和梯度g确定,所以如果梯度g为0,则||d||=0,权重W就无法更新,梯度为0的点是极值点,不止是局部最小值、全局最小值,还包含鞍点、局部最大值、全局最大值,所以牛顿法容易陷于极值点。

    2)梯度下降一般指向J(W)下降最快的方向,而牛顿法的牛顿方向一般是指向最近的极值点,哪怕这个极值点是鞍点或者局部最大值。

    3)梯度下降一般比较容易收敛到一个较小的最优解,而牛顿法在每次迭代时序列可能不会收敛到一个最优解,它甚至不能保证函数值会按照这个序列递减(这由第二点牛顿方向可知)。

    以上三点缺点可以以如下一维函数为例:

    下图中的黄色曲线即是上述函数,其在A点的二阶泰勒展开如图中的蓝色曲线,可以看到在A点附近,二阶近似精准度还是相当高的。

    ed3bd5db04d317929e56d98526db682d.png

    牛顿迭代公式就是求解蓝色曲线极值点,即下图中的B(x=8.79),这一步迭代,f(x)下降了,下图红色曲线是黄色曲线在x=8.79时的二阶泰勒展开,其极值点是C点(x=8.94),f(x)没有下降,反而上升了,x更接近f(x)的拐点。

    e9e0fcca9a93a867e700fdc62e76f89d.png

    上述例子,完整的展示了牛顿的上述三个缺点。

    4)除了上述三个缺点外,牛顿法最致命的缺点是每一步迭代需要求解Hessian逆矩阵,计算量大,甚至有时Hessian矩阵不可逆,从而导致这种方法失效。

    对于缺点1,缺点2和缺点3,有以下两点

    1)对于固定的输入,深度学习的参数数量动则十万百万,非常高维,存在所有维度的局部极值点的可能性非常小,总有那么一部分方向指向山脚方向,从而可以助其逃脱出其他维度的局部极值。

    2)深度学习训练一般是一个mini batch一个mini batch的训练,输入是变化的,即使对于上一个batch输入产生的J(W)陷于局部极值点,下一个batch的输入产生的J(W)也不一定陷于局部极值点,因为不同输入产生的J(W)是不同的,这也有助于局部极值点的逃脱。

    对于缺点4,一般采用拟牛顿法这种改进方案,通过近似计算每一步的Hessian矩阵逆矩阵,从而减少逆矩阵的直接求解,减少计算量。

    总结

    本文想表达的思想是梯度下降和牛顿法除了一阶和二阶之别外,二者均与目标函数J(W)的二阶泰勒展开相关,让人看着非常的亲切,这是本文的写作动机之一。

    另外,很多人没有意识到牛顿法其实在曲率小于0时,会导致目标函数J(W)上升,这是本文的另外一个写作动机。

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  • , 另新的拉格朗日乘子矩阵为 ,1.6式转化为求解拉格朗日函数的极值: 1.7 对1.7式W的偏导数,在导数为0处取极值: 由矩阵微分公式 : 1.8 从1.8式根据特征向量的定义可知, 分别表示由协方差矩阵 的特征值和特征...
  • 我写过层次分析Matlab实现:张敬信:【评价算法】层次分析​zhuanlan.zhihu.com其中的ahp函数是来自《吴鹏. Matlab高效编程技巧与应用:25个案例分析》,我只是增加或改写了注释说明。但是该函数对大家使用不...
  • 【例1】用图解求解如下二维线性规划问题。友情链接:例1详解可点击这里【例1】的MATLAB求解。%原目标函数,为转化为极小,取目标函数中设计变量的相反数c=[-1;-1];%线性不等式约束A=[1 -2;1 2];b=[4;8];%设计变量...
  • 刚好最近学习了一点点matlab,正好实践一下,于是就有了这个代码:matlab_learning,运行结果如下图: 非常直观的看到,绿的的平面在转动,法向量指向旋转轴。黄色的平面没看出转动来,看着像是在往上平移,也许挠率...
  • 当矩阵的最大特征值是实数的时候,无论该特征值是否是重根,都可以使用幂矩阵的这个最大特征值、也就是主特征值关于幂的说明,可以参考搜狗百科幂法求矩阵特征值 - 搜狗百科​baike.sogou.com这里补充一点,...
  • clear;clc; all long; A = [1 1 0.5; 1 1 0.25; 0.5 0.25 2]; e = 10; u(:,1) = [1 1 1]'; v(:,1) = u(:,1); i = 1; while e>1e-10 v(:,i+1) = A*u(:,i); u(:,i+1) = v(:,i+1)/max(v(:,i+1));...
  • 原理 PCA原理 主元分析法PCA学习笔记 点云法向量与点云平面拟合的关系(PCA) Estimating Surface Normals in a PointCloud 3D【24】PCA点云法向量估计 ...利用PCA点云的法向量 pca_demo.m clc clear cl...
  • matlab生成一个三角形平面的法向量

    千次阅读 2013-10-31 16:19:42
    %三角形法向量 function [x,y,z]=fa_vector(nodes,x1,x2,x3) %三个点的坐标 p1=[nodes(x1,2),nodes(x1,3),nodes(x1,4)]; p2=[nodes(x2,2),nodes(x2,3),nodes(x1,4)]; p3=[nodes(x3,2),nodes(x3,3),nodes(x3,4)]; %...
  • 满意答案口袋兔子耳朵长2015.07.09已帮助:3148万人已回答:104万条来自:阳光兔(北京)科技有限公司,是学大教育集团...这有个我们以前的MATLAB法求特征值和特征响量的程序:[maxnorm.m]function t=maxnorm(a)%...
  • 然而要最大化,显然最简单的是将w设得无穷大,所以为了限制这一天,我们要加个约束 ,于是 对其求导: 最终我们发现 恰好是 的特征向量,所以我们PCA的时候,直接协方差的特征向量就把w给出来了。接下来的 ...
  • 比如说行列式、矩阵乘积、线性变换、二次型等,或许很少人知道它们是谁发现的,这不像数分课本上定理那么明显:比如柯西收敛准则、拉格朗日中值定理、阿贝尔判别......下面小编就用一个表格来总结一下线性代数的...
  • 一、层次分析的基本步骤:角度一:实际问题——分解——>多个因素——建立——>层次结构——确定——>诸因素的相对重要性——计算——>权向量——判断——>综合决策角度二:建立层次结构模型——&...
  • 法求矩阵特征值特征向量matlab程序,但是区别于matlab自带方法。
  • 方差、均值、中值matlab求法

    千次阅读 2017-10-24 09:19:59
    1、 均值 数学定义:  ...Matlab函数:mean >>X=[1,2,3] >>mean(X)=2   如果X是一个矩阵,则其均值是一个向量组。mean(X,1)为列向量的均值,mean(X,2)为行向量的均值。 >
  • A为n阶矩阵,若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx,那么数λ称为A的特征值,x称为A的对应于特征值λ的特征向量。它的物理意义是:一个矩阵A乘以一个向量x,就相当于做了一个线性变换λx。方向仍然保持不变,只是拉伸...
  • 《数值分析》课程matlab源码 (一)向量范数 ...%%%输入向量a和所向量的范数类型(包括1范数,2范数,p范数,inf范数); %%%输出向量a的范数值; n=length(a); X=0; Test=0; switch p case 1 fo
  • 掌握目标:1、掌握内积,正交,线性相关,线性无关的概念2、掌握规范正交基,正交矩阵3、掌握特征值特征向量的几何意义与算法4、掌握相似矩阵,对角化,对角化的条件。对称矩阵一定可以对角化5、二次型与矩阵的正...

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