数学模型：闭环传递函数与状态空间之间的相互转换


  
Transformation of Mathematical Models with MATLAB



  
第一：由传递函数变换为状态空间表达式
  
  

    
假设系统的传递函数如下： 
    
    

  
  
  
利用MATLAB自带的函数：tf2ss得到状态空间表达式，代码如下：
  
  

  
  
得到的状态空间表达式形式如下： 
  
  





  
第二：由状态空间表达式变换为传递函数
  
  

    
假设系统的状态空间表达式如下：  
    
    

  
  
  
利用MATLAB自带的函数：ss2tf得到状态空间表达式，代码如下： 
  
  

  
  
得到的传递函数形式如下： 

传递函数：在零初始条件下，线性定常系统输出象函数X0(s)与输入象函数Xi(s)之比，称为系统的传递函数，用G(s)表示。

传递函数的概念只适用于线性定常系统。



状态空间模型：系统的动态特性由状态变量构成的一阶微分方程组（状态空间表达式）来描述，能同时给出系统全部独立变量的响应，因而能同时确定系统发全部内部运动状态。状态空间模型即状态空间表达式，包括状态方程和输出方程，，  ，A：系统矩阵，B：输入矩阵，C：输出矩阵，D：直传矩阵

状态空间表达式构成对一个系统动态行为的完整描述。

 

 

MATLAB对于控制方面的问题可以很好的进行仿真

1、传递函数变换为状态空间方程，其调用格式为：[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

例：，num=[0,1,2,3]，den=[1,3,3,1]，[A,B,C,D]=tf2ss(num,den) 

2、状态空间方程变换为传递函数，其调用格式为：[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)，iu表示多输入时输入的编号

3、利用matlab由状态空间表达式建立状态空间模型，其调用格式为：

sys=ss(A,B,C,D)，sys为连续系统的状态空间模型；

sys=ss(A,B,C,D,Ts)，sys为离散系统的状态空间模型，Ts为采样时间。

4、利用matlab由传递函数建立状态空间模型，其调用格式为：sys=tf(num,den)

5、任意输入和初始状态下系统响应的调用格式：

[y,t,x]=lsim(sys,u,t,x0)，u为输入，t为时间（0:0.01:3），x0为初始状态

6、对系统离散化的调用格式：

[G,H]=czd(A,B,Ts)，Ts为采样周期

 

 

 

 

 

 

 

 

现代控制理论 用matlab将状态空间模型转换成传递函数模型（便于求各种响应）
例：matlab程序如下
A=[-21,19,-20;19,-21,20;40,-40,-40];

B=[0,1,2]’;

C=[1,0,2];

D=[0];

sf=ss(A,B,C,D);

g=tf(sf)
结果：

g =
  4 s^2 + 67 s + 1640


s^3 + 82 s^2 + 3360 s + 6400
Continuous-time transfer function.

   传递函数与状态空间之间可相互转换，可以使用的matlab函数有
[A,B,C,D] = tf2ss(NUM,DEN)
[NUM,DEN] = ss2tf(A,B,C,D,iu)

   传递函数的形式唯一，但状态空间的形式不唯一，可以有多种。
1、一阶惯性环节
 



时间常数为T，本身为低通滤波器，截止频率wc为1/T，通过伯德图可查看，如设置T=0.1，则
T = 0.1;
sys = tf(1,[T 1]);
bode(sys);


a. 离散形式
   设u为输入，x为输出，h为步长，则：


simulink为：


b.状态空间形式

形式1：
		A = -1/T;
		B = 1/T;
		C = 1;
		D = 0;

即：


形式2：
		A = -1/T;
		B = 1;
		C = 1/T;
		D = 0;

即：


c.仿真


仿真结果：



   传递函数、离散形式及状态空间形式所仿真的结果是一致的。
2、二阶震荡环节
 



   低通滤波器，当阻尼等于0.707时，传递函数的截止频率wc是wn，如wn等于10，bode图如下：


a. 离散形式
   设u为输入，x为输出，h为步长，则：



simulink为：


b. 状态空间
形式1：
		A = [0 1;-wn^2 -2*ksi*wn];
		B = [0;wn^2];
		C = [1 0];
		D = 0;

即：


形式2：
		A = [0 1;-wn^2 -2*ksi*wn];
		B = [0;1];
		C = [wn^2 0];
		D = 0;

即：


c.仿真


仿真结果：



   传递函数、离散形式及状态空间形式所仿真的结果是一致的。

上面两个仿真的simulink模型在此：
https://download.csdn.net/download/niu_88/11799584

3、传递函数离散化以及状态空间转换
可参考此资料：
https://download.csdn.net/download/niu_88/11799588