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  • ---20200818Examples - PythTB 1.7.2 documentation​www.physics.rutgers.edu记录花了我几天时间的事情:怎么画二能带图(python)(matlab)---20200804首先给出个前辈的宝藏博客:http://www.guan...

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    我最近看到的一个用python画能带图的较全面的网站: ---20200818

    Examples - PythTB 1.7.2 documentationwww.physics.rutgers.edu
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    记录花了我几天时间的事情:怎么画二维能带图(python)(matlab)---20200804

    首先给出一个前辈的宝藏博客:

    http://www.guanjihuan.com/www.guanjihuan.com

    ,题图也来自于博主的文章代码运行出来的:http://www.guanjihuan.com/archives/410

    文章说的很清楚,但是我想了很久还是没有弄懂

    画这种很多线的能带图,首先要在一个方向有边界,因为第一布里渊区可以等价于一个圆环面[1],如果不在一个方向取边界,体系就没有边界,然后就不会出现边界态了。

    我也不知道博文[2]对晶格的取法是不是因为这个原因。(好像是以原胞为单位考虑,待续..)

    然后在取的那个方向做傅里叶变换(也就是下面五个图)

    另外,在一篇回答[3]里面介绍了SSH的能带图的代码,重复了这篇博士论文的结果[4]

    12ef65ac3e368b6dd557b88d7932aeb7.png
    SSH哈密顿量

    42fbca389f5faff2f5a7d8a3cc72ec25.png
    傅里叶变换[4]

    0bc2aac4e4ded7738f5fa73b75a9c49a.png

    1fd0ed0efe2a0e2535c3fe60a1cda202.png
    上面两个图就是对哈密顿量各矩阵元的傅里叶变换[4]

    59c21303b28c196f99d24b036950e81f.png
    这里给出最终的变换结果[4]

    写在最后:

    我在遇到我解决不了的问题的时候真的非常感谢那些愿意帮助我的前辈,让我感受到学术这个圈子的互帮互助,让我少走了很多弯路,只有亲自走过才会有体会,我会把这份互帮互助传递下去的。

    参考

    1. ^凝聚态材料中的拓扑相与拓扑相变——2016年诺贝尔物理学奖解读(点PDF就可以下载) http://www.wuli.ac.cn/CN/Y2016/V45/I12/757
    2. ^http://www.guanjihuan.com/archives/410
    3. ^内有matlab代码 https://zhuanlan.zhihu.com/p/137065673
    4. ^一维的拓扑绝缘体—SSH模型拓扑相和畴壁分数电荷的研究 https://kns.cnki.net/KCMS/detail/detail.aspx?dbcode=CMFD&dbname=CMFD201701&filename=1016294445.nh&uid=WEEvREcwSlJHSldRa1FhcEFLUmVZRytxSU5PZ0JDQ202WmlBajA1aXJXRT0=$9A4hF_YAuvQ5obgVAqNKPCYcEjKensW4IQMovwHtwkF4VYPoHbKxJw
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  • 公众号关注“DL-CVer”设为 “星标”,DLCV消息即可送达!来自 | 知乎 作者 | 阿姆斯特朗链接 |...回顾一下一维FT公式:通俗来讲,一维傅里叶变换是将一个一维的信号分解成若干个复指数波。而由于,所以可以将...

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    链接 | https://zhuanlan.zhihu.com/p/110026009

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       1.回顾一下一维FT

    公式: b7cf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg通俗来讲,一维傅里叶变换是将一个一维的信号分解成若干个复指数波 b8cf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg 。而由于 b9cf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg ,所以可以将每一个复指数波 b8cf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg都视为是余弦波+j*正弦波的组合。对于一个正弦波而言,需要三个参数来确定它:频率 bbcf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg ,幅度 bccf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg ,相位 bdcf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg 。因此在频域中,一维坐标代表频率,而每个坐标对应的函数值也就是 c0cf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg 是一个复数,其中它的幅度 c1cf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg 就是这个频率正弦波的幅度 bccf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg ,相位 c4cf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg 就是 bdcf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg 。下图右侧展现的只是幅度图,在信号处理中用到更多的也是幅度图。
    7ff15579137881fa66caf926ae5abb18.png
    一维傅里叶变换就是一个基变换,在时域中,基是一族冲激信号 c7cf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg ,在频域中;基是 c8cf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg ,而且这组基是正交基。
    0b3fbbd90525a772af0fcc980ba95bfb.pngF=Mf,基变换示意图

       2.类比:从一维到二维

    一维信号是一个序列,FT将其分解成若干个一维的简单函数之和。二维的信号可以说是一个图像,类比一维,那二维FT是不是将一个图像分解成若干个简单的图像呢?确实是这样,二维FT将一个图像分解成若干个复平面波 cacf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg 之和。如下图:
    39b8b89d3c52e110fdca6a8e1d5072ac.png
    二维FT的公式: cdcf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg通过公式,我们可以计算出,每个平面波在图像中成分是多少。从公式也可以看到,二维傅里叶变换就是将图像与每个不同频率的不同方向的复平面波做内积(先点乘在求和),也就是一个求在基 cfcf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg 上的投影的过程。(应该知道 d0cf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg 是b在a上的投影,只不过这里的|a|的值被设为1,所以只有内积)

       3.什么是二维频率域K-SPACE

    对于正弦平面波,可以这样理解,在一个方向上存在一个正弦函数,在法线方向上将其拉伸。前面说过三个参数可以确定一个一维的正弦波。哪几个参数可以确定一个二维的正弦平面波呢?答案是四个,其中三个和一维的情况一样(频率 bbcf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg ,幅度 bccf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg ,相位 bdcf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg),但是具有相同这些参数的平面波却可以有不同的方向 d5cf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg 。如下图所示:
    7ad368b0b24593cca7c7e2dd5e02199d.png两个不同方向的平面波叠加
    类比一维中,幅度和相位可以用一个复数表示,它可以作为我们存储的内容。但是还有两个:一个频率一个方向。这时想到向量是有方向的,也是有长度的。所以我们用一个二维的矩阵的来保存分解之后得到的信息。这个矩阵就是K空间。(一般用k来表示空间频率,单位是1/m)什么意思呢?就是说一个二维矩阵点 d7cf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg 代表这个平面波的法向量d5cf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg,这个向量的模 dacf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg 代表这个平面波的频率 bbcf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg ,这个点里面保存的内容复数就是此平面波的幅度和相位。下面这个图很好的体现了这一点:
    3741b705c811a0f7ba2bf1211767a675.png
    也因此K空间的中心对于低频,周围对于高频。如下图,K空间中只有(0,0)处有值,也就是信号都是直流即不存在变化,所以实空间就是一张白纸。
    c88b1c2d424dc4ddf2b4487caf958611.png
    再如下面这个图片,中心低频贡献了图像的主体,周围高频提供图像的细节和边缘。
    90fb8a958779ba554edcfda5e2bac3b8.png
    因此,k空间的每一个位置存储的数代表了所在位置复平面波在图像中占多少成分,我们就可以用每个系数*所代表的平面波相加得到原来的图像,也就是下图。所以k空间和对应图像储存的信息含量是一样的,只不过表现形式不同,或者说基不同。
    8d243eed60400631cc0ce46acf8e73ff.png

       4.K空间的一些性质

    离散的2D-FT在数字图像中,数据都是离散的。也就涉及到采样的问题,和一维一样,如果采样率过低,k空间就会混叠。同时在k空间中采样过低,图像也会混叠。FOV和分辨率在k空间和图像中是相反的关系。也就是:e0cf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg e2cf33ea-6e2c-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg
    f890d776fcb358e870786f63e40b9240.png
    2bbaf3f3f132e3183d77cb408d76e746.png减小kmax,使得图像分辨率下降,减小Δk,使得FOV缩小。
    旋转不变性从平面波的角度很容易理解,旋转没有改变平面波的幅度相位,只是将所有的平面波都旋转了一个角度。下面这个图像显示了二维傅里叶变换中,实空间旋转多少,频率空间也会相应旋转多少。这其实是高维傅里叶变换缩放定理的一种特殊情况。(连续的是可以证明的,离散的涉及插值 ,不一定完全准确)
    49c0dabc7aae991e27ced4204b1a16af.png

       5.其他

    1.因为matlab中的fft算法都是将0放在第一个的,所有写matlab时一定要将k空间fftshift一下使得零频回到k空间中心。2.简单的应用k空间进行去噪例子。通过去掉明显的k空间的异常峰,可以去除图像中有规律变化的噪声或者伪影。
    33389907987dc7c6f13f9beba49245cf.png指纹去噪
    aca7c474ded0a8063e870d3ab9b1023d.png天体表面去噪

       6、评论及解答

    1、始终想不通为啥各个波的叠加能反应出某一个像素点的信号大小你把它理解向量分解就懂了,平面波就是基,k空间里的数就是基的系数。你得到系数(k空间)的时候就是在投影,变为原向量(图像)就是叠加。只不过这里一个图像是一个向量而已。复平面波叠加时,先经过放大(幅度)在经过移位(相位),相位信息里保留了很多位置信息,可以查看我的另一个回答:

    为什么用图像二维傅里叶变换的相位谱进行反变换,能够大致得到原图的形状,而幅度谱则不行呢?

    https://www.zhihu.com/question/23718291/answer/1057562032

    2、傅里叶变换后图像是关于频率矩形中心对称的,那么对称的4个平面三角波不就是注定了幅值和相角,频率是相等的。那么这样不是说明了任何波都是包含了4个这样对称的三角波,由它们组成?是中心共轭对称,而没有左右上下的对称。而且只有实数图像的k空间才有这种特点,这是为了将复平面波中的虚部抵消掉,只留下实数部分。复数图像的k空间没有共轭对称的特点。下面是k空间的一部分数据,中心点为(101,101)。
    4d62c7e9f448dc2d43801be33ea75048.png
    参考:[1] http://mriquestions.com[2] A. Zisserman's lecture in B14 Image Analysis链接:http://www.robots.ox.ac.uk/~az/lectures/ia/lect2.pdf(这个slides真的不错,大家可以下载看看,里面也有其他的内容)

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  • FFT是快速傅里叶变换 中值滤波的理解: 还有种非线性滤波-中值滤波器。中值滤波器对脉冲型噪声有很好的去掉。因为脉冲点都是突变的点,排序以后输出中值,那么那些最大点和最小点就可以去掉了。中值滤波对高斯噪音...

    FFT是快速傅里叶变换

    中值滤波的理解:
    还有一种非线性滤波-中值滤波器。中值滤波器对脉冲型噪声有很好的去掉。因为脉冲点都是突变的点,排序以后输出中值,那么那些最大点和最小点就可以去掉了。中值滤波对高斯噪音效果较差。

    常见的图像增强方法有对比度拉伸,直方图均衡化,图像锐化等。前面两个是在空域进行基于像素点的变换,后面一个是在频域处理。我理解的锐化就是直接在图像上加上图像高通滤波后的分量,也就是图像的边缘效果。对比度拉伸和直方图均衡化都是为了提高图像的对比度,也就是使图像看起来差异更明显一些。

    傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点,实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱,即梯度的大小,也即该点的频率的大小(可以这么理解,图像中的低频部分指低梯度的点,高频部分相反)。

    在傅里叶频谱图上,一般来讲,梯度大则该点的亮度强,否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图,也叫功率图,我们首先就可以看出,图像的能量分布,如果频谱图中暗的点数更多,那么实际图像是比较柔和的(因为各点与邻域差异都不大,梯度相对较小),反之,如果频谱图中亮的点数多,那么实际图像一定是尖锐的,边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后,可以看出图像的频率分布是以原点为圆心,对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外,还有一个好处,它可以分离出有周期性规律的干扰信号,比如正弦干扰,一副带有正弦干扰,移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心,对称分布的亮点集合,这个集合就是干扰噪音产生的,这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。

    由这个可以很清楚的看出,在信号处理和图像处理中,通过傅里叶变换,转为频谱图后,可以通过选择使用高通,低通和带通的滤波器进行滤波和处理。充分展示了频谱分析的好处。

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  • 我们用两个生动的例子阐释傅里叶变换的作用: 【例子】:现在一家餐厅研究了个特殊的美食,作为美食家的你,想知道这个菜里面到底都有什么配料。那么,如果我们输入这个美食(这个美食就是我们的“时域信号”)...

    7dab0e7c3c26536d503fa106731e7be0.png

    一.傅里叶变换

    1.首先,傅里叶变换有什么用呢?我们用两个生动的例子阐释傅里叶变换的作用:

    【例子一】:现在一家餐厅研究了一个特殊的美食,作为美食家的你,想知道这个菜里面到底都有什么配料。那么,如果我们输入这个美食(这个美食就是我们的“时域信号”),通过傅里叶变换,就可以得到这份美食的配方(这个配方就是我们的“频域信号”)

    如果我们输入的是这个美食的配方,就可以通过傅里叶反变换得到这份美食

    【例子二】:下面请读者和我一起做一件事情:我将给出sin(3x)+sin(5x)sin(3x)+sin(5x)的曲线(你只知道这个曲线的样子,并不知道这个曲线的方程),那么应该如何去掉sin(5x)sin(5x)的成分呢?

    想在时域中完成这个简直难于上青天,可以在频域中却很简单。

    2.傅里叶变换的应用

    傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面,傅立叶的改进算法,比如离散余弦变换,gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。

    印象中,傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用:

    a.图像增强与图像去噪

    绝大部分噪音都是图像的高频分量,通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量,可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘;

    b.图像分割之边缘检测

    提取图像高频分量

    c.图像特征提取:

    形状特征:傅里叶描述子

    纹理特征:直接通过傅里叶系数来计算纹理特征

    其他特征:将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性

    d.图像压缩

    可以直接通过傅里叶系数来压缩数据;常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换;

    2.我们再接着看看傅里叶变换本身是什么:

    傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。他的公式如下:

    公式1:二维傅里叶变换公式(其实不用看它)

    d0097affc01022f8ef896a43ffeae627.png
    公式(1)

    公式中参数说明:

    M、N分别是图像的长和宽;

    u、x范围从1到M-1;v、y范围从1到N-1。

    公式看上去不难,但其实还是不太明确到底怎么用啊!它其实可以矩阵相乘的形式表示:

    c32031f27237a7fe874d31690fa9a7fe.png
    公式2

    公式2中f是原始二维数据矩阵,G_{1}和G_{2}分别是如下:

    eddcc997bce48fe1f02b989b6effe1e9.png
    公式(3)

    1ef344fe9761d4308c7576ae97ed17dd.png
    公式(4)

    大家观察一下,G_{1}和G_{2}这么有规律,很容易就编程出来了~ 然后3个矩阵做个乘积,就换到频率域了!二维傅里叶变换就很容易用matlab实现了。

    二,MATLAB程序实现

    1.主要函数介绍

    主要用到的函数是fft2,其基本语法为:

    Y = fft2(X)         

    它的含义是使用快速傅里叶变换算法返回矩阵的二维傅里叶变换, 这等同于计算fft(fft(X).').'。如果X是一个多维数组, fft2将采用高于 2 的每个维度的二维变换。输出Y的大小与X相同

    Y = fft2(X,m,n)

    将截断X或用尾随零填充X,以便在计算变换之前形成m×n矩阵。Ym×n矩阵。如果X是一个多维数组,fft2将根据mn决定X的前两个维度的形状,也就是说使用该语法fft2将使用所要求的0的个数对输入图像进行填充,以便结果函数的大小为m*n。

    傅里叶频谱可以使用函数abs来获得:

    S = abs(F)

    该函数计算数组的每一个元素的幅度(实部和虚部平方和的平方根)。

    2.程序实践

    Step1:导入图像并显示

    N=100
    f=zeros(50,50);
    f(15:35,23:28)=1;
    subplot(2,3,1);
    imshow(f);
    title('原始图像')

    Step2:计算傅里叶变换并显示其频谱

    g= fft2(f);   % matlab自带函数,来用对比
    subplot(2,3,2);
    imshow(real(g));  % 一般只要实部
    title('fft2生成的"频域"图像');
    S=abs(g);
    subplot(2,3,3);
    imshow(S)
    title('傅里叶频谱')

    Step3:居中频谱

    Fc=fftshift(real(S));      %将零频分量移到频谱中心
    subplot(2,3,4);
    imshow(Fc)
    title('居中的频谱')

    Step4:使用对数变换进行视觉上的增强

    S2=log(1+abs(Fc));
    subplot(2,3,5);
    imshow(S2)
    title('使用对数变换进行视觉增强后的频谱');

    500d88f9a70eeac453ee8e4c2354413e.png

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    千次阅读 2013-07-06 20:21:05
    部分 图像的傅立叶变换 、 实验目的 1.了解图像变换的意义和手段; 2. 熟悉傅里叶变换的基本性质; 3. 熟练掌握FFT的方法及应用;...4. 通过实验了解二频谱的分布...傅里叶变换是线性系统分析的个有力工
  • 傅里叶变换的实质 为了更方便的展示傅里叶变换如何在信号空间表示,首先以三信号如何在三欧几里得空间表示为例,如图1所示。 图1 三欧几里得空间 在三欧几里得空间中,共有3个两两正交的线,即有3个基,...
  • 今天看了看傅里叶变换的公式想自己实现以下加深映像便于对公式的理解所以写了以下代码,还是挺简单的,以前一直惧怕傅里叶,没想到就这个公式就搞定了先上代码(MATLAB)clc; a=[1 1 1 1; 1 1 1 1; 1 1 1 1; 1 ...
  • matlab的离散傅里叶变换fft2

    千次阅读 2018-11-28 15:41:33
     Matlab 函数 fft、fft2 和 fftn 分别可以实现一维、二维和 N 维 DFT 算法;而函数 ifft、ifft2 和 ifftn 则用来计算反 DFT 。这些函数的调用格式如下:  A=fft(X,N,DIM)  其中,X 表示输入图像;N ...
  • 一维和二维傅里叶变换的CPP代码

    千次阅读 2012-03-11 09:23:58
    自己写了一个,和Matlab对比了一下,结果是一样的,供各位参考吧   // ===================================================...// 一维快速傅里叶变换FFT1和二维快速傅里叶变换FFT2 // 测试环境 C++ builder 2010 //
  • 首先回答问题:为什么个实信号经过傅氏变换后,再反变换回来得到的是个复数。 这是由于matlab计算引起的,你在计算傅氏反变换后引入了复数,最后反变换的结果肯定也是复数。 问题二:傅氏变换后的...
  • 离散傅里叶变换与逆变换的原理与实现(Matlab)

    千次阅读 多人点赞 2020-03-20 20:52:30
    我们已经知道一维噪声可以用一维傅里叶变换到频域滤波,同理二维噪声也可以用二维傅里叶变换到"频率滤波"。 二维傅里叶正变换的原理 笔者很讨厌一上来就看到一连串复杂的公式!因此当我看懂一个原理后,我就会用最好...
  • 离散傅里叶变换DFT matlab代码图像处理领域离散傅里叶变换的作用二离散傅里叶变换离散傅里叶变换公式将二的离散傅里叶变换进行转化将系数转化为矩阵形式注意,从矩阵的乘积i形式可以看出,原来是N个值,...
  • 这是个我自己用matlab编的二维傅里叶变换程序,和fft2结果几乎一样,希望对大家有用
  • fftn N 快速傅里叶变换Matlab

    千次阅读 2020-04-23 11:30:43
    Y = fftn(X) 使用快速傅里叶变换算法返回 N 维数组的多维傅里叶变换。N 维变换等于沿 X 的每个维度计算一维变换。输出 Y 的大小与 X 相同。 Y = fftn(X,sz) 将在进行变换之前根据向量 sz 的元素截断 X 或用尾随零...
  • 本文同步发表在我的微信公众号“计算摄影学”,欢迎扫码关注【转载请注明来源和作者】今天这篇主要介绍傅里叶变换与图像的频域处理,并分析频域滤波和图像的空域滤波的关系。、傅里叶的趣事今天的主角是图上这位...
  • 图像处理不仅可以在空间域进行还可以在频率域进行,把空间域的图像开窗卷积形式,变换得到频率域的矩阵点乘形式得到比较好的效果。图像频域滤波,先把图像转换到频域空间,然后对不同的频率点进行滤波,使用信号处理...
  • 一维离散傅里叶变换,信号分解

    万次阅读 热门讨论 2018-04-03 11:38:53
    离散傅里叶变换的公式如下:在MATLAB中,可以直接使用函数库fft(X)对一维向量X做傅里叶变换,分析信号的组成。如下例子处理一维离散信号信号分析通过傅里叶变换,可以将实变信号f(t)分解成各个频率分量的线性叠加,...

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