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  • 这部分最难的当然是物理应用,其次几何应用...而且变量对称性在线积分和面积分是不同的定义~第一节三重积分与线面积分温馨提示据说,李永乐复习全书每道题都滚瓜烂熟,可以有120的潜力。那么,我们一定要加油掌握每...
    这部分最难的当然是物理应用,其次几何应用。其他的题目就拿全书上来讲,线积分的联系,面积分的联系这部分出题不熟悉也会觉得比较难。其他的更重要的是计算,方法都比较固定。但是要防止混淆方法乱用,比如在面积分就不要乱用线积分中的奇偶性。而且变量对称性在线积分和面积分是不同的定义~555969e9e71a3abc2cb832de70fea687.png

    第一节 三重积分与线面积分

    温馨提示

    据说,李永乐复习全书每道题都滚瓜烂熟,可以有120的潜力。那么,我们一定要加油掌握每一道题呀。

    学习目标:

    1. 掌握知识点

    2. 掌握解题方法

    3. 做题,做题,做题!

    知识点:

     

    (一)三重积分

    (二)对弧长的线积分

    1.计算

    1)直接法:

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    2)利用奇偶性

    3)利用对称性

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    注意,怎么确定曲线积分中参数方程的积分上下限:

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    (三)对坐标的线积分

    1.计算(空间线积分计算的方法)

    1)斯托克斯公式

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    2)直接法(化为参数方程求解)

    2.两类线积分的联系

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    这里的方向余弦就是有向曲线L的切线的方向余弦,和方向导数那里的方向余弦一致

    补充方向导数:

    如果函数f(x,y)在点处可微,那么函数在该点沿任一方向的方向导数存在,且有,d21b1a1c3a6a695f510a733aad9a2f2a.png其中和为方向的方向余弦。 

    (四)对面积的面积分(第一类面积分)

    1.计算

    1)直接法

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    注意:对面积的积分的直接法就是直角坐标系,没有参数和极坐标,不要混淆

    直接法中有一个归一法:

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    2.注意:

    一型面积分不存在什么正负号的问题,就是面的投影直接算就行,不用考虑面的法向量。不要混淆;且只有线面积分能直接将方程代入,二重积分和三重积分不能把题目条件方程代入到积分函数中去!

    (五)对坐标的面积分(第二类面积分)

    1.两类面积分的联系

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    题目:

     

    一、计算三重积分

    方法:

    1. 直角坐标(先二后一或先一后二) 

    2. 柱坐标 

    3. 球坐标 

    4. 奇偶性 

    5. 变量对称性

    1.当被积函数只含有x,或者只含有y,或只含有z的时候,计算三重积分可以考虑形心计算公式,奇偶性(不关于坐标轴也没关系,平移过后再用奇偶性)

    2.三重积分要求导时,通常把要求导的未知量通过交换次序转换到最左边

    二、更换三重积分次序

    通常利用二重积分交换次序逐步实现三重积分累次积分交换次序

    三、计算对弧长的线积分

    1.当直角坐标系很难求解的时候,不妨换种坐标系进行求解。比如极坐标系。

    2.直接法是一般方法,变量对称性奇偶性是技巧,但是我们一般选择先考虑性质,再去计算。

    3.我他娘忘记极坐标是咋算的了,推导就更别说了,嗨呀,赶紧记一下!

    (我记录在知识点里面了)推导我就放在这里嗷!

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    、计算对坐标的线积分

    1.使用格林公式时要注意的问题!

    格林公式:设闭区域D由分段曲线L围成,函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则有

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    其中L为D取正向的边界曲线(正向就是逆时针方向)

    2.如果遇到线积分与积分路径有关,但是知道起点和终点的坐标,怎么求线积分?

      讲义例题中,将两点连接形成的直线算出来,然后将y代入被积函数求解;此时的积分上下限就是x的起点和终点

    3.计算空间曲线需要注意的地方

    方法:

    直接法(化参数方程求解)

    斯托克斯公式

    化为平面线积分

    注意:并不是每次求到算空间曲线所围的面积的时候,都需要投影到面上去算。很容易就能看出来积分域的面积再投影可能算不出来哦。(武忠祥辅导讲义275注2)

    4.计算曲面的形心和平面的形心不是一个东西,不要混淆。

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    5.怎么判断曲线积分,在区域内是否与路径无关?

    若积分域是一个单连通区域(所有点都可以取到)

    878892198d2c1802f60084dce995f38d.png用这个去判断;

    若不是单连通区域则用:

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    一般涉及到挖洞~

    6.在计算题中,如果知道曲线积分在某个区域的单连通域上域路径无关,好的方法是怎么计算呢?

    1)一般方法是考虑挖洞,常规

    2)但是,也可以自己重新设计一条路径呀,有些题目就可以把分母去掉了,然后补线格林巴拉巴拉。

    6.注意题目中告诉你是切向量还是法向量,因为若涉及到两类线积分的转换,方向导数这些知识点,方向余弦是切线的方向余弦,而不是法向量的方向余弦

    五、计算对面积的面积分

    方法:直接法  奇偶性  变量对称性

    1.球的表面积和球的体积公式以及推导,还有为什么对球的体积求导就能得到球体的表面积呢?

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    至于为什么对球的体积求导就能得到球体的表面积:

    想象一下球面按照半径方向增大一个小量,增大的体积大概是球体的表面积乘以作为增加高度的那个小量,所以球体积的变化率是球面积

    六、对坐标的面积分

    做题步骤:

    1. 不要立马就想着高斯公式,计算啥的

    2. 考虑能否直接代入方程,选择适当的计算方法

    计算方法:直接法,高斯公式,化二型面积分为一型面积分

    注意:奇偶性和对称性是一型面积分要考虑的,不要混淆

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    第二节 多元积分应用和场论初步

    知识点:

     

    多元积分应用-表格

    1.变力做功

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    2.通量

    注意:力的求法就是先求出力的大小,然后乘以一个和他方向一致的单位向量

    题目:

     

    一、求几何量

    方法:直接法  奇偶性  利用面积分   利用线积分

    1.怎么计算曲面的面积呀,直接用公式的那种?(用微分法可以,但是不如公式好用呀,怎么老想着自己用微元法算呢?)

    曲面片面积:

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    二、计算物理量

    1.重心,形心,质心

    当遇到均匀密度,不涉及到重力场,可以把他们当做一个东西。

    2.怎么算一个平面到一条直线的转动惯量?

    步骤:

    1)先算出平面上一点(x,y)到直线的距离d

    2)再通过公式算转动惯量,这里设密度为 ρ(x,y)

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    3.有时候遇到球体的题目,球心的选择需要灵活,尽量选在原点处减少运算。同样的,如果题目给了一个定点,也理应先考察是否在原点取得会减少运算。

    4.涉及到变力做功,一定要回忆公式,不要自己想,不要自己想!用公式多简单啊!

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  • 高数--定积分计算1

    2020-12-20 10:43:04
    题目: 一个高数题求解,将题目及求解过程现整理如下: 解答: 注意:上述积分符号没看清,做出猜测:z从-2 到2,但基于这样的假设最后求解结果出现负无穷项 涉及知识点 1)ln函数及求导 2)有理分式积分 ...

    题目:

    一个高数题求解,将题目及求解过程现整理如下:
    在这里插入图片描述

    解答:

    注意:上述积分符号没看清,做出猜测:z从-2 到2,但基于这样的假设最后求解结果出现负无穷项
    这里对1/x求积分时,得出的ln(x )要加上绝对值,取大于零的情况

    涉及知识点

    1)ln函数及求导
    在这里插入图片描述
    2)有理分式积分
    在这里插入图片描述

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  • 第五章 定积分及其应用 本章难点 1、变限定积分及其导数; 2、定积分的换元积分法和分部积分法; 3、三角函数、有理函数和简单无理函数的积分; 4、与定积分有关的综合题、证明题; 5、各种积分技巧的使用; ...

    高数学习笔记

    第五章 定积分及其应用

    本章难点

    1、变限定积分及其导数;
    2、定积分的换元积分法和分部积分法;
    3、三角函数、有理函数和简单无理函数的积分;
    4、与定积分有关的综合题、证明题;
    5、各种积分技巧的使用;
    6、广义积分收敛的概念及其计算。

    本章内容

    一、定积分的概念和性质

    (一)、定积分的概念

    abf(x)dx=limλ0i=1nf(ξ)Δx\Large\int_a^bf(x)dx=\lim\limits_{\lambda \rarr 0}\displaystyle\sum_{i=1}^nf(\xi)\Delta x
    其中,f(x)f(x)称为被积函数,f(x)dxf(x)dx称为被积表达式,xx称为积分变量,aa称为积分下限,bb称为积分上限,[a,b][a,b]称为积分区间。
    注:
    1)闭区间上的连续函数是可积的;闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的;
    2)定积分是一个确定的常数,它取决于被积函数f(x)f(x)和积分区间[a,b][a,b],而与积分变量所使用的字母无关,
    即有abf(x)dx=abf(t)dt\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(t)dt
    3)在定积分的定义中,有a<ba<b,为了今后计算方便,我们规定:
    abf(x)dx=baf(x)dxabf(x)dx=0\int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx及\int_a^bf(x)dx=0.

    (二)、定积分的几何意义

    f(x)f(x)[a,b][a,b]上的连续函数,由曲线y=f(x)y=f(x)及直线x=a,x=b,y=0x=a,x=b,y=0所围成的曲边梯形的面积记为AA.由定积分的定义,容易知道定积分有如下几何意义:
    1)当f(x)0f(x)\geqslant0时,abf(x)dx=A\int_a^bf(x)dx=A.
    2)当f(x)0f(x)\leqslant0时,abf(x)dx=A\int_a^bf(x)dx=-A.
    3)如果f(x)f(x)[a,b][a,b]有时取正值,有时取负值,那么以[a,b][a,b]为底边,以曲线y=f(x)y=f(x)为曲边的曲边梯形可分成几个部分,使得每一部分都位于xx轴的上方或下方。这时定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和,有abf(x)dx=A=A1A2+A3\int_a^bf(x)dx=A=A_1-A_2+A_3

    (三)、不定积分的性质

    1)被积表达式中的常数因子可以提到积分号前,即abkf(x)dx=kabf(x)dx\int_a^bkf(x)dx=k\int_a^bf(x)dx
    2)两个函数代数和的定积分等于各函数定积分的代数和,即
    ab[f(x)±g(x)]dx=abf(x)dx±abg(x)dx\int_a^b[f(x)\pm g(x)]dx=\int_a^bf(x)dx\pm\int_a^bg(x)dx
    这一结论可以推广到任意有限多个函数代表和的情形。
    3)对任意的实数cc,有
    abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx
    注意:cc的任意性意味着不论cc是在[a,b][a,b]之内,还是在[a,b][a,b]之外,这一性质均成立。
    4)如果被积函数f(x)=k(k)f(x)=k(k为常数),则
    abkf(x)dx=k(ba)\int_a^bkf(x)dx=k(b-a)
    5)如果在区间[a,b][a,b]上,恒有f(x)g(x)f(x)\leqslant g(x)
    abf(x)dxabg(x)dx\int_a^bf(x)dx \leqslant \int_a^bg(x)dx
    6)如果函数f(x)f(x)在区间[a,b][a,b]上有最大值MM和最小值mm,则
    m(ba)abf(x)dxM(ba)m(b-a)\leqslant\int_a^bf(x)dx\leqslant M(b-a)
    7)若函数f(x)f(x)在区间[a,b][a,b]上连续,则存在ξ[a,b]\xi\in[a,b],使得
    abf(x)dx=f(ξ)(ba)\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a).
    8)设f(x)f(x)在对称区间[a,a][-a,a]上连续,
    1)如果f(x)f(x)为奇函数,则aaf(x)dx=0\int_{-a}^af(x)dx=0
    1)如果f(x)f(x)为偶函数,则aaf(x)dx=20af(x)dx\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx

    二、定积分的计算

    (一)、积分上限函数

    设函数f(t)f(t)在区间[a,b][a,b]上连续,x0x_0为区间[a,b][a,b]上任意一点,由定积分的几何意义可知,定积分ax0f(t)dt\int_a^{x_0}f(t)dt表示的是f(t)f(t)x=a,x=x0y=0x=a,x=x_0和y=0所围成的面积。随着积分上限xx在区间[a,b][a,b]内变化,定积分ax0f(t)dt\int_a^{x_0}f(t)dt都有唯一确定的值与xx相对应,所以ax0f(t)dt\int_a^{x_0}f(t)dtx0x_0的函数,称它为积分上限函数,记作
    Φ(x)=ax0f(t)dt(ax0b)\varPhi(x)=\int_a^{x_0}f(t)dt (a\leqslant {x_0}\leqslant b)
    定理:如果函数f(x)f(x)在区间[a,b][a,b]上连续,则变上限积分函数Φ(x)=axf(t)dt\varPhi(x)=\int_a^{x}f(t)dt[a,b][a,b]上可导,且它的导数是f(x)f(x),即Φ(x)=[axf(t)dt]=f(x)\varPhi'(x)=[\int_a^{x}f(t)dt]'=f(x)

    (二)、定积分的基本公式

    f(x)f(x)在区间[a,b][a,b]上连续,F(x)F(x)f(x)f(x)的一个原函数,则abf(x)dx=F(x)ab=F(b)F(a)\int^b_af(x)dx=F(x)\mid ^b_a=F(b)-F(a)

    (三)、定积分的换元积分法

    设函数f(x)f(x)在区间[a,b][a,b]在区间[a,b][a,b]上连续,并且满足下列条件:
    1)x=φ(t)x=\varphi (t),且a=φ(α),b=φ(β)a=\varphi (\alpha),b=\varphi (\beta);
    2)φ(t)\varphi (t)在区间[α,β][\alpha,\beta]上单调且有连续的导数φ(t)\varphi'(t):
    3)当ttα\alpha变到β\beta时,φ(t)\varphi(t)aa单调地变到bb.
    则有abf(x)dx=αβf[φ(t)]φ(t)dt\int^b_af(x)dx=\int^{\beta}_{\alpha}f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt

    (四)、分部积分法

    设函数 uu(x)u-u(x)v=v(x)v=v(x)在区间[a,b][a,b]上有连续的导数,则有:
    abu(x)dv(x)=[u(x)v(x)]baabv(x)du(x)\int^b_au(x)dv(x)=[u(x)v(x)]^a_b-\int^b_av(x)du(x)

    三、广义积分

    (一)、无穷区间上的广义积分——无穷积分

    设函数f(x)f(x)[a,+)[a,+\infty)上连续,取a<ba<b,称极限limb+abf(x)dx\lim\limits_{b\rarr+\infty}\int^b_af(x)dxf(x)f(x)[a,+)[a,+\infty)上的广义积分,记作a+f(x)dx\int^{+\infty}_af(x)dx,即a+f(x)dx=limb+abf(x)dx\int^{+\infty}_af(x)dx=\lim\limits_{b\rarr+\infty}\int^b_af(x)dx
    若此极限存在,则称广义积分a+f(x)dx\int^{+\infty}_af(x)dx收敛;若此极限不存在,则称广义积分a+f(x)dx\int^{+\infty}_af(x)dx发散
    类似地,可定义函数f(x)f(x)在区间(,b](-\infty,b](,+)(-\infty,+\infty)上的广义积分:
    bf(x)dx=limaabf(x)dx\int^{b}_{-\infty}f(x)dx=\lim\limits_{a\rarr-\infty}\int^b_af(x)dx;
    +f(x)dx=cf(x)dx+c+f(x)dx=limaacf(x)dx+limb+cbf(x)dx,c(,+)\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx=\int^{c}_{-\infty}f(x)dx+\int^{+\infty}_{c}f(x)dx=\lim\limits_{a\rarr-\infty}\int^{c}_{a}f(x)dx+\lim\limits_{b\rarr+\infty}\int^{b}_{c}f(x)dx,c\in(-\infty,+\infty)
    注:+f(x)dx\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx收敛的充要条件是cf(x)dx\int^{c}_{-\infty}f(x)dxc+f(x)dx\int^{+\infty}_{c}f(x)dx都收敛。

    (二)、无界函数的广义积分——瑕积分

    x=ax=a为瑕点,则abf(x)dx=limε0+a+εbf(x)dx\int^b_af(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon\rarr{0^+}}\int^b_{a+\varepsilon}f(x)dx
    x=bx=b为瑕点,则abf(x)dx=limε0+abεf(x)dx\int^b_af(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon\rarr{0^+}}\int^{b-\varepsilon}_af(x)dx
    x=c(a,b)x=c\in(a,b)为瑕点,则abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx\int^b_af(x)dx=\int^c_af(x)dx+\int^b_cf(x)dx,当且仅当右两项都收敛,左式收敛。

    四、定积分在几何上的应用

    (一)、定积分求平面图形的面积

    1)由曲线y=f(x)y=f(x)和直线x=a,x=b,y=0x=a,x=b,y=0所围成的曲边梯形的面积可根据定积分的几何意义直接求出;
    2)求由两条曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)g(x))y=f(x),y=g(x)(f(x)\geqslant g(x))及直线x=a,x=bx=a,x=b所围成平面图形的面积
    A=ab[f(x)g(x)]dxA=\int^b_a[f(x)-g(x)]dx
    3)求由两条曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)g(x))y=f(x),y=g(x)(f(x)\leqslant g(x))及直线x=a,x=bx=a,x=b所围成平面图形的面积
    A=ab[g(x)f(x)]dxA=\int^b_a[g(x)-f(x)]dx

    (二)、定积分求体积

    1、平行截面面积已知的立体体积
    A(x)A(x)为底,dxdx为高,在x的区间[a,b][a,b]上的积分,得
    V=abA(x)dxV=\int^b_aA(x)dx

    2、旋转体的体积
    在区间[a,b][a,b]上点x处垂直x轴截面面积为A(x)=πf2(x)A(x)=\pi f^2(x),在x的变化区间[a,b][a,b]内积分,得旋转体体积为
    V=πabf2(x)dxV=\pi\int^b_af^2(x)dx
    在区间[c,d][c,d]上点y处垂直y轴截面面积为B(y)=πf2(y)B(y)=\pi f^2(y),在y的变化区间[c,d][c,d]内积分,得旋转体体积为
    V=πcdf2(y)dyV=\pi\int^d_cf^2(y)dy
    未完待续。。。

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  • 前段时间复习完了高数第五章的内容,我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理,形成了这篇笔记,方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

    1. 背景

    前段时间复习完了高数第五章的内容,我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理,形成了这篇笔记,方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

    2. 定积分

    2.1. 定积分的定义

    • 定义:

    abf(x)dx=limλ0i=1nf(ξi)Δxi \int_a^{b} {f(x)} dx = \lim\limits_{\lambda \to 0}{\sum_{i = 1}^n{f(\xi_i)\Delta x_i}}

    其中λ=max{Δxi},i[1,n]\lambda = max\{\Delta x_i\}, i\in [1, n]ξi\xi_i为在[xi1,xi][x_{i - 1}, x_i]上任取的一点。

    • 利用定积分求极限:

    若积分01f(x)dx\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx 存在,将[0,1][0, 1]区间等分,此时Δxi=1n\Delta x_i = \dfrac{1}{n}, 取 ξi=1n\xi_i = \dfrac{1}{n}, 由定积分的定义得

    01f(x)dx=limλ0i=1nf(ξi)Δxi=limnf(in) \int_0^{1} {f(x)} dx = \lim\limits_{\lambda \to 0}{\sum_{i = 1}^n{f(\xi_i)\Delta x_i}} = \lim\limits_{n \to \infty}{f(\frac{i}{n})}

    2.2. 定积分的性质

    2.3. 积分上限函数

    • 定义:

    变上限的积分abf(x)dx\displaystyle \int_a^{b} {f(x)} dx是其上限的函数,常称之为积分上限函数。

    • 定理:

    如果f(x)f(x)在区间[a,b][a, b]上连续,则

    (axf(t)dt)=f(x) ( \int_{a}^{x} f(t) dt )' = f(x)

    如果$ f(x) [a, b]上的连续函数,\varphi_1(x), \varphi_2(x)$为可导函数,则

    (φ1(x)φ2(x)f(t)dt)=f[φ2(x)]φ2(x)f[φ1(x)]φ1(x) ( \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(t) dt )' = f[ \varphi_2(x) ] \cdot \varphi_2'(x) - f[ \varphi_1(x) ] \cdot \varphi_1'(x)

    2.4. 定积分的计算

    2.4.1. 牛顿-莱布尼茨公式

    f(x)f(x)[a,b][a, b]上连续,F(x)F(x)f(x)f(x)[a,b][a, b]上的一个原函数,则有

    abf(x)dx=αβf[φ(t)]φ(t)dt \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f[\varphi(t)] \varphi'(t) dt

    2.4.2. 换元积分法

    2.4.3. 分部积分法

    abudv=uvababvdu \int_{a}^{b} u dv = uv \Big|_a^b - \int_{a}^{b} v du

    2.4.4. 利用奇偶性和周期性

    2.4.5. 利用已有公式

    3. 反常积分

    3.1. 无穷区间上的反常积分

    定义

    1. f(x)f(x)[a,][a, \infty] 上的连续函数,如果极限 limt+atf(x)dx\displaystyle\lim\limits_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} {f(x)}dx 存在,则称此极限为函数 f(x)在无穷区间 [a,][a, \infty] 上的反常积分,记作 a+f(x)dx\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx,即

    a+f(x)dx=limt+atf(x)dx \int_{a}^{+\infty} f(x) dx = \lim\limits_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} {f(x)}dx

    这时也称反常积分 a+f(x)dx\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx 收敛,如果上述极限不存在,则称反常积分 a+f(x)dx\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx 发散

    1. f(x)f(x)[,b][-\infty, b] 上的连续函数,则可类似的定义函数 f(x)f(x) 在无穷区间[,b][-\infty, b] 上的反常积分

    bf(x)dx=limtatf(x)dx \int_{-\infty}^{b} f(x) dx = \lim\limits_{t \to -\infty} \int_{a}^{t} {f(x)}dx

    1. f(x)f(x)[,+][-\infty, +\infty] 上的连续函数,如果反常积分

    0f(x)dx0+f(x)dx \int_{-\infty}^{0} f(x) dx \text{和} \int_{0}^{+\infty} f(x) dx

    都收敛,则称反常积分 +f(x)dx\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx 收敛,且

    +f(x)dx=0f(x)dx+0+f(x)dx \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{+\infty} f(x) dx

    如果至少有一个发散,则称 +f(x)dx\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx 发散


    常用结论

    a+1xpdx{p>1,发散p1,收敛,(a>0) \int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx {\left\{ \begin{aligned} p > 1 & , \text{发散} \\ p \le 1 & , \text{收敛} \\ \end{aligned}\right. }, (a>0)

    3.2. 无界函数的反常积分

    如果函数 f(x)f(x) 在点 aa 的任一邻域内都无界,那么点 aa 称为 函数 f(x)f(x) 的瑕点(也称为无界点)。无界函数的反常积分也称为瑕积分

    定义

    1. f(x)f(x)(a,b](a, b] 上连续,点 aa 为函数的瑕点。如果极限 limta+tbf(x)dx\displaystyle\lim\limits_{t \to a^+} \int_{t}^{b} {f(x)}dx存在,则称此极限为函数 f(x)在无穷区间 [a,b][a, b] 上的反常积分,记作 abf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) dx,即

    abf(x)dx=limta+tbf(x)dx \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim\limits_{t \to a^+} \int_{t}^{b} {f(x)}dx

    这时也称反常积分 a+f(x)dx\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx 收敛,如果上述极限不存在,则称反常积分 a+f(x)dx\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx 发散

    1. f(x)f(x)[a,b)[a, b) 上连续,点bb 为函数 f(x)f(x) 的瑕点。则可类似的定义函数 f(x)f(x) 在区间 [a,b][a, b] 上的反常积分

    abf(x)dx=limta+tbf(x)dx \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim\limits_{t \to a^+} \int_{t}^{b} {f(x)}dx

    1. f(x)f(x)[a,b)[a, b) 上除 cc 点外连续,点cc 为函数 f(x)f(x) 的瑕点。则可类似的定义函数 f(x)f(x) 在区间 [a,b][a, b] 上的反常积分

    acf(x)dxcbf(x)dx \int_{a}^{c} f(x) dx \text{和} \int_{c}^{b} f(x) dx

    都收敛,则称反常积分 abf(x)dx\int_{a}^{b} f(x) dx 收敛,且

    abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx

    如果至少有一个发散,则称 abf(x)dx\int_{a}^{b} f(x) dx 发散


    常用结论

    ab1(xa)pdx{p<1,发散p1,收敛 \int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^p} dx {\left\{ \begin{aligned} p < 1 & , \text{发散} \\ p \ge 1 & , \text{收敛} \\ \end{aligned}\right. }

    ab1(bx)pdx{p<1,发散p1,收敛 \int_{a}^{b} \frac{1}{(b-x)^p} dx {\left\{ \begin{aligned} p < 1 & , \text{发散} \\ p \ge 1 & , \text{收敛} \\ \end{aligned}\right. }

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