在处理积分与极限的交换顺序问题上，勒贝格积分比黎曼积分要求的条件要弱的多（并且条件更易于验证）
积分与极限交换顺序的定理：
控制收敛定理


$\{ f_n(x)\}为E上的一列可测函数$
$F(x)为E上的可积函数，且|f_n(x)|\leq F(x) a.e.于E（在E上almost.every. 成立），\\N=1,2……$
$f_n(x)依测度收敛到f(x)$

$则f(x)在E上可积，并且\lim _{n\rightarrow +\infty} \int_{E}f_n(x)dx=\int_{E}f(x)dx$

推论：有界收敛定理
(也就是
 除了在E的一个测度任意小的子集上 (a.e.),函数列f(x)一致收敛于f(x)
{意思是对Ve>0,存在一个正整数N使得(f(x)-f(x)1<ε对一切x和一切k≥N成立。直观地讲，如果将f(x)放入围绕它的 ε-通道内，则f(x)最终也会落入通道中。}
)
$f_n一致有界(|f_n(x)|\leq M)，则极限和积分可以换序$

积分极限定理的应用：

$设f(x)在[0,1]上连续，则\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_0^1 x^n f(x)dx=?\\
积分和极限交换顺序x^n的极限在[0,1)为0\\
所以上式=0 （还可利用夹逼定理证明：\\
0\leq |\int_0^1 x^n f(x)dx|\leq \int_0^1 x^n |f(x)|dx\leq M\int_0^1 x^n dx=\frac{M}{n+1}\rightarrow 0）$

(
 除了在E的一个测度任意小的子集上 (a.e.),函数列f(x)一致收敛于f(x)

{意思是对Ve>0,存在一个正整数N使得(f(x)-f(x)1<ε对一切x和一切k≥N成立。直观地讲，如果将f(x)放入围绕它的 ε-通道内，则f(x)最终也会落入通道中。}
)

高等数学极限复习篇

知识要点

极限的定义： 用于函数某个间断点求极限。

极限性质

重要极限 ：用于等价代换方便计算

函数间断点：用该点的极限是否存在判断属于哪一类

极限四则运算：用于对极限的拆分放便运算

零点定理与介值定理：零点定理用于判断根存在，介值定理用于求在某个函数点值
极限计算步骤



重要泰勒变换



幂值函数指数化的解题

专升本高数定理及性质集锦
1.数列极限的存在准则
2.数列极限的四则运算定理
3.极限的充要条件
4.函数极限的定理
5.无穷小量的基本性质
6.等价无穷小量代换定理
7.两个重要极限
8.函数在一点处连续的性质
9.闭区间上连续函数的性质
10.零点定理
11.初等函数的连续性
12.可导与连续的关系
13.导数的计算
14.微分的计算
15.微分形式不变性
16.定积分的基本性质
17.变上限定积分求导定理
18.计算定积分
19.定积分的应用
20.全微分
21.二元隐函数

1.数列极限的存在准则

2.数列极限的四则运算定理

3.极限的充要条件

4.函数极限的定理

5.无穷小量的基本性质

6.等价无穷小量代换定理

7.两个重要极限

8.函数在一点处连续的性质

9.闭区间上连续函数的性质

10.零点定理

11.初等函数的连续性

12.可导与连续的关系

13.导数的计算



14.微分的计算

15.微分形式不变性

16.定积分的基本性质

17.变上限定积分求导定理

18.计算定积分

19.定积分的应用

20.全微分

21.二元隐函数

高数篇：02费马定理
高数篇：02费马定理
定理5：费马定理
费马定理的应用
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高数篇：02费马定理
定理5：费马定理
下面提出费马定理的定义：



注意：费马定理的数学证明可参照教材（需了解掌握，重点1）。
费马定理的应用

费马定理的应用（重点2）：



注意：费马定理用的是极值，极值必须在区间内部，即区间内部的最值可证出来，并且不含端点处。
应用定理证明导数零点（达布）定理（重点3）：

注意：这里证明的是导数的零点定理不是定理4零点定理。

2.1 运用导数定理（导数定义是考研是必考无疑的。）



附加知识：极限的保号性：



2.2 使用极限的保号性（这里运用脱帽法，极限转函数）：



同理f（x）> f（b），这里运用极限的保号性就从极限转换成了函数的状态了。

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