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  • 高数基本概念总结

    2019-10-04 12:00:46
    一、函数和极限映射->函数数列极限->函数极限(无限接近)函数极限趋近于0->无穷小,函数永远增长->无穷大函数极限计算和推导方法无穷小阶数比较函数映射的伴随增量无穷小变化相随-->...


    一、函数和极限
    映射->函数
    数列极限->函数极限(无限接近)
    函数极限趋近于0->无穷小,函数永远增长->无穷大
    函数极限计算和推导方法
    无穷小阶数比较
    函数映射的伴随增量无穷小变化相随-->函数连续性
    函数连续性的推导原则
    二、导数和微分
    导数:函数伴随因变量无穷小变化的函数值变化规则
    函数求导法则
    高阶导数
    隐函数求导、参数方程求导
    微分:函数伴随因变量无穷小变化的函数求值
    微分计算方法
    三、微分中值定理和导数应用
    罗尔定理:极点对导数的反推。
    微分中值定理:由函数曲线切线->拉格朗日中值公式:用导数求函数值
    中值公式证明反推-->双函数的柯西中值定理:两个函数导数之间的关系。
    分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法:洛必达法则
    泰勒公式:用多级导数多项式来求函数值。
    函数单调性与函数曲线凹凸,函数曲线凹凸与拐点
    函数极值
    弧微分:用切线求微弧线段长度
    弧度:角度除以微弧线-->曲率圆,曲率半径、曲率中心
    四、不定积分
    不定积分和积分的计算方法
    五、定积分
    定积分和定积分的计算方法
    反常积分:对无穷x区间上求定积分极限值
    反常积分的收敛
    六、定积分的应用
    七、微分方程
    微分方程求解:由函数导数和自变量关系求原函数关系
    八、空间解析几何和向量代数
    向量和向量的计算
    曲面方程:反应曲面上点变量关系的方程式
    曲线方程
    平面方程
    直线方程
    九、多元函数微分法及其应用
    多元函数:多变量依赖的函数方程式
    多元函数的极限和连续性
    偏导数:对多元函数的某一元因变量求导的函数
    全微分:用偏微分求全微分
    多元复合函数的求导方法
    多元隐函数求导
    方向导数与梯度
    多元函数极值
    十、重积分
    重积分:对多元空间求积分
    二重积分和三重积分的计算
    重积分的应用
    十一、曲线积分和曲面积分
    弧长曲线积分:对N元空间曲线(积分弧段)内的微分长度求某N元函数(被积函数)的积分。
    坐标曲线积分的计算方法:用两个偏导数函数求坐标曲线积分
    十二、无穷级数
    级数:数列构成的表达式
    级数的收敛和发散
    幂级数,幂级数的转换与应用
    傅里叶级数,傅里叶级数的转换与应用

    转载于:https://www.cnblogs.com/dhcn/p/7494381.html

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  • 高等数学知识点最全汇总
  • 考研高等数学讲义 数学知识点清清楚楚如数列的极限 我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念。 ⑴、数列:若按照一定的法则,有第一个数 a1,第二个数 a2,„,依次排列下去,使得任何一个正整 数 n 对应着...
  • 高等数学重积分总结

    2020-12-20 14:12:52
    【本章学习目标】⒈理解二重积分的概念与性质,了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系,会用性质比较二重积分的大小,估计二重积分的取值范围。⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和...

    【本章学习目标】

    ⒈理解二重积分的概念与性质,

    了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系,

    会用性质

    比较二重积分的大小,估计二重积分的取值范围。

    ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限,

    如何改换二次积分的积分次序,

    并且如

    何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。

    ⒊掌握曲顶柱体体积的求法,会求由曲面围成的空间区域的体积。

    9.1

    二重积分的概念与性质

    【学习方法导引】

    1

    二重积分定义

    为了更好地理解二重积分的定义,

    必须首先引入二重积分的两个

    “原型”

    一个是几何的“原型”-曲顶柱体的体积如何计算,另一个是物理的“原型”

    —平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发,对所抽象出来的二重积

    分的定义就易于理解了。

    在二重积分的定义中,必须要特别注意其中的两个“任意”

    ,一是将区域

    D

    n

    个小区域

    1

    2

    ,

    ,

    ,

    n

    的分法要任意,二是在每个小区域

    i

    上的点

    (

    ,

    )

    i

    i

    i

    的取法也要任意。有了这两个“任意”

    ,如果所对应的积分和当各

    小区域的直径中的最大值

    0

    时总有同一个极限,才能称二元函数

    (

    ,

    )

    f

    x

    y

    区域

    D

    上的二重积分存在。

    2

    .明确二重积分的几何意义。

    二重积分的计算

    在极坐标系中二重积分的计算

    在直角坐标系中二重积分的计算

    二重积分的概念与性质

    二重积分的应用

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  • 高等数学知识总结

    千次阅读 2019-08-29 17:44:27
    因为某些算法题和数学有着密不可分的联系,因此,我决定将我大一这一年来学的高等数学做一个全面的总结,有些知识已经记得不算太清,如果有错误的地方还请大佬及时指出。 第一章:函数、极限与连续 第1节:初等函数 ...

    因为某些算法题和数学有着密不可分的联系,因此,我决定将我大一这一年来学的高等数学做一个全面的总结,有些知识已经记得不算太清,如果有错误的地方还请大佬及时指出。
    第一章:函数、极限与连续

    第1节:初等函数

    这一节就是高中的一些基本初等函数的的复习,补充几个不是高中的知识。
    (1)差集:A\B={x|x属于A且x不属于B(属于号不会打,捂脸)},同理B\A与之相反。B\A读作B插A(别想多了)
    (2)笛卡尔乘积:任意集合A和集合B中所有二原有序组(x,y)构成的集合,记作AB(其实是数学中的乘号,这里用来代替)
    AB={(x,y)|x属于A,y属于B},有这个知识点可以延伸出二维坐标系上所有点可以用R * R来表示,空间中的所有点可以用R * R * R来表示。
    (3)邻域:大道理就不说了,直接举个例子,求点2的0.2领域,记作u(2,0.2),结果为u(2,0.2)=(1.8,2.2);(这个知识可能会在算法中出现)邻域是一个集合,而不是一个数,由上面的例子你也就知道怎么算邻域。
    (4)函数的简单性质我就不说了吧,单调性,周期性,奇偶性,周期性等。这些都是高中学的,也是很基础的没什么好讲的。除此之外还有一个有界性:这个我说一下,大道理不说了,说点注意事项,若f(x)在定义域内有界,则称f(x)为有界函数,若f(x)在某个区间U上有界,则称f(x)在U上有界。
    (5)复合函数我也就不说了,重点说一下反函数,首先你要知道只有一 一对应的函数具有反函数。其次反函数的定义是因变量与自变量的交换,交换之后得到的函数是原函数的反函数。通常y=f(x)的反函数也记为x=f^(-1)(y),(为方便理解,我翻译一下,x等于f(y)的负一次方)。
    (6)初等函数:这里我就说3个函数余切函数y=cotx(cotx等于1/tanx),正割函数y=secx(secx等于1/cosx),和余割函数y=cscx(cscx等于1/sinx),这个遇到算法题的话,我觉得题上应该会提前告诉你这些,如果没告诉你的话你也要知道。还有一个就是三角函数中的积化和差公式:
    公式1:sinxsiny = -1/2
    (cos(x+y)-cos(x-y));
    公式2:cosxcosy = 1/2(cos(x+y)+cos(x-y));
    公式3:sinxcosy = 1/2(sin(x+y)+sin(x-y));
    公式4:cosxsiny = 1/2*(sin(x+y)-sin(x-y));
    对上面的公式一定要有自己的记忆方法,不反对死记硬背,但最好别那样做。
    第2节:数列的极限

    (1)数列的极限:若{an}是一个数列,b是一个常数,当n越来越大的时候an越来越接近与b,则称b为{an}的极限。其实这也都是在高中都学过,没啥好说的。
    (2)数列极限的性质:
    1.唯一性:任何收敛数列{xn}的极限都是唯一的。说白了就是数列极限都只有一个值,不会有多个。
    2.有界性:这个是针对于收敛数列,如果数列{xn}收敛,则数列{xn}一定有界,若数列{xn}收敛于a,则它的任一子数列{xnk}也收敛,且极限也是a。
    3.若数列{an}的奇子数列{a2k-1(2k-1是下标后面也同理)},和偶子数列{a2*k}均收敛于同一常数b时,则数列{an}也收敛于b,这是判断一个数列是否收敛的充分必要条件。
    第3节:函数的极限

    (1)x->无穷,或x->X0,时函数的极限:
    我就说一点,其他的都是高中所学就不再说了,一个函数在某点有无极限与在该点有无意义无关,说白了就是函数在某一点处没有意义,但在这一点出却可能会有极限的存在。
    (2)左右极限定理:若f(x)当x趋于x0时极限等于A,他等价于x从x0的左边趋近x0(左极限)等于A同时也等价于x从x0的右边趋近与x0(右极限)也等于A。
    适用范围为:
    1.主要用于分段函数再分断点处,且在分段点处,左右两侧的表达式不同时的极限。
    2.主要用于含有绝对值(或开偶次方根)的函数在绝对值为零处的极限。
    3.主要用于含有1/e^x, 1/a^x, arctan1/x,的函数在x->0的极限。
    第4节:无穷大与无穷小

    (1)无穷小:1.极限为零的变量称为无穷小量,2.无穷小是一个变量(函数),无论绝对值多么小的数都不是无穷小,但“0”是唯一可以作为无穷小的数。,3.无穷小是相对自变量的某一变化过程而言的。
    (2)无穷小与函数极限的关系:若f(x)当x趋于x0的时候极限为A,的充分必要条件是f(x)=A+a(x);其中当x趋于x0是a(x)的极限等于0 。
    (3)无穷大:绝对值无限增大的变量,跟无穷小一样无穷大也是一个变量。
    总结:正无穷,负无穷都属于极限不存在,另外无穷大一定是无界函数,但无界函数不一定是无穷大。所谓的无穷大与无穷小,是指在自变量的某种变化趋势下,函数f(x)的绝对值无限增大或者无限变小。
    第5节:极限的运算法则

    (1)有限个无穷小的和是无穷小,有限个无穷小的乘积也是无穷小。
    (2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
    (3)常数与无穷小的乘积是无穷小。
    (4)极限的四则运算法则的注意事项:参加运算的是有限个函数,且他们的极限都存在,没有极限或者极限不存在,不能进行四则运算,商的极限要求分母的极限不为0,无穷大不要随意参加运算,因为无穷大不是一个数。
    (5)求极限的几种常见的方法:
    1. 直接代入法。
    2. 如果遇到A/0型,就是分子的极限为一个不为零的常数,而分母的极限为0,这种一看他的极限就是无穷大。
    3. 0/0型的求极限方法,因式分解消零因子,如果含有根式的话就分子,分母有理化。
    4. 无穷/无穷型:谁大除以谁(这个大是指x的次方的大小),例:在这里插入图片描述
    5. 无穷减无穷型:通分化为0/0,或者无穷/无穷。例:
    在这里插入图片描述第6节:两个重要的极限

    (1)两个重要极限:1. sinx/x,当x趋于0时的极限等于1,形如sinw(x)/w(x)的形式,当x趋于任意值只要w(x)趋于0则sinw(x)/w(x)的极限都为1;2. (1+1/x)^x当x->无穷时极限为e,推广形式是 (1+1/w(x) )^ w(x)当x->任意值只要1/w(x)的极限为零,则此式的极限就为e。
    第7节:无穷小的比较

    (1)设a(x),b(x)当x->x0(或x->无穷)是都是无穷小;
    1.若limb(x)/a(x)=0,则称b(x)是比a(x)高阶的无穷小;
    2.若limb(x)/a(x)=无穷,则称b(x)是比a(x)低阶的无穷小;
    3.若limb(x)/a(x)=C!=0,则称a(x)和b(x)是同阶无穷小;
    4.若limb(x)/a(x)^k = C!=0,k>0,则称b(x)是关于a(x)的k阶无穷小;
    5.若limb(x)/a(x)=1,则称a(x)和b(x)是等价无穷小,记作a(x)~b(x),显然等价无穷小也属于同阶无穷小;
    (2)常见的几个等价无穷小的代换:
    以下几个式子成立的前提是x->0,并且这几个式子还是比较重要的,因此我用红色的标记了它,
    sinx~x,arcsinx ~ x, tanx ~ x,arctanx ~ x,ln(1+x) ~x, e^x-1 ~ x ,a ^x-1 ~xlna, 1- cosx ~ 1/2x ^2, (n次根号下(1+x ^k)然后再减去1 ~1/nx ^k;

    第8节函数的连续性

    (1)定义1:设函数y=f(x)在点x0的某一领域内有定义,如果当(x2-x1)->0,lim(y2-y1)=0,则称函数f(x)在点x0处连续,此定理主要用于理论证明(抽象函数)可导和连续,或考察一个具体函数在非具体点的连续。
    (2)设函数y=f(x)在点x0的某一领域内有定义,如果当x->x0,limf(x)=f(x0),则称函数f(x)在点x0处连续。
    (3)若f(x)在点x0处连续的充分必要条件是它在x0点处既左连续又右连续,此定理主要用于判断分段函数在分段点处的连续性。
    (4)函数的间断点:
    1.求法:初等函数的间断点常出现在分母为0处或者真数为零处,但函数在这些点左右邻近处必须有定义;
    2.分段函数的间断点常出现在分界点处;
    分类:1.第一类间断点f(x0-0)及f(x0+0)均存在(在x0处的左极限与右极限都存在),若f(x0-0)=f(x0+0),则称x=x0为可去间断点;若f(x0-0)!=f(x0+0),则称x=x0为跳跃间断点;2.第二类间断点:f(x0-0)或f(x0+0)至少有一个不存在,若其中一个为无穷大则称x=x0为无穷间断点;若其中有震荡称x=x0为震荡间断点。
    例题:在这里插入图片描述(5)反函数与复合函数的连续性
    1.反函数的连续性:若y=f(x)在区间Ix上连续且单调增加(或减少)则其反函数x=w(y)在对应区间上也单调增加或减少,例y=sinx在闭区间(-π/2,π/2)上连续且单调增加,则他的反函数y=arcsinx在闭区间(-1,1)也是单调增加且连续。
    2.复合函数的连续性:内层函数的极限存在,外层函数在该极限点连续则求复合函数的极限时可将极限号移到内层函数中,现求内层函数的极限。
    3.一切初等函数在定义区间内都是连续的(定义区间是指包含在定义域内的区间)。
    例题:在这里插入图片描述
    第9节闭区间连续函数的性质

    (1)(最大值最小值定理)若函数f(x)在闭区间(a,b)上连续,则f(x)在闭区间(a,b)上一定能取得最大值和最小值。
    (2)证明方程恰有一根或只有一根结合单调性与零点存在定理,例:在这里插入图片描述第二章导数与微分
    第1节导数的概念

    (1)左导数与右导数(与左极限与右极限的适用范围一样)函数在x0点处可导的充分必要条件是函数在x0点的左导数与右导数均存在并且相等。
    (2)可导一定连续(逆否命题:不连续一定不可导)因此再求一个函数的连续与可导性时,首先应该判断连续性,在判断可导性,因为不连续一定不可导。
    第3节复合函数的求导法则

    (3)复合函数的求导法则:由外向内依次求导。
    未完待续…

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  • 高等数学(下)知识点总结

    万次阅读 多人点赞 2019-03-26 19:12:20
    高等数学(下)知识点总结 首先我们学习了空间解析几何。平面的三种方程适用于不同类型的题目: 类比平面解析几何,不难得出如下的夹角与距离的概念: 研究完平面,我们研究直线。直线也有下面三种方程: ...

    高等数学(下)知识点总结 

    首先我们学习了空间解析几何。平面的三种方程适用于不同类型的题目:

    类比平面解析几何,不难得出如下的夹角与距离的概念:

    研究完平面,我们研究直线。直线也有下面三种方程:

    计算夹角的方法如下:

    用好过直线的平面束,可以解决很多问题:

    研究完直线,我们研究曲线。曲线有如下形式的一般方程:

    曲线也可用参数方程表达:

    我们还有投影的概念:

    研究空间解析几何,一定程度上为多元函数的研究提供了基础,多元函数的最基本概念请同学们牢记:

    随后我们研究了偏导数:

    以及高阶偏导数:

    用好全微分的概念,可以处理很多计算偏导数的题目:

    研究完最简单的偏导数,我们想研究复合函数的偏导数。由于复合方法多种多样,也有如下两种不同的情形:

    隐函数定理压轴登场!一个方程的情形,计算偏导数的公式如下:

    方程组联立的情形下,我们引入了雅可比行列式的概念,方法如下。乍一看公式似乎很复杂,实际就是解一个线性方程组~

    除了在坐标轴方向有偏导数,我们在任意方向都可以定义方向导数。自然要用到梯度的概念:

    多元函数微分学反过来对第一章的空间解析几何提供了方法:

    在没有限制条件的情况下,我们可以借助偏导数求出多元函数的极值:

    接触过中学数学竞赛的同学会被中学数学竞赛那细微的放缩以及“先猜后证”弄得晕头转向,而这里的拉格朗日乘子法,让你秒杀多元条件极值问题!

    上学期同学们学习了定积分、反常积分,不过有的特定的反常积分是无法用传统方法解出来的。这就要借助我们的重积分了。类比定积分,二重积分有以下两个性质:

    如何计算重积分,可以说是高数中的关键部分。一般来说,我们把积分区域划分成如下两种区域,再进行求解,实际上,我们还是在做定积分。必要的时候,还要交换积分次序。

    三重积分最基本的计算方法有两种,我们的思想就是把三重积分转化为二重积分和定积分,这两种方法分别叫“先一后二”和“先二后一”:

    当然,有时候利用对称性,可以大大简化问题:

    我们还介绍了柱坐标系、球坐标系,其体积元可以借助雅可比行列式计算出。这两种坐标系常常能简化问题,就如同二重积分中的极坐标一样。

    重积分后,我们有线、面积分:

    曲线积分的一般方法如下:

    曲面积分的一般方法如下:

    接下来是本章最重要的公式之一——格林公式及其推论:

    同为最重要的公式之一——高斯公式:

    学期的最后,我们学习了级数的相关理论,审敛法需牢记~

    我们又讲了两种重要的函数项级数——幂级数和傅里叶级数。幂级数其实同学们在学泰勒公式的时候已经接触到了~而傅里叶级数,以三角级数拟合一般的周期函数,它的提出是一种非常伟大的想法。傅里叶级数的公式稍微复杂,请同学们记住有关公式和结论,不要弄混淆了~

    至此,高数(下)的内容就回顾完了。

    转自:https://www.sohu.com/a/239378031_185748

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  • 高等数学二(共26讲)课程大纲及对应的学习笔记 第一讲 导数概念(1、问题引入 2、问题求解 3、导数的定义及几何意义 4、导数存在的条件 5、导函数) ... 第二讲 导数运算法则 (1、问题引入 2.1、求导法则——四则...
  • 即将小考,趁机总结一波 第一节 导数的概念 一、导数的定义 我对导数的理解是,导数是对一个函数从平均变化率到瞬时变化率的一个逼近,蕴含着极限的思想。 ①三种算法(单侧导数同理) lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0...
  • 第一章经典错误及笔记1.函数1.复合函数2.反函数!...初等函数2.极限1....1.函数 1.复合函数 复合函数(y=f(u)、u=g(x))的条件: f(u)的定义域和g(x)的值域相交不为空。...结论:不是任何两个函数都可以是复合函数。...
  • 高等代数总结

    2021-07-04 14:06:27
    我们对n作数学归纳法。 当n=1时,由行列式为0,可知唯一的元素为0,因而秩为0 假设结论对n-1级矩阵已证,我们来看n级矩阵,如果A的第一列全为0,秩显然小于n,如果第一列不全为0,不妨设 a 11 a_{11} a11​不等于0...
  • 那么在这种情况下,我就把我们高数课本上的知识点按我的理解按顺序尽可能地整理出来,通过bilibili专栏发表,希望能帮助更多的同学!文字内容纯手打,真的是超级累啊。同时大部分都是自己的理解,错误与不当之处...
  • 高数下册总结

    千次阅读 2020-12-20 14:13:12
    向量代数 理解向量的概念(单位向量、方向余弦、模) 了解两个向量平行、垂直的条件 向量计算的几何意义与坐标表示理解二元函数的几何意义、连续、极限概念,闭域性质 理解偏导数、全微分概念 能熟练求偏导数、全微分...

空空如也

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