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  • 高数基本概念总结

    2019-10-04 12:00:46
    一、函数和极限映射->函数数列极限->函数极限(无限接近)函数极限趋近于0->无穷小,函数永远增长->无穷大函数极限计算和推导方法无穷小阶数比较函数映射的伴随增量无穷小变化相随-->...


    一、函数和极限
    映射->函数
    数列极限->函数极限(无限接近)
    函数极限趋近于0->无穷小,函数永远增长->无穷大
    函数极限计算和推导方法
    无穷小阶数比较
    函数映射的伴随增量无穷小变化相随-->函数连续性
    函数连续性的推导原则
    二、导数和微分
    导数:函数伴随因变量无穷小变化的函数值变化规则
    函数求导法则
    高阶导数
    隐函数求导、参数方程求导
    微分:函数伴随因变量无穷小变化的函数求值
    微分计算方法
    三、微分中值定理和导数应用
    罗尔定理:极点对导数的反推。
    微分中值定理:由函数曲线切线->拉格朗日中值公式:用导数求函数值
    中值公式证明反推-->双函数的柯西中值定理:两个函数导数之间的关系。
    分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法:洛必达法则
    泰勒公式:用多级导数多项式来求函数值。
    函数单调性与函数曲线凹凸,函数曲线凹凸与拐点
    函数极值
    弧微分:用切线求微弧线段长度
    弧度:角度除以微弧线-->曲率圆,曲率半径、曲率中心
    四、不定积分
    不定积分和积分的计算方法
    五、定积分
    定积分和定积分的计算方法
    反常积分:对无穷x区间上求定积分极限值
    反常积分的收敛
    六、定积分的应用
    七、微分方程
    微分方程求解:由函数导数和自变量关系求原函数关系
    八、空间解析几何和向量代数
    向量和向量的计算
    曲面方程:反应曲面上点变量关系的方程式
    曲线方程
    平面方程
    直线方程
    九、多元函数微分法及其应用
    多元函数:多变量依赖的函数方程式
    多元函数的极限和连续性
    偏导数:对多元函数的某一元因变量求导的函数
    全微分:用偏微分求全微分
    多元复合函数的求导方法
    多元隐函数求导
    方向导数与梯度
    多元函数极值
    十、重积分
    重积分:对多元空间求积分
    二重积分和三重积分的计算
    重积分的应用
    十一、曲线积分和曲面积分
    弧长曲线积分:对N元空间曲线(积分弧段)内的微分长度求某N元函数(被积函数)的积分。
    坐标曲线积分的计算方法:用两个偏导数函数求坐标曲线积分
    十二、无穷级数
    级数:数列构成的表达式
    级数的收敛和发散
    幂级数,幂级数的转换与应用
    傅里叶级数,傅里叶级数的转换与应用

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  • 向量代数 理解向量的概念(单位向量、方向余弦、模) 了解两个向量平行、垂直的条件 向量计算的几何意义与坐标表示理解二元函数的几何意义、连续、极限概念,闭域性质 理解偏导数、全微分概念 能熟练求偏导数、全微分...

    第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何

    一、理论要求 1.向量代数 理解向量的概念(单位向量、方向余弦、模) 了解两个向量平行、垂直的条件 向量计算的几何意义与坐标表示

    理解二元函数的几何意义、连续、极限概念,闭域性质 理解偏导数、全微分概念 能熟练求偏导数、全微分

    熟练掌握复合函数与隐函数求导法

    理解多元函数极值的求法,会用Lagrange乘数法求极值 掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法 会求平面、直线方程与点线距离、点面距离 2.多元函数微分

    3.多元微分应用 4.空间解析几何

    二、题型与解法 A.求偏导、全微分

    1.f(x)有二阶连续偏导,zf(exsiny)满足zxxzyyez,求

    ''''2xf(x)

    解:f''f0f(u)c1euc2eu

    12z2.zf(xy)y(xy),求

    xxy3.yy(x),zz(x)由zxf(xy),F(x,y,z)0决定,求dz/dx

    B.空间几何问题

    4.求和。 解:x/2xyza上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之

    x0y/y0z/z0ada

    225.曲面x2y3z21在点(1,2,2)处的法线方程。

    C.极值问题

    2226.设zz(x,y)是由x6xy10y2yzz180确定的函数,求zz(x,y)的极值点与极值。

    三、补充习题(作业)

    xy2z1.zf(xy,)g(),求

    yxxy2.zf(xy,xyzg()),求 yxx3.zu,ulnxy,arctan22y,求dz

    x第五讲 多元函数的积分

    一、理论要求 1.重积分

    2.曲线积分

    3.曲面积分

    二、题型与解法 A.重积分计算 熟悉

    二、三重积分的计算方法(直角、极、柱、球)

    b2(x)f(x,y)dxdyadxyy1(x)f(x,y)dy D2r2()1dr1()f(r,)rdrby2(x)z2(x,y)adxy1(x)dyz1(x,y)f(x,y,z)dzf(x,y,z)dxdydzVz2z1dz2(z)r2(z,)1(z)dr1(z,)f(r,,z)rdr 2()r2(,),)r2d1()dr1(,)f(r,sindr会用重积分解决简单几何物理问题(体积、曲面面积、重心、转动惯量)zf(x,y)A1z'22Dxz'ydxdy

    理解两类曲线积分的概念、性质、关系,掌握两类曲线积分的计算方法

    L:yy(x)bf(x,y(x))1y'2axdxLf(x,y)dlL:xx(t)yy(t)f(x(t),y(t))x'2ty'2tdt

    L:rr()f(rcos,rsin)r2r'2d熟悉Green公式,会用平面曲线积分与路径无关的条件

    理解两类曲面积分的概念(质量、通量)、关系 熟悉Gauss与Stokes公式,会计算两类曲面积分

    S:zz(x,y)f(x,y,z)dSf(x,y,z(x,y))1z'22xz'ydxdyGauss:DxySEdSEdV(通量,散度) Stokes:VLFdrS(F)dS(旋度)22y21.I(xy)dV,为平面曲线2z0绕z轴旋转一周与z=8

    x的围域。 解:I822822z0dzx2y22z(xy)dxdy0dz0d0r2rdr10243

    2.Ix2y24a2x2y22Ddxdy,D为yaa2x2(a0)与yx围域。(Ia(21) 162x2y,1x2,0yx3.f(x,y),

    0,其他求

    Df(x,y)dxdy,D:x2y22x

    (49/20) B.曲线、曲面积分 4.I(exsinyb(xy))dx(excosyax)dy

    L L从A(2a,0)沿y2axx2至O(0,0)

    解:令L1从O沿y0至A

    ILL1(ba)dxdy(bx)dx(L1D02a22)a2b2a3

    5.IxdyydxL4x2y2,L为以(1,0)为中心,R(1)为半径的圆周正向。

    解:取包含(0,0)的正向L1:

    2xrcos,

    yrsinLLL1LL10L1

    6.对空间x>0内任意光滑有向闭曲面S, Sxf(x)dydzxyf(x)dzdxe2xzdxdy0,且f(x)在x>0有连续一

    x0阶导数,limf(x)1,求f(x)。

    0FdSFdV(f(x)xf'(x)xf(x)e2x)dV 解:

    s112xexx(e1)

    y'(1)yeyxxx第七讲 无穷级数

    一、理论要求

    1.收敛性判别 级数敛散性质与必要条件

    常数项级数、几何级数、p级数敛散条件 正项级数的比较、比值、根式判别法 2.幂级数

    3.Fourier级数 交错级数判别法

    幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法

    幂级数在收敛区间的基本性质(和函数连续、逐项微积分) Taylor与Maclaulin展开

    了解Fourier级数概念与Dirichlet收敛定理 会求[l,l]的Fourier级数与[0,l]正余弦级数

    篇一:高数下册总结

    高数(下)小结

    一、微分方程复习要点

    解微分方程时,先要判断一下方程是属于什么类型,然后按所属类型的相应解法 求出其通解. 一阶微分方程的解法小结:

    二阶微分方程的解法小结:

    非齐次方程y???py??qy?f(x)的特解y?

    主要: 量方程、线性微分方程的求解;

    2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解;

    二、多元函数微分学复习要点

    1、显函数的偏导数的求法 在求

    ?z?x 量,对x求导,在求

    ?z?y 量,对y求导,所运

    求导法则与求导公式. 2数的求法

    u???x,y?,v???x,y?,则

    ?z?x ?z?u ?u?x ?z?v ?v?x ?z?y ?

    的形式为:

    一阶

    1、可分离变、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

    一、偏导数的求法 时,应将y看作常时,应将x看作常用的是一元函数的、复合函数的偏导设z?f?u,v?,, 3 ?z?u ? ?u?y ? ?z?v ? ?v?y 几种特殊情况:

    1u???x?,v???x?,则2)z?f?x,v?,v???x,y?,则

    ?z?x dzdx???f?vdzdu???u?x ??z?v ?dvdx ?v?y ? ?f?x ?v?x ?z?y ? ?f?u ? 3则

    3、隐函数求偏导数的求法 1)一个方程的情况

    ?z?x ? dzdu ? ?u?x ?z?y ? dzdu ? ?u?y 设z?z?x,y?是由方程f?x,y,z??0唯一确定的隐函数,则

    ?z?x fxfz ??

    )z?f?u,v?,, )z?f?u?,u???x,y?, ?fz ?0?, ?z?y ?? fyfz ?fz ?0? 或者视z?z?x,y?,由方程f?x,y,z??0两边同时对x(或y)求导解出

    2)方程组的情况 ?z?x (或 ?z?y ). ?f?x,y,u,v??0?z?z )即可. 由方程组?两边同时对x(或y)求导解出(或

    ?x?y??gx,y,u,v?0?

    二、全微分的求法 方法1:利用公式du? ?u?x dx? ?u?y dy? ?u?z dz 方法2:直接两边同时求微分,解出du即可.其中要注意应用微分形式的不变性:

    ??z du???u? dz?? ?z?dx??x?? ?z?v?z?y dv dy

    三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法

    ?x???t? ? 1)设空间曲线г的参数方程为 ?y???t?,则当t?t0时,在曲线上对应点 ?z???t??p0?x0,y0 ? ,z0?处的切线方向向量为t???t0?,? ?

    ?t0?,??t0??,切线方程为

    x?x0 ??t0? ? y?y0 ? ?t0? ? z?z0 ? ?t0?

    法平面方程为 ??t0??x?x0t0??y?y0t0??z?z0??0 2)若曲面?的方程为f? x,y,z??0,则在点p0?x0,y0,z0?处的法向量

    ?n? ?f x ,fy,fz ? p0 ,切平面方程为

    fx?x0,y0,z0??x?x0??fy?x0,y0,z0??y?y0??fz?x0,y0,z0??z?z0??0 法线方程为 x?x0 fx?x0,y0,z0? ? y?y0 fy?x0,y0,z0? ? z?z0 fz?x0,y0,z0? 若曲面?的方程为z?f?x,y?,则在点p0?x0,y0,z0?处的法向量

    ? n??fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?,切平面方程为

    fx?x0,y0??x?x0??fy?x0,y0??y?y0???z?z0??0 法线方程为

    x?x0fx?x0,y0? ? y?y0fy?x0,y0? ?z?z0?1

    四、多元函数极值(最值)的求法 1 无条件极值的求法

    在点p0?x0,y0?的某邻域内具有二阶连续偏导数,由fx?x,y??0, fy ?x,y??0点? x0,y0 ? a?fxx ?x0 ,y0 ? b?fxy ?x0 ,y0 ? c?fyy ?x0,y0?. 2 c?b1 ?x ,y?取得极值,且当a?0时有极大值,当a?0 2则f?x,y?在点?x0,y0?处无极值. 3) 若ac?b 2 ?0 ?x ,y?是否取得极值.

    设函数z?f?x,y?,解出驻,记 , , )若a?0,则f 在点?x0,y0?处时有极小值.

    ) 若ac?b2?0,,不能判定f 在点?x0,y0?处 2 条件极值的求法

    函数z?f?x,y?在满足条件??x,y??0下极值的方法如下:

    1)化为无条件极值:若能从条件??x,y??0解出y代入f?x,y?中,则使函数z?z(x,y)成为一元函数无条件的极值问题. 2)拉格朗日乘数法

    作辅助函数f?x,y??f?x,y?x,y?,其中?为参数,解方程组

    篇二:高数下册总结(同济第六版) 高数(下)小结

    一、微分方程复习要点

    解微分方程时,先要判断一下方程是属于什么类型,然后按所属类型的相应解法 求出其通解. 一阶微分方程的解法小结:

    二阶微分方程的解法小结:

    ? 非齐次方程y???py??qy?f(x)的特解y的形式为:

    主要: 一阶

    1、可分离变量方程、线性微分方程的求解;

    2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解;

    3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

    二、多元函数微分学复习要点

    一、偏导数的求法

    1、显函数的偏导数的求法 在求

    ?z?z时,应将y看作常量,对x求导,在求时,应将x看作常量,对y求导,所运?x?y 用的是一元函数的求导法则与求导公式.

    2、复合函数的偏导数的求法

    设z?f?u,v?,u???x,y?,v???x,y?,则

    ?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v , ?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y 几种特殊情况: 1)z?f?u,v?,u???x?,v???x?,则2)z?f dzdz?u?zdv dxdu?x?vdx?f?v ?x,v?则?x??x??v??x,

    ?z?f ?z?f?v?? ?y?u?y 3则

    3、隐函数求偏导数的求法 1)一个方程的情况

    ?zdz?u?zdz?u, ?xdu?x?ydu?y 方程f?x,y,z??0唯一确定的隐函数,则

    f?z ??x ?xfz ?fz ?z ?0? ?y fyfz ?fz ?0? 或者视z?z?x,y?,由方程f?x,y,z??0两边同时对x(或y)求导解出 2由方程组? ?z?z( ?f?x,y,u,v??0?z?z 求导解出(或)即可. ?x?y?g?x,y,u,v??0 方法1:利用公式du? ?u?u?u

    ,v???x,y?,)z?f?u?,u???x,y?设z?z?x,y?是由, ?? )方程组的情况 或). ?x?y 两边同时对x(或y)

    二、全微分的求法 dx?dy?dz ?x?y?z 方法2:直接两边同时求微分,解出du即可.其中要注意应用微分形式的不变性:

    ?z??z du?dv??v??u dz?? ?z?z?dx?dy ?y???x

    三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法

    ?x???t? ? 1)设空间曲线г的参数方程为 ?y???t?,则当t?t0时,在曲线上对应点

    ?z???t?? ? p0?x0,y0,z0?处的切线方向向量为t???t0?,??t0?,??t0?,切线方程为

    ?? x?x0y?y0z?z0 ?? ?t0?t0?t0法平面方程为 ??t0??x?x0t0??y?y0t0??z?z0??0 2)若曲面?的方程为f?x,y,z??0,则在点p0?x0,y0,z0?处的法向量

    ? n??fx,fy,fz? p0 ,切平面方程为

    fx?x0,y0,z0??x?x0??fy?x0,y0,z0??y?y0??fz?x0,y0,z0??z?z0??0 法线方程为

    x?x0y?y0z?z0 ?? fxx0,y0,z0fyx0,y0,z0fzx0,y0,z0 若曲面?的方程为z?f?x,y?,则在点p0?x0,y0,z0?处的法向量

    ? n??fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?,切平面方程为

    fx?x0,y0??x?x0??fy?x0,y0??y?y0???z?z0??0 法线方程为

    x?x0y?y0z?z0 ?? fxx0,y0fyx0,y0?1

    四、多元函数极值(最值)的求法 1 无条件极值的求法

    设函数z?f?x,y?在点p0?x0,y0?的某邻域内具有二阶连续偏导数,由fx?x,y??0,

    fy?x,y??0,解出驻点?x0,y0? ,记a?fxx?x0,y0?,b?fxy?x0,y0?,

    c?fyy?x0,y0?. c?b1)若a 时有极小值. 2) 若ac?b2?0,则f?x,y?在点?x0,y0?处无极值. 3) 若ac?b?0,不能判定f?x,y?在点?x0,y0?处是否取得极值. 2 2 ?0,则f?x,y?在点?x0,y0?处取得极值,且当a?0时有极大值,当a?0 2 条件极值的求法

    函数z?f?x,y?在满足条件??x,y??0下极值的方法如下:

    1)化为无条件极值:若能从条件??x,y??0解出y代入f?x,y?中,则使函数z?z(x,y)成为一元函数无条件的极值问题. 2)拉格朗日乘数法

    作辅助函数f?x,y??f?x,y?x,y?,其中?为参数,解方程组 篇三:高数下册公式总结

    第八章 向量与解析几何

    第十章 重积分

    第十一章曲线积分与曲面积分

    篇四:高数下册积分方法总结

    积分方法大盘点

    现把我们学了的积分方法做个大总结。

    1、二重积分

    1.1 x型区域上二重积分(必须的基本方法)

    (1)后x先y积分,d往x轴上的投影得区间[a,b]; (2)x [a,b],x=x截d得截线y1(x)#yy2(x)(小y边界y=y1(x) 大y边界y=y2(x));

    (3)b y(x)蝌f(x,y)dxdy= 蝌dx 2f(x,y)dya yd 1(x) 1.2 y型区域上二重积分(必须的基本方法)

    (1)后y先x积分,d往y轴上的投影得区间[c,d]; (2)y [c,d],y=y截d得截线x1(y)#xx2(y)(小x边界x=x1(y) 大x边界x=x2(y));

    (3)d x蝌f(x,y)dxdy= 蝌dy 2(y)f(x,y)dxc x d 1(y) 1.2 极坐标二重积分(为简单的方法)

    (1)总是后q先r积分; (2)b r蝌f(x,y)ds= 蝌dq 2(q)f(rcosq,rsinq)rdra r(q) d 1其中,在d上a是最小的q,b是最大的q;q [a,b],射线q=q截d得截线r1(q)#r r2(q)(小r边界r=r1(q)大r边界r=r2(q))。用坐标关系

    x=rcosq,y=rsinq和面积元素ds=dxdy=rdqdr代入(多一个因子r)。

    当积分区域d的边界有圆弧,或被积函数有x2+y2 时,用极坐标计算二重

    积分特别简单。

    离 散

    数 学

    2、三重积分 2.1 二套一方法(必须的基本方法) (1)几何准备

    (i) 将积分区域w投影到xoy面,得投影区域dxy;

    (ii) 以dxy的边界曲线为准线,作一个母线平行于z轴的柱面.柱面将闭区域w的边界曲面分割为上、下两片曲面s2:z=z2(x,y()大z边界);

    s 1 :z=z1(x,y()小z边界)

    ((x,y) dxy,过(x,y)点平行于z轴的直线截w得截线z1(x,y)#z z2(x,y))

    ; (2)z蝌蝌 f(x,y,z)dxdydz=蝌

    dxdy2(x,y)f(x,y,z)dzz。

    w d1(x,y) xy 还有两种(w往xoz或yoz面投影)类似的二套一方法(举一反三)。 2.2 一套二方法(为简单的方法) (1)几何准备

    (i)把w往z投影得轾犏臌 c,d; (ii)任意给定z?轾犏臌

    c,d,用平面z=z截w得截面(与z有关)dz; (2)d蝌蝌

    f(x,y,z)dxdydz=dz f(x,y,z)dxdy, c 蝌 w dz 还有两种(w往x或y轴投影)类似的一套二方法(举一反三)。 2.3 柱面坐标计算三重积分(为简单的方法)

    (1)把积分写成二套一zx,y)蝌蝌

    f(x,y,z)dxdydz=蝌

    dxdy2(f(x,y,z)dzz,y) w d1(xxy (2)用极坐标计算外层的二重积分

    z蝌蝌f(x,y,z)dv= 蝌

    dxdy2(x,y)f(x,y,z)dz zw d1(x,y) xyb r2(q)zrcosq,rsinq) = 蝌dqrdr f(rcosq,rsinq,z)dz a r 2(1(q) z 1 (rcosq,rsinq) (注意:里层的上下限也要用x=rcosq,y=rsinq代入)。(当用极坐标计算

    外层二重积分简单时。)

    还有两种(w往xoz或yoz面投影的二套一)类似的极坐标计算方法(举

    第1章

    集 合

    离 散

    数 学

    2.3 三重积分(为简单的方法)

    x=rcosqsinjy,=rsiqn sjinz=,r jc dv=dxdydz=r 2 sinjdrdqdj个因子r 2 sinj

    f(rcosqsinj,rsinqsinj,rcosj)r 2 sinjdrdqdj w w 下限变成三次积分(总是先r后j最后q积分)

    f(x,y,z)dvw b jr dq2(q)dj 2(q,j)

    一反三)。

    球面坐标计算(1)用坐标关系和o体积元素 (多一)代入

    蝌蝌f(x,y,z)dv=; (2)三种情况定上蝌

    =蝌f(rcosqsinj,rsinqsinj,rcosj)r 2 sinjdr a j 1(q) r 1 (q,j) 当w是课堂讲的三种情况或被积函数有x2+y2+z2时用球面坐标计算简单。 第1章

    集 合

    3曲线积分 3.1 平面情形

    (1)准备 ?l:?x=x(t), ?y=y(t)(t?[a,b])ds=

    ?? ,f(x,y)ds= f(x(t),y(tt l a l:?l:y=y(x)(x [a,b])时用x作?í

    x=x ?(x?[a,b])当??y=y(x)ì?l:x= x(y)( y [c,数l:?í

    x=x(y) ??? y=y(y?[c,d])3.2 空间情形

    、第一类对弧长的ì

    í

    ,(2)代入b蝌。 ì

    当参数;时用d]y作参。 ì??x=x(t)

    (1)准备 l:? ? íy=y(t)(t [a,b? ]),ds=

    z=z(t)蝌f(x,y,z)ds= f(x(t),y(t),z(tt l a y=y(x)??x=x ?(x?[a,b])作参数l:?x)x( ab[,;??z=z(x)í?y=y( ] ?? z=z(x) l:?? x=x(y) ?z=z(y(y?[c,d])时用y作参数

    l:?? )? y=y(y [c,d]) z=z(y)ì?x=x(??x=x(z) l:? z) ?(z?[c,d])作参数l:??í?? y=y(z)? y=y(z)(z [c,d])。 z=z 间的特例。

    篇五:高数下册复习知识点总结

    下册复习知识点总结:

    (2)代入b。ìì 当l:???í时用x当?? ìì??x=x(y) í í?? ;当 ìí 时用z平面是空高数 8空间解析几乎与向量代数

    1. 给定向量的坐标表达式,如何表示单位向量、方向数与方向余弦、投影。

    2. 向量的数量积、向量积的定义式与坐标式,掌握两个向量垂直和平行的条件。 3. 了解常用二次曲面的方程及其图形,以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程。空间曲线在坐标平面上的投影方程。

    4. 平面方程和直线方程及其求法。

    5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角,利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。

    6. 点到直线以及点到平面的距离。

    9 多元函数微分法及其应用

    1. 有关偏导数和全微分的求解方法,偏导要求求到二阶。

    2. 复合函数的链式法则,隐函数求导公式和方法。

    3. 空间曲线的切线和法平面方程,空间曲面的切平面与法线方程;函数沿着一条直线的方向导数与梯度。 4. 利用充分条件判断函数的极值问题;利用拉格朗日乘子法(即条件极值)分析实际问题或给定函数的最值问题。

    10 重积分

    1. 二重积分直角坐标交换积分次序;选择合适的坐标系计算二重积分。

    2. 选择合适的坐标系计算三重积分。

    3. 利用二重积分计算曲面的面积;利用三重积分计算立体体积;

    4. 利用质心和转动惯量公式求解问题。

    11曲面积分与曲线积分

    1. 两类曲线积分的计算与联系;

    2. 两类曲面积分的计算与联系;

    3. 格林公式和高斯公式的应用。

    高数同济版下 高数(下)小结

    一、微分方程复习要点

    解微分方程时,先要判断一下方程是属于什么类型,然后按所属类型的相应解法 求出其通解. 一阶

    微分方程的解法小结:

    高数同济版下 二阶微分方程的解法小结:

    非齐次方程的特解的形式为:

    高数同济版下 主要 一阶

    1、可分离变量方程、线性微分方程的求解;

    2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解;

    3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

    二、多元函数微分学复习要点

    一、偏导数的求法

    1、显函数的偏导数的求法 时,应将看作常量,对求导,在求时,应将看作常量,对求导,所运 用的是一元函数的求导法则与求导公式

    2、复合函数的偏导数的求法 设,,,则 , 几种特殊情况: 1),,,则2) ,,则 3),则

    3、隐函数求偏导数的求法 1)一个方程的情况 , 设是由方程唯一确定的隐函数,则 ,

    高数同济版下 或者视,由方程两边同时对 2)方程组的情况 由方程组 . 两边同时对求导解出即可

    二、全微分的求法 方法1:利用公式 方法2:直接两边同时求微分,解出即可.其中要注意应用微分形式的不变性:

    三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法 1)设空间曲线Г的参数方程为 ,则当时,在曲线上对应 处的切线方向向量为,切线方程为 法平面方程为 2)若曲面的方程为,则在点处的法向 ,切平面方程为 法线方程为 高数同济版下 若曲面的方程为,则在点处的法向 ,切平面方程为 法线方程为

    四、多元函数极值(最值)的求法 1 无条件极值的求法 设函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数,由 ,解出驻点 ,记, 1)若 时有极小值 2) 若,则在点处无极值 3) 若,不能判定在点处是否取得极值 ,则在点处取得极值,且当时有极大值,当 2 条件极值的求法 函数在满足条件下极值的方法如下: 1)化为无条件极值:若能从条件解出代入中,则使函数成为一元函数无条件的极值问题 2)拉格朗日乘数法 作辅助函数,其中为参数,解方程组 高数同济版下 求出驻点坐标,则驻点可能是条件极值点 3 最大值与最小值的求法 若多元函数在闭区域上连续,求出函数在区域内部的驻点,计算出在这些点处的函数值,并与区域的边界上的最大(最小)值比较,最大(最小)者,就是最大(最小)值. 主要

    1、偏导数的求法与全微分的求法;

    2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法

    3、最大值与最小值的求法

    三、多元函数积分学复习要点 七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示:

    高数同济版下 高数同济版下 *定积分的几何应用 定积分应用的常用公式: (1)面积 (2)体积 (型区域的面积) (横截面面积已知的立体体积) (所围图形绕 的立体体积) (所围图形绕 体体积) (所围图形绕轴 的立体体积)

    综述:高数下册,共有如下几类积分:二重积分,三重积分,第一类线积分,第二类线积分,第一类面积分,第二类面积分。其中,除线积分外,个人认为,拿到题后,首先应用对称性把运算简化,线积分的对称性,不太常用,可以参照面积分的对称性,将积分曲面换成积分曲线即可,恕不赘述。另外要注意线积分和面积分的方向性,线积分以逆时针为正方向,面积分以坐标轴正向为正方向。 二重积分 对称性:

    积分区间D关于X轴对称:被积函数是关于Y的奇函数,则结果为0:

    被积函数是关于Y的偶函数,则结果为在一半区间上积分的2倍 方法:分别对x、y积分,将其中一个变量写成另一个的表达形式||极坐标换元 三重积分 对称性:

    积分区间Ω关于xy面对称:被积函数是关于z的奇函数,则结果为0;

    被积函数是关于z的偶函数,则结果为在一半区间上积分的2倍 方法:先重后单||先单后重(极坐标)||柱坐标||球坐标

    第一类线积分

    x,y,z型:具有关于参数t的表达试,用基本公式,转化成关于t的积分

    x,y型:排除上一种条件的话,通常将y表示为关于x的函数,转化成关于x的积分

    第二类线积分 方法:

    1、用曲线的切线的方向角余弦,转化成第一类线积分

    2、有参数t,可以转化成关于t的积分

    3、将y表示为关于x的函数,转化成关于x的积分

    4、封闭曲线,通常自己构造,可采用格林公式转化为二重积分 另:注意与路径无关的积分

    第一类面积分 对称性:

    积分曲面关于XY面对称:被积函数是关于z的奇函数,则结果为0:

    被积函数是关于z的偶函数,则结果为在一半曲面上积分的2倍

    计算方法:常规的话,只有一种,转化为关于x或y或z的积分。详见书本上的公式。

    第二类面积分 对称性:

    积分曲面关于XY面对称:被积函数是关于z的偶函数,则结果为0:

    被积函数是关于z的奇函数,则结果为在一半曲面上积分的2倍 (注意区别于第一类) 计算方法:

    1、用曲面的切线的方向角余弦,转化成第一类面积分

    2、转化为二重积分,直接在前面添正负号即可

    3、封闭曲面,可以用高斯公式,转化为三重积分,一般封闭曲面都是人为构造的,所以注意减掉构造面,并注意方向

    4、斯托克斯公式,转化为第二类线积分,不常用

    PS:用函数表达式,可以化简线面积分的被积函数,另有积分相关考点,旋度,散度,质量,质心,转动惯量,求曲面侧面面积,顶面面积,曲顶柱体体积~~~多多复习,牢记公式,一定可以渡过积分这个难关~

    高等数学下册公式总结

    1、N维空间中两点之间的距离公式:p(x1,x2,...,xn),Q(y1,y2,...,yn)的距离

    PQ(x1y1)2(x2y2)2...(xnyn)2

    2、多元函数zf(x,y)求偏导时,对谁求偏导,就意味着其它的变量都暂时

    看作常量。比如,就可以了。 z表示对x求偏导,计算时把y 当作常量,只对x求导 x2z2z

    3、二阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关,即。 xyyx

    4、多元函数zf(x,y)的全微分公式: dzzzdxdy。 xy

    5、复合函数zf(u,v),u(t),v(t),其导数公式:

    dzzduzdv。 dtudtvdtFXdy,Fy分别表示对x,y

    6、隐函数F(x,y)=0的求导公式: ,其中FxdXFy求偏导数。

    方程组的情形:{F(x,y,u,v)0的各个偏导数是: G(x,y,u,v)0FFxvGGuvxv,xxFFuvGGuvFFuxGGuux,yFFuvGGuvFFyvGGyvFFuvGGuv,

    v。 yFFuvGGuvFFyuGGuy

    7、曲线的参数方程是:x(t),y(t),z(t),则该曲线过点

    M(x0,y0,z0)的法平面方程是:

    (t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0

    切线方程是:(xx0)(yy0)(zz0)。 (t0)(t0)(t0)

    8、曲面方程F(x,y,z)=0在点M(x0,y0,z0)处的 法线方程是: (xx0)(yy0)(zz0), FxFyFz(xx0)Fy(yy0)Fz(zz0)0。 切平面方程是:Fx

    9、求多元函数z=f(x , y)极值步骤:

    第一步:求出函数对x , y 的偏导数,并求出各个偏导数为零时的对应的x,y的值 第二步:求出fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)C

    第三步:判断AC-B2的符号,若AC-B2大于零,则存在极值,且当A小于零是极大值,当A大于零是极小值;若AC-B2小于零则无极值;若AC-B2等于零则无法判断

    10、二重积分的性质: (1)(2)(3) kf(x,y)dkf(x,y)d

    DD[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)d

    DDDDD1D2f(x,y)df(x,y)df(x,y)d

    (4)若f(x,y)g(x,y),则(5)

    f(x,y)dg(x,y)d

    DDds,其中s为积分区域D的面积

    D(6)mf(x,y)M,则ms(7)积分中值定理:

    f(x,y)dMs

    Df(x,y)dsf(,),其中(,)是区域D中的点

    DdP2(y)

    11、双重积分总可以化简为二次积分(先对y,后对x的积分或先对x,后对y的积分形式)bP2(x)f(x,y)ddxDaP1(x)f(x,y)dydycP1(y)f(x,y)dx,有的积分可以随意选择积分次序,但是做题的复杂性会出现不同,这时选择积分次序就比较重要,主要依据通过积分区域和被积函数来确定

    12、双重积分转化为二次积分进行运算时,对谁积分,就把另外的变量都看成常量,可以按照求一元函数定积分的方法进行求解,包括凑微分、换元、分步等方法

    13、曲线、曲面积分:

    (1)对弧长的曲线积分的计算方法:设函数f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为x(t)y(t),(t),则

    Lf(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt

    (2)格林公式:(DQP)dxdyPdxQdy xyLL

    14、向量的加法与数乘运算:a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),则有ka(kx1,ky1,kz1), xyzab(x1x2,y1y2,z1z2),若ab,则111

    x2y2z2

    15、向量的模、数量积、向量积:若a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),则向量a的模长222ax1y1z1;数量积(向量之间可以交换顺序,其结果是一个数值)ab=

    bax1x2y1y2z1z2=baabcosa,b,其中a,b表示向量b,a的夹角,且若ab,则有ab=0;向量积(向量之间不可以交换顺序,其结果仍是一个向量)ijkabx1y1z1(y1z2y2z1)i(x2z1x1z2)j(x1y2x2y1)k,其中i,j,k是x轴、x2y2z2y轴、z轴的方向向量

    16、常数项无穷级数unu1u2u3...un...,令snu1u2u3...un称为无n1穷级数的部分和,若limsns,则称改级数收敛,否则称其为发散的。其中关于无穷级数x的一个必要非充分地定理是:若un收敛,则必有limun0

    n1x

    17、三种特殊的无穷级数: (1)调和级数1是发散的,无须证明就可以直接引用 n1nn(2)几何级数aq,当q1时收敛,当q1时发散

    n1(3)p级数1,当p1时收敛,当p1时发散 pn1nn1

    18、正项级数un的判敛方法:

    (1)比较判敛法:若存在两个正项级数un,vn,且有vnun,若un收敛,则vn收

    n1n1敛;若vn发散,则un发散

    (2)比较判敛法的极限形式:若limunl,(l0),则un和vn具有相同的敛散性

    xvnun1l,若l1,则原级数收敛,若l1,则原级

    xun(3)比值判敛法:对于un, limn1数发散

    19、交错级数(1)n1n1un的判敛方法:同时满足unun1及limun0,则级数收敛,否

    x则原级数发散

    20、绝对收敛和条件收敛:对于un,若un收敛,则称其绝对收敛;若un发散,

    n1n

    1n1

    

    但是un收敛,则称其条件收敛

    n1

    21、函数项无穷级数形如:un(x)u1(x)u2(x)u3(x)...un(x)...,通常讨论的是

    n1幂级数形如:anxa0a1xa2xa3x...anx...,

    n0n23n(1)收敛半径及收敛区间:liman11,则收敛半径R,收敛区间则为(R,R),但

    xan是要注意的是,收敛区间的端点是否收敛需要用常数项级数判敛方法验证

    (2n1)xnn-1x(2)几种常见函数的幂级数展开式:e,sinx,(-1)n0n!n1(2n1)!x11x2nnx,(1)nxn ,cosx(1)n01xn0(2n)!1xn0n

    22、常微分方程的类型及解题方法:

    (1)可分离变量的微分方程:yf(x,y),总是可以分离变量化简为式,然后等式两边同时积分,即可求出所需的解

    (2)齐次方程:yf(x,y),不同的是,等式右端的式子总是可以化简为f()的形式,令

    dydx的形f(y)f(x)yxyu,则原方程化简为可分离变量方程形式uxuf(u)来求解 x(3)一阶线性微分方程:形如yp(x)yf(x)的方程,求解时首先求出该方程对应的齐次方程yp(x)y0的解ycQ(x),然后使用常熟变易法,令cu(x),把原方程的解yu(x)Q(x)带入原方程,求出u(x),再带入yu(x)Q(x)中,即求出所需的解

    (4)全微分方程:形如p(x,y)dxQ(x,y)dy0的方程,只要满足

    xyp(x,y)Q(x,y),yx则称其为全微分方程,其解为u0p(x,y)dxQ(x,y)dy

    0(5)二阶微分方程的可降阶的三种微分方程:

    第一种:yf(x)的形式,只需对方程连续两次积分就可以求出方程的解

    第二种:yf(x,y)的形式,首先令yz,则原方程降阶为可分离变量的一阶微分方程zf(x,z)的形式,继续求解即可

    第三种:yf(y,y)的形式,同样令yz,由于yzdzdzdydzy,所以dxdydxdy原方程转化为一阶微分方程

    dzzf(y,z)的形式,继续求解即可 dy(6)二阶常系数齐次微分方程:ypyqy0,求解时首先求出该方程对应的特征方

    r1x程r2prq0的解r1,r2,若实根rc2er2x;若实根r1r2,则解1r2,则解为yc1e为y(c1c2x)e1;若为虚根abi,则解为yeax(c1cosbxc2sinbx)

    rx(8)二阶常系数非齐次微分方程:ypyqyPm(x)e,求解时先按(7)的方法求其rx对应的齐次微分方程的通解y1,然后设出原方程的特解y=xQm(x)erx,其中Qm(x)是和P含有相应的未知系数,而k根据特征方程的解r1,r2与r的关系取值,m(x)同次的多项式,若r与特征根不相等,则k取0;若r和一个特征根相等,则k取1;若r和特征根都相等,则k取2,将特解代入原方程求出相应的未知系数,最终原方程的解即通解加上特解,即

    kyy1y

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  • 考研高数总结

    2020-06-18 20:11:15
    现在6月了,回忆了一下自己考研学习高数过程中的印象深刻的点,可能记得不清楚了,很多点也忘了。 1.无穷级数,判断级数敛散难;级数求和还好,方法比较固定。 2.判断某函数是否连续,可导,可微分,有方向导数,...

    现在6月了,回忆了一下自己考研学习高数过程中的印象深刻的点,可能记得不清楚了,很多点也忘了。
    1.无穷级数,判断级数敛散难;级数求和还好,方法比较固定。
    2.判断某函数是否连续,可导,可微分,有方向导数,可以出选择题,较麻烦。还有偏导数、微分、偏导数连续的判断,通过概念,难。
    3.多元函数求极值,看似简单,概念不清可能出问题。是隐函数?复合函数?有无约束条件?求各个偏导还是直接拉格朗日法?
    4.积分中各种奇怪图形的极坐标计算如摆线 心型线,一方面要知道它图形的样子才知道怎么积分,另一方面要能写它的极坐标式。
    5.第一、第二型曲线积分的对称性不一样,不是简单的偶对称就是2倍,要看积分dx、dy中d的是什么,它的方向。
    6.计算积分时,用高斯公式等转换到另外的积分时,要代入边界直接到计算中要看目前是什么积分情况,三重的话不能代入边界等。。。

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  • 专升本高数学习总结——微分

    千次阅读 2017-02-19 16:54:23
    基本概念 可分离变量的微分方程最简单的 一阶线性微分方程 二阶常系数线性微分方程基本式dy = f’(x) • dx y:原函数 f’(x):导函数 x:自变量微分法则y=f(u),u=g(x) y=f[g(x)]的微分为 dy= f’(u)du= f’(u) g’...


    基本式

    dy = f’(x) • dx

    y:原函数
    f’(x):导函数
    x:自变量


    微分法则

    y=f(u),u=g(x)
    y=f[g(x)]的微分为 dy= f’(u)du= f’(u) g’(x)dx
    这里写图片描述


    罗尔定理

    y=f(x)满足下述三个条件
    ①在闭区间[a,b]上连续
    ②在开区间(a,b)内可导
    ③在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b)

    满足罗尔定理则在(a,b)区间内恒有x0使得f’(x0)=0,点x0为函数f(x)的驻点


    拉格朗日中值定理(微分中值定理)

    y=f(x)满足下述两个条件
    ①在闭区间[a,b]上连续
    ②在开区间(a,b)内可导
    那么在(a,b)内至少有一点c(a

    微分方程

    基本概念

    方程中未知函数导数的最高阶数,叫做微分方程的阶
    如果函数f(x)满足一个微分方程,叫做该微分方程的解
    如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解
    当自变量取某值时,要求未知函数及其导数取给定值,这种条件成为初始条件
    满足给定初始条件的解,称为微分方程满足该初始条件的特解


    可分离变量的微分方程(最简单的)

    解题思路
    这里写图片描述


    一阶线性微分方程

    这里写图片描述


    二阶常系数线性微分方程

    二阶常系数线性微分方程,格式为y”+py’+qy=f(x)
    解题思路:
    这里写图片描述

    展开全文
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  • 高数——八种求极限方法总结

    万次阅读 多人点赞 2019-11-20 11:57:51
    极限思想贯穿于高等数学始终,比如导数的概念、定积分的概念、级数的敛散性等都要用到极限的知识。 可以说有高数的地方就有极限,你说重不重要! 下面我们来讲解一下具体求极限方法 1.利用函数的连续性求函数的极限...
  • 高数常考考点总结

    热门讨论 2016-10-16 19:23:36
    3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 5.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的...
  • 对于我而言,高数概念多,证明难,前后知识的联系深,学习起来具有一定难度。故想通过思维导图结合教材与辅导资料来复盘课上内容,以便加深记忆,回顾总结。同时也帮助各位在学习这本书的同学一个纲要。 每一节的...
  • 【本章学习目标】⒈理解二重积分的概念与性质,了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系,会用性质比较二重积分的大小,估计二重积分的取值范围。⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和...
  • 高数向来是考研数学最难的一个要点,它不仅考查内容多,并且考查的角度也深。对于初期备考的考研人来说,更是有很多易混淆点扰乱考生复习时的视线。因此文都教育小编整理了易混淆的概念,在备考初期,这些概念定理...
  • 第一章 函数、极限、连续 §1.1 函数 ...一、函数的概念 1.函数的定义 2.分段函数 3.反函数 4.隐函数 二、基本初等函数的概念、性质和图象 三、复合函数与初等函数 四、考研数学中常出现的非初等函数
  • 高等数学重积分总结第九章 二重积分【本章逻辑框架】【本章学习目标】⒈理解二重积分的概念与性质,了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系,会用性质比较二重积分的大小,估计二重积分的取值范围。...
  • 学习自述:就笔者粗浅的的学习经历来看,大一上学期和大二上学期的数学学习...下学期的多元微积分更加注重基本定义、概念、定理、推论的理解。笔者在刷题上只做了老师布置的作业;不过遇到不会的题目不轻易问别人,...
  • 对于我而言,高数概念多,证明难,前后知识的联系深,学习起来具有一定难度。故想通过思维导图结合教材与辅导资料来复盘课上内容,以便加深记忆,回顾总结。同时也帮助各位在学习这本书的同学一个纲要。 每一节的...
  • 对于理工类方向考研的考生来说,数学是必考的,并且数学还是拉开总分差距的一门,考研数学分为数学一、数学二、数学三,其高等数学分值分别为数一85分、数二116分、数三82分,高等数学占比最高的,那高数的重要知识...
  • 高数求函数极限

    万次阅读 多人点赞 2016-11-29 22:13:30
    在做高数题的时候我们会发现很多题都离不开求极限,有人说:如果高数是一颗数的话,那么极限就是他的根,可见其重要性,下面总结一下求极限的方法。  【知识点】  一、定义:  极限是微积分中的基础概念,它指的...
  • 高数复盘】3.7曲率

    2020-11-15 10:06:43
    对于我而言,高数概念多,证明难,前后知识的联系深,学习起来具有一定难度。故想通过思维导图结合教材与辅导资料来复盘课上内容,以便加深记忆,回顾总结。同时也帮助各位在学习这本书的同学一个纲要。 每一节的...
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空空如也

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高数概念总结