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  • tetradecane:多元微积分——环量、旋度与格林、斯托克斯公式,通量、散度与高斯公式​zhuanlan.zhihu.com1. 电荷电荷(hè音同“贺”,负荷之意),一种物理性质,表示物质带电的情况。电荷有两种电性:正电与负电...

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    学习阶段:大学物理。

    前置知识:基本物理常识、力学、多元微积分。

    tetradecane:多元微积分——环量、旋度与格林、斯托克斯公式,通量、散度与高斯公式zhuanlan.zhihu.com
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    1. 电荷

    电荷(hè音同“贺”,负荷之意),一种物理性质,表示物质带电的情况。

    电荷有两种电性:正电与负电。由于历史原因,人们规定“用丝绸摩擦过的玻璃棒带正电”,然后发现电性只有两种,那么所有电荷都能确定正负了。例如,原子核带正电,电子带负电。人们发现,同种电荷相互排斥,异种电荷相互吸引。

    电荷的量称为电量(符号Q, quantity),单位为库(伦)(符号C, Coulomb)。电量单位的定义式为

    ,即1A的电流在1s内流过的电量称为1C,
    . 其中负电荷记为负数。

    电荷守恒定律:对于一个孤立系统,不论发生什么变化,其中所有电荷的代数和永远保持不变。

    2. 库仑定律

    1785年,库伦通过实验得到库仑定律:对于真空中两个静止点电荷的相互作用电场力(称为库仑力),力的方向沿着它们的连线;同号电荷相斥,异号电荷相吸;力的大小与它们电量的乘积成正比,与它们距离的平方成反比。

    库伦力的大小可用公式表示为

    ,其中
    是静电力常量,大小
    .

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    库仑定律

    这里的

    ,我们之后会用静电场高斯定理来研究。

    3. 静电场

    :物理学术语,指某种空间区域,其中具有一定性质的物体能对与之不相接触的类似物体施加一种力。如引力场、电场、磁场等。

    电荷周围存在电场。电荷和电荷之间有力的作用,这个作用就是依靠电场来传递的。仅由(相对于观察者)静止的电荷产生的电场,称为静电场

    为了具体地度量电场,引入一个试验电荷。试验电荷必须有三个性质:

    1. 正电荷:统一电性。
    2. 点电荷:测量一点的电场。
    3. 电量足够小:不至于影响原电场。

    把试验电荷放在电场中,它会受到一个力的作用,称为电场力。实验证明,电场力的大小

    与试验电荷的电量
    成正比,定义
    电场强度(简称场强
    ,它是矢量,方向和正电荷受到的电场力方向相同,单位为
    . 电场强度遵循矢量叠加规则。

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    试验电荷与电场强度

    在外加电场为

    的地方放置一电量为
    的点电荷,则它受到外加电场的电场力
    .

    在三维空间中,对于一个确定的电场,每一点都对应一个电场强度矢量,可记为函数

    ,这是一个向量场,可以用多元微积分中的场论来研究它。

    4. 电场线

    高中物理提到,可以用电场线来大致描述场强的大小和方向。电场线是一束有向曲线,其疏密表示场强大小(电场线越密则场强越大),其切线方向表示场强方向。

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    部分情况的电场线示例

    静电场的电场线有这些特征:

    • 电场线起始于正电荷或无穷远,终止于负电荷或无穷远,没有电荷处不中断。
    • 两条电场线不会有交点。
    • 电场线不会形成闭合回路。

    电场线还有个更隐蔽的特征:在空间中画出一个闭曲面,考虑穿入与穿出这个闭曲面的电场线条数。①如果这个闭曲面内整体呈电中性,则穿入的条数=穿出的条数;②如果闭曲面内整体呈正电,则穿入的条数<穿出的条数;③如果闭曲面内整体呈负电,则穿入的条数>穿出的条数。如下图所示,红色圈表示情况①,蓝色圈表示情况②。(这个性质是静电场高斯定理的雏形)

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    闭曲面情况

    电场线虽然很直观,但是它不够精确。空间中每一点都存在电场,但显然你不可能画出穿过每一点的电场线。另外,用疏密来表示场强的大小也太模糊了。我们需要借助公式来精确表达以上这些特征。

    5. 电通量

    我们要定义一下电场线的疏密,如下图所示:

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    定义电场线的疏密

    对于某一点,构造一个经过该点且垂直于该点场强的微小平面,设其面积为

    ,设经过该平面的电场线条数为
    ,则
    即可表示该点的
    电场线疏密,可以指定
    . 这里的
    是一个常数,其值越小,则电场线图像越细密。

    现在,我们考虑电场线穿过任意曲面的条数。已知曲面

    ,电场向量场
    和电场线疏密与场强大小的关系式
    ,如何求得通过
    的电场线条数呢?

    有时,电场线会从不同方向穿过这个曲面,不能混为一谈,如下图所示:

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    电场线的穿入与穿出

    一个曲面有两个侧面,先指定其中一侧为正侧。如果电场线从正侧穿出,则记为+号,增加条数;如果电场线从正侧穿入,则记为-号,减少条数。本例中该蓝色曲面的电场线计数为0. 对于闭曲面而言,一般取其外侧为正侧。

    接下来用到积分思想:把曲面

    切成密密麻麻的微小曲面,取极限时,可近似为微小平面,设其面积为
    . 并且,
    有着代表其方向的法向量
    ,我们记
    . 如下图所示:

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    Σ切成dS

    分解为
    ,这里的
    与电场线疏密无关,因为它平行于蓝点的电场方向。根据向量点积的性质,有
    . 我们让
    的朝向和曲面正侧的方向一致,这样电场线计数时的正负情况也被点积所涵盖。注意到

    也就是说积分后的

    表示通过曲面
    电场线计数的常数倍。常数是无所谓的,因此这个
    很重要,称为
    电通量。这个通量的定义和多元微积分中通量的定义是一致的,见如下链接中的章节3.1通量tetradecane:多元微积分——环量、旋度与格林、斯托克斯公式,通量、散度与高斯公式zhuanlan.zhihu.com
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    高中时如果学过磁通量,那正是通量的简单应用。对于匀强电场和平面,有下图的结论:

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    匀强电场穿过平面的电通量

    这与任意电场和曲面中电通量的定义是相容的。

    6. 静电场高斯定理

    有了电通量,我们就可以严格地描述电场的性质了。

    可以证明:真空中,一个闭曲面的电通量,只与其内部包含的电荷量有关,而且与其成正比。这就是静电场高斯定理,用公式表达为

    其中

    是该闭曲面,称为
    高斯面
    内的电荷量总和;
    是个物理常量,称为
    真空介电常数/真空电容率,其值为
    .

    静电场高斯定理的微分形式为

    ,其中
    是散度算符,
    是电荷体密度。

    【希腊字母

    读作“epsilon埃普西隆”。】

    7. 静电场高斯定理的应用

    利用静电场高斯定理和对称性可以快速得到很多优美的结论。以下举几个例子。

    7.1 球形对称带电体

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    球形对称电荷

    设电量

    球形对称地分布在一个带电体上。画一个更大的球面作为高斯面,根据对称性,高斯面上的场强应该处处相等且垂直于高斯面,处处都有
    . 根据静电场高斯定理,有

    即求出了距离球心

    处的场强大小。

    考虑将该球形物体收缩为点电荷,且带电量不变,上述推导没有任何变化。因此球形对称带电体,在体外的性质相当于点电荷。

    如果在距离球心

    处放另一电荷量为
    的点电荷,则它受到的电场力大小为
    ,又根据库仑定律
    ,可得
    ,这就是静电力常量和真空介电常数的等量关系。实际上,静电场高斯定理和库伦定律可以互相推导,两者是等价的。

    7.2 球壳对称带电体

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    球壳对称带电体

    高斯面内电荷量为0,又因为对称,不可能某局部有正通量,某局部有负通量,因此球壳内部的电场恒为0.

    7.3 无限大均匀带电平板

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    无限大均匀带电平板

    设薄板上的电荷面密度为

    ,即单位面积上带电
    . 作一圆柱状的高斯面,根据对称性,圆柱侧面的电通量为0,且圆柱每个底面上的场强相等,两个底面的场强大小相等、方向相反。设圆柱底面面积为
    ,根据静电场高斯定理,有

    因为圆柱体可以任意伸缩,而上述推导过程不变,因此无限大均匀带电平板在两侧产生的电场都是匀强电场,大小为

    ,方向垂直于平板。

    总结

    电量

    ,单位为
    .

    电荷守恒定律:孤立系统的电荷量总和不变。

    库仑定律

    ,其中
    是静电力常量,
    是真空介电常数/真空电容率。同号电荷相斥,异号电荷相吸。

    电场强度

    ,单位为
    ,遵循矢量叠加。电场是向量场。

    电场线方向表示电场强度方向,电场线疏密表示电场强度大小。

    电通量

    ,单位为
    .

    静电场高斯定理:积分形式

    ,微分形式
    . 使用时注意利用对称性。

    无限大均匀带电平板,电荷面密度为

    ,则两侧均是匀强电场,场强大小为
    .
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  • 本来是要继续讲Maxwell 方程的,发现要用到很多向量函数的公式,主要是 Green 公式、Stokes 定理和 Divergence(高斯)定理。三言两语讲不清,干脆单独写1-2篇。希望能对更多的学生理解这些看起来很复杂的公式有所帮助...

    本来是要继续讲Maxwell 方程的,发现要用到很多向量函数的公式,主要是 Green 公式、Stokes 定理和 Divergence(高斯)定理。三言两语讲不清,干脆单独写1-2篇。希望能对更多的学生理解这些看起来很复杂的公式有所帮助。

    再次强调,数学不是小说,光看是不行的。看完了一定要自己推导一遍,不看书,不上网,自己按照文章所说的方法演算一下。

    对严格性要求高的读者可以直接阅读相关数学教材。下面要讲的微分形式的 Stokes 定理在任何一本代数拓扑的书里都可以找到。稍微深一点的数学分析书也可能有。


    先上图,微积分的基本公式,一般院系最后一节的高数,各种微分算子,各式各样的积分(线积分、面积分、二重积分、三重积分等等)纠缠在一起,代表了非数学系学生所学数学的巅峰之作。

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    这里用到的 curl 和 div 两个微分算子是这样定义的。假设 F = ( P, Q, R ) 是一个向量场,那么:

    53061f007bde15459a0cd5cdcab97fb5.png

    0f1b22e6637ea3090f3fc7aa1037fb81.png

    需要记住吗?需要。怎么记住?背公式吗?不需要。

    数学是一门讲逻辑推理的学科,也是一门不断抽象简化的学科。上面这些公式可以浓缩为一个,微分形式的 Stokes 定理

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    fa4b0ddde23786ae4f36abeb84629c61.png 称之为微分形式,81920428c8931205ccdf21ddc73b203c.png 是定向的几何区域。d 是微分算子,1d52c0796e445ec189786818fff3a0bb.png 是边界算子。尖括号代表某种形式的积分(作用)。

    首先这个抽象的Stokes定理更加对称,也更为简洁地揭示了图一里各种公式的共性:一个微分过后的形式在一个区域上的作用等于原来的形式在这个区域边界上的作用。

     数商测试:你觉得上面的公式漂亮吗?美不美?

    接着我们来看几何区域和边界算子。

    几何区域和边界算子

    1d52c0796e445ec189786818fff3a0bb.png 在微积分里是用来代表偏导数的。为什么一个几何区域的边界也用这个符号表示呢?

    微分形式的Stokes定理就告诉你实际上几何区域的边界算子可以看成是微分算子的对偶算子,它就是几何区域的某种意义上的求导。

    4c3b4684667737ee7d8cd10368fc15f9.png 的几何意义很好理解,就是区域81920428c8931205ccdf21ddc73b203c.png 的边界。比如线段的边界就是两个端点,平面区域的边界就是条曲线,三维体的边界就是一个曲面。 

    但要小心的是定向。定理涉及到的几何物体是有方向性的。

    • 曲线的定向是很好理解的,北京到上海和上海到北京就是正好相反的定向。

    • 曲面的定向稍微复杂一点。我们采用法线方向来定向。通俗地讲一般的曲面都有两面(正反或者里外),选定一个作为正方向,这就是曲面的定向。

    • 体的定向就有点抽象,因为“看不到”。简单地讲,每个体也有两个方向:左手坐标系或者右手坐标系。一般我们选右手系作为正向。

    点的定向也没有直观的几何解释。代数上来说可以用正负号 +,- 来表示。

    81920428c8931205ccdf21ddc73b203c.png 和 4c3b4684667737ee7d8cd10368fc15f9.png 都有定向,在Stokes公式里,它们的定向必须协调一致。或者说 4c3b4684667737ee7d8cd10368fc15f9.png 的定向是由81920428c8931205ccdf21ddc73b203c.png 的定向诱导的。抽象的定义太难理解。只要记住具体的例子就可以了。

    • 3维封闭体,右手系定向,其表面的定向是外法线方向。

      115468ae6629c9829cd0dd29da32bde8.png

    • 2维的曲面,法线方向和边界曲线的方向遵守右手法则。对平面而言,法线方向是朝上,边界曲线的方向就是逆时针方向。如果平面区域还包括洞,洞的边界是顺时针(为什么?)

    6cd229a17b887907f55e5b66554c8422.png

    • 1维的曲线,给了方向后,两个端点的方向(就是 +,- 号了)取决于曲线的方向是进还是出。如果是北京到上海的高铁线,那么上海这个点就是 + 号,北京就是 - 号。

    微分形式和外微分

    比较难讲清楚的是微分形式 fa4b0ddde23786ae4f36abeb84629c61.png 和其外微分 a8fcceb0cd8e790f945528142a572faf.png。我们不追求严格性和一般性,只是给出一些易于操作的法则。

    微分形式 fa4b0ddde23786ae4f36abeb84629c61.png 就是 dx, dy, dz 及其外积的线性组合。

    • 1-form:dx, dy, dz。在3维空间中,1形式长这样 P dx + Q dy + R dz. 其中系数 (P,Q,R) 形成了一个向量场。

    • 2-form:dxdy, dydz, dzdx. 在3维空间中,2形式长这样 P dxdy + Q dydz + R dzdx. 同样的 (P,Q,R) 形成了一个向量场。

    • 3-form: 3维空间的3形式:f dxdydz. 其中 f 是一个空间上的函数。

    这里微分形式的维数取决于有几个d。注意上面的公式是3维空间的。换成 2 维空间就有些不一样(建议读者自行写出 R^2 的几种微分形式)。

    细心的读者可能会问:为什么没有 dydx 呢? 其实也有的,只是微分形式遵守反对称准则 dydx  = - dxdy. 这样就可以只用 dxdy来表示了。 

    为什么是反对称?微分形式也是有几何意义的。要讲清楚有点复杂。2-form 作用在切空间中的两个切向量时代表这两个向量张成的平行四边形的有向面积。为了简化解释,我们省略了外积符号, dxdy 更严格一点是 dx ^ dy。这个乘积和通常乘积最大的不同就是反对称性。

     数商测试:有0-form吗?3维空间里有4-形式吗?

    a8fcceb0cd8e790f945528142a572faf.png 就是对某个微分形式求导,不同维度的微分形式,具体求导的形式不同。还有点绕的是,微分形式不光是 dx,前面还有系数(矢量场或是向量场),求导是对这些系数函数求全微分,然后再和相应的微分形式做外积。

    复杂的变化不需要担忧,只要记住下面两条规则

    1. 函数 f 的全微分

    da05741e8f3e90a3c1a13c5930847182.png

    2. 微分形式间外积的反对称性  

    dxdy  = - dydx

    从反对称性 dxdx  = -dxdx 可以推出 dxdx = 0, 所以和系数函数的全微分做外积时只要有重复了的 d 项就是 0。

    我们用以上两条规则来理解一下 Green 公式里的外微分:

    ff23cb453bda45ba2399ed526ac96ff3.png

    首先这是2维空间,没有 dz,只有 dx, dy 和 dxdy. 考虑 P 的全微分

    41d85617345a98b2fb49466527eba40f.png

    第一项因为有 dx,再和 Pdx 里的 dx 外积就是0,所以没有了。第二项的外积是 dydx ,交换顺序变成 dxdy,所以就多了一个符号。对 求全微分,用同样的道理得到了右边的第一项。
    很简单的操作,对不对。读者可以举一反三,把图一里左右两边积分里涉及到的微分形式用这两条法则推导出来。
    这里可以再回顾一下 curl 和 div 两个微分算子。假设 F = ( P, Q, R ) 是一个向量场,那么:

    53061f007bde15459a0cd5cdcab97fb5.png

    0f1b22e6637ea3090f3fc7aa1037fb81.png

    8c7643fcf9c7095dbaad2a40b9818baa.png

    Stokes定理和 Divergence 定理 看起来复杂,实际上都可以从抽象的Stokes定理出发,再用两条简单的外微分法则推出来。公式不用记,要用的时候推一下就是了。

    关于各个公式的简要解释,下次再讲。知识点太多不利于消化。

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  • 题意:题目balabala一大堆,其实他的意思就是让你求n!...可以用高斯函数定理来求5的幂和2的幂,又有高斯函数定理5的幂较少,故0的个数由5决定。 ac代码: #include #include using namespace std

    题意:题目balabala一大堆,其实他的意思就是让你求n!末尾0的个数。

    思路:今天刚刚学到素数,用高斯函数原理。

    我解释下:任何正整数n且大于1,都能分解成素数的积,0是怎么来的???使用素数5和2乘积得来的。可以用高斯函数定理来求5的幂和2的幂,又有高斯函数定理5的幂较少,故0的个数由5决定。

    ac代码:

    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    using namespace std;
    int main()
    {
        int n;scanf("%d",&n);while(n--){//求解0的个数,即求解素因子5的幂
            long long x;scanf("%lld",&x);
            long long ans=0;
            long long temp=5;
            while(temp<=x){
                ans+=x/temp;
                temp=temp*5;
            }
            printf("%lld\n",ans);
        }
        return 0;
    }
    


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  • 在这之前,我们先了解一下通量的概念。考虑一根自来水管,水管内的水向右...在这里,取水流速度的大小vvv与截面的面积dSdSdS的乘积vdSvdSvdS,得到速度通量,再乘上通过该截面的水的质量mmm,得到动量通量mvdSmvdSmv...

    在这之前,我们先了解一下通量的概念。考虑一根自来水管,水管内的水向右流动,如下图所示。
    在这里插入图片描述

    在水管中取一个截面dSdS,那么在单位时间内,通过这个截面的水是一定的,即通过这个截面的水的量。那么这个量又是什么呢?

    通量通常是针对矢量而言的。在这里,取水流速度的大小vv与截面的面积dSdS的乘积vdSvdS,得到速度通量,再乘上通过该截面的水的质量mm,得到动量通量mvdSmvdS

    上面这种情况是水流与截面垂直的情况,当水流与截面不垂直的时候,如下图所示,还能这样计算通量吗?

    在这里插入图片描述

    我们先给这个截面增加一个方向,这个方向为截面的法向(即与截面垂直),并且只能与水流的方向平行或者成一个锐角。随后将黄色箭头所代表的矢量,例如动量p\vec{p},分解,一部分平行于dSd\vec{S},另一部分垂直于dSd\vec{S}。像这样只有平行于dSd\vec{S}的矢量才能通过这个面,设这个矢量与dSd\vec{S}的夹角为θ\theta,则通量为
    pcosθdS=pdS(1) p\cos\theta dS = \vec{p}\cdot d\vec{S} \tag{1}
    即一个矢量在某个面元上的通量,只需将这个矢量与面元所构成的矢量做内积即可。

    现在考虑电场E\vec{E}的通量。假设有一个静电荷QQ,它被一个闭合曲面SS包围,如下图所示。

    在这里插入图片描述

    在曲面上取一个有向面元dSd\vec{S},以法线向外为正方向。则电荷QQ在面元dSd\vec{S}处产生的电场的通量为
    EdS=EcosθdS=Q4πε0r2cosθdS(2) \vec{E}\cdot d\vec{S}=E \cos\theta dS=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\cos\theta dS \tag{2}

    其中θ\thetar\vec{r}dSd\vec{S}的夹角(即dSd\vec{S}与电荷QQ在该面元处的夹角)。

    现在我们来看cosθdS\cos\theta dS的含义。以QQ为球心,rr为半径,作一个球面。那么θ\theta就是面元dSd\vec{S}与该处球面法向的夹角,所以cosθdS\cos\theta dS就是面元dSdS投影到球面上的面积。那么cosθdS/r2\cos\theta dS/r^2就是面元dSd\vec{S}对电荷QQ所张开的立体角元dΩd\Omega

    那么什么是立体角呢?先回忆一下弧度的定义。在一个扇形中,这个扇形的弧长除以扇形的半径,就是这个扇形的圆心角所对应的弧度。立体角与弧度类似,只不过弧度是由圆来定义,而立体角是由球来定义。取一个球面,用这个球面的面积除以这个球的半径的平方,得到的就是这个球面对应的立体角。立体角与弧度一样,它与球的具体半径无关,只表示三维空间中角度的大小。在平面几何中,根据弧度的定义,一个圆周的弧度,可以用圆的周长比上圆的半径,其结果为$2\pi$。同理,一个球所对应的立体角,可以用球的面积除以球的半径的平方,其结果为$4\pi$。即封闭曲面对封闭曲面内任意一点,所张的立体角都是$4\pi$

    dΩ=4π \oint d\Omega = 4\pi

    由于式(2)计算的是面元处的电场通量,要计算整个闭合曲面的通量,还需要对整个闭合曲面SS进行积分:
    SEdS=Q4πε0dΩ=Qε0(3) \oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \oint d\Omega = \frac{Q}{\varepsilon_0} \tag{3}

    式(3)即为电场通量的高斯定理
    SEdS=Qε0(4) \oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q}{\varepsilon_0} \tag{4}

    即闭合曲面的电场通量只与闭合曲面内的电荷有关,与闭合曲面外的电荷无关。这是因为闭合曲面外的电荷产生的电场,从闭合曲面的一个位置进入,必定会从闭合曲面的另外一个位置出来,对闭合曲面的电场通量没有贡献。

    在方程(4)左右两边同时除以该闭合曲面所围的体积ΔV\Delta V,随后让这个体积无限缩小,即ΔV0\Delta V \rightarrow 0,最后可以得到电通量强度与电荷密度之间的关系
    E=ρε0(5) \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \tag{5}

    高斯定理揭示了电荷密度分布与产生的电场之间的关系。由于数学上的相似性,高斯定理也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量,例如引力或者辐照度。


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空空如也

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高斯乘积定理