高斯概率密度函数
 
1. 单变量正态分布
 
单变量正态分布概率密度函数定义为：
 $$\rho (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma }}{e}^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu }{\sigma }{)}^2}\text{\hspace{1em}(1)}$$
 式中$\mu$为随机变量$x$的期望，${\sigma }^2$为$x$的方差，$\sigma$称为标准差。
 $$\mu =E(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }x\rho (x)dx\text{\hspace{1em}(2)}$$
 $${\sigma }^2={\int }_{\infty }^{\infty }(x-\mu {)}^2\rho (x)dx\text{\hspace{1em}(3)}$$
 matlab绘制正态分布曲线：
 
% 绘制单变量正态分布概率密度曲线
x1=-5:0.01:5; # 注意取值的对称性
subplot(2,1,1)
y1=normpdf(x1,0,1);
plot(x1,y1,'r');
title('\mu=0,\sigma^2=1')
xlabel('x')
ylabel('\rho(x)')
subplot(2,1,2)
x2=-5:0.01:7; # 注意取值的对称性
y2=normpdf(x2,1,sqrt(0.2));
plot(x2,y2,'r');
title('\mu=1,\sigma^2=0.2')
xlabel('x')
ylabel('\rho(x)')
 
图像：
 
 
 
 
由图中可知，方差越大曲线越宽，曲线始终以$\mu$为中心对称
 
 
正态分布的样本主要都集中在均值附近，其分散程度可以用标准差来表征，$\sigma$越大分散程度也越大。从正态分布的总体中抽取样本，约有95%的样本都落在区间$(\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma )$（或写作$|x-\mu |<2\sigma$）中。
 
2. 多元正态分布
 
（1）多元正态分布的概率密度函数的定义为：
 $$\rho (x)=\frac{1}{(2\pi {)}^{d/2}|\Sigma {|}^{\frac{1}{2}}}{e}^{-\frac{1}{2}(x-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}(x-\mu )}\text{\hspace{1em}(4)}$$
 式中：$x=[x_1,x_2,...,x_d{]}^T$是$d$维列向量；$\mu =[{\mu }_1,{\mu }_2,...,{\mu }_d{]}^T$是$d$维均值向量；$\Sigma$是$d\times d$维协方差矩阵，${\Sigma }^{-1}$是$\Sigma$的逆矩阵，$|\Sigma |$是$\Sigma$的行列式。
 定义$\Sigma$为：
 $$\Sigma =E[(x-\mu )(x-\mu {)}^T]\text{\hspace{1em}(5)}$$
 显然，$d=1$时，多变量高斯和单变量高斯一致。有时用符号$N(\mu ,\Sigma )$表示均值为$\mu$、协方差为$\Sigma$的高斯概率密度函数。
 为更好地理解什么是多变量高斯，我们考虑在二维空间的一些情况，二维空间是可视的。在这种情况下，有：
 $$\Sigma =\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_1^2& {\sigma }_{12}\\ {\sigma }_{12}& {\sigma }_2^2\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(6)}$$
 其中$(x-\mu )$为$2\times 1$的列向量，$(x-\mu {)}^T$为$1\times 2$的行向量。对于每个${\mu }_i$有$E[x_i]={\mu }_i,i=1,2$，通过定义${\sigma }_{12}=E[(x_1-{\mu }_1)(x_2-{\mu }_2)]$，得到随机变量$x_1$和$x_2$的协方差，这个可以度量它们的相互统计相关性。在统计意义下，如果变量是独立的，其协方差为0。显然，$\Sigma$对角元素是随机向量中各个元素的方差。
 
3. 二维高斯概率密度函数的示例
 
代码：
 
% 绘制双变量正态分布概率密度曲线
x = 1 : 0.3 : 7 ;  
y = 1 : 0.3 : 7 ;      
[X,Y] = meshgrid(x,y);
U1 = 4.0;
DX = 1;     % X的方差
dx = sqrt(DX);
U2 = 3.8;
DY = 1;     % Y的方差
dy = sqrt(DY);
COV = 0;     % X Y的协方差
r = COV / (dx * dy);
part1 = 1 / ( 2 * pi * dx * dy * sqrt( 1 - r^ 2 ));
p1 = - 1 / ( 2 * ( 1 - r^ 2 ));
px = (X - U1).^ 2. / DX;
py = (Y - U2).^ 2. / DY;
pxy = 2 * r.* (X - U1).* (Y - U2)./ (dx * dy);
Z = part1 * exp(p1 * (px - pxy + py));
figure(1)
mesh(X,Y,Z)
xlabel('x1');
ylabel('x2');
zlabel('\rho(x)');
title('二维概率密度曲线');
figure(2);
mesh(X,Y,Z);
xlabel('x1');
ylabel('x2');
zlabel('\rho(x)');
title('等值曲线');
view(0,90);
 
 
 
需要自行更改值的变量为Dx，Dy，COV
 
 
3.1 ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$
 
二维概率密度函数曲线：
 
 等值曲线：
 
 此时等值曲线呈现各方向同性的球对称状。
 
3.2 ${\sigma }_1^2>>{\sigma }_2^2$
 
二维概率密度函数曲线：
 
 等值曲线：
 
 此时等值曲线呈现向$x_1$方向延申状。
 
3.3 ${\sigma }_2^2>>{\sigma }_1^2$
 
二维概率密度函数曲线：
 
 等值曲线：
 
 此时等值曲线呈现向$x_2$方向延申状。
 
3.4 ${\sigma }_{12}\ne 0$
 
二维概率密度函数曲线：
 
 等值曲线：
 
 由于改变${\sigma }_1^2$，${\sigma }_2^2$，${\sigma }_{12}$的值就可以得到不同的形状和方向。
 等值曲线是不同方向、与短轴长度成不同比例的椭圆。考虑对角线协方差矩阵的随机向量的均值为0，即${\mu }_1=0,{\mu }_2=0$，即有如下方程：（计算等值曲线相当于计算指数为常数$C$的曲线）
 $$\frac{x_1^2}{{\sigma }_1^2}+\frac{x_2^2}{{\sigma }_2^2}=C\text{\hspace{1em}(7)}$$

 
如下所示：
 
import matplotlib.pyplot as plt
 
import numpy as np
 
from scipy import stats
 
from matplotlib import style
 
style.use('fivethirtyeight')
 
mu_params = [-1, 0, 1]
 
sd_params = [0.5, 1, 1.5]
 
x = np.linspace(-7, 7, 100)
 
f, ax = plt.subplots(len(mu_params), len(sd_params), sharex=True, sharey=True, figsize=(12,8))
 
for i in range(3):
 
for j in range(3):
 
mu = mu_params[i]
 
sd = sd_params[j]
 
y = stats.norm(mu, sd).pdf(x)
 
ax[i, j].plot(x, y)
 
ax[i, j].plot(0,0, label='mu={:3.2f}\nsigma={:3.2f}'.format(mu,sd), alpha=0)
 
ax[i, j].legend(fontsize=10)
 
ax[2,1].set_xlabel('x', fontsize=16)
 
ax[1,0].set_ylabel('pdf(x)', fontsize=16)
 
plt.suptitle('Gaussian PDF', fontsize=16)
 
plt.tight_layout()
 
plt.show()
 

 
以上这篇python高斯分布概率密度函数的使用详解就是小编分享给大家的全部内容了，希望能给大家一个参考，也希望大家多多支持。

高斯分布的概率密度函数
 
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}).$$
 numpy中
 
numpy.random.normal(loc=0.0, scale=1.0, size=None)
 
参数的意义为：
 
loc:float
 
概率分布的均值，对应着整个分布的中心center
 
scale:float
 
概率分布的标准差，对应于分布的宽度，scale越大越矮胖，scale越小，越瘦高
 
size:int or tuple of ints
 
输出的shape，默认为None，只输出一个值
 
我们更经常会用到np.random.randn(size)所谓标准正太分布（μ=0, σ=1），对应于np.random.normal(loc=0, scale=1, size)

 
 
高斯分布：
 
 
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}})$
 
 
标准高斯分布：
 
 
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{x^{2}}{2})$
 
 
 
 
 
一个高斯分布只需线性变换即可化为标准高斯分布，所以只需推导标准高斯分布概率密度的积分。由：
 
 
$\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{x^{2}}{2})dx = \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{y^{2}}{2})dy$
 
 
得: 
 
 
$\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{x^{2}}{2})dx\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{y^{2}}{2})dy = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }exp(-\frac{(x^{2}+y^{2})}{2})dxdy$
 
 
变换为极坐标得：
 
 
$x = rcos\theta , y = rsin\theta$
 
 
$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }exp(-\frac{(x^{2}+y^{2})}{2})dxdy = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi  }\int_{0}^{+\infty }exp(-\frac{r^{2}}{2})rdrd\theta$
 
 
$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }exp(-\frac{(x^{2}+y^{2})}{2})dxdy = \int_{0}^{+\infty }exp(-\frac{r^{2}}{2})rdr$
 
 
令$t = \frac{r^{2}}{2} $,得：
 
 
$\int_{0}^{+\infty }exp(-\frac{r^{2}}{2})rdr = \int_{0}^{+\infty }exp(-t)dt = 1$
 
 
终得：
 
 
$\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{x^{2}}{2})dx = \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{y^{2}}{2})dy = 1$
 
 
由于标准高斯分布概率密度函数$f(x)$满足：
 
 
$\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx = \int_{-\infty }^{+\infty }f(x-c)dx$
 
 
$\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx = \frac{1}{a}\int_{-\infty }^{+\infty }f(\frac{x}{a})dx$
 
 
所以任意高斯分布概率密度函数积分为1。
 
 
 
 
 
高斯分布的均值：
 
 
$ E(x) = \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}})xdx  $
 
 
$= \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}})（x-\mu）dx  + \mu\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}})dx  $
 
 
由奇偶性得：
 
 
$ E(x) =  \mu\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}})dx = \mu$
 
 
高斯分布的方差：
 
 
$Var(x) = \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}})(x-\mu)^{2}dx$ 
 
 
$\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{y^{2}}{2\sigma^{2}})y^{2}dy = \sigma^{2} $
 
 
 
 
 
转载于:https://www.cnblogs.com/shenchuguimo/p/9843034.html