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  • 协方差矩阵 多元高斯分布

    千次阅读 2021-01-14 23:27:46
    协方差矩阵 对于一维随机变量直接用方差即可衡量随机变量x与其期望E(x)的偏离程度,对于多维随机变量X,需要用一个矩阵来表示偏离程度,矩阵的对角线是每个维度自己的方差,对角线以外表示不同的维度之间的协方差,...

    协方差矩阵

    对于一维随机变量直接用方差即可衡量随机变量x与其期望E(x)的偏离程度,对于多维随机变量X,需要用一个矩阵来表示偏离程度,矩阵的对角线是每个维度自己的方差,对角线以外表示不同的维度之间的协方差,所以协方差矩阵是实对称矩阵。

    协方差矩阵的计算公式

    所以有如下性质:

    如果随机向量Y=PX,其中XY为随机向量,P为矩阵(方阵)

    也就是

    多元高斯分布

    一元高斯分布概率密度函数如下:

    多元高斯分布为:

    具体推导过程可以参考:从零开始推导多元高斯分布 - 知乎

    多元高斯分布完全解析 - 知乎

    主要的更改是把方差换成了协方差矩阵,2的次方换成n次,n为X向量的维数。

    如果协方差矩阵是对角阵,则X向量的每一维彼此独立,互相概率不影响,高维的不好想象可以想象二维的,此时X随机变量的概率密度函数是一个立体的高斯,其平行于坐标平面的截面是一个圆。

    如果协方差矩阵除对角线外其他位置为非零,则X向量存在彼此不独立的维,拿二维举例,此时X随机变量的概率密度函数是一个立体的高斯,其平行于坐标平面的截面是一个椭圆,且椭圆的长轴不与坐标轴平行,即椭圆是倾斜的。

    根据线性代数的知识可知,由于协方差矩阵为实对称矩阵,所以必定可以用单位正交矩阵相似对角化,根据Y=PX,则,可知,只需要求出协方差矩阵的特征值,并进一步求出单位正交矩阵P,就可以将X向量转换为Y向量,此时Y向量的协方差矩阵Cov(Y)就是经过Cov(X)相似对角化所得,所以是对角阵,所以Y向量的每个维度相互独立,也就是X向量可以经过线性变换由每个维度相互不独立转换成相互独立,对于二维来说,就是概率密度函数的截面由倾斜的椭圆转换成不倾斜的椭圆。

    另外协方差矩阵为非负定矩阵,也就是半正定阵(正定的定义见实对称矩阵 二次型 合同 相似对角化_吾生也有涯,而知也无涯-CSDN博客),证明如下:

    第二行左边乘以一个矩阵的转置,右边乘以一个矩阵,是参考正定的定义来的,只要证明其结果大于等于0,即为半正定阵,

    最后的结果中是一个数,转置之后还是一个数,所以相当于求一个数平方的期望,肯定是大于等于0的,所以为半正定阵。

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  • 透彻理解协方差矩阵

    千次阅读 多人点赞 2019-12-13 13:18:04
    协方差及协方差矩阵有着特别广泛的应用,在多元高斯分布、高斯过程、卡尔曼滤波等算法中多有用到,本文从协方差、协方差矩阵讲起,并重点讲解协方差矩阵高斯分布中的用法及意义,也是讲解高斯过程、贝叶斯优化的...

     2018-12-30 11:27:05

    协方差及协方差矩阵有着特别广泛的应用,在多元高斯分布、高斯过程、卡尔曼滤波等算法中多有用到,本文从协方差、协方差矩阵讲起,并重点讲解协方差矩阵在高斯分布中的用法及意义,也是讲解高斯过程、贝叶斯优化的铺垫。

    协方差(Covariance)

    X、Y两个随机变量的协方差在和中用于衡量两个变量的总体。用来刻画两个随机变量之间的相关性:

    透彻理解协方差矩阵

     

    假定我们不知道潜在的概率分布,我们取n个样本来计算:

    透彻理解协方差矩阵

     

    分别计算这n样本的两个变量的均值,这两个变量的协方差可以用下式来计算:

    透彻理解协方差矩阵

     

    由于变量都有量纲,如果消除各自量纲影响,将协方差除以两个变量的标准差,则可得相关系数:

    透彻理解协方差矩阵

     

    协方差矩阵

    随机向量:

    透彻理解协方差矩阵

     

    我们计算所有元素的两两协方差,形成协方差矩阵:

    透彻理解协方差矩阵

     

    透彻理解协方差矩阵

     

    这是一个对称矩阵,对角线是每个变量的方差。如果是对角阵,

    协方差矩阵形式如下:

    透彻理解协方差矩阵

     

    协方差矩阵与多元高斯分布

    多元高斯分布概率密度的推导

    设多元高斯分布如下:均值向量为μ,协方差矩阵为Σ

    透彻理解协方差矩阵

     

    透彻理解协方差矩阵

     

    与一元高斯分布对比,概率密度函数形式有所变化,这个变化是怎么来的,我们通过二元高斯分布来推导一下这个密度函数的由来。

    对于二元高斯分布,我们设定:

    透彻理解协方差矩阵

     

    现在我们推导两个变量的高斯分布的密度函数公式:

    透彻理解协方差矩阵

     

    透彻理解协方差矩阵

     

    这个联合概率密度函数是各自概率密度函数的乘积,这表明两个变量是独立的。这个独立性反映在我们的协方差矩阵中,就是只有对角线元素不为零,两个变量是独立的,所以联合概率密度可以表示为两个变量概率密度的乘积

    二维高斯分布函数图像

    我们看相互独立的两个变量的二维高斯分布图像在XoY平面投影的函数表达式

    透彻理解协方差矩阵

     

    透彻理解协方差矩阵

     

    令:

    透彻理解协方差矩阵

     

    得:

    透彻理解协方差矩阵

     

    显然这是一个椭圆曲线的表达式。

    我们看两种情况,一种协方差矩阵是对角阵(变量相互独立),另一种是协方差矩阵是非对角阵(变量有关联)

    • 如果高斯随机向量具有对角线的协方差矩阵(所有变量都是不相关的,那么概率密度函数曲面在X0Y投影的椭圆曲线的两个轴平行于坐标轴。

    透彻理解协方差矩阵

     

    • 如果高斯随机向量的协方差矩阵是非对角阵(一些变量是相关的),那么概率密度函数曲面在X0Y投影的椭圆曲线的两个轴仍然是相互重直,但与坐标轴并不平行。

    透彻理解协方差矩阵

     

    我们用matlab来形象展示一下:

    下图是两个变量的均值都是零,协方差矩阵为:

    透彻理解协方差矩阵

     

    其三维曲面如下:

    透彻理解协方差矩阵

     

    在XOY平面的投影如下:

    透彻理解协方差矩阵

     

    本文主要讲解了协方差矩阵及其在高斯分布中意义和用法。协方差矩阵在高斯过程中有着非常重要的意义,如果不能很好的理解协方差矩阵,就不能很好的理解高斯过程。

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  • 混合高斯模型聚类算法中 协方差矩阵的求解算法
  • 多维高斯分布与协方差矩阵的关系以及高斯椭圆

    万次阅读 多人点赞 2018-05-17 16:34:32
    一维高斯分布概率密度函数 f(x;μ,σ)=1σ2π−−√exp(−(x−μ)22σ2)f(x;μ,σ)=1σ2πexp⁡(−(x−μ)22σ2) f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}) 若随机...

    一维高斯分布概率密度函数

    f(x;μ,σ)=1σ2πexp((xμ)22σ2) f ( x ; μ , σ ) = 1 σ 2 π exp ⁡ ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 )

    若随机变量 X X 服从这个高斯分布,则可写作XN(μ,σ)。其中 μ μ 为均值, σ σ 为标准差, σ2 σ 2 为方差。

    多维高斯分布概率密度函数

    如果随机变量 X=(X1,X2,,Xp) X = ( X 1 , X 2 , … , X p ) ′ 的分布密度函数有如下形式

    f(x1,x2,,xp)=f(x)=12πp/21|Σ|1/2exp[12(xμ)TΣ1(xμ)] f ( x 1 , x 2 , … , x p ) = f ( x ) = 1 2 π p / 2 1 | Σ | 1 / 2 exp ⁡ [ − 1 2 ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) ]

    其中 μ μ 为均值, Σ Σ 为协方差矩阵。关于协方差矩阵的内容可以看 关于协方差矩阵在机器学习中的理解
    1. 针对二维高斯分布,若随机变量中的两个维度不相关,协方差矩阵对对角阵,则如下图所示
    这里写图片描述
    这里写图片描述
    构成一个圆形。

    2.若两个维度数据相关,协方差矩阵为对称矩阵,则如下图所示
    这里写图片描述
    这里写图片描述
    构成一个椭圆形。

    3.针对二维高斯分布,协方差矩阵的对角线元素为 X1 X 1 X2 X 2 轴的方差,反斜对角线上的两个值为协方差,表明 X1 X 1 X2 X 2 的线性相关程度,(正值时: X1 X 1 增大, X2 X 2 也随之增大;负值时: X1 X 1 增大, X2 X 2 随之减小)。
    图片来自
    这里写图片描述
    能够看出,图形的形状跟方向跟协方差矩阵 XXT X X T 相关,所在轴的方差越大则该方向越长,协方差矩阵最大特征值对应的特征向量的方向为椭圆的朝向。

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  • 协方差矩阵与二维高斯分布

    千次阅读 2018-11-27 10:07:02
    协方差矩阵是一个对称矩阵,决定了二维高斯分布的形状。 1.协方差矩阵的对角线元素为x和y轴的方差  2.反斜对角线上的两个值为协方差,表明x和y的线性相关程度(正值时:x增大,y也随之增大;负值时:x增大,y随之...

    多维高斯分布:

    协方差矩阵是一个对称矩阵,决定了二维高斯分布的形状。

    1.协方差矩阵的对角线元素为x和y轴的方差 
    2.反斜对角线上的两个值为协方差,表明x和y的线性相关程度(正值时:x增大,y也随之增大;负值时:x增大,y随之减小)

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    可以生成任意你所需要的指定的均值方差的任意维数的高斯白噪声矩阵
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  • 已知协方差矩阵求相关矩阵

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    matlab中已知协方差矩阵怎样算相关系数?已知协方差矩阵,计算相关系数可以按图中的公式进行。 R就是相关系数矩阵,C为协方差矩阵。 >> a=rand(5,5) a = 0.9501 0.7621 0.6154 0.4057 0.0579 0.2311 0.4565 0....
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空空如也

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