1、二维高斯函数
 $$G(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}\exp \left(-\frac{x^2+y^2}{2{\sigma }^2}\right)$$
 2、坐标$(x,y)$（以5×5卷积核为例）
 
 3、Matlab实现
 
sigma1=2;
k=5;    % kernel大小
pai=3.1415926;
kernel=zeros(k);
m=(k+1)/2;
sigma=2*sigma1*sigma1;
for i=-1*(k-1)/2:(k-1)/2
   for j=-1*(k-1)/2:(k-1)/2
      kernel(i+m,j+m)=(-1/(pai*sigma))*exp(-1*(i^2+j^2)/(sigma));
   end
end
kernel=kernel./sum(kernel,'all')  % 归一化
 
结果与Matlab函数fspecial()生成的高斯卷积核一致，卷积核如图所示：
 
 4、OpenCV实现
 
int main()
{
	double sigma = 2, pai = 3.1415926;
	int k = 5, m = (k + 1) / 2, n = m - 1;	// k-高斯卷积核大小
	Mat kernel = Mat::zeros(Size(k, k), CV_64FC1);
	double *p, Ksum;
	sigma = 2 * sigma * sigma;
	for (int i = -1 * n; i <= n; i++)
	{
		p = kernel.ptr<double>(i + n);
		for (int j = -1 * n; j <= n; j++)
		{
			p[j + n] = (1 / (pai*sigma)) * exp(-1 * (i * i + j * j) / sigma);
		}
	}
	Ksum = sum(kernel).val[0];
	kernel = kernel.mul(1/Ksum);
	cout << kernel << endl;

	getchar();
	return 0;
}

 
编辑:根据你的澄清,很清楚发生了什么。您正在尝试对超出可用数据范围的函数进行插值,即从插值到外推。样条曲线会导致你观察到的超调。解决方法很简单,就是确保1d函数的值在区间[min(r),max(r)]内。注意,在原始数据中,max(r)约为424,而您正在插值的函数是在范围[-300299]上定义的。
 
% Simulated overshoot, see left figure:
 
x1d = [-300:299];
 
[x,y]=meshgrid(x1d,x1d);
 
r = sqrt(x.^2+y.^2);
 
gsn1d = exp(-x1d.^2/500);
 
lowpass = @(x)(x1d > -x & x1d < x);
 
gsn1dcutoff = ifft(fftshift(lowpass(10).*fftshift(fft(gsn1d))));
 
plot(gsn1dcutoff)
 
OTF2d = reshape(interp1(x1d,gsn1dcutoff,r(:),'spline'),[length(x1d),length(x1d)]);
 
mesh(OTF2d)
 
% Quick and dirty fix, see right figure:
 
x1dExtended = linspace(min(x1d*sqrt(2)),max(x1d*sqrt(2)),ceil(length(x1d)*sqrt(2)));
 
gsn1dE = exp(-x1dExtended.^2/500);
 
% ^^^ note that this has 600*sqrt(2) points and is defined on the diagonal of your square. Now we can low-pass filter in the freq. domain to add ripple in space domain:
 
lowpass = @(x)(x1dExtended > -x & x1dExtended < x);
 
gsn1dcutoff = -real(ifft(fftshift(lowpass(10).*fftshift(fft(gsn1dE)))));
 
plot(gsn1dcutoff)
 
OTF2d = reshape(interp1(x1dExtended,gsn1dcutoff,r(:),'spline'),[length(x1d),length(x1d)]);
 
mesh(OTF2d)

 
MATLAB实例：二维高斯分布图
 
问题描述：用MATLAB在一张图上同时画出二维高斯散点图与分布图。
 
数据来源：MATLAB高斯混合数据的生成 将二维数据保存为gauss_data.txt。
 
前期工作：
 
1. MATLAB程序
 
clear
 
clc
 
% Author: 凯鲁嘎吉 - 博客园 http://www.cnblogs.com/kailugaji/
 
%% 加载数据
 
data_load=dlmread('./gauss_data.txt');
 
% 每一类
 
data_1=data_load(data_load(:, end)==1, :);
 
data_2=data_load(data_load(:, end)==2, :);
 
data_3=data_load(data_load(:, end)==3, :);
 
data_4=data_load(data_load(:, end)==4, :);
 
data_5=data_load(data_load(:, end)==5, :);
 
%% 空间坐标范围
 
x1=-8:0.1:8;
 
x2=-10:0.1:8;
 
[X1, X2]=meshgrid(x1, x2);
 
X=[X1(:) X2(:)];
 
%第一类数据
 
mu1=[0 0]; % 均值
 
S1=[1 0;0 1]; % 协方差
 
%第二类数据
 
mu2=[4 4];
 
S2=[2 -1;-1 2];
 
%第三类数据
 
mu3=[-4 4];
 
S3=[2 1;1 2];
 
%第四类数据
 
mu4=[-4 -4];
 
S4=[2 -1;-1 2];
 
%第五类数据
 
mu5=[4 -4];
 
S5=[2 1;1 2];
 
%% 高斯概率密度函数
 
% 分量1
 
y_1=mvnpdf(X, mu1, S1);
 
y_1=reshape(y_1, length(x2), length(x1));
 
% 分量2
 
y_2=mvnpdf(X, mu2, S2);
 
y_2=reshape(y_2, length(x2), length(x1));
 
% 分量3
 
y_3=mvnpdf(X, mu3, S3);
 
y_3=reshape(y_3, length(x2), length(x1));
 
% 分量4
 
y_4=mvnpdf(X, mu4, S4);
 
y_4=reshape(y_4, length(x2), length(x1));
 
% 分量5
 
y_5=mvnpdf(X, mu5, S5);
 
y_5=reshape(y_5, length(x2), length(x1));
 
%% 作图
 
figure(1)
 
contour(x1, x2, y_1);
 
hold on
 
contour(x1, x2, y_2);
 
contour(x1, x2, y_3);
 
contour(x1, x2, y_4);
 
contour(x1, x2, y_5);
 
xlabel('X');
 
ylabel('Y');
 
plot(data_1(:, 1), data_1(:, 2), 'b.', 'MarkerSize',10 );
 
hold on
 
plot(data_2(:, 1), data_2(:, 2), 'r^', 'MarkerSize',4, 'MarkerFaceColor','r');
 
plot(data_3(:, 1), data_3(:, 2), 'ko', 'MarkerSize',4, 'MarkerFaceColor','g');
 
plot(data_4(:, 1), data_4(:, 2), 'rp', 'MarkerSize',4, 'MarkerFaceColor','y');
 
plot(data_5(:, 1), data_5(:, 2), 'mh', 'MarkerSize',4, 'MarkerFaceColor','m');
 
saveas(gcf,sprintf('2D_Gauss_PDF.jpg'),'bmp'); %保存图片
 
2. 结果
 

一、背景知识
 
  高斯滤波器是一种线性滤波器，能够有效的抑制噪声，平滑图像。其窗口模板的系数和均值滤波器不同，均值滤波器的模板系数都是1，而高斯滤波器的模板系数，则随着远离模板中心而减小。所以，高斯滤波器相对均值滤波器而言对图像的模糊程度较小。高斯滤波对图像邻域内像素进行平滑时，邻域内不同位置的像素被赋予不同的权值，对图像进行平滑的同时，同时能够更多的保留图像的总体灰度分布特征。
   二维高斯函数如下：
 
   其中(x,y)为点坐标，在图像处理中可认为是整数，σ是标准差。要想得到一个高斯滤波器的核，可以对高斯函数进行离散化，将得到的离散高斯函数值作为高斯核的系数。设我们需要的高斯核尺寸为ksize = 2k+1，则二维高斯核中各个系数值为：
 
   经过多次调参，我发现sigma = 2时滤波平滑效果较好。由于高斯函数图像形如钟型曲线，当核尺寸与sigma的比值为3时，已经包含约99%的图像信息，故我选择设置高斯核尺寸ksize = 7。
   由此生成的7×7二维高斯核如下图所示：
 
 
二、Matlab实现代码（函数形式）
 
% 自编二维高斯滤波函数，image是需要滤波的图象，ksize是二维高斯滤波器模板尺寸，sigma是方差
function output=Gauss_filter(image,ksize,sigma)
% 计算图象中心位置
k=floor((ksize-1)/2);
% 先初始化
gauss_kernel = zeros(ksize,ksize);
% 生成二维离散高斯卷积核（尺寸为ksize×ksize）
for i=1:ksize
    for j=1:ksize
        % 将二维高斯函数离散化
        gauss_kernel(i,j) = exp(-((i-k-1)^2+(j-k-1)^2)/(2*sigma.^2))/(2*pi*sigma.^2);
    end
end
% 用生成的离散高斯卷积核对图像进行卷积，实现二维高斯滤波
result=conv2(image,gauss_kernel,'same');
output=uint8(result);
end
 
三、实验结果
 
  用上面生成的离散高斯核对图像进行卷积，即可实现二维高斯滤波。
 原始图像选择加了噪声的lena小姐姐：
 
 
高斯滤波结果如下图所示：