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  • 本文介绍高斯核密度估计和Ep核密度估计两种核模型算法: 1、 Epanechnikov 核函数介绍 核密度估计是在概率论中用来估计未知的密度函数,属于非参数检验方法之一,由Rosenblatt (1955)和Emanuel Parzen(1962)...

    目标检测,也叫目标提取,是一种基于目标几何和统计特征的图像分割,它将目标的分割和识别合二为一,其准确性和实时性是整个系统的一项重要能力。尤其是在复杂场景中,需要对多个目标进行实时处理时,目标自动提取和识别就显得特别重要。

    随着计算机技术的发展和计算机视觉原理的广泛应用,利用计算机图像处理技术对目标进行实时跟踪研究越来越热门,对目标进行动态实时跟踪定位在智能化交通系统、智能监控系统、军事目标检测及医学导航手术中手术器械定位等方面具有广泛的应用价值。

    本文介绍高斯核密度估计和Ep核密度估计两种核模型算法:

    1、Epanechnikov核函数介绍

    核密度估计是在概率论中用来估计未知的密度函数,属于非参数检验方法之一,由Rosenblatt (1955)和Emanuel Parzen(1962)提出,又名Parzen窗(Parzen window)。

    假设我们有n个数X1-Xn,我们要计算某一个数X概率密度有多大。核密度估计的方法是这样的:

     

    (1)

    其中N(x,z)正态分布概率密度函数,z为设定的参数。

    核密度估计算法的基本原理是在对某一事物的概率分布的情况下,假设一个数在观察的过程中出现了,就可以假定这个数相对应的概率密度比较大,从而可以得出和这个数相邻的数的概率密度也会比较大,反之,离这个数较远的数的概率密度比较小。基于这一原理,我们可以通过一个函数来映射出每个数概率密度之间的关系。

    假设xi,i=1,2,…N为同一未知概率密度函数产生的维度为dN个样本点。核密度估计函数表示如下:

     

    (2)

    其中KH为核函数,可以表示为Hd×d大小的正定带宽矩阵。当简化带宽矩阵为单参数h时,(2)式变为我们所熟悉的形式:

     

    (3)

    多维变量的核函数Ks可以通过每个维度下单变量核函数Kj的乘积计算来表示:

     

    (4)

     

    xi∈{x1,x2,…,xN}为图像中位于坐标(x0,y0)的像素点在第i时刻的色彩向量,{x1,x2,…,xN}为当前像素样本集Sa。对于t时刻此像素点的观测值xt而言,其密度函数p(xt)的核密度估计则可定义如下:

     

    (5)

    其中,Ks为选择的核函数,满足性质

    所采集的图像数据一般为多通道的彩色图像(例如RGB三通道),利用公式(2)、(3),可以写出d维颜色通道的核函数乘积:

     

    (6)

    单维度Epanechnikov函数表达式如下:

     

    (7)

    Cd表示d维超球体体积,以RGB图像为例,C3是半径为1的球的体积,即C3=4π∙13/3。此时像素的输入xt=xt1,xt2,xt3,样本点为xi=[xi1,xi2,xi3]。基于Epanechnikov核函数的三通道彩色图像像素值的概率密度估计函数为:

     

    (8)

     

     

    2、高斯核函数介绍

     

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  • 1. 核密度估计图,通过核函数来进行密度估计 2. 六边形分箱图(Hexagonal Binning),直接计算不同bin中的点的数量 首先来说一下核密度估计图 具体什么是核密度估计建议大家去B站搜索一下,讲的很清楚,大概就是...

    最近需要可视化统计一个二维变量的数量分布图,网上搜了一下大概有一下两种方法:

    1. 核密度估计图,通过核函数来进行密度估计

    2. 六边形分箱图(Hexagonal Binning),直接计算不同bin中的点的数量

    首先来说一下核密度估计图

    具体什么是核密度估计建议大家去B站搜索一下,讲的很清楚,大概就是需要一个核函数,对每一个样本点进行叠加,最后再归一化的一个过程,这个过程和带宽有很大的关系。

    我主要用Python的scipy.stats.gaussian_kde函数和matplotlib进行了可视化

    具体代码网上很多,这里我又加了一些注释,算是给入门的看的吧:

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    from scipy.stats import gaussian_kde
    
    x=data1#第一维数据
    y=data2#第二维数据
    xy = np.vstack([x,y])#将两个维度的数据进行叠加
    kenal = gaussian_kde(xy)#这一步根据xy这个样本数据,在全定义域上建立了概率密度分布,所以kenal其实就是一个概率密度函数,输入对应的(x,y)坐标,就给出相应的概率密度
    z = kenal.evaluate(xy)#得到我们每个样本点的概率密度
    z = gaussian_kde(xy)(xy)#这行代码和上面两行是相同的意思,这行是一行的写法
    idx = z.argsort() #对z值进行从小到大排序并返回索引
    x, y, z = x[idx], y[idx], z[idx]#对x,y按照z的升序进行排列
    #上面两行代码是为了使得z值越高的点,画在上面,不被那些z值低的点挡住,从美观的角度来说还是十分必要的
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(7,5),dpi=100)
    scatter = ax.scatter(x,y,marker='o',c=z,edgecolors='none',s=25,label='label'
                         ,cmap='Spectral_r')
    cbar_ax = plt.gcf().add_axes([0.93, 0.15, 0.02, 0.7])#[left,bottom,width,height] position
    cbar = fig.colorbar(scatter, cax=cbar_ax, label='Probability density')
    ax.set_xlabel('xlabel')
    ax.set_ylabel('ylabel')
    ax.set_title('title')

    下面还有两点需要注意的地方:

    1. 关于带宽,函数默认采用Scott's Rule:n**(-1./(d+4)),其中n是样本量,d是纬度,也就是样本量越大,维度越低,带宽越小,毕竟样本量多了,对应的高斯函数的方差应该是需要减小的,否则就会变得非常平滑,反之,如果样本量很小,再不用较大的方差,那么也就无法进行差值了。(感觉这里和地理统计中的差值非常像,样本量小,同时方差还很低,就会出现‘牛眼’现象)。

    这里我其实并不明白带宽和高斯函数标准差之间的关系,所以我自己带入高斯函数公式推导了一下:

    f_h(x)=\frac{1}{n}\times \sum_{i=1}^{n}\phi _h(x-x_i)=\frac{1}{nh}\times\sum_{i=1}^{n}\phi (\frac{x-x_i}{h})=\frac{1}{n}\times \sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma h}e^\frac{-(x-x_i)^2}{2\sigma ^2h^2})

    可以看出来其实真实的高斯函数标准差是根据样本标准差(\sigma)和带宽(h)相乘得到的,所以带宽越宽,得到的核密度分布越平滑。

    2. 函数的返回值是概率密度,这个概率密度对定义域进行积分其实就是1,从上面的公式也可以看出来。

     

    至于六边形分箱图我还没有发现有多好看,好处可能是对数据统计更加准确,毕竟是一个客观统计值,没有概率这一说了,但是还是觉得KDE比较好,大家想了解的就去matplotlib官网看看吧:

    https://www.osgeo.cn/matplotlib/gallery/statistics/hexbin_demo.html

    https://matplotlib.org/api/_as_gen/matplotlib.pyplot.hexbin.html

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  • 核密度估计

    2014-04-23 16:03:17
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    核密度估计是非参数检验的一种,已知一列数据,估计其密度函数的过程。计算公式如下,主要包括核密度函数和带宽(窗宽),常见的核函数为高斯函数和Epanechnikov函数,带宽则可以根据核函数求解。

    7a39e7e2292ab6a2e6e046db60bfcf34.png

    图1 核密度估计原理

    核密度估计在经济学、金融学,以及人文地理学中较为常用,主要是用来估计金融风险、国际贸易密度、人口及GDP密度,如图2。

    1fbba20bb692e59f6320ec93791532fa.png

    图2 国际贸易核密度图

    核密度图可以通过R、python、stata来制作,其中stata最简单且易于上手。一年的数据很好做,但是多年的数据做到一张图上,还是难倒了不少的同学。本教程首先讲解核密度估计的原理,然后手把手教学,从数据录入stata到制作图表,再到图表的调整,15分钟你就能作出一张多年核密度图了,你的毕业论文有救啦!详细教程请点击下方的阅读原文。

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    1、直方图的问题

    ①直方图装箱(binning)的过程会导致信息丢失。

    ②直方图不是唯一的。对比起来比较困难。

    ③直方图不是平滑的

    ④直方图不能很好的处理极值

    核密度估计(KDE)完全没有上述的问题。

    构建KDE需要准备核函数:下面是常用的核函数图形和定义。

    构建一个KDE包含两部分:

    ①把kernel偏移到特定的位置

    ②设定带宽bindwidth

    下图是高斯kernel在不同的带宽和位置的情况下的图形:

     

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高斯核密度估计图