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  • 著名的de Moivre的Laplace极限定理从特定条件下的二项式概率质量函数证明了高斯分布概率密度函数。 De Moivre的Laplace方法非常繁琐,因为它严重依赖于许多引理和定理。 本文提出了一种可替代的,不太严格的方法,...
  • XScreenSaver 的一个模块,用于显示与高斯概率分布相关的各种动画。
  • 今天小编就为大家分享一篇python高斯分布概率密度函数的使用详解,具有很好的参考价值,希望对大家有所帮助。一起跟随小编过来看看吧
  • matlab开发-高斯正态分布概率密度函数。高斯正态分布是应用最广泛的分布之一。
  • 概率分布---高斯分布

    2018-12-02 12:08:00
    条件高斯分布 边缘高斯分布 高斯变量的贝叶斯定理 高斯分布的最大似然估计 顺序估计 高斯分布的贝叶斯推断 ...

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    条件高斯分布

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    边缘高斯分布

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    高斯变量的贝叶斯定理

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    高斯分布的最大似然估计

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    顺序估计

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    高斯分布的贝叶斯推断

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    学生t分布

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    周期变量

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    混合高斯模型

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    转载于:https://my.oschina.net/liyangke/blog/2966422

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  • 本博客为(系列二)的笔记,对应的视频是...、【(系列二) 数学基础-概率-高斯分布4-局限性】、【(系列二) 数学基础-概率-高斯分布5-求边缘概率以及条件概率】、【(系列二) 数学基础-概率-高斯分布6-求联合概率分布】。


    0 笔记说明

    来源于【机器学习】【白板推导系列】【合集 1~23】,我在学习时会跟着up主一起在纸上推导,博客内容为对笔记的二次书面整理,根据自身学习需要,我可能会增加必要内容。

    注意:本笔记主要是为了方便自己日后复习学习,而且确实是本人亲手一个字一个公式手打,如果遇到复杂公式,由于未学习LaTeX,我会上传手写图片代替(手机相机可能会拍的不太清楚,但是我会尽可能使内容完整可见),因此我将博客标记为【原创】,若您觉得不妥可以私信我,我会根据您的回复判断是否将博客设置为仅自己可见或其他,谢谢!

    本博客为(系列二)的笔记,对应的视频是:【(系列二) 数学基础-概率-高斯分布1-极大似然估计】、【(系列二) 数学基础-概率-高斯分布2-极大似然估计-无偏VS有偏】、【(系列二) 数学基础-概率-高斯分布3-从概率密度角度观察】、【(系列二) 数学基础-概率-高斯分布4-局限性】、【(系列二) 数学基础-概率-高斯分布5-求边缘概率以及条件概率】、【(系列二) 数学基础-概率-高斯分布6-求联合概率分布】。

    下面开始即为正文。


    1 高斯分布

    数据集X中有N个样本实例,每个样本有p个维度。用符号表示为X = (x1,x2,…,xN)T,xi∈Rp,i=1…N,X为N*P阶矩阵。

    设xi独立同分布于高维(维度为p)的高斯分布N(α,β),即xi~N(α,β),i=1…N。这里参数θ=(α,β),此时概率密度函数P(x)为:
    在这里插入图片描述
    为方便讨论,现在令p=1,θ=(μ,σ2),即【α=μ,β=σ2】。此时xi~N(μ,σ2),i=1…N。则xi的期望值E(xi)=μ,此时变成一维高斯分布(或称为一维正态分布)概率密度函数P(x)为:
    在这里插入图片描述
    根据此文【机器学习-白板推导-系列(一)笔记:频率派/贝叶斯派】中【2 频率派:θ为未知常量】一节的图片可得:
    在这里插入图片描述
    因为此时θ=(μ,σ2),既然求θMLE,就求【uMLE】和【σMLE】好了。

    1.1 求uMLE

    在这里插入图片描述
    然后对uMLE关于μ求导,并令导数等于0:
    在这里插入图片描述

    1.2 求σMLE

    在这里插入图片描述
    然后对σMLE关于σ求导,并令导数等于0:
    在这里插入图片描述


    2 有偏估计与无偏估计

    有偏估计就是估计值与实际值有偏差;无偏估计就是估计值与实际值相同。举个栗子:设μ1为μ的估计,若μ1的期望E(μ1)=μ,则μ1为μ的无偏估计;设σ21为σ2的估计,若σ21的期望E(σ21)≠σ2,则σ21为σ2的有偏估计。

    那么问题来了,在前一节即【1 高斯分布】一节中求出的uMLE和σ2MLE属于哪种估计呢?

    2.1 uMLE为无偏估计

    在这里插入图片描述

    2.2 σ2MLE为有偏估计

    第一步,化简:
    在这里插入图片描述
    第二步,判断:
    在这里插入图片描述


    3 高斯分布的概率密度函数

    现在有一个数据集X中有N个样本实例,每个样本有p个维度。用符号表示为X = (x1,x2,…,xN)T,xi∈Rp,i=1…N。

    设x为随机变量(小写的哦),且x本身是一个p维向量,x=(x1,x2,…,xp)T。假设x~N(μ,Σ),μ为x的期望即【E(x)=μ】,则μ也为p维向量,设μ=(μ12,…,μp)T;Σ为x的协方差矩阵,Σ为对称矩阵且是半正定的。下图给出了Σ矩阵:
    在这里插入图片描述
    下图是高维的高斯分布的概率密度函数(【(x-μ)TΣ-1(x-μ)】本质是一个二次型,是半正定的,但是为了方便讨论,下文假设为正定的):
    在这里插入图片描述
    【(x-μ)TΣ-1(x-μ)】是向量x与μ的马氏距离,为【(1×p)×(p×p)×(p×1)=1】维的一个数。当Σ为p维单位矩阵,则马氏距离变成欧氏距离。下面对Σ做特征分解(也称为谱分解):
    在这里插入图片描述
    将上面算好的Σ代入【(x-μ)TΣ-1(x-μ)】:
    在这里插入图片描述
    利用一个小技巧(根据up主的说法,向量yi为向量x-μ在向量μi方向上的投影,我线代和矩阵学的不好,暂时不太了解),如下:
    在这里插入图片描述
    p为维度,令p=2。为了书写方便,令【Δ=(x-μ)TΣ-1(x-μ)】,则:
    在这里插入图片描述


    4 高斯分布的局限性

    在这里插入图片描述


    5 边缘概率与条件概率的求解

    现在将x分为两部分,令x=(xa,xb)T,xa为m维向量,xb为n维向量,且m+n=p。不难看出xa与xb的联合概率分布即为x的概率分布。

    同样地,将μ分为两部分,令μ=(μab)T,μa为m维向量,μb为n维向量,且m+n=p。

    也将Σ矩阵划分为四部分:
    在这里插入图片描述
    由于Σ是对称矩阵,所以ΣabTba,ΣaaTaa,ΣbbTbb

    现在的问题就是求解:① 边缘概率分布P(xa)与P(xb);② 条件概率分布P(xa|xb)与P(xb|xa)。

    先给出一个定理:设x~N(μ,Σ),y=Ax+B,A与B均为矩阵,则y~N(Aμ+B,AΣAT)。记此定理为*(下面会用到,一定记住)。

    现在开始求解。

    5.1 边缘概率分布P(xa)与P(xb)

    在这里插入图片描述
    则边缘概率分布P(xa)与P(xb)可由对应的高斯分布的概率密度函数给出。

    5.2 条件概率分布P(xa|xb)与P(xb|xa)

    在这里插入图片描述
    现给出高斯分布的另一条定理:设x~N(μ,Σ),则Mx⊥Nx⇔MΣNT=0,这里Mx⊥Nx指Mx与Nx相互独立,M与N均为矩阵,Σ还是上面的分块矩阵:
    在这里插入图片描述
    记上面的定理为**(下面会用到,一定记住)。下面证明xba与xa的独立性,用到了**定理哦:
    在这里插入图片描述
    因为MΣNT=0,所以xba是xa相互独立的,所以结合条件概率与独立性【P(xba|xa)=P(xba)】。下面继续推:
    在这里插入图片描述


    6 联合概率分布的求解

    已知x~N(μ,Λ-1),其中Λ-1称为精度矩阵,为协方差矩阵Σ的逆矩阵。y=Ax+b+ε,其中A与b为系数,ε~N(0,L-1),ε与x独立,则y|x~N(Aμ+b,L-1)。现在要求的是:① p(y);② p(x|y)。

    6.1 p(y)的求解

    在这里插入图片描述
    则p(y)可由对应的高斯分布的概率密度函数给出。

    6.2 p(x|y)的求解

    在这里插入图片描述
    上面算出了E(z)与Var(z),则x与y的联合概率分布即z的分布为N(E(z),Var(z))。

    在【5 边缘概率与条件概率的求解】一节中,x=(xa,xb)T,xa|xb的分布为:
    在这里插入图片描述
    其中的各个符号为:
    在这里插入图片描述
    根据上面的公式,x|y~N(μxyxyΣyy-1y,Σxxy),对应地,前面这个式子的各个符号为:
    在这里插入图片描述
    则p(x|y)可由对应的高斯分布的概率密度函数给出。


    END

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  • 博主最近在看卡尔曼滤波算法,个人认为在卡尔曼滤波算法中最核心的部分莫过于高维高斯联合概率分布的性质,因此打算将这些性质整理成博客记录下来方便自己今后的学习,如果有哪里不对,欢迎各位读者指正。...

    博主最近在看卡尔曼滤波算法,个人认为在卡尔曼滤波算法中最核心的部分莫过于高维高斯联合概率分布的性质,因此打算将这些性质整理成博客记录下来方便自己今后的学习,如果有哪里不对,欢迎各位读者指正。

    一 引理

    ​ 这里我引入一个定理,这个定理不在本博客证明,因为它很直观,便于理解。
    ​ 假设随机变量 X X X服从均值为 μ \mu μ,协方差矩阵为 Σ \Sigma Σ的高斯分布(为了更具有一般性,这里的均值是一个向量,协方差是一个矩阵)。随机变量 Y = A X + B Y=AX+B Y=AX+B(这里的矩阵 A A A B B B都是常值矩阵),则结论是 Y Y Y也服从于一个高维高斯分布,它的均值是 A μ + B A\mu+B Aμ+B,协方差矩阵是 A Σ A T A\Sigma{A^{T}} AΣAT

    二 推导

    ​ 设 p p p维随机变量 X = ( x 1 , x 2 , … , x p ) T X=(x_1,x_2,\dots,x_p)^{T} X=(x1,x2,,xp)T服从均值 μ = ( μ 1 , μ 2 , … , μ p ) T \mu=(\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_p)^{T} μ=(μ1,μ2,,μp)T,协方差矩阵为式(2-1)的高斯分布,现在我们将随机变量 X X X切分为两个随机变量,第一个随机变量取随机变量 X X X的前 m m m维记为 X a X_a Xa,对应的均值为 μ a \mu_a μa。第二个随机变量取随机变量 X X X的后 n n n维记为 X b X_b Xb,对应的均值为 μ b \mu_b μb,且满足( m + n = p m+n=p m+n=p)。则随机变量 X X X可以写成 X = ( X a , X b ) T X=(X_a,X_b)^{T} X=(Xa,Xb)T,均值可以写成 μ = ( μ a , μ b ) T \mu=(\mu_a,\mu_b)^{T} μ=(μa,μb)T,协方差矩阵可写成式(2-2)。
    Σ = { σ 11 σ 12 … σ 1 p σ 21 σ 22 … σ 2 p ⋮ ⋮ … σ 3 p σ p 1 σ p 2 … σ p p } (2-1) \Sigma= \left\{ \begin{matrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \dots & \sigma_{1p} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \dots & \sigma_{2p} \\ \vdots & \vdots & \dots & \sigma_{3p} \\ \sigma_{p1} & \sigma_{p2} & \dots & \sigma_{pp} \end{matrix} \right\} \tag{2-1} Σ=σ11σ21σp1σ12σ22σp2σ1pσ2pσ3pσpp(2-1)

    Σ = { Σ a a Σ a b Σ b a Σ b b } (2-2) \Sigma= \left\{ \begin{matrix} \Sigma_{aa}&\Sigma_{ab}\\ \Sigma_{ba}&\Sigma_{bb} \end{matrix} \right\} \tag{2-2} Σ={ΣaaΣbaΣabΣbb}(2-2)

    ​ 现在的问题是随机变量 X a X_a Xa以及在给定 X a X_a Xa的条件下 X b X_b Xb服从什么样参数的分布?
    ​ 为了使用引入的定理,这里我们构造出 X a X_a Xa X X X之间的关系,即 X a = ( I m , 0 n ) X X_a=(I_m,0_n)X Xa=(Im,0n)X。由此可以看出, X a X_a Xa可以由 X X X线性表出,则 X a X_a Xa服从高斯分布,均值和协方差矩阵求解见式(2-3)。
    E [ X a ] = ( I m , 0 ) μ = μ a V a r [ X a ] = ( I m 0 ) ( Σ a a Σ a b Σ b a Σ b b ) ( I m T 0 ) = ( Σ a a Σ a b ) ( I m 0 ) = Σ a a (2-3) E[X_a]=(I_m,0)\mu=\mu_a\\ Var[X_a]= \begin{pmatrix} I_m&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Sigma_{aa}&\Sigma_{ab}\\ \Sigma_{ba}&\Sigma_{bb} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_m^{T}\\ 0\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \Sigma_{aa}&\Sigma_{ab} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_m\\ 0 \end{pmatrix} =\Sigma_{aa} \tag{2-3} E[Xa]=(Im,0)μ=μaVar[Xa]=(Im0)(ΣaaΣbaΣabΣbb)(ImT0)=(ΣaaΣab)(Im0)=Σaa(2-3)

    所以 X a X_a Xa服从于均值为 μ a \mu_a μa,协方差为 Σ a a \Sigma_{aa} Σaa的高斯分布。
    现在做一下变量替换,见式(2-4),这里的替换纯属是为了后面计算方便,读者不必纠结于此。
    X b . a = X b − Σ b a Σ a a − 1 X a μ b . a = μ b − Σ b a Σ a a − 1 μ a Σ b b . a = Σ b a − Σ a a − 1 Σ a b (2-4) X_{b.a}=X_b-\Sigma_{ba}\Sigma_{aa}^{-1}X_{a}\\ \mu_{b.a}=\mu_b-\Sigma_{ba}\Sigma_{aa}^{-1}\mu_a\\ \Sigma_{bb.a}=\Sigma_{ba}-\Sigma_{aa}^{-1}\Sigma_{ab} \tag{2-4} Xb.a=XbΣbaΣaa1Xaμb.a=μbΣbaΣaa1μaΣbb.a=ΣbaΣaa1Σab(2-4)
    于是 X b . a X_{b.a} Xb.a可以表示为 ( − Σ b a Σ a a − 1 , I n ) X (-\Sigma_{ba}\Sigma_{aa}^{-1},I_n)X (ΣbaΣaa1,In)X。并且可以验证, X b . a X_{b.a} Xb.a的期望为 μ b . a \mu_{b.a} μb.a,协方差为 Σ b b . a \Sigma_{bb.a} Σbb.a。因此 X b = X b . a + Σ b a Σ a a − 1 X a X_b=X_{b.a}+\Sigma_{ba}\Sigma_{aa}^{-1}X_a Xb=Xb.a+ΣbaΣaa1Xa。所以在给定 X a X_a Xa的前提下, E [ X b ∣ X a ] = μ b . a + Σ b a Σ a a − 1 μ a E[X_{b}|X_a]=\mu_{b.a}+\Sigma_{ba}\Sigma_{aa}^{-1}\mu_a E[XbXa]=μb.a+ΣbaΣaa1μa V a r [ X b ∣ X a ] = V a r [ X b . a ] = Σ b b . a Var[X_b|X_a]=Var[X_{b.a}]=\Sigma_{bb.a} Var[XbXa]=Var[Xb.a]=Σbb.a

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  • 二 数学基础-概率-高斯分布 2.1 思维导图简述 数学基础-高斯分布思维导图 2.2 内容 2.2.1 高斯分布的最大似然估计 A 已知 数据条件:xix_{i}xi​是p∗1维p*1维p∗1维的列向量,代表一组数据。XXX是N*p维矩阵,表示...

    二 数学基础-概率-高斯分布

    2.1 思维导图简述

    在这里插入图片描述

    数学基础-高斯分布思维导图

    2.2 内容

    2.2.1 高斯分布的最大似然估计

    A 已知

    数据条件: x i x_{i} xi p ∗ 1 维 p*1维 p1的列向量,代表一组数据。 X X X是N*p维矩阵,表示N组数据。

    在这里插入图片描述
    高斯分布:
    一维高斯分布(以一维高斯分布为例)

    在这里插入图片描述

    多维高斯分布

    在这里插入图片描述

    B 求最大似然估计MLE

    在这里插入图片描述

    C 解

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    D 收获

    最大似然估计MLE: maximum likelihood estimation,由高斯提出,R.A Fisher发扬光大。

    MLE就是求使概率P(X|θ)取得最大值的θ是多少:

    在这里插入图片描述

    P(X|θ)是什么,P(X|θ)是指在θ发生时,X发生的概率

    不同的参数θ发生,会使得P(X|θ)的值不一样,当已知某个参数θ就使这个样本出现的概率最大,我们当然不会去选其他参数,所以干脆就选这个θ啦

    2.2.2 高斯分布的最大似然估计无偏和有偏性

    背景

    在这里插入图片描述

    高斯分布最大似然估计中,均值估计是无偏的,方差估计是有偏的。

    A 已知:

    在这里插入图片描述

    B 求

    最大似然估计的均值: μ M L E \mu _{MLE} μMLE

    最大似然估计的方差: σ M L E 2 \sigma _{MLE}^2 σMLE2

    C 解

    在这里插入图片描述

    D 收获

    高斯分布最大似然估计中,均值估计是无偏的,方差估计是有偏的。

    2.2.3 从概率密度角度观察高斯分布

    背景

    结论

    从不一样的概率角度观察和分析高斯分布。发现

    二维高斯分布可以用平面上的不同的椭圆曲线来表达。

    在这里插入图片描述

    基础

    PDF:probability denstiy function 概率密度函数

    马氏距离:

    在这里插入图片描述

    欧式距离:马氏距离Σ=1就是欧式距离

    在这里插入图片描述

    A 已知

    多维高斯分布的PDF为:

    在这里插入图片描述

    其中, x ∈ R p , r . v x \in {R^p}{\rm{,r}}{\rm{.v}} xRp,r.v

    1

    B 求

    多维高斯分布的PDF中,只有x是自变量, μ 和 Σ \mu和\Sigma μΣ均是参数。

    在这里插入图片描述

    根据多维高斯分布PDF,求出多维高斯分布的数学表现形式。

    C 解

    在这里插入图片描述

    2.2.4 高斯分布的局限性

    A 局限性

    1. 方差阵Σ是一个p*p维的对称矩阵,太难求了,计算量太大

    Σ的参数个数是(p*p-p)/2+p = (p*p+p)/2 = O(p^2)

    通过将Σ设置为对角矩阵可以缓解计算量

    1. 只能处理,假设整个模型是高斯分布,但仅用一个高斯分布无法表达模型

    GMM中提出混合模型

    B 完整过程

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    20200514104953725

    2.2.5 求高斯分布的边缘概率以及条件概率

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    2.2.6 求高斯分布的联合概率分布

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    2.3 问题

    2.3.1 目前还无法完整脱稿推出高斯分布的全部特点。

    【待完善推导】

    参考资料

    [1] shuhuai008. 【机器学习】【白板推导系列】【合集 1~23】. bilibili. 2019.
    https://www.bilibili.com/video/BV1aE411o7qd?p=1

    [2] 从概率密度角度观察高斯分布手稿

    在这里插入图片描述

    展开全文
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高斯概率分布