精华内容
下载资源
问答
  • matlab开发-高斯正态分布概率密度函数。高斯正态分布是应用最广泛的分布之一。
  • normrnd_normfit 帮助用户生成一个正态分布的随机集数据,然后在数据的顶部和后面拟合高斯曲线计算其均值和标准差。 它可以帮助用户检查 NORMRND 函数完成了它的工作。它绘制了原始直方图和拟合的直方图。 normrnd_...
  • 通过一分钟高斯正态分布知道正态分布是什么,如何用,它的概率密度和概率分布函数是什么;正态分布的概率密度函数曲线呈钟形,因此人们又经常称之为钟形曲线(类似于寺庙里的大钟,因此得名)
  • 今天小编就为大家分享一篇使用Python实现正态分布正态分布采样,具有很好的参考价值,希望对大家有所帮助。一起跟随小编过来看看吧
  • 正态分布(Normal distribution)又成为高斯分布(Gaussian distribution) 若随机变量X服从一个数学期望为、标准方差为的高斯分布,记为: 则其概率密度函数为: 正态分布的期望值决定了其位置,其标准差决定...
  • 高斯分布&正态分布

    2021-07-11 16:45:29
    高斯分布又叫正态分布,是统计学中最重要的连续概率分布。研究表明,在物理科学和经济学中,大量数据的分布通常是服从高斯分布,所以当我们对数据潜在分布模式不清楚时,可以优先用高斯分布近似或精确描述。 遵循...


    高斯分布又叫正态分布,是统计学中最重要的连续概率分布。研究表明,在物理科学和经济学中,大量数据的分布通常是服从高斯分布, 所以当我们对数据潜在分布模式不清楚时,可以优先用高斯分布近似或精确描述。

    遵循高斯分布的随机变量是假设在给定范围内的任何值,比如某小学学校学生的身高,它可以取任何值,但是会限制在0到2米范围内,这个限制是根据实际生活中强加的,但是在高斯分布中,没有随机变量这个范围限制,可以扩展到整个实数范围内,最终会得到一个很好的平滑曲线,这样的随机变量被称为连续变量,高斯分布的作用在于给定某个值在特定范围内的概率,它是一种研究误差服从一个什么样的分布。

    高斯分布定义

    高斯分布相关概念在高中数学学到过,估计大家都忘了差不多,先稍微回顾下。

    假设随机变量X服从高斯分布,即
    X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu ,\sigma^{2} ) XN(μ,σ2)
    其概率密度函数为:
    f ( x ) = 1 σ 2 π e − 1 2 ( x − μ σ ) 2 f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu }{\sigma })^{2}}\\ f(x)=σ2π 1e21(σxμ)2
    其 中 , σ 为 总 体 标 准 差 , μ 为 总 体 均 值 , π 为 3.14159 , e 为 2.71828 其中,\sigma为总体标准差,\mu为总体均值,\\ \pi为3.14159,e为2.71828 σμπ3.14159e2.71828

    在这里插入图片描述
    以上高斯分布曲线取决于两个因素:均值和标准差。分布的均值决定了图形中心的位置,标准差决定了图像的高度和宽度。标准差大时,曲线呈现出“矮胖”,标准差小时,曲线呈现出“高瘦”。因此通过改变均值和标准差,根据其概率密度函数得到不同的高斯分布,如下图所示。
    在这里插入图片描述
    那么高斯分布曲线具有什么样的性质呢?
    ①曲线下的总面积为1
    ②随机变量X等于任何特定值的概率为0
    ③X大于a的概率等于以a为界到正无穷大的曲线下的面积
    ④X小于a的概率等于从负无穷大到以a为界的曲线下的面积

    此外,高斯分布(无论其均值和标准差如何)都符合以下性质
    ①大约 68% 的曲线下面积落在平均值的 1 个标准偏差内
    ②大约 95% 的曲线下面积落在平均值的 2 个标准差内
    ③大约 99.7% 的曲线下面积落在平均值的 3 个标准差内

    这些点统称为经验法则或 68-95-99.7 法则。 显然,给定一个高斯分布,大多数结果将在平均值的 3 个标准偏差内。

    标准形式
    因为改变 μ 和 σ 的效果只是使曲线沿 x 轴移动,或者只是分别加宽或缩小它。 因此,我们可以定义一个新的随机变量 Z 来适应这些变化:
    z = ( x − μ ) / σ z=(x-\mu)/\sigma z=(xμ)/σ
    以上,z称为标准化高斯分布,是高斯分布的一种特例,其中标准的高斯分布的随机变量称为标准分数或者z分数,每个高斯随机变量X可以通过以上等式转换为z-score。就这个标准变量而言,高斯分布可以简化为
    f ( x ) = 1 σ 2 π e − 1 2 z 2 f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{-\frac{1}{2}z^{2}} f(x)=σ2π 1e21z2
    这个分布的参数为 μ=0,σ=1,因此Z∼N(0,1)。

    高斯分布意义

    首先举几个小栗子:
    ①在高尔顿钉板实验中,从漏斗形上口掉落的小球会遇上一系列排列成三角形的“钉子”。每当小球从正上方下落到一个“钉子”上时,它总是会有50%的概率跑到左边,50%的概率跑到右边。在经过数次这样随机的“左右选择”之后,小球掉落到下方的格子中。
    最终,格子中小球的数量直观地体现了这一过程的概率分布。小球落入某个格子的概率符合二项分布,而当钉子、格子和小球的数量足够多时,小球的分布会接近高斯分布。
    在这里插入图片描述
    ②再比如,疫情期间隔离为14天,为啥一定是14天?这个数字就是来源于高斯分布;在流行病学中,疾病的潜伏期通常可以用对数高斯分布来近似,对数高斯随机分布都存在一个长尾,尽管长尾部分的概率很小但不是零,如果样本量足够大,长尾部分的小概率事件还是有可能发生的。
    在这里插入图片描述

    ③超市某牛奶为250ml,但是实际过程中肯定会有误差,真实值是服从均值为250ml的高斯分布,但是这里的方差肯定很小,不然会招到顾客投诉;
    ④惊奇的是,智商测试的分数也是服从高斯分布,因此大部分人的智商都是正常的,像爱因斯坦这种聪明绝顶的属于高斯分布的顶尖;
    在这里插入图片描述

    生活中有好多例子都是服从高斯分布 ,那么高斯分布还能做些什么呢?
    答案是能够估算出数据的位置。
    就比如每次考试出题目,好的考卷并不是题目都很容易,或者都很难,它的目的是为了区分人才,因此这里的标准差就起到了很大的作用。

    重点来啦
    以上,现实世界中的现象遵循高斯(或接近高斯)分布,这使研究人员可以使用高斯分布作为评估与现实世界现象相关的概率模型。 通常,分析包括两个步骤。
    Step1:转换原始数据。通常,原始数据不是 z-score的形式,需要使用前面通过转换方程将它们转换为 z-score:z = (X - μ) / σ。
    Step2:寻找概率。将数据转换为z-score后,可以使用标准高斯分布表、在线计算器或手持绘图计算器来查找与 z-score相关的概率。

    高斯分布的概率密度函数推导

    如上所述,高斯分布的概率密度函数为
    f ( x ) = 1 σ 2 π e − 1 2 ( x − μ σ ) 2 f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu }{\sigma })^{2}} f(x)=σ2π 1e21(σxμ)2
    简化形式为
    f ( x ) = 1 2 π σ e − x 2 2 σ 2 f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }e^{-\frac{x^{2}}{2\sigma ^{2}}} f(x)=2π σ1e2σ2x2
    现对以上公式进行推导。
    假设误差密度函数为f(x),现有n个独立观测值x1,x2,…,xn,真实值为x,则似然估计函数(不懂的快去补基础知识)为:
    L ( x ) = f ( x 1 − x ) ⋅ f ( x 2 − x ) ⋅ ⋅ ⋅ f ( x n − x ) L(x)=f(x_{1}-x)\cdot f(x_{2}-x)\cdot \cdot \cdot f(x_{n}-x) L(x)=f(x1x)f(x2x)f(xnx)
    为了将似然估计函数取得最大值,一般求导,并将导函数等于0,即可求得极值,但是直接求导太麻烦,因此这里会做一个取对数的操作,就是为了方便计算。
    所以,等式两边取对数,则有
    l n L ( x ) = ∑ i = 1 n l n f ( x i − x ) lnL(x)= \sum_{i=1}^{n}lnf(x_{i}-x) lnL(x)=i=1nlnf(xix)
    再对x进行求导,有
    d l n L ( x ) d x = − ∑ i = 1 n f ′ ( x i − x ) f ( x i − x ) = 0 \frac{dlnL(x)}{dx}=-\sum_{i=1}^{n}\frac{f^{'}(x_{i}-x)}{f(x_{i}-x)}=0 dxdlnL(x)=i=1nf(xix)f(xix)=0

    g ( x ) = f ′ ( x ) f ( x ) g(x)=\frac{f^{'}(x)}{f(x)} g(x)=f(x)f(x)

    ∑ i = 1 n g ( x i − x ) = 0 \sum_{i=1}^{n}g(x_{i}-x)=0 i=1ng(xix)=0
    这里,高斯做了一个大胆的假设,认为真实值x的估计为 x ‾ , 其 中 x ‾ = x 1 + x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ x n n \overline{x},其中\overline{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdot \cdot \cdot x_{n}}{n} xx=nx1+x2+xn
    g ( x 1 − x ˉ ) + g ( x 2 − x ˉ ) + . . . + g ( x n − x ˉ ) = 0 g(x_{1}-\bar{x})+g(x_{2}-\bar{x})+...+g(x_{n}-\bar{x})=0 g(x1xˉ)+g(x2xˉ)+...+g(xnxˉ)=0
    因此对上式x1进行求偏导,得
    g ′ ( x 1 − x ˉ ) ⋅ ( 1 − ∂ x ˉ ∂ x 1 ) + g ′ ( x 2 − x ˉ ) ⋅ ( − ∂ x ˉ ∂ x 1 ) + . . . = 0 g^{'}(x_{1}-\bar{x})\cdot (1-\frac{\partial \bar{x}}{\partial x_{1}})+g^{'}(x_{2}-\bar{x})\cdot (-\frac{\partial \bar{x}}{\partial x_{1}})+...=0 g(x1xˉ)(1x1xˉ)+g(x2xˉ)(x1xˉ)+...=0
    因为
    ∂ x ˉ ∂ x 1 = 1 n \frac{\partial \bar{x}}{\partial x_{1}}=\frac{1}{n} x1xˉ=n1
    同理,分别对x2,x3…xn进行求导,写成矩阵形式为:
    ( 1 − 1 n − 1 n . . . − 1 n − 1 n 1 − 1 n . . . − 1 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ − 1 n − 1 n ⋯ 1 − 1 n ) ( g ′ ( x 1 − x ˉ ) g ′ ( x 2 − x ˉ ) ⋮ g ′ ( x n − x ˉ ) ) = 0 \begin{pmatrix} 1-\frac{1}{n} & -\frac{1}{n} & ... & -\frac{1}{n} \\ -\frac{1}{n} & 1-\frac{1}{n} & ... & -\frac{1}{n}\\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\ -\frac{1}{n} & -\frac{1}{n} & \cdots & 1-\frac{1}{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} g^{'}(x_{1}-\bar{x})\\ g^{'}(x_{2}-\bar{x})\\ \vdots \\ g^{'}(x_{n}-\bar{x}) \end{pmatrix}=0 1n1n1n1n11n1n1......n1n11n1g(x1xˉ)g(x2xˉ)g(xnxˉ)=0
    以上为齐次线性方程组,利用齐次线性方程组性质:
    x = c ( 1 , . . . , 1 ) τ x=c\begin{pmatrix} 1,...,1 \end{pmatrix}^{\tau } x=c(1,...,1)τ

    g ′ ( x 1 − x ˉ ) = g ′ ( x 2 − x ˉ ) = ⋯ = g ′ ( x n − x ˉ ) = c g^{'}(x_{1}-\bar{x})=g^{'}(x_{2}-\bar{x})=\cdots =g^{'}(x_{n}-\bar{x})=c g(x1xˉ)=g(x2xˉ)==g(xnxˉ)=c
    则,g(x)=cx+b
    0 = ∑ i = 1 n g ( x i − x ) = ∑ i = 1 n c ( x i − x ) + n b 0=\sum_{i=1}^{n}g(x_{i}-x)=\sum_{i=1}^{n}c(x_{i}-x)+nb 0=i=1ng(xix)=i=1nc(xix)+nb
    所以,b=0
    因为:
    f ′ ( x ) f ( x ) = c x \frac{f^{'}(x)}{f(x)}=cx f(x)f(x)=cx
    根据分离变量求解,得
    f ( x ) = k e 1 2 c x 2 f(x)=ke^{\frac{1}{2}cx^{2}} f(x)=ke21cx2
    由于
    ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 \int_{-\infty }^{+\infty}f(x)dx=1 +f(x)dx=1
    若要收敛,则c<0

    c = − 1 σ 2 c=-\frac{1}{\sigma ^{2}} c=σ21
    利用
    ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x = π / 2 ( 需 要 自 证 ) \int_{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx=\sqrt{\pi }/2(需要自证) +ex2dx=π /2

    k = 1 2 π σ k=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma } k=2π σ1
    所以
    f ( x ) = 1 2 π σ e − x 2 2 σ 2 f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }e^{-\frac{x^{2}}{2\sigma ^{2}}} f(x)=2π σ1e2σ2x2

    以上推导两大创新之处:
    ①直接构造极大似然函数
    ②逆向思维,即对真值x的估计

    展开全文
  • 高斯分布与正态分布

    千次阅读 2020-12-04 15:16:56
    正态分布(Normal distribution),也称“常态分布”,又名高斯分布(Gaussian distribution),最早由棣莫弗(Abraham de Moivre)在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。...

                              高斯分布(Gaussian distribution)

     

            正态分布(Normal distribution),也称“常态分布”,又名高斯分布(Gaussian distribution),最早由棣莫弗(Abraham de Moivre)在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。

            正态曲线呈钟型,两头低,中间高,左右对称因其曲线呈钟形,因此人们又经常称之为钟形曲线

            若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布,记为N(μ,σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置,其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布

     

    一、基本概念

    1. 概率函数:把事件概率表示成关于事件变量的函数
    2. 概率分布函数:一个随机变量ξ取值小于某一数值x的概率,这概率是x的函数,称这种函数为随机变量ξ的分布函数,简称分布函数,记作F(x),即F(x)=P(ξ<x) (-∞<x<+∞),由它并可以决定随机变量落入任何范围内的概率。

     

    • 概率密度函数:
    1. 概率密度等于变量在一个区间(事件的取值范围)的总的概率除以该段区间的长度。
    2. 概率密度函数是一个描述随机变量在某个确定的取值点附近的可能性的函数。

     

    • 概率分布函数与概率密度函数的关系:
    1. 连续型随机变量X的概率分布函数F(x),如果存在非负可积函数f(x),使得对任意实数x,有

             F{​{}'}(x) = [\int f(x)dx]{}' = f(x)

             其中f(x)为X的概率密度

     

    二、高斯分布

    • 通过概率密度函数来定义高斯分布:

           

     

    • 高斯分布的概率密度函数是:

           

     

    • 均值为μ,标准差为σ

           

     

    • 高斯分布的概率分布函数是:

           

     

    • 高斯分布标准差在概率密度分布的数据意义

           

     

           

     

    三、高斯分布重要量的性质

           密度函数关于平均值对称平均值是它的众数(statistical mode)以及中位数(median)函数曲线下68.268949%的面积在平均值左右的一个标准差范围内95.449974%的面积在平均值左右两个标准差2σ的范围内99.730020%的面积在平均值左右三个标准差3σ的范围其中第3-5条称为68-95-99.7法则。举一个例子:

    • 检查一些示例数据:

    女性体重的平均值= 127.8

    标准偏差(SD)= 15.5

           

     

    • 一个标准差的范围

           

     

    • 两个标准差的范围

           

     

    四、如何检查你的数据是不是高斯分布

    1. 看直方图! 是不是看起来像钟形?
    2. 计算描述性汇总度量 - 平均值,中位数和模式是否相似?
    3. 2/3的观察是否位于平均值的±标准差1内? 95%的观察值是否在平均值的±2标准差范围内?

     

    五、中心极限定理

           正态分布有一个很重要的性质:在特定条件下,大量统计独立的随机变量的和的分布趋于正态分布,这就是中心极限定理。中心极限定理的重要意义在于,依据这一定理的结论,其它概率分布能够用正态分布作为近似。

           高斯分布可以从二项式(或泊松)推导出假设:p不接近1或者0时,n非常大,我们有一个连续变量而不是一个离散变量。

           考虑扔一次硬币10,000次。p(头)= 0.5,N = 10,000

    • 对于二项分布:

    平均数为μ = np=5000,标准差为σ = [np(1-p)] ^1/2 = 50。

    此二项分布的概率在μ±1范围内:

     

    • 高斯分布均值±一个标准差的概率积分:

           

     

    • 高斯分布线性组合的重要性质

           

     

     

    展开全文
  • 描述高斯函数积分方法,查表转换。用于计算高斯函数积分
  • 正态分布高斯分布)

    万次阅读 多人点赞 2018-11-09 15:54:21
    Table of Contents 正态分布 概要 历史 正态分布的定义 概率密度函数 累积分布函数 生成函数 性质 ...正态分布 ...正态分布(英语:normal distribution)又名高斯分布(英语:Gaussian dist...

    Table of Contents

    正态分布

    概要

    历史

    正态分布的定义

    概率密度函数

    累积分布函数

    生成函数

    性质

    动差或矩(moment)

    中心极限定理

    无限可分性

    稳定性

    标准偏差

    相关分布

    参量估计

    参数的极大似然估计

    计量误差

    参考文献


    正态分布


    正态分布(英语:normal distribution)又名高斯分布(英语:Gaussian distribution),是一个非常常见的连续概率分布。正态分布在统计学上十分重要,经常用在自然社会科学来代表一个不明的随机变量。

                            X \sim N(\mu,\sigma^2),

    则其概率密度函数

                       f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{- {​{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}}}

    正态分布的数学期望值或期望值\mu等于位置参数,决定了分布的位置;其方差\sigma^2的开平方或标准差\sigma等于尺度参数,决定了分布的幅度。

    正态分布的概率密度函数曲线呈钟形,因此人们又经常称之为钟形曲线(类似于寺庙里的大钟,因此得名)。我们通常所说的标准正态分布是位置参数\mu =0,尺度参数\sigma^2 = 1的正态分布。

     

    概要

    正态分布是自然科学行为科学中的定量现象的一个方便模型。各种各样的心理学测试分数和物理现象比如光子计数都被发现近似地服从正态分布。尽管这些现象的根本原因经常是未知的,理论上可以证明如果把许多小作用加起来看做一个变量,那么这个变量服从正态分布(在R.N.Bracewell的Fourier transform and its application中可以找到一种简单的证明)。正态分布出现在许多区域统计:例如,采样分布均值是近似地正态的,即使被采样的样本的原始群体分布并不服从正态分布。另外,正态分布信息熵在所有的已知均值及方差的分布中最大,这使得它作为一种均值以及方差已知的分布的自然选择。正态分布是在统计以及许多统计测试中最广泛应用的一类分布。在概率论,正态分布是几种连续以及离散分布的极限分布

    历史

    正态分布最早是棣莫弗在1718年著作的书籍的(Doctrine of Change),及1734年发表的一篇关于二项分布文章中提出的,当二项随机变量的位置参数n很大及形状参数p为1/2时,则所推导出二项分布的近似分布函数就是正态分布。拉普拉斯在1812年发表的《分析概率论》(Theorie Analytique des Probabilites)中对棣莫佛的结论作了扩展到二项分布的位置参数为n及形状参数为1>p>0时。现在这一结论通常被称为棣莫佛-拉普拉斯定理

    拉普拉斯在误差分析试验中使用了正态分布。勒让德于1805年引入最小二乘法这一重要方法;而高斯则宣称他早在1794年就使用了该方法,并通过假设误差服从正态分布给出了严格的证明。

    “钟形曲线”这个名字可以追溯到Jouffret他在1872年首次提出这个术语"钟形曲面",用来指代二元正态分布bivariate normal)。正态分布这个名字还被Charles S. PeirceFrancis GaltonWilhelm Lexis在1875分别独立地使用。这个术语是不幸的,因为它反映和鼓励了一种谬误,即很多概率分布都是正态的。(请参考下面的“实例”)

    这个分布被称为“正态”或者“高斯”正好是Stigler名字由来法则的一个例子,这个法则说“没有科学发现是以它最初的发现者命名的”。

    正态分布的定义

    有几种不同的方法用来说明一个随机变量。最直观的方法是概率密度函数,这种方法能够表示随机变量每个取值有多大的可能性。累积分布函数是一种概率上更加清楚的方法,请看下边的例子。还有一些其他的等价方法,例如cumulant、特征函数动差生成函数以及cumulant-生成函数。这些方法中有一些对于理论工作非常有用,但是不够直观。请参考关于概率分布的讨论。

    概率密度函数

                                               四个不同参数集的概率密度函数(红色线代表标准正态分布)

    正态分布概率密度函数均值为\mu 方差\sigma^2 (或标准差\sigma)是高斯函数的一个实例:

    f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \, \exp \left( -\frac{(x- \mu)^2}{2\sigma^2} \right)

    如果一个随机变量X服从这个分布,我们写作X ~ N(\mu, \sigma^2). 如果\mu =0并且\sigma =1,这个分布被称为标准正态分布,这个分布能够简化为

    f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \, \exp\left(-\frac{x^2}{2} \right)

     

    正态分布中一些值得注意的量:

    • 密度函数关于平均值对称
    • 平均值与它的众数(statistical mode)以及中位数(median)同一数值。
    • 函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。
    • 95.449974%的面积在平均数左右两个标准差2 \sigma的范围内。
    • 99.730020%的面积在平均数左右三个标准差3 \sigma的范围内。
    • 99.993666%的面积在平均数左右四个标准差4 \sigma的范围内。
    • 函数曲线的拐点(inflection point)为离平均数一个标准差距离的位置。

    累积分布函数

                                                                        上图所示的概率密度函数的累积分布函数

    累积分布函数是指随机变量X小于或等于x的概率,用概率密度函数表示为:

    F(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x  \exp  \left( -\frac{(t - \mu)^2}{2\sigma^2} \ \right)\, dt.

    正态分布的累积分布函数能够由一个叫做误差函数特殊函数表示:

    \Phi (z)={\frac  12}\left[1+\operatorname {erf}\left({\frac  {z-\mu }{\sigma {\sqrt  2}}}\right)\right].

    标准正态分布的累积分布函数习惯上记为\Phi,它仅仅是指\mu=0\sigma=1的值,

    \Phi(x) =F(x;0,1)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x \exp\left(-\frac{t^2}{2}\right) \, dt.

    将一般正态分布用误差函数表示的公式简化,可得:

    \Phi(z) = \frac{1}{2} \left[ 1 + \operatorname{erf} \left( \frac{z}{\sqrt{2}} \right) \right] .

    它的反函数被称为反误差函数,为:

    \Phi^{-1}(p) = \sqrt2 \; \operatorname{erf}^{-1} \left(2p - 1 \right) .

    该分位数函数有时也被称为probit函数。probit函数已被证明没有初等原函数。

    正态分布的分布函数\Phi(x)没有解析表达式,它的值可以通过数值积分泰勒级数或者渐进序列近似得到。


    生成函数

    矩母函数

    动差生成函数或矩生成函数或动差产生函数被定义为\exp(tX)的期望值。

    正态分布的动差产生函数如下:

     

    M_X(t)\,= \mathrm{E} \left(  e^{tX} \right)
     = \int_{-\infty}^{\infty}  \frac  {1}  {\sigma \sqrt{2\pi} }  e^{\left( -\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right)}  e^{tx} \, dx
     = e^{ \left(  \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right)}

    可以通过在指数函数内配平方得到。

    特征函数

    特征函数被定义为\exp (i t X)期望值,其中i是虚数单位. 对于一个常态分布来讲,特征函数是:

    \phi_X(t;\mu,\sigma)\!= \mathrm{E} \left[  \exp(i t X) \right]
     = \int_{-\infty}^{\infty}  \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}  \exp  \left(- \frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}  \right)  \exp(i t x) \, dx
     = \exp \left(  i \mu t - \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right) .

    把矩生成函数中的t换成i t就能得到特征函数。

    性质

    正态分布的一些性质:

    1. 如果X \sim N(\mu, \sigma^2) \,ab实数,那么a X + b \sim N(a \mu + b, (a \sigma)^2) 
    2. 如果X \sim N(\mu_X, \sigma^2_X)Y \sim N(\mu_Y, \sigma^2_Y)统计独立的正态随机变量,那么:
      • 它们的和也满足正态分布U = X + Y \sim N(\mu_X + \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y) 
      • 它们的差也满足正态分布V = X - Y \sim N(\mu_X - \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y).
      • UV两者是相互独立的。(要求X与Y的方差相等)
    3. 如果X \sim N(0, \sigma^2_X)Y \sim N(0, \sigma^2_Y)是独立正态随机变量,那么:
      • 它们的积X Y服从概率密度函数为p的分布

        p(z) = \frac{1}{\pi\,\sigma_X\,\sigma_Y} \; K_0\left(\frac{|z|}{\sigma_X\,\sigma_Y}\right),其中K_0是修正贝塞尔函数(modified Bessel function)

      • 它们的比符合柯西分布,满足X/Y \sim \mathrm{Cauchy}(0, \sigma_X/\sigma_Y).
    4. 如果X_1, \cdots, X_n为独立标准正态随机变量,那么X_1^2 + \cdots + X_n^2服从自由度为n卡方分布


    动差或矩(moment)

    一些正态分布的一阶动差如下:

    阶数原点矩中心矩累积量
    010 
    1\mu0\mu
    2\mu^2 + \sigma^2\sigma^2\sigma^2
    3\mu^3 + 3\mu\sigma^200
    4\mu^4 + 6 \mu^2 \sigma^2 + 3 \sigma^43 \sigma^40

    标准正态的所有二阶以上的累积量为零。


    中心极限定理

     

                正态分布的概率密度函数,参数为μ = 12,σ = 3,趋近于n = 48、p = 1/4的二项分布的概率质量函数。

    正态分布有一个非常重要的性质:在特定条件下,大量统计独立的随机变量的平均值的分布趋于正态分布,这就是中心极限定理。中心极限定理的重要意义在于,根据这一定理的结论,其他概率分布可以用正态分布作为近似。

    • 参数为np二项分布,在n相当大而且p接近0.5时近似于正态分布(有的参考书建议仅在n pn(1 - p)至少为5时才能使用这一近似)。

    近似正态分布平均数为\mu = n p且方差为\sigma^2 = n p (1 - p).

    • 泊松分布带有参数\lambda当取样样本数很大时将近似正态分布\lambda.

    近似正态分布平均数为\mu = \lambda且方差为\sigma^2 = \lambda.

    这些近似值是否完全充分正确取决于使用者的使用需求

    无限可分性

    正态分布是无限可分的概率分布。

    稳定性

    正态分布是严格稳定的概率分布。

    标准偏差

    深蓝色区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在正态分布中,此范围所占比率为全部数值之68%,根据正态分布,两个标准差之内的比率合起来为95%;三个标准差之内的比率合起来为99%

    在实际应用上,常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。若其假设正确,则约68.3%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围,约95.4%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围,以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。称为“68-95-99.7法则”或“经验法则”。


    相关分布


    参量估计

    参数的极大似然估计

    多元正态分布协方差矩阵的估计的推导是比较难于理解的。它需要了解谱原理(spectral theorem)以及为什么把一个标量看做一个1×1矩阵(matrix)的迹(trace)而不仅仅是一个标量更合理的原因。


    计量误差

    饮料装填量不足与超量的概率[编辑]

    某饮料公司装瓶流程严谨,每罐饮料装填量符合平均600毫升,标准差3毫升的正态分配法则。随机选取一罐,求(1)容量超过605毫升的概率;(2)容量小于590毫升的概率。

    容量超过605毫升的概率 = p ( X > 605)= p ( ((X-μ) /σ) > ( (605 – 600) / 3) )= p ( Z > 5/3) = p( Z > 1.67) = 1 - 0.9525 = 0.0475

    容量小于590毫升的概率 = p (X < 590) = p ( ((X-μ) /σ) < ( (590 – 600) / 3) )= p ( Z < -10/3) = p( Z < -3.33) = 0.0004

    6-标准差(6-sigma或6-σ)的品质管制标准

    6-标准差(6-sigma或6-σ),是制造业流行的品质管制标准。在这个标准之下,一个标准正态分配的变量值出现在正负三个标准差之外,只有2* 0.0013= 0.0026 (p (Z < -3) = 0.0013以及p(Z > 3) = 0.0013)。也就是说,这种品质管制标准的产品不良率只有万分之二十六。假设例中的饮料公司装瓶流程采用这个标准,而每罐饮料装填量符合平均600毫升,标准差3毫升的正态分配。那么预期装填容量的范围应该多少?

    6-标准差的范围 = p ( -3 < Z < 3)= p ( - 3 < (X-μ) /σ < 3) = p ( -3 < (X- 600) / 3 < 3)= p ( -9 < X – 600 < 9) = p (591 < X < 609) 因此,预期装填容量应该介于591至609毫升之间。


    参考文献

    1.  Normal Distribution, Gale Encyclopedia of Psychology
    2. Casella & Berger (2001, p. 102)
    3. Shaou-Gang Miaou; Jin-Syan Chou. 《Fundamentals of probability and statistics》. 高立图书. 2012: 第147页. ISBN 9789864128990.
    展开全文
  • 高斯函数和正态分布

    千次阅读 2019-09-27 22:43:24
    高斯函数与正态分布 高斯函数或者说正态分布函数在很多场合都得到广泛应用,其是概率论和统计学的核心,在最大似然估计、贝叶斯估计中必不可少。其也是稀疏贝叶斯估计的重要基础。下面对高斯函数的一些基本知识点...

    高斯函数与正态分布

    高斯函数或者说正态分布函数在很多场合都得到广泛应用,其是概率论和统计学的核心,在最大似然估计、贝叶斯估计中必不可少。其也是稀疏贝叶斯估计的重要基础。下面对高斯函数的一些基本知识点进行归纳和总结,不当之处,欢迎批评指正。

    (1) 高斯函数

    高斯函数定义如下
    \begin{equation}
    f(x)=aexp(-\frac{(x-b)^2}{2c^2})
    \end{equation}
    其中$a$, $b$,$c$ 为对应的参数。高斯函数是一个钟形曲线。其中参数$a$控制函数的幅度,参数$b$控制钟形曲线的水平位置,参数$c$反应钟形曲线钟的宽度。


    (2) 一维正态分布
    令$a=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$, $b=\mu$, $c=\sigma$, 可得一维随机变量$x$高斯概率密度函数为
    \begin{equation}
    f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})
    \end{equation}
    其中$\mu$,$\sigma^2$分别表示均值和方差。当$\mu=0$以及$\sigma=1$时,即为标准正态分布。此时
    \begin{equation}
    f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{x^2}{2})
    \end{equation}
    由高斯概率密度函数的定义知
    \begin{equation}
    \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}dx=\sqrt{2\pi}\sigma
    \end{equation}
    以及
    \begin{equation}
    \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}
    \end{equation}
    当然上述结果也可以由积分得到。比如令$s=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx$,则$s^2=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{y^2}{2}}dy=\int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}}dxdy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{+\infty}e^{-\frac{r^2}{2}}rdrd\theta=2\pi$,故得到上述结果。


    均值决定高斯分布密度函数的位置,方差反应随机变量偏离均值的距离。方差越大,概率密度函数越平坦,方差越小,概率密度函数越尖锐、窄小,如下图所示。

    (3)多维高斯分布的概率密度函数

    任意$N$维随机变量高斯概率密度函数可以由多维独立随机变量的概率密度函数导出,例如令$\bm{y}=\bm{A}(\bm{x}-\bm{\mu})$,用$\mu$进行平移,矩阵$\bm{A}$进行相关变换。具体过程忽略,可参考知乎或相关博客讲解。$N$维高斯分布的概率密度函数如下
    \begin{equation}
    f(\bm{x})=(2\pi)^{-\frac{N}{2}}\left| \bm{\Sigma}\right| ^{-\frac{1}{2}}exp[-\frac{1}{2}(\bm{x}-\bm{\mu})^T\Sigma^{-1}(\bm{x}-\bm{\mu})]
    \end{equation}
    式中$\bm{\mu}$表示均值向量,$\bm{\Sigma}$表示协方差矩阵。指数部分可以写成另外的形式$L=-\frac{1}{2}(\bm{x}-\bm{\mu})^T\Sigma^{-1}(\bm{x}-\bm{\mu})=-\frac{1}{2}(\bm{x}^T\bm{\Sigma}^{-1}\bm{x}-2\bm{\mu}^T\bm{\Sigma}^{-1}\bm{x}+\bm{\mu}^T\bm{\Sigma}^{-1}\bm{\mu})$

    两个及多个高斯分布的乘积
    (1) 两个高斯概率密度函数的乘积

    现有两个高斯函数分布,分别可以表示为$f(x;\mu_1,\sigma_1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}exp(-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2})$以及为$f(x;\mu_2,\sigma_2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}exp(-\frac{(x-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2})$,则它们的乘积可以表示为
    \begin{equation}
    g(x)=f(x;\mu_1,\sigma_1)f(x;\mu_2,\sigma_2)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}exp(-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}-\frac{(x-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2})
    \end{equation}
    令$L=-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}-\frac{(x-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}$,可采用配方法得到高斯密度函数的形式,这里采用求导法。很明显高斯密度函数的指数部分的一阶导数在均值处有零点,二阶导数与方差的倒数(多维向量为协方差矩阵的逆)成正比,正比系数为-1。令
    \begin{equation}
    \frac{dL}{dx}=-\frac{x-\mu_1}{2\sigma_1^2}-\frac{x-\mu_2}{2\sigma_2^2}=0
    \end{equation}
    得出$x=\frac{\frac{\mu_1}{\sigma_1^2}+\frac{\mu_2}{\sigma_2^2}}{\frac{1}{\sigma_1^2}+\frac{1}{\sigma_2^2}}=\frac{\mu_1\sigma_2^2+\mu_2\sigma_1^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}.$

    再令$\Lambda_i=1/\sigma_i^2$, for $i=1,2$,则可以得到新的高斯分布的均值$\mu$为

    \begin{equation}
        \mu=\frac{\Lambda_1\mu_1+\Lambda_2\mu_2}{\Lambda_1+\Lambda_2}
    \end{equation}
    继续求导有$\frac{d^2L}{d^2x}=-\frac{1}{\sigma_1^2}-\frac{1}{\sigma_2^2}$。即新高斯分布的方差应满足
    \begin{equation}
        \frac{1}{\sigma^2}=\frac{1}{\sigma_1^2}+\frac{1}{\sigma_2^2}
    \end{equation}
    所以关于两个高斯概率密度函数的乘积有如下结论:两个高斯概率密度函数的乘积仍然为高斯分布,其均值为原始两个高斯分布的均值加权和,权值为对应方差的倒数;新高斯分布方差的倒数为原始两个高斯分布的方差倒数之和

    (2)多个高斯概率密度函数的乘积

    上述结论可以推广到多个高斯概率密度函数的乘积。假设有$f(x_i;\mu_i,\sigma_i^2)$,$i=1,2,\dots,N$,令
    \begin{equation}
        g(x)=\prod_{i=1}^{N}(f(x_i;\mu_i,\sigma_i^2))
    \end{equation}
    则$g(x)$也是一个高斯函数,其均值方差满足
    \begin{equation}
    \left\{
        \begin{aligned}
        \mu & = \frac{\sum_{i=1}^{N}\Lambda_i\mu_i}{\sum_{i=1}^{N}\Lambda_i}\\
        \Lambda & = \sum_{i=1}^{N}\Lambda_i
        \end{aligned}
    \right.
    \end{equation}
    其中$\Lambda_i=1/\sigma_i^2$为第$i$个高斯函数的方差的倒数。

    (3)多个多维高斯密度函数的乘积

    首先多维高斯概率密度函数$f(\bm{x})=exp\{-\frac{1}{2}(\bm{x}^T\bm{\Sigma}^{-1}\bm{x}-2\bm{\mu}^T\bm{\Sigma}^{-1}\bm{x}+\bm{\mu}^T\bm{\Sigma}^{-1}\bm{\mu})\}$可以写成
    \begin{equation}
        f(\bm{x})=exp[\bm{\zeta}+\bm{\eta}^T\bm{x}-\frac{1}{2}\bm{x}^T\bm{\Psi x}]
    \end{equation}
    其中$\bm{\Psi}=\Sigma^{-1}$,$\bm{\eta}=\Sigma^{-1}\mu$,$\zeta=-\frac{1}{2}(Nln(2\pi)-ln\Psi+\bm{\eta}^T\bm{\Psi}^{-1}\bm{\eta})$。现假设有$N$个高斯分布的概率密度函数$f_i(x)=exp[\bm{\zeta}^i+\bm{\eta}_i^T\bm{x}-\frac{1}{2}\bm{x}^T\bm{\Psi}_i\bm{x}]$,其乘积为
    \begin{equation}
        g(\bm{x})=\prod_{i=1}^Nf_i(\bm{x})=exp\left[\sum_{i=1}^{N}\zeta_i+(\sum_{i=1}^{N}\bm{\eta}_i^T)\bm{x}-\frac{1}{2}\bm{x}^T(\sum_{i=1}^{N}\bm{\Psi}_i)\bm{x}\right]
    \end{equation}
    令$\bm{\Psi}=\sum_{i=1}^{N}\bm{\Psi_i}$,
    $\bm{\eta}=\sum_{i=1}^{N}\bm{\eta_i}=\sum_{i=1}^{N}\bm{\Sigma}_i^{-1}\mu_i=\sum_{i=1}^{N}\bm{\Psi_i\mu_i}\triangleq\bm{\Psi\mu}$时,$g(\bm{x})$可以进一步写成
    \begin{equation}
        g(\bm{x})=exp(-\bm{\zeta}+\sum_{i=1}^{N}\bm{\zeta_i})exp(\bm{\zeta}+\bm{\eta}^T\bm{x}-\frac{1}{2}\bm{x}^T\bm{\Psi}^T\bm{x})
    \end{equation}
    其中$\zeta=-\frac{1}{2}(Nln(2\pi)-ln\Psi+\bm{\eta}^T\bm{\Psi}^{-1}\bm{\eta})$
    \\可以得出结论:多个多维高斯分布概率密度函数的乘积等于一个高斯分布概率密度函数与一个常数的乘积,也就是一个高斯函数
    两个高斯分布的卷积
    函数$f(x)$与$g(x)$的卷积为
    \begin{equation}
        f(x)\otimes g(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x-\tau)g(\tau)d\tau
    \end{equation}
    这里要用到傅里叶变换及卷积定理,卷积定理简单说是指时域的卷积等于频域的乘积。

    假设$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_f}exp[-\frac{(x-\mu_f)^2}{2\sigma_f^2}]$,$g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_g}exp[-\frac{(x-\mu_g)^2}{2\sigma_g^2}]$,有
    \begin{equation}
    F(f(x))=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-j\omega x}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_f}\int_{-\infty}^{+\infty}exp[-\frac{(x-\mu_f)^2}{2\sigma_f^2}]exp(-j\omega x)dx
    \end{equation}
    令$x-\mu_f=t$,则
    \begin{equation}
    \begin{aligned}
    F(f(x))&=\frac{exp(j\omega \mu_f)}{\sqrt{2\pi}\sigma_f}\int_{-\infty}^{+\infty}exp(-\frac{t^2}{2\sigma_f^2})exp(-j\omega t)dt\\
    &=\frac{2exp(j\omega \mu_f)}{\sqrt{2\pi}\sigma_f}\int_{0}^{+\infty}exp(-\frac{t^2}{2\sigma_f^2})cos(\omega t)dt
    \end{aligned}
    .
    \end{equation}
    由积分$\int_{0}^{+\infty}e^{-at^2}cos(2xt)dt=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{-\frac{x^2}{a}}$可得
    \begin{equation}
    F(f(x))=e^{j\omega \mu_f}e^{-\frac{\omega^2\sigma_f^2}{2}}
    \end{equation}
    可以看出高斯概率密度函数的傅里叶变换仍然是一个高斯分布。进一步有
    \begin{equation}
    F(f(x))F(g(x))=e^{j\omega(\mu_f+\mu_g)}e^{-\frac{\omega^2(\sigma_f^2+\sigma_g^2)}{2}}
    \end{equation}
    根据卷积定理有,
    \begin{equation}
    f(x)\otimes g(x)=F^{-1}(F(f(x))F(g(x)))=\frac{1}{\sqrt{2\pi}(\sigma_f+\sigma_g)}exp[-\frac{(x-(\mu_f+\mu_g)^2)}{2(\sigma_f^2+\sigma_g^2)}]
    \end{equation}
    即可得出结论:两个高斯分布的卷积仍然是一个高斯分布,新高斯分布的均值为原有高斯分布均值之和,方差为原有两个高斯分布的方差和。

    Reference

    [1] P.A.Bromiley. Products and Convolutions of Gaussian Probability Density Functions.2018


     附录
     A1、关于求导的一些相关性质,在最大似然估计等地方可能用到。
     \begin{equation}
     \frac{\partial(\bm{AB})}{\partial x}=\frac{\partial \bm{A}}{\partial x}\bm{B}+\bm{A}\frac{\partial \bm{B}}{\partial x}
     \end{equation}
    \begin{equation}
    \frac{\partial}{\partial x}\bm{A}^{-1}=-\bm{A}^{-1}\frac{\partial \bm{A}}{\partial x}\bm{\bm(A)}^{-1}
    \end{equation}
    \begin{equation}
    \frac{\partial}{\partial x}ln\left| \bm{A}\right| =(\bm{A}^{-1})^T
    \end{equation}
    A2、关于求解高斯分布的概率密度函数的均值和方差
    \\
    假如有如下高斯分布,$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}e^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}}$,令指数$L=-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}$,显然指数$L$的一阶导数在均值$\mu$处有零点。二阶导数恰好为方差的倒数的相反数$-1/\sigma_1^2$。结果同样适用于多维高斯分布,此时二阶导数应为协方差矩阵的逆的相反数。


    转载于:https://www.cnblogs.com/shuangli0824/p/10854560.html

    展开全文
  • 正态分布 高斯分布(数学)

    千次阅读 2020-04-26 20:57:49
    正态分布(Normal distribution),也称高斯分布(Gaussian distribution) 目录 [隐藏] 1什么是正态分布 2正态分布的发展 3正态分布的主要特征 4正态分布的应用 5数据正态分布检验 Q-Q...
  • 概率论:高斯/正态分布

    万次阅读 多人点赞 2015-10-30 20:31:21
    正态分布高斯分布) 若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布,记为N(μ,σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置,其标准差σ决定了分布的幅度。 正态随机变量概率密度函数 ...
  • 正态分布(高斯分布)

    2019-10-29 10:23:00
    原文链接:https://blog.csdn.net/hhaowang/article/details/83898881
  • 正态分布(Normal distribution)正态分布又称高斯分布,是一种很重要的连续型分布,应用甚广。在医学卫生领域中有许多变量的频数分布资料可绘制成直方图而且频数分布是中间(靠近均数处)频数多,两边频数少,且...
  • 二维高斯正态分布函数(转)

    万次阅读 2012-11-29 17:14:24
    二维高斯正态分布函数(原创) 二维高斯正态分布函数在很多地方都用的到,比如说在滤波中,自己编了个,但感觉IDL中应该有现成的函数??(我没找到)。如有,请高手指点。 ;--------------------------...
  • 变量类型: 连续型变量 如:指数分布、正态分布 离散型变量 如:伯努利分布、二项分布、泊松分布 二项分布(Binomial ...正态分布(normal distribution)又名高斯分布(Gaussian distribution)、正规分布,是一
  • 高斯分布(正态分布)

    万次阅读 2018-01-18 15:42:02
    转自:https://baike.baidu.com/item/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83正态分布(Normal distribution),也称“常态分布”,又名高斯分布(Gaussian distribution),最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中...
  • 各种正态分布的的乘积,包括单变量,多变量正态分布的乘积为正态分布的乘积的证明。
  • 正态分布的C++实现

    2019-02-24 15:50:07
    正态分布的C++实现。 利用多项式模拟来模拟正态分布的累积函数,并于excell中的进行了对比,效果还不错 c++ 正态分布
  • Python绘制正态分布高斯分布)

    千次阅读 2020-02-07 17:57:55
    参考资料 ... 一维正态分布 若随机变量 XXX 服从一个位置参数为 μ\muμ 、尺度参数为 σ\sigmaσ 的概率分布,且其概率密度函数为 f(x)=12πσexp(−(x−μ)22σ2)f(x) ={1\over \sqrt...
  • 多元高斯分布/多元正态分布

    千次阅读 2019-02-25 20:47:19
    这些知识,动不动就忘。为了不白选了一门数学课,还是把他记下来。 f ( x ) = ...f(x)= \frac{1}{ (2\pi)^{n/2} {|C|}^{\frac{1}{2}}}exp\{ ...如果n维正态分布的每一维相互独立,密度函数就是n个1维正态分布的乘积。
  • 正态分布密度函数 f=1/(2*pi*sigma1*sigma2*sqrt(1-p*p))*exp(-1/(2*(1-p*p))*(((x-u1).^2)./(sigma1*sigma1)-2*p*((x-u1)*(y-u2))./(sigma1*sigma2)+((y-u2).^2)./(sigma2*sigma2))) 画图 mesh(x,y,f)
  • 高斯分布可从二重积分换元法得一个结果开始推导: ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π 的 推 导 \int _ { - \infty } ^ { \infty }e^{-x^2} dx= \sqrt { \pi } 的推导 ∫−∞∞​e−x2dx=π ​的推导 ∬ e − x 2 e − y...
  • 高斯正态分布与误差分布的差异,孔建新,,高斯在研究误差理论时导出误差分布,被称为正态分布高斯分布。误差分布和正态分布一直被认为是等同的概念,因为数学表达式等同
  •  有一个数组为:var arr = [1,2,1,3,3,2,4,6,3],通过处理将其变为正态分布的形式: [1,2,3,3,6,4,3,2,1]。  关于正态分布我就简单解释一下吧,其实看到处理后的数组大致也能明白,就是两头小,中间大,体现到坐标...
  • 目录 1 正态分布高斯分布) 2 Q函数 3 误差函数 torch.erf() 4 互补误差函数 5 关系转换 1 正态分布高斯分布) 若随机变量 X X X 服从一个均值为 μ μ μ 、方差为 σ σ σ 的概率分布,且其概率密度函数为: ...
  • 高斯平滑函数有众多用途,在...1、满足正态分布高斯函数: 2、二维高斯函数: 相关链接:https://www.cnblogs.com/mengfanrong/p/4369545.html https://blog.csdn.net/zhanghm1995/article/details/80791018 ...
  • 也许真有不同,但是一般提“高斯分布”的人,包括论文期刊里面,都是为了显得自己高级,因为正态分布是中学就提过的东西嘛,现在再说好像有点low。。。其实他想表达的就是正态分布,按正态分布理解就可以。 做学问...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 21,666
精华内容 8,666
关键字:

高斯正太分布