精华内容
下载资源
问答
  • matlab开发-高斯正态分布概率密度函数。高斯正态分布是应用最广泛分布之一。
  • 通过一分钟高斯正态分布知道正态分布是什么,如何用,它的概率密度和概率分布函数是什么;正态分布的概率密度函数曲线呈钟形,因此人们又经常称之为钟形曲线(类似于寺庙里的大钟,因此得名)
  • 分布如图:标准正态分布曲线其概率密度公式为:当μ=0,σ=1时称随机变量X服从标准正态分布,其概率密度为:标准正态分布的概率即为该标准正态分布的概率密度的积分,也就是标准正态分布的分布函数的值。标准正态...

    统计学解释

    正态分布:正态分布(normal distribution),又称高斯分布;其概率密度(正态分布曲线)呈钟型,两头低,中间高,左右对称。分布如图:

    ef33e0a21179c0e34061a284ab496fa6.png

    标准正态分布曲线

    其概率密度公式为:

    aafa9857b3c857071c04bab04476658e.png

    当μ=0,σ=1时称随机变量X服从标准正态分布,其概率密度为:

    ec3f1228e05638949930321fcccf4b9e.png

    标准正态分布的概率即为该标准正态分布的概率密度的积分,也就是标准正态分布的分布函数的值。标准正态分布的分布函数如下:

    6785866bbab144d47d8a460530f6f39b.png

    因为标准正态分布的概率密度为超越函数(不可积积分),因此我们通过将被函数包围的面积切分为大量矩阵来计算它的积分。

    因为在计算机中我们不方便直接从-∞开始切分为小矩形,所以对于x>0的情况,我们利用Φ(0)=0.5将Φ(x)转化为在区间(0,X)上的积分,再加上Φ(0)的0.5;对于x<0的情况,我们利用公式:

    eca36a8a9ac854fe4fe4db0f8c31fb58.png

    进行处理,将x<0的情况转化为x>0的情况。

    实现代码

    import mathdef normal_distribution(x): #处理x<0(目标点在分布中心左侧)的情况 if x<0: return 1-normal_distribution(-x) if x=0: return 0.5 #求标准正态分布的概率密度的积分 s=1/10000 xk=[] for i in range(1,x*10000): xk.append(i*s) integral=(fx_normal_distribution(0)+fx_normal_distribution(x))/2 #f(0)和f(x)各算一半 for each in xk: integral+=fx_normal_distribution(each) return 0.5+integral*s def fx_normal_distribution(x): return math.exp((-(x)**2)/2)/(math.sqrt(2*math.pi))

    测试

    print(normal_distribution(1))

    结果

    0.8413447458669009

    作者:长行

    展开全文
  • 正太分布和概率密度函数,...正态分布的形状由平均值 μ\muμ和方差σ2\sigma^2σ2所决定。 一个 服从 随机变量XXX的正态分布可以写成 X~Normal(μ,σ2);orX~N(μ,σ2) X~Normal(\mu, \sigma^2); or X~N(\mu, \

    正太分布和概率密度函数,期望值,方差

    正态分布(Normal distribution),又名高斯分布(Gaussian distribution)是一个非常常见的连续概率分布。正态分布在统计学上十分重要,经常用在自然和社会科学来代表一个不明的随机变量1
    正态分布的形状由平均值 μ\mu和方差σ2\sigma^2所决定。

    一个 服从 随机变量XX的正态分布可以写成
    XNormal(μ,σ2);orXN(μ,σ2) X~Normal(\mu, \sigma^2); or X~N(\mu, \sigma^2)
    正态分布的概率密度函数(Probability density function,PDF),以及期望值(Expected value)和方差(Varience)如下


    正态分布的概率密度函数,期望值 E(X), 方差 Var(X)

    随机变量XX服从正态分布时,他的概率密度函数可以表示为
    fX(x)=12πσe(xμ)22σ2 or fX(x)=12πσexp((xμ)22σ2)(<×) f_{X}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}} \text { or } f_{X}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \cdot \sigma} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right)(-\infty<\times \infty)
    *e是自然数大约为2.718
    *期待值E(X)=μE(X)=\mu
    *方差Var(X)=σ2Var(X)=\sigma^2


    正态分布例
    我们知道相同环境下的一组数据中,每个人的身高是服从正态分布的。
    假定随机抽取A地区成年男性的随A机变量为X,X服从平均值μ=171cmσ2=64\mu=171cm,方差\sigma^2=64的正态分布。
    我们就可以写成XN(171,64)X~N(171, 64)
    可以求出这个分布的概率密度函数,期望值和方差

    • 概率密度函数
      fX(x)=12π×8e(x172)22×82=182πe(x172)2128f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\times8}e^{-\frac{(x-172)^2}{2\times8^2}}=\frac{1}{8\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-172)^2}{128}}
    • 期望值
      E(x)=μ=171E(x)=\mu=171
    • 方差
      Var(x)=σ2=64Var(x)=\sigma^2=64

    68-95-99.7法则

    对于正态分布,分别有68%,95%,99.7%的几率在平均值±1标准偏差(μ±1σ\mu\pm1\sigma),μ±2σ\mu\pm2\sigmaμ±3σ\mu\pm3\sigma的范围内发生概率事件。(一组数据有68%的几率落在(μ±1σ\mu\pm1\sigma)的范围里)

    范围 概率
    μ±1σ\mu\pm1\sigma 68%
    μ±2σ\mu\pm2\sigma 95%
    μ±3σ\mu\pm3\sigma 99.7%

    接着上述的实例,随机抽取xx地区成年男性的随机变量为X,X服从平均值μ=171cmσ2=64\mu=171cm,方差\sigma^2=64的正态分布。可以知道这里的标准偏差σ\sigma也就是8。

    平均值前后1倍标准偏差σ\sigma的范围是163~179,所以我们可以知道A地区有68%的成年男性身高范围在163cm以上179cm以下。
    换句话说,随机抽取A地区的一位成年男性,他的身高在163~179范围的几率为68%。
    正态分布可以表示为如下图。
    163~179cm的比例
    另外,这个正态分布的曲线,是通过上述的概率函数求得:
    fX(x)=182πe(x172)2128 f_X(x)=\frac{1}{8\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-172)^2}{128}}
    对这个概率函数在163~179的范围内进行积分可以得到
    163179182πe(x171)2128dx0.683 \int_{163}^{179} \frac{1}{8 \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-171)^{2}}{128}} d x \approx 0.683
    这里也可以看出这个概率大约为68%

    同样我们也可以求出平均值±2倍标准偏差(μ±2σ\mu\pm2\sigma)的的范围在155~187cm,所以知道A地区的有95%的成年男性身高在155~187cm范围。
    我们也可以说随机抽取A地区以为成年男性,他的身高在155~187cm的几率为98%。
    在这里插入图片描述

    最后同样,因为平均值±3标准偏差(μ±2σ\mu\pm2\sigma)为147~195。
    我们可以知道A地区有99.7%的成年男性的身高在147~195cm范围内,如下图。
    在这里插入图片描述

    总结

    • 同样我们也可以通过积分概率密度函数求得某个固定区域身高的发生概率。
    • 68-95-99.7%法则表示了数据落在某个范围的概率,他与95%CI置信区间的含义不一样,注意不要混淆。关于与95%CI的区别会另外讨论。
    • 这里讨论的正态分布都是假定这组数据是服从正太分布的,实际一组实验数据是否服从正态分布需要做正态分布的检验,比如做Shapiro-Wilk正态检验,或者制作分位图进行分析(Q-Q plot)。

    知识共享许可协议
    本作品采用知识共享署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际许可协议进行许可。


    1. Wikipedia ↩︎

    展开全文
  • 正态分布 概率密度函数PDF

    万次阅读 2017-12-09 09:29:17
    正态分布的概率密度函数均值为μ 方差为σ2 (或标准差σ)是高斯函数的一个实例: 。 (请看指数函数以及π.) 如果一个随机变量X服从这个分布,我们写作 X ~ N(μ,σ2). 如果μ = 0

    概率密度函数,这种方法能够表示随机变量每个取值有多大的可能性

    概率密度函数

    四个不同参数集的概率密度函数(绿色线代表标准正态分布)

    正态分布概率密度函数均值为μ 方差σ2 (或标准差σ)是高斯函数的一个实例:

    f(x;\mu,\sigma)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \, \exp \left( -\frac{(x- \mu)^2}{2\sigma^2} \right)

    (请看指数函数以及π.)

    如果一个随机变量X服从这个分布,我们写作 X ~ N(μ,σ2). 如果μ = 0并且σ = 1,这个分布被称为标准正态分布,这个分布能够简化为

    f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \, \exp\left(-\frac{x^2}{2} \right)

    右边是给出了不同参数的正态分布的函数图。

    正态分布中一些值得注意的量:

    • 密度函数关于平均值对称
    • 平均值是它的众数(statistical mode)以及中位数(median)
    • 函数曲线下68.268949%的面积在平均值左右的一个标准差范围内
    • 95.449974%的面积在平均值左右两个标准差的范围内
    • 99.730020%的面积在平均值左右三个标准差的范围内
    • 99.993666%的面积在平均值左右四个标准差的范围内
    • 反曲点(inflection point)在离平均值的距离为标准差之处

    累积分布函数

    上图所示的概率密度函数的累积分布函数

    累积分布函数是指随机变量X小于或等于x的概率,用密度函数表示为

    F(x;\mu,\sigma)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x \exp \left( -\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\ \right)\, dx.

    正态分布的累积分布函数能够由一个叫做误差函数特殊函数表示:

    \Phi(z)=\frac12 \left[1 + \mathrm{erf}\,(\frac{z-\mu}{\sigma\sqrt2})\right] .

    标准正态分布的累积分布函数习惯上记为Φ,它仅仅是指μ = 0σ = 1时的值,

    \Phi(x)=F(x;0,1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\, dx.

    将一般正态分布用误差函数表示的公式简化,可得:

    \Phi(z)=\frac{1}{2} \left[ 1 + \operatorname{erf} \left( \frac{z}{\sqrt{2}} \right) \right].

    它的反函数被称为反误差函数,为:

    \Phi^{-1}(p)=\sqrt2\;\operatorname{erf}^{-1} \left(2p - 1 \right).

    该分位数函数有时也被称为probit函数。probit函数已被证明没有初等原函数。

    正态分布的分布函数Φ(x)没有解析表达式,它的值可以通过数值积分泰勒级数或者渐进序列近似得到。

    性质

    正态分布的一些性质:

    1. 如果X \sim N(\mu, \sigma^2) \,ab实数,那么aX + bN(aμ + b,(aσ)2) (参见期望值方差).
    2. 如果X \sim N(\mu_X, \sigma^2_X)Y \sim N(\mu_Y, \sigma^2_Y)统计独立的正态随机变量,那么:
      • 它们的和也满足正态分布U = X + Y \sim N(\mu_X + \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y) (proof).
      • 它们的差也满足正态分布V = X - Y \sim N(\mu_X - \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y).
      • UV两者是相互独立的。
    3. 如果X \sim N(0, \sigma^2_X)Y \sim N(0, \sigma^2_Y)是独立正态随机变量,那么:
      • 它们的积XY服从概率密度函数为p的分布
        p(z) = \frac{1}{\pi\,\sigma_X\,\sigma_Y} \; K_0\left(\frac{|z|}{\sigma_X\,\sigma_Y}\right),其中K0是贝塞尔函数(modified Bessel function)
      • 它们的比符合柯西分布,满足X / Y∼Cauchy(0,σX / σY).
    4. 如果X_1, \cdots, X_n为独立标准正态随机变量,那么X_1^2 + \cdots + X_n^2服从自由度为n卡方分布

    展开全文
  • 正态分布高斯分布)

    万次阅读 多人点赞 2018-11-09 15:54:21
    正态分布的定义 概率密度函数 累积分布函数 生成函数 性质 动差或矩(moment) 中心极限定理 无限可分性 稳定性 标准偏差 相关分布 参量估计 参数的极大似然估计 计量误差 参考文献 正态分布 正态...

    Table of Contents

    正态分布

    概要

    历史

    正态分布的定义

    概率密度函数

    累积分布函数

    生成函数

    性质

    动差或矩(moment)

    中心极限定理

    无限可分性

    稳定性

    标准偏差

    相关分布

    参量估计

    参数的极大似然估计

    计量误差

    参考文献


    正态分布


    正态分布(英语:normal distribution)又名高斯分布(英语:Gaussian distribution),是一个非常常见的连续概率分布。正态分布在统计学上十分重要,经常用在自然社会科学来代表一个不明的随机变量。

                            X \sim N(\mu,\sigma^2),

    则其概率密度函数

                       f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{- {{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}}}

    正态分布的数学期望值或期望值\mu等于位置参数,决定了分布的位置;其方差\sigma^2的开平方或标准差\sigma等于尺度参数,决定了分布的幅度。

    正态分布的概率密度函数曲线呈钟形,因此人们又经常称之为钟形曲线(类似于寺庙里的大钟,因此得名)。我们通常所说的标准正态分布是位置参数\mu =0,尺度参数\sigma^2 = 1的正态分布。

     

    概要

    正态分布是自然科学行为科学中的定量现象的一个方便模型。各种各样的心理学测试分数和物理现象比如光子计数都被发现近似地服从正态分布。尽管这些现象的根本原因经常是未知的,理论上可以证明如果把许多小作用加起来看做一个变量,那么这个变量服从正态分布(在R.N.Bracewell的Fourier transform and its application中可以找到一种简单的证明)。正态分布出现在许多区域统计:例如,采样分布均值是近似地正态的,即使被采样的样本的原始群体分布并不服从正态分布。另外,正态分布信息熵在所有的已知均值及方差的分布中最大,这使得它作为一种均值以及方差已知的分布的自然选择。正态分布是在统计以及许多统计测试中最广泛应用的一类分布。在概率论,正态分布是几种连续以及离散分布的极限分布

    历史

    正态分布最早是棣莫弗在1718年著作的书籍的(Doctrine of Change),及1734年发表的一篇关于二项分布文章中提出的,当二项随机变量的位置参数n很大及形状参数p为1/2时,则所推导出二项分布的近似分布函数就是正态分布。拉普拉斯在1812年发表的《分析概率论》(Theorie Analytique des Probabilites)中对棣莫佛的结论作了扩展到二项分布的位置参数为n及形状参数为1>p>0时。现在这一结论通常被称为棣莫佛-拉普拉斯定理

    拉普拉斯在误差分析试验中使用了正态分布。勒让德于1805年引入最小二乘法这一重要方法;而高斯则宣称他早在1794年就使用了该方法,并通过假设误差服从正态分布给出了严格的证明。

    “钟形曲线”这个名字可以追溯到Jouffret他在1872年首次提出这个术语"钟形曲面",用来指代二元正态分布bivariate normal)。正态分布这个名字还被Charles S. PeirceFrancis GaltonWilhelm Lexis在1875分别独立地使用。这个术语是不幸的,因为它反映和鼓励了一种谬误,即很多概率分布都是正态的。(请参考下面的“实例”)

    这个分布被称为“正态”或者“高斯”正好是Stigler名字由来法则的一个例子,这个法则说“没有科学发现是以它最初的发现者命名的”。

    正态分布的定义

    有几种不同的方法用来说明一个随机变量。最直观的方法是概率密度函数,这种方法能够表示随机变量每个取值有多大的可能性。累积分布函数是一种概率上更加清楚的方法,请看下边的例子。还有一些其他的等价方法,例如cumulant、特征函数动差生成函数以及cumulant-生成函数。这些方法中有一些对于理论工作非常有用,但是不够直观。请参考关于概率分布的讨论。

    概率密度函数

                                               四个不同参数集的概率密度函数(红色线代表标准正态分布)

    正态分布概率密度函数均值为\mu 方差\sigma^2 (或标准差\sigma)是高斯函数的一个实例:

    f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \, \exp \left( -\frac{(x- \mu)^2}{2\sigma^2} \right)

    如果一个随机变量X服从这个分布,我们写作X ~ N(\mu, \sigma^2). 如果\mu =0并且\sigma =1,这个分布被称为标准正态分布,这个分布能够简化为

    f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \, \exp\left(-\frac{x^2}{2} \right)

     

    正态分布中一些值得注意的量:

    • 密度函数关于平均值对称
    • 平均值与它的众数(statistical mode)以及中位数(median)同一数值。
    • 函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。
    • 95.449974%的面积在平均数左右两个标准差2 \sigma的范围内。
    • 99.730020%的面积在平均数左右三个标准差3 \sigma的范围内。
    • 99.993666%的面积在平均数左右四个标准差4 \sigma的范围内。
    • 函数曲线的拐点(inflection point)为离平均数一个标准差距离的位置。

    累积分布函数

                                                                        上图所示的概率密度函数的累积分布函数

    累积分布函数是指随机变量X小于或等于x的概率,用概率密度函数表示为:

    F(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x  \exp  \left( -\frac{(t - \mu)^2}{2\sigma^2} \ \right)\, dt.

    正态分布的累积分布函数能够由一个叫做误差函数特殊函数表示:

    \Phi (z)={\frac  12}\left[1+\operatorname {erf}\left({\frac  {z-\mu }{\sigma {\sqrt  2}}}\right)\right].

    标准正态分布的累积分布函数习惯上记为\Phi,它仅仅是指\mu=0\sigma=1的值,

    \Phi(x) =F(x;0,1)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x \exp\left(-\frac{t^2}{2}\right) \, dt.

    将一般正态分布用误差函数表示的公式简化,可得:

    \Phi(z) = \frac{1}{2} \left[ 1 + \operatorname{erf} \left( \frac{z}{\sqrt{2}} \right) \right] .

    它的反函数被称为反误差函数,为:

    \Phi^{-1}(p) = \sqrt2 \; \operatorname{erf}^{-1} \left(2p - 1 \right) .

    该分位数函数有时也被称为probit函数。probit函数已被证明没有初等原函数。

    正态分布的分布函数\Phi(x)没有解析表达式,它的值可以通过数值积分泰勒级数或者渐进序列近似得到。


    生成函数

    矩母函数

    动差生成函数或矩生成函数或动差产生函数被定义为\exp(tX)的期望值。

    正态分布的动差产生函数如下:

     

    M_X(t)\, = \mathrm{E} \left(  e^{tX} \right)
      = \int_{-\infty}^{\infty}  \frac  {1}  {\sigma \sqrt{2\pi} }  e^{\left( -\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right)}  e^{tx} \, dx
      = e^{ \left(  \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right)}

    可以通过在指数函数内配平方得到。

    特征函数

    特征函数被定义为\exp (i t X)期望值,其中i是虚数单位. 对于一个常态分布来讲,特征函数是:

    \phi_X(t;\mu,\sigma)\! = \mathrm{E} \left[  \exp(i t X) \right]
      = \int_{-\infty}^{\infty}  \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}  \exp  \left(- \frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}  \right)  \exp(i t x) \, dx
      = \exp \left(  i \mu t - \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right) .

    把矩生成函数中的t换成i t就能得到特征函数。

    性质

    正态分布的一些性质:

    1. 如果X \sim N(\mu, \sigma^2) \,ab实数,那么a X + b \sim N(a \mu + b, (a \sigma)^2) 
    2. 如果X \sim N(\mu_X, \sigma^2_X)Y \sim N(\mu_Y, \sigma^2_Y)统计独立的正态随机变量,那么:
      • 它们的和也满足正态分布U = X + Y \sim N(\mu_X + \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y) 
      • 它们的差也满足正态分布V = X - Y \sim N(\mu_X - \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y).
      • UV两者是相互独立的。(要求X与Y的方差相等)
    3. 如果X \sim N(0, \sigma^2_X)Y \sim N(0, \sigma^2_Y)是独立正态随机变量,那么:
      • 它们的积X Y服从概率密度函数为p的分布

        p(z) = \frac{1}{\pi\,\sigma_X\,\sigma_Y} \; K_0\left(\frac{|z|}{\sigma_X\,\sigma_Y}\right),其中K_0是修正贝塞尔函数(modified Bessel function)

      • 它们的比符合柯西分布,满足X/Y \sim \mathrm{Cauchy}(0, \sigma_X/\sigma_Y).
    4. 如果X_1, \cdots, X_n为独立标准正态随机变量,那么X_1^2 + \cdots + X_n^2服从自由度为n卡方分布


    动差或矩(moment)

    一些正态分布的一阶动差如下:

    阶数 原点矩 中心矩 累积量
    0 1 0  
    1 \mu 0 \mu
    2 \mu^2 + \sigma^2 \sigma^2 \sigma^2
    3 \mu^3 + 3\mu\sigma^2 0 0
    4 \mu^4 + 6 \mu^2 \sigma^2 + 3 \sigma^4 3 \sigma^4 0

    标准正态的所有二阶以上的累积量为零。


    中心极限定理

     

                正态分布的概率密度函数,参数为μ = 12,σ = 3,趋近于n = 48、p = 1/4的二项分布的概率质量函数。

    正态分布有一个非常重要的性质:在特定条件下,大量统计独立的随机变量的平均值的分布趋于正态分布,这就是中心极限定理。中心极限定理的重要意义在于,根据这一定理的结论,其他概率分布可以用正态分布作为近似。

    • 参数为np二项分布,在n相当大而且p接近0.5时近似于正态分布(有的参考书建议仅在n pn(1 - p)至少为5时才能使用这一近似)。

    近似正态分布平均数为\mu = n p且方差为\sigma^2 = n p (1 - p).

    • 泊松分布带有参数\lambda当取样样本数很大时将近似正态分布\lambda.

    近似正态分布平均数为\mu = \lambda且方差为\sigma^2 = \lambda.

    这些近似值是否完全充分正确取决于使用者的使用需求

    无限可分性

    正态分布是无限可分的概率分布。

    稳定性

    正态分布是严格稳定的概率分布。

    标准偏差

    深蓝色区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在正态分布中,此范围所占比率为全部数值之68%,根据正态分布,两个标准差之内的比率合起来为95%;三个标准差之内的比率合起来为99%

    在实际应用上,常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。若其假设正确,则约68.3%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围,约95.4%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围,以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。称为“68-95-99.7法则”或“经验法则”。


    相关分布


    参量估计

    参数的极大似然估计

    多元正态分布协方差矩阵的估计的推导是比较难于理解的。它需要了解谱原理(spectral theorem)以及为什么把一个标量看做一个1×1矩阵(matrix)的迹(trace)而不仅仅是一个标量更合理的原因。


    计量误差

    饮料装填量不足与超量的概率[编辑]

    某饮料公司装瓶流程严谨,每罐饮料装填量符合平均600毫升,标准差3毫升的正态分配法则。随机选取一罐,求(1)容量超过605毫升的概率;(2)容量小于590毫升的概率。

    容量超过605毫升的概率 = p ( X > 605)= p ( ((X-μ) /σ) > ( (605 – 600) / 3) )= p ( Z > 5/3) = p( Z > 1.67) = 1 - 0.9525 = 0.0475

    容量小于590毫升的概率 = p (X < 590) = p ( ((X-μ) /σ) < ( (590 – 600) / 3) )= p ( Z < -10/3) = p( Z < -3.33) = 0.0004

    6-标准差(6-sigma或6-σ)的品质管制标准

    6-标准差(6-sigma或6-σ),是制造业流行的品质管制标准。在这个标准之下,一个标准正态分配的变量值出现在正负三个标准差之外,只有2* 0.0013= 0.0026 (p (Z < -3) = 0.0013以及p(Z > 3) = 0.0013)。也就是说,这种品质管制标准的产品不良率只有万分之二十六。假设例中的饮料公司装瓶流程采用这个标准,而每罐饮料装填量符合平均600毫升,标准差3毫升的正态分配。那么预期装填容量的范围应该多少?

    6-标准差的范围 = p ( -3 < Z < 3)= p ( - 3 < (X-μ) /σ < 3) = p ( -3 < (X- 600) / 3 < 3)= p ( -9 < X – 600 < 9) = p (591 < X < 609) 因此,预期装填容量应该介于591至609毫升之间。


    参考文献

    1.  Normal Distribution, Gale Encyclopedia of Psychology
    2. Casella & Berger (2001, p. 102)
    3. Shaou-Gang Miaou; Jin-Syan Chou. 《Fundamentals of probability and statistics》. 高立图书. 2012: 第147页. ISBN 9789864128990.
    展开全文
  • MATLAB 高斯(正太)分布MATLAB 高斯(正太)分布 MATLAB 高斯(正太)分布 英文:Normal Probability Distribution Function y = normpdf(x) y = normpdf(x,mu) y = normpdf(x,mu,sigma) 输入参数: x - 用于计算 ...
  • 概率论:高斯/正态分布

    万次阅读 多人点赞 2015-10-30 20:31:21
    正态分布(高斯分布) 若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ...其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置,其标准差σ决定了分布的幅度。 正态随机变量概率密度函数 [正态分布- 维基百科] 皮皮blog
  • plt.suptitle('Gaussian PDF', fontsize=16) plt.tight_layout() plt.show() 以上这篇python高斯分布概率密度函数使用详解就是小编分享给大家全部内容了,希望能给大家一个参考,也希望大家多多支持。
  • 正态分布(Normal distribution),又名高斯分布(Gaussian distribution)若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态...一维正态分布的概率密度函数为 正太分布 变换 标准正太分布(均值为0,标准差为1...
  • 正态分布(Normal distribution)又成为高斯分布(Gaussian distribution)若随机变量X服从一个数学期望为、标准方差为的高斯分布,记为:则其概率密度函数为:正态分布的期望值决定了其位置,其标准差决定了分布的...
  • 正态分布(Normal distribution)又成为高斯分布(Gaussian distribution)若随机变量X服从一个数学期望为、标准方差为的高斯分布,记为:则其概率密度函数为:正态分布的期望值决定了其位置,其标准差决定了分布的幅度...
  • 高斯分布 正态分布

    千次阅读 2010-11-30 21:21:00
    若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布,记为:则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置,其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形,因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说...
  • 正态分布的期望值决定了其位置,其标准差决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形,因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是的正态分布: 概率密度函数     代码实现: # Python实现正态分布 ...
  • 正态分布(Normal distribution)又成为高斯分布(Gaussian distribution)若随机变量X服从一个数学期望为、标准方差为的高斯分布,记为:则其概率密度函数为:正态分布的期望值决定了其位置,其标准差决定了分布的幅度...
  • 连续随机变量的概率分布可用概率密度函数描述。 1概率密度是一种表示概率的方法,并非概率本身。概率密度指出各种范围内的概率的大小,通过概率密度函数进行描述 2概率密度函数是图形中的一条线条,而概率则是这条线...
  • 一、正态分布,熟悉的陌生人 学过基础统计学的同学大都对正态...在我个人的审美之中,它也属于top-N的最美丽的数学公式之一,如果有人问我数理统计领域哪个公式最能让人感觉到上帝的存在,那我一定投正态分布的票。...
  • R与正态分布(1) 概率密度函数

    千次阅读 2014-10-20 18:12:38
    摘自百度百科: 正态分布(Normal distribution)又名高斯分布(Gaussian distribution),是一个...其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置,其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形,因此人们又经...
  • 1)使用MatLab画出正态分布的概率密度函数图像。 x=[-10:0.01:10]; y=normpdf(x,0,1);%正态分布函数。 figure; axes1=axes(‘Pos’,[0.1 0.1 0.85 0.85]); plot(x,y); set(axes1,‘YLim’,[-0.01 0.43],‘XLim’,[-3...
  • 正态分布的期望值决定了其位置,其标准差决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形,因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是的正态分布: 概率密度函数 代码实现: # Python实现
  • 正态分布(也称为高斯分布)是统计中最常用的连续分布。正态分布在统计中至关重要,主要有以下三个原因:商业中常见的许多连续变量的分布与正态分布非常相似。正态分布可用于近似各种离散的概率分布。由于正态分布与...
  • 二、方法简介正态分布的概率密度函数为\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-\mu)^{2}/2\sigma^{2}}\]通常用\(N(\mu, \ \sigma^2)\)表示。式中\(\mu\)是均值,\(\sigma^2\)是方差。正态分布也称为高斯分布。设\...
  • 正态分布函数(高斯函数)详解

    万次阅读 2019-05-16 16:50:32
    正态分布 X ~:随机变量X的取值和其对应的概率值P(X = ) ...3.正态分布的概率分布函数 概率分布函数是正态分布曲线的定积分,公式为: 正态分布曲线与x轴围成的面积是1(积分区间是负无穷到正无穷) 的值代表...
  • 正态分布也称为高斯分布,是一种常见连续性概率分布,若随机变量X服从概率密度函数f(x),则称X服从均值为μ,方差为δ^2,的正态分布,记为X~N(????,????2),正态分布曲线呈钟型,故常称之为钟形曲线。 标准...
  • 若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布,记为:则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置,正态分布的期望值μ决定了其位置,其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形,因此人
  • 一、一元高斯分布概率密度 均值为0,方差为1的标准一元正态分布,概率...,这样,就消除了数据分布差异和量纲对概率计算的影响,此时的概率密度函数为:可见,高斯分布的概率密度计算核心在于计算数据点到中心的距离...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 414
精华内容 165
关键字:

高斯正态分布的概率密度