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    1. 加窗法设计滤波器

    为什么要加窗设计滤波器?因为为了降低DFT的频率泄露。那什么是DFT频率泄露以及为什么加窗设计就可以降低DFT的频率泄露?解释这个之前,我们先介绍一下DFT(离散傅里叶变换)和三角函数的正交性知识,再介绍加窗设计的原因。

    首先是DFT:
    X ( m ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) e − j 2 π n m / N = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) [ c o s ( 2 π n m / N ) − j ( s i n ( 2 π n m / N ) ] X(m)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2\pi nm/N}=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)[cos(2\pi nm/N)-j(sin(2\pi nm/N)] X(m)=n=0N1x(n)ej2πnm/N=n=0N1x(n)[cos(2πnm/N)j(sin(2πnm/N)]
    X ( m ) X(m) X(m)是第m个频率分量的幅值, x ( n ) x(n) x(n)是从连续变量 x ( t ) x(t) x(t)中取样得到的一个离散时间序列的第n个值。
    需要注意的是,这里的N是指对时域信号有。N是固定大小,常见的都是2的整数倍。如果N个离散采样点没有采样到完整的周期数时,那么输入的残缺部分的能量就会泄露到其他频率分量上。

    下面是三角函数的正交性知识点,可以解释为什么周期不完整会造成频率泄露?(正交即内积运算值为零)
    对于三角函数集 { 1 , c o s ( n Ω t ) , s i n ( m Ω t ) } \{1, cos(n\Omega t), sin(m\Omega t) \} {1,cos(nΩt),sin(mΩt)},中有如下三条正交性性质:

    • 任意频率成分的sin和cos函数正交
    • 频率不相等的sin函数正交
    • 频率不相等的cos函数正交

    正交成立的前提是,函数的周期要完整。比如说,频率的sin和cos函数都只有第一象限部分的数据,那么他们的内积显然不为0。但是你不能因此说明这两个函数不正交。此处内积不为零的原因是你的采样点没有完整周期。 以下面例子说明,这个对时域信号投影到频域上的影响。

    对于输入信号(f=3)采样正好取到完整周期时(红色圆点)。图中f=4是对比参照系,用来说明问题的。
    输入信号f=3在频域理论上应该只有频率为3处有幅值。也就是说,再频率为4的地方 s i n ( 2 π 3 t ) sin(2\pi3t) sin(2π3t) s i n ( 2 π 4 t ) sin(2\pi4t) sin(2π4t) c o s ( 2 π 4 t ) cos(2\pi4t) cos(2π4t)的内积应该为零。计算结果也正好是接近零。说明输入信号f=3在频率4处没有分量。

    import numpy as np
    n_vec = np.linspace(0, 1, 64)
    ans = 0
    for i in n_vec:
        ans += np.sin(2*np.pi*3*i)*np.sin(2*np.pi*4*i)
    print(ans)
    
    plt.figure()
    plt.plot(n_vec, np.sin(2*np.pi*4*n_vec))
    plt.scatter(n_vec, np.sin(2*np.pi*3*n_vec), c='r')
    plt.legend(['f = 4', 'f = 3'])
    plt.show()
    
    1.665334536937742e-16
    
    图1 采样恰好是完整周期情况

    对于输入信号(f=3.4)采样没有取到完整周期时(黄色圆点)。图中f=4是对比参照系,用来说明问题的。
    f=3.4这个信号,理论上在频域上应该只有频率为3.4处有幅值。也就是说 s i n ( 2 π 3.4 t ) sin(2\pi3.4t) sin(2π3.4t) s i n ( 2 π 4 t ) sin(2\pi4t) sin(2π4t)的内积应该零。
    不为零就说明了在频率4处,输入信号f=3.4有幅值。即发生了频率泄露。
    由前面正交性的介绍,我们知道这个不是因为非正交引起的,而是信号不完整引起的。

    ans = 0
    for i in n_vec:
        ans += np.sin(2*np.pi*3.4*i)*np.sin(2*np.pi*4*i)
    print(ans)
    
    plt.figure()
    plt.plot(n_vec, np.sin(2*np.pi*4*n_vec))
    plt.scatter(n_vec, np.sin(2*np.pi*3.4*n_vec), c='y')
    plt.legend(['f = 4', 'f = 3.4'])
    plt.show()
    
    -5.289826894417038
    
    图2 采样不是完整周期情况

    还有一种有关分析频率的说法, f a n = m f s N , m = 0 , 1 , 2 , . . , N − 1 f_{an}=\frac{mf_s}{N}, m=0,1,2,..,N-1 fan=Nmfs,m=0,1,2,..,N1
    如果 f s = 12000 , N = 1024 f_s=12000, N=1024 fs=12000,N=1024,那么 f a n = 11.7 m , m = 0 , 1 , 2 , . . . , 1023 f_{an}=11.7m, m=0,1,2,...,1023 fan=11.7m,m=0,1,2,...,1023 ,如果输入信号频率是5Hz,正好位于两个相邻的分析频率之间(0和11.7),那么5Hz的信号会在所有频率分量上出现。可以理解为频率为分析频率的输入信号正好可以被N=1024个采样点可以取到完整周期。而 f s N \frac{f_s}{N} Nfs又被成为分辨率。

    加窗法为什么可以降低频率泄露呢?逆向思考,从上述分析我们知道,要想减少频率泄露,只要尽量保证进行DFT计算的信号是接近完整周期即可(是尽量,无法完全做到)。窗函数就可以透过截取信号来做到这一点,以hamming窗为例。

    # 信号频谱绘图函数
    from scipy import signal
    from scipy.fftpack import fft
    def plot_freq(x, fs):
        N = len(x)
        T = 1/fs
        X = x - np.mean(x)
        yf = fft(X)
        xf = np.linspace(0.0, 1.0/(2.0*T), N//2)
        # 画图
        plt.plot(xf, 2.0/N * np.abs(yf[0:N//2]))
        # plt.xlim(0, 500)
        plt.title('Signal spectrum')
        plt.xlabel("frequency")
        plt.ylabel("amplitude")
        plt.grid()
        plt.show()
    

    下面这个函数绘制不加窗情况下,f=3.4信号的FFT变换

    import numpy as np
    n_vec = np.linspace(0, 1, 64)
    x = np.sin(2*np.pi*3.4*n_vec)
    plt.figure(figsize=(5,6))
    plt.subplot(2,1,1)
    plt.scatter(n_vec, x, c='y')
    plt.subplot(2,1,2)
    plot_freq(x, 64)
    plt.show()
    
    图3 不加窗情况下,f=3.4信号的FFT变换,频率泄露

    下面代码是加窗情况下,f=3.4信号的FFT变换

    import numpy as np
    n_vec = np.linspace(0, 1, 64)
    win = np.hamming(64)
    x = np.multiply(np.sin(2*np.pi*3.4*n_vec),win)
    plt.figure(figsize=(5,6))
    plt.subplot(2,1,1)
    plt.scatter(n_vec, x, c='y')
    plt.subplot(2,1,2)
    plot_freq(x, 64)
    plt.show()
    
    图4 加窗情况下,f=3.4信号的FFT变换,频率泄露改善

    发现加了hamming窗的x信号变得更像周期信号。突然,意识到加窗真有点是“自欺欺人”(非贬义)的想法。不过,这算是一种工程近似办法,无法得到精确的,就寻找近似值。这种思想应用在很多领域,比如微分、积分的定义,所谓的无限逼近之前的部分就是一个粗糙的近似。

    两幅图对比可以发现,加了汉明窗改善了频率泄露问题,使得频谱更加向3.4Hz靠拢。原因在于,hamming截取的信号部分比原来的采样信号,更接近一个完整的信号周期。于是,频率泄露的问题就得到了改善。(不是解决,也无法解决)

    2. FIR加窗法设计高通滤波器

    def plot_freqz_2(h, fs):
        w1, h1 = signal.freqz(h, fs=fs)
        plt.title('Digital filter frequency response')
        plt.plot(w1, 20*np.log10(np.abs(h1)), 'b')
        plt.ylabel('Amplitude Response (dB)')
        plt.xlabel('Frequency (rad/sample)')
        plt.grid()
        plt.show()
    

    生成带噪声的信号xn:

    # 生成信号:6kHz、100Hz, 10Hz,并且带有高斯噪声
    t = np.linspace(0, 1, 12000)
    x = np.sin(2*np.pi*5000*t) + np.sin(2*np.pi*100*t)*0.2+np.sin(2*np.pi*10*t)*0.1
    xn = x + np.random.randn(len(t))
    plt.figure()
    plt.plot(t,x)
    plt.plot(t,xn)
    plt.legend(['x', 'xn'])
    plt.xlim(0, 0.008)
    plt.title('x and xn')
    plt.xlabel("time/s")
    plt.ylabel("amplitude")
    plt.show()
    
    图5 生成信号xn:6kHz、100Hz, 10Hz,并且带有高斯噪声

    查看不带噪声信号和带噪声信号的频谱图。

    # 不带噪声的信号频谱图
    fs = 12000
    plot_freq(x, fs)
    
    图6-a 不带噪声的信号频谱图
    # 带噪声信号的频谱图
    plot_freq(xn, fs)
    
    图6-b 带噪声信号的频谱图
    可见高斯随机噪声的频谱是遍布每个频率分量。

    下面设计加窗的FIR高通滤波器,截止频率为2500Hz,可以滤掉xn中的低频,保留5000Hz的高频信号。并显示滤波器的幅频响应。

    # FIR高通滤波器设计
    fs = 12000
    N = 64
    fc = 2500
    # 滤波器的最大响应频率是fs/2.这个是由奈奎斯特采样定理决定的
    g_ = signal.firwin(N+1,fc,fs=fs, pass_zero='highpass')
    plot_freqz_2(g_, fs)
    
    图7

    下面对带噪声信号分别进行滤波处理,并查看频谱图。

    # 带噪声信号的滤波后频谱图
    new_x = signal.convolve(xn, g_, mode='full')
    plot_freq(new_x, fs)
    
    图8 带噪声信号xn的滤波后频谱图

    发现滤掉了低频信号,保留了高频部分,但是高频部分中的高斯噪声依旧保留着。

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    今天在设计电机驱动电路时,发现了低通滤波器的一个妙用。就是在面对sen信号采样给放大器的时候。

    为了避免信号中的毛刺被放大,影响电机运行。如图中所示,在运放前端加了一个RC低通滤波器。这样

    信号中的高频部分被过滤掉了,剩下的都是低频信号,毛刺就减少了,电机也可平稳运转。

     

    由此可见一个简单的电路,但是解决的问题却影响深远。硬件电路设计真的是一门比较深的学问。

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/dzswise/p/9609632.html

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  • 滤波器中截止频率的理解

    万次阅读 多人点赞 2016-12-06 23:49:55
    在物理学和电机工程学中,一个系统的输出信号的能量...电子滤波器等信号传输通道中的诸如低通、高通、带通、带阻等频带特性都应用了截止频率的概念。截止频率有时被定义为电子滤波器的导通频带和截止频带的交点,例如电

    物理学电机工程学中,一个系统的输出信号的能量通常随输入信号的频率发生变化(频率响应)。截止频率英语Cutoff frequency[1]是指一个系统的输出信号能量开始大幅下降(在带阻滤波器中为大幅上升)的边界频率。

    概述

    电子滤波器等信号传输通道中的诸如低通高通带通带阻等频带特性都应用了截止频率的概念。截止频率有时被定义为电子滤波器的导通频带和截止频带的交点,例如电路标称输出信号减3分贝的位置的频率。在带阻滤波器中,截止频率则被定义在输出信号能量大幅上升(或大幅下降)、失去“阻止”(或失去“通过”)信号效果的位置。在波导管或者天线的例子中,截止频率通常包括上限频率和下限频率。

    截止频率的概念除了在电子工程有广泛应用,截止频率的概念还在等离子区振荡中有所应用。截止频率

    电子学

    参见: 波德图 分贝

    电子学中,截止频率是电路(例如导线、放大器、电子滤波器)输出信号功率超出或低于传导频率时输出信号功率的频率。通常截止频率时输出功率为传导频率的一半,在波德图上相当于为降低3分贝的位置所表示的功率,因为此时功率比例\scriptstyle \sqrt{1/2} \ \approx \ 0.707传到频带上的输出功率[2]截止频率

    低通滤波器的截止频率

    右图所示为一个一阶的低通滤波器。它的截止频率由下式决定:

    f_0 = \frac{1}{2 \pi RC}[3]

    当信号频率低于这个截止频率时,信号得以通过;当信号频率高于这个截止频率时,信号输出将被大幅衰减。这个截止频率即被定义为通带和阻带的界限。截止频率

    高通滤波器的截止频率

    右图所示为一个一阶的高通滤波器。它的截止频率由下式决定:

    f_0 = \frac{1}{2 \pi RC}[3]

    当信号频率高于这个截止频率时,信号得以通过;当信号频率低于这个截止频率时,信号输出将被大幅衰减。这个截止频率即被定义为通带和阻带的界限。截止频率

    带通滤波器的截止频率与通带宽度

    右图所示的是一个带通滤波器的波德图。如图所示,f_lf_r分别为低频、高频信号功率降低一半的点,即上下限截止频率,两个截止频率中间的频率范围称作“通带宽度”,通带中心的频率f_0称作“中心频率”。

    通带范围内频率的信号可以通过,频率位于截止频率两侧的信号则大幅衰减。截止频率

    带阻滤波器的截止频率与通带宽度

    与带通滤波器相反, 带阻滤波器可以抑制、衰减指定频率附近范围的信号;而在其他频率范围的信号则可以顺利通过。右图是一个带阻滤波器的波德图。

    与带通滤波器有两个截止频率不同的是,带阻滤波器只有一个截止频率(图中两条凹线的交点处)。截止频率

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  • 低通、高通、带通、带阻、状态可调滤波器【3】

    万次阅读 多人点赞 2017-11-02 12:08:45
    带通滤波器(BPF)的特征是通带内输出信号幅度与...在高通、带通滤波器中,不要求静态时运放输出为0,可以选择单电源工作方式。在低通、带阻滤波器电路中,属于DC 到AC 的直流放大电路,一般要求电路工作在双电源状态。

    带通滤波器

    带通滤波器(BPF)的特征是通带内输出信号幅度与频率无关,而当f< fp1或f>fp2时输出信号很快衰减,幅频特性如图所示。









    1二阶带通滤波器

    简单二阶带通滤波器电路如图所示,其中R1、C1 构成了低通滤波器,C2、R3 构成了高通滤波器。


    (1) 传递函数


    (2) 频率特性



    (3) 设计步骤

    下面通过具体实例讲解这类带通滤波电路设计过程。






    该电路所需元件数量较少,可双电源工作,也可单电源工作(同相端接1/2Vcc 偏置电位),因此在单电源系统中得到广泛应用。只是品质因素Q 不能太高,在带宽B 较大(即Q 值较小)的带通滤波电路中几乎均采用该电路形式。

    2高 Q值二阶带通滤波器

    高Q 值二阶带通滤波器电路如图所示,该电路可以双电源工作,也可以单电源工作,在单电源系统中使用方便。

    由于Q 值可以取得较大,因此特别适合作为点频率滤波器


    (1) 传递函数


    (2) 频率特性




    (3) 设计步骤

    下面通过具体实例讲解这类带通滤波电路设计过程。






    3由双运放构成的高 Q值 BPF

    由双运放构成的具有高Q 值的BPF(简称DABPF)电路如图所示。由于该电路所用元件不多,在通带放大倍数Aup固定等于2 情况下,可以获得很高的Q 值,因此也是一种常用的BPF 电路。


    (1) 传递函数



    (2) 频率特性

    与二阶BPF 传递函数标准式比较,即可获得如下参数:


    4二阶压控带通滤波器

    二阶压控带通滤波器如图所示,其中R1、C1 构成了低通滤波,R2、C2 构成了高通滤波,通过电压R3 引入电压正反馈,形成了压控带通滤波器。


    (1) 传递函数


    为使系统稳定,分母中一次项系数必须>0,即3−Auf>0,换句话说Auf<3。

    (2) 幅频特性


    (3) 设计步骤


    在高通、带通滤波器中,不要求静态时运放输出为0,可以选择单电源工作方式。在低通、带阻滤波器电路中,属于DC 到AC 的直流放大电路,一般要求电路工作在双电源状态。


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  • 把设计高通滤波器部分的代码改成如下所示: rows,cols = img.shape mask = np.zeros((rows,cols,2),np.uint8) mask[int(rows/2)-30:int(rows/2)+30,int(cols/2)-30:int(cols/2)+30,:] = 1 低通滤波的效果如下图所示...
  • 因此,射频滤波器的选择对于电子设备有重要意义,本文通过对滤波器性能参数的某些重要基础进行快速重温,可帮助工程师正确找出满足特定应用滤波器。  1、了解基本响应曲线  滤波器的基本响应曲线包括:带通、...
  • 数字滤波器设计

    千次阅读 2020-10-18 16:33:25
    介绍了数字滤波器的基本结构,在分别讨论了IIR与FIR数字滤波器的设计方法的基础上,指出了传统的数字滤波器设计方法过程复杂、计算工作量大、滤波特性调整困难的不足,提出了一种基于Matlab和Modelsim软件的数字...
  • 基于Matlab巴特沃斯低通滤波器的设计谢继杨(成都理工大学工程技术学院,四川乐山,614000)摘要:现如今已经有相当成熟的技术去模拟滤波器,人们为了更加深入的理解巴特沃斯滤波器,于是巴特沃斯模拟滤波器便基于...

空空如也

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高通滤波器工程应用