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  • 1、 均值数学定义:Matlab函数:mean>>X=[1,2,3]>>mean(X)=2如果X是一个矩阵,则其均值是一个向量组。mean(X,1)为列向量的均值,mean(X,2)为行向量的均值。>>X=[1 2 34 5 6]>>mean(X,1)=...

    1、 均值

    数学定义:

    Matlab函数:mean

    >>X=[1,2,3]

    >>mean(X)=2

    如果X是一个矩阵,则其均值是一个向量组。mean(X,1)为列向量的均值,mean(X,2)为行向量的均值。

    >>X=[1 2 3

    4 5 6]

    >>mean(X,1)=[2.5, 3.5, 4.5]

    >>mean(X,2)=[2

    5]

    若要求整个矩阵的均值,则为mean(mean(X))。

    >>mean(mean(X))=3.5

    也可使用mean2函数:

    >>mean2(X)=3.5

    median,求一组数据的中值,用法与mean相同。

    >>X=[1,2,9]

    >>mean(X)=4

    >>median(X)=2

    2、 方差

    数学定义:

    均方差:

    Matlab 函数:var

    要注意的是var函数所采用公式中,分母不是 ,而是 。这是因为var函数实际上求的并不是方差,而是误差理论中“有限次测量数据的标准偏差的估计值”。

    >>X=[1,2,3,4]

    >>var(X)=1.6667

    >> sum((X(1,:)-mean(X)).^2)/length(X)=1.2500

    >> sum((X(1,:)-mean(X)).^2)/(length(X)-1)=1.6667

    var没有求矩阵的方差功能,可使用std先求均方差,再平方得到方差。

    std,均方差,std(X,0,1)求列向量方差,std(X,0,2)求行向量方差。

    >>X=[1 2

    3 4]

    >>std(X,0,1)=1.4142 1.4142

    >>std(X,0,2)=0.7071

    0.7071

    若要求整个矩阵所有元素的均方差,则要使用std2函数:

    >>std2(X)=1.2910

    4、协方差矩阵

    A=[61.45,55.9,61.95,59,58.14,53.61,55.48,54.21,61.52,54.92];

    B=[40.36,39.8,49.2,48,51.5,49.39,51.13,58.06,61,62.35];

    C=[8.61,8.91,10.43,13.32,13.48,15.75,18.14,19.95,21.95,23.53];

    D=[14.31,14.72,15.28,15.91,14.67,15,15.86,15.16,13.72,12.94];

    E=[7.67,7.75,8.15,9.24,10.68,10.58,10.31,10,8.91,8.51];

    >> q=[A',B',C',D',E'];

    >> w=cov(q)

    w =

    10.3710 -4.7446 -6.6023 -0.1873 -1.8881

    -4.7446 59.1503 38.7606 -3.0743 3.0982

    -6.6023 38.7606 28.6966 -2.0199 2.4166

    -0.1873 -3.0743 -2.0199 0.8474 0.3936

    -1.8881 3.0982 2.4166 0.3936 1.3412

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  • matlab打开图像,显示灰度直方图均值方差
  • “利用样本数据对总体方差进行区间估计的方法,以及相应的蒙特卡洛模拟”对于某个总体(数据集),我们感兴趣的特性包括总体均值和总体方差,总体均值均值刻画了数据集的中心趋势(总体比率也是一种均值),总体方差体现...

    利用样本数据对总体方差进行区间估计的方法,以及相应的蒙特卡洛模拟

    对于某个总体(数据集),我们感兴趣的特性包括总体均值和总体方差,总体均值均值刻画了数据集的中心趋势(总体比率也是一种均值),总体方差体现了数据集的离散程度。如果总体的概率密度函数类型已知,根据总体均值和总体方差通常能够计算出概率密度函数中的未知参数(对于正态总体,均值和方差就是其概率密度函数中的未知参数)。前几次推文已经介绍了各种总体均值的区间估计,本文将介绍总体方差的区间估计。

    用一个例子说明总体方差实际的应用场景:饮料生产工厂需要对某款饮料进行罐装,每个瓶子的平均装入量是一个重要指标,它可以用来计算成本、罐装效率、罐装速度等指标。此外,装入量的方差同样重要,如果方差较大,意味着有些瓶子装入量太多而有些瓶子装入量又太少。

    01

    总体方差的区间估计

       枢轴统计量

    根据中心极限定理可知,无论总体的概率分布如何,在样本容量充分大的条件下,样本均值或总和的抽样分布服从正态分布。然而,方差既不是均值也不是总和,因此不能使用中心极限定理解释。无论样本容量如何,对总体方差进行区间估计之前,必须检查总体是否符合一些假定(通常假定总体服从正态分布)。

    对于单个总体方差的区间估计,当总体服从正态分布时,可选择卡方随机变量作为枢轴统计量,因为卡方随机变量联系了正态总体的方差和样本方差。

    368098adc191ca472e2e3b7fd52eabfb.png

       置信区间的推导

    选择置信系数为1-α,将置信系数以外的概率α平分为两份,分别放在卡方分布的左尾和右尾,得到概率为1-α的包含枢轴统计量的区间(区间端点为下图箭头指示的分位数),再经过代数运算即可得到总体方差的置信区间。

    b8ee21375af1c6a3a9b6785bb2c5286b.png

    注意,由于Z和T分布关于y轴对称,因此它们左尾概率为a/2的分位数等于右尾概率为α/2的分位数的相反数,即P(Z≥z(a/2))=P(Z≤-z(a/2))。卡方分布没有这样的对称性,因此求左尾概率等于α/2的分位数相当于求右尾概率为1-α的分位数。

    根据下列代数运算过程,将枢轴统计量的区间转变为总体方差的置信区间:

    31701084a5fcf1be7b003761ad210acd.png

       总体方差的区间估计

    根据上面的讨论,得到总体方差置信区间的构造方法:

    423722036e950dc248a6b0dfb0ffa7a9.png

    02

    蒙特卡洛模拟

       正态总体方差的区间估计

    假设总体服从均值为0,方差为2的正态分布,通过随机数产生正态随机样本,根据样本数据求总体方差的95%的置信区间。

    1、生成随机数(随机抽样过程)

    在Excel中使用NORM.INV(RAND(),0,SQRT(2))生成30个随机数,重复试验100次。

    2、蒙特卡洛模拟

    根据置信水平α=0.05,样本容量n=30,自由度v=29,按上述规则构造总体方差的95%的置信区间,检查成功捕获总体方差实际值的置信区间的比例。

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  • 一。基本概念 图像相似度计算就是对两幅图片之间内容的相似程度进行打分,根据分数的高低来判断图像内容的相似...直方图能够描述一幅图像中颜色的全局分布,是一种入门级的图像相似度计算方法。该算法计算过程很容...

    一。基本概念

    图像相似度计算就是对两幅图片之间内容的相似程度进行打分,根据分数的高低来判断图像内容的相似程度,这也是图像分类的基础。如下面这幅图像的两位人头虎身兽,用不同的算法进行相似度计算,相似度在60%~87%之间~~

    e143b90fa13651d53b6c85d5f0056619.png

    二。算法总结

    计算图像相似度的算法有很多,常见的有以下几种:

    1。基于直方图。直方图能够描述一幅图像中颜色的全局分布,是一种入门级的图像相似度计算方法。该算法计算过程很容易理解,首先对于两幅图像分别计算其直方图,然后根据某种衡量标准进行比较,比较结果即为两幅图像的相似度。这种方法精度较差。

    2。SSIM(结构相似性度量)。这是一种全参考的图像质量评价指标,分别从亮度、对比度、结构三个方面度量图像相似性。SSIM取值范围[0, 1],值越大,表示图像失真越小。在实际应用中,可以利用滑动窗将图像分块,令分块总数为N,考虑到窗口形状对分块的影响,采用高斯加权计算每一窗口的均值、方差以及协方差,然后计算对应块的结构相似度SSIM,最后将平均值作为两图像的结构相似性度量,即平均结构相似性SSIM。该方法通常用来衡量一张图片压缩后的失真度,比较少的用来计算两图的相似度。

    3。cosin相似度(余弦相似度)。把图片表示成一个向量,通过计算向量之间的余弦距离来表征两张图片的相似度。该方法运算量较大,但准确率尚可。

    4。基于互信息(Mutual Information)。通过计算两个图片的互信息来表征他们之间的相似度,如果两张图片尺寸相同,还是能在一定程度上表征两张图片的相似性的。但是,大部分情况下图片的尺寸不相同,如果把两张图片尺寸调成相同的话,又会让原来很多的信息丢失,所以很难把握。经过实际验证,此种方法不够稳定。

    工作室基于Matlab软件平台,分别利用上述方法实现了计算特定数据集图片的相似程度,对于某一对图像组,其用直方图算法对比的结果如下:

    9a6d4c720f8ddcdcf03f4234593b4e0a.png

    ​同时也欢迎大家关注我们的微信公众号:320科技工作室

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  • 先从基本概念讲起。期望对于一个随机变量 ,它在取不同值时的概率用函数 表示。比如色子的点数是一个随机变量,它为1的概率可以表达成 ...例如你投色子很多次,最后计算的点数平均值应该是所有点数的均值,因为出现...

    f5d0d7721622a67d56549a613a29fd6c.png

    先从基本概念讲起。

    期望

    对于一个随机变量

    ,它在取不同值时的概率用函数
    表示。比如色子的点数是一个随机变量,它为1的概率可以表达成
    ,这与我们代数中的函数有点不同,代数中的函数是输入一个确切的数,而这里不是。我甚至可以用
    来表示投硬币为正面的概率。不过,本文其余部分都要求概率函数的输入值是数字。 期望表示随机变量的中心位置。例如你投色子很多次,最后计算的点数平均值应该是所有点数的均值,因为出现每种点数的概率相同。如果概率不同,则需要用概率加权,于是我们的期望公式就是:

    它表示把每一种可能的输出的值乘以其概率后求和。

    性质1: 期望的线性关系

    对于两个相互独立的随机变量

    ,我们有:

    这个就不做证明了,举一个直观例子说明:有2个色子各自投掷,两者的期望都是

    ,那么问两个色子之和的期望,显然是
    。这是可以直观认知的。用
    表示一个常数,它只是缩放每一个随机变量的值而已,进一步推广我们有:

    性质2: 样本均值的期望

    假定有一个随机变量

    的期望值和方差分别是
    。现在对这个数据集进行随机抽样(有放回的抽样,因为我需要保证整体的分布是不变的),抽到的样本一个一个的数据用
    表示,现在试求
    的期望。 根据样本均值的定义我们有:

    根据性质1的推论:

    。由于每个
    所属的分布和
    是一样的。两者都是有放回地随机抽一个,因此:

    我们的结论是:有放回的随机抽样的样本均值和总体均值的期望是一致的。

    性质3: 期望的乘积关系

    对于两个相互独立的随机变量

    ,我们有:

    这里给一个比较容易理解的说明,而不是证明: 首先,令

    。于是有:

    仔细观察可以发现,根据乘法结合律我们得到了

    之间的所有组合,如
    等。 由于是两个独立随机变量,因此两者之积的概率满足
    。我们得到了两者乘积的每一个可能值,以及它们对应的概率,全部加起来就是期望的定义。

    方差

    方差用于表示数据的分散程度。数据波动越大,方差就越大。定义如下:

    性质1

    如果随机变量

    变成
    会如何(
    为常数)?显然它只是最后输出的值改变了倍数,但是每个输出的值的概率是一样的,即
    。但是,均值会放大
    倍。于是根据方差定义得:

    性质2

    如果随机变量

    变成
    呢?其实也就是减去一个常数(总体的期望)再平方。想象色子的点数分别减3.5再平方,变成
    ,然而每个新的点数出现的概率还是不变,所以
    。如果我们求这个新变量的期望:

    没错,这正是方差的公式。这个式子可以认为是方差的第二种定义,它和第一种定义是等价的。 令

    ,再重复一遍公式:

    性质3

    证明之前的准备:

    1.

    视为一个常数:

    2. 概率之和恒为1:

    证明: 根据方差的性质2以及期望的一些性质有:

    这个可以视为方差的第三个定义式。记忆口诀:“期望平方内减外”。

    性质4

    如果

    是独立的随机变量,那么

    证明: 根据方差的性质3和期望的性质3有:

    推广得:如果

    是一组独立的随机变量,则
    。证明和上面基本类似,略。

    性质5: 样本均值的方差

    假定有一个随机变量

    的期望值和方差分别是
    。现在对这个数据集进行随机抽样(有放回的抽样,因为我需要保证整体的分布是不变的),抽到的样本一个一个的数据用
    表示,现在试求
    的方差。 根据样本均值的定义我们有:

    根据方差的性质1和性质4有:

    由于单个的

    是等价的,因为属于同一分布,因此有:

    也就是说,样本均值的方差是小于总体的方差的,并且会随着抽样次数增大而减小。这也是符合直觉的,因为你抽了一组样本求平均,当然就会减少数据的波动性。

    标准差和标准误差

    标准差 standard deviation 和 standard error 标准误差,两者都是用来表示数据的变异性,不同之处是前者是通过总体计算,后者是通过样本计算。所谓标准差就是总体的方差的算术平方根,记为

    。 而一个容量为
    的样本的是标准差,叫做标准误差,其值为
    。(直接对方差的性质5的式子开方即得 )

    参考资料

    https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/167/ (貌似已失效)

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