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  • MATLAB源码集锦-基于埃尔米特插值多项式代码
  • 上期我们介绍了拉格朗日插值算法,Lagrange 插值方法虽然易算,但若要增加一个节点时,全部基函数 φ(x) 都需重新算过。今天我们重点介绍另外一种插值方法-牛顿插值法。牛顿插值法是一种重要的插值方法,与拉格朗日...
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    上期我们介绍了拉格朗日插值算法,Lagrange 插值方法虽然易算,但若要增加一个节点时,全部基函数 φ(x) 都需重新算过。今天我们重点介绍另外一种插值方法-牛顿插值法。

    牛顿插值法是一种重要的插值方法,与拉格朗日插值法在同阶时产生的多项式在化简以后是一样的,余项也是一样的,因此两者只是写法形式不同而已。在针对变化的数据时,其各自独特的写法形式给其适合的应用场景带来了区别。牛顿插值法适用于被插的点不断增多,而且可以很好的复用以前的计算结果。

    牛顿(Newton)插值

    Newton 公式中有一些差商、差分的概念及性质我们可以先了解下。

    插商

    定义 

    设有函数f (x), x0 , x1, x2 ,...,为一系列互不相等的点,称

    22d90202c5de0e389ff8339d7c1e5833.png

    为f (x)关于点 xi , xj 一阶差商(也称均差),记为  f[xi ,xj ]   ,即

    d600776d803d7c52c1bdacfc117480d0.png

    称一阶差商的差商

    c0bf5a4713401ddd3dbeb2c680d2e249.png

    为 f (x)关于点xi , xj ,xk 的二阶差商,记为 f[xi ,xj , xk]  。一般地,称

    a0409e04ba4e17219a934f112bde1717.png

    为 f (x)关于点 x0 ,x1,...,xk 的k 阶差商,记为

    ff2131941d247e68690ee52ee662ec6e.png

    容易证明,差商具有下述性质:

    adc96be8d1b5620041a4f039727410b6.png

    Newton 插值公式 

    线性插值公式可表成

    57c9f183c97d22a980dcfe4592d52f97.png

    称为一次 Newton 插值多项式。一般地,由各阶差商的定义,依次可得

    ad8878fdbed5b43d4fde0d2412ce0792.png

    将以上各式分别乘以

    906775057a8b792c21ffd3bb87b1dace.png

    然后相加并消去两边相等的部分,即得

    d68f12e7841380acdf0f5fa6f1c99794.png

    48a0a68fddaca9ddd3777cfde5128acc.png

    显然,Nn(x) 是至多n次的多项式,且满足插值条件,因而它是 f (x)的n次插值多项式。这种形式的插值多项式称为 Newton 插值多项式。Rn(x) 称为 Newton 插值余项。

    Newton 插值的优点是:每增加一个节点,插值多项式只增加一项,即

    848b3aca86397e23cb511afbb678647c.png

    因而便于递推运算。而且Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。

    由插值多项式的唯一性可知,Newton 插值余项与Lagrange 余项也是相等的,即

    eb328eccff12ca0254d2339a1bdc390f.png

    由此可得差商与导数的关系

    ba4a5c6a45393ab945e56d28c3b1750f.png

    差分

    当节点等距时,即相邻两个节点之差(称为步长)为常数,Newton 插值公式的形式会更简单。此时关于节点间函数的平均变化率(差商)可用函数值之差(差分)来表示。 

    定义 

    设有等距节点 ( 0,1, , ) xk = x0 + kh (k = 0,1,..., n) ,步长 h 为常数, f k  = f( xk) 。称相邻两个节点 xk,xk+1 处的函数值的增量  f k +1 − f( k  = 0,1,..., n−1)为函数 f (x) 在 点 k x 处以h 为步长的一阶差分,记为  Δfk ,即

    63c66cd211104171598c457e06278fd2.png

    称为 f (x) 在 xk 处以 h 为步长的中心差分。一般地, m 阶向后差分与 m 阶中心差分公式为

    63c66cd211104171598c457e06278fd2.png35f8203ff565e8e71a164be5c06d22df.png

    差分具有以下性质: 

    (i)各阶差分均可表成函数值的线性组合,例如

    60ebef16b035f145fd6b76e345e009a2.png

    (ii)各种差分之间可以互化。向后差分与中心差分化成向前差分的公式如下:

    642f259b80408a35c43efdc63ec6095b.png

     等距节点插值公式 

    如果插值节点是等距的,则插值公式可用差分表示。设已知节点

    f431e473eb57915701559ef67b0ba48f.png

    则有

    0c88fd61f69c9742e2291c0a8b753298.png

    上式称为Newton 向前插值公式。

    牛顿插值实例

    已知节点 0, 2, 3, 5 对应的函数值为 1, 3, 2, 5,构造三次Newton 插值多项式,当 x = 2.5 时,计算 Newton 多项式插值结果。


    解:

    由前面计算的差商值,我们很容易写出三次 Newton 插值多项式如下:

    9d95652468f6b04b7487842541ce6cef.png

    当 x = 2.5 时,Newton 多项式插值结果为:

    aa3705a98650c8822a0b34c13becf2f3.png4b6645794f626fc883ad188f015e51f9.pngf632feb0c15a4eab910ef69b1943cdf0.png

    输出结果:

    d8336b6c95f7646a18376e82290538d0.png

    下面简单给大家介绍一些其他插值算法

    10d6db3a223c70e9ef23b7cfe18e2cba.png

    分段线性插值

    插值多项式的振荡

    用Lagrange 插值多项式Ln (x) 近似f(x)(a ≤ x ≤ b),虽然随着节点个数的增加,Ln 的次数n 变大,多数情况下误差| Rn (x) |会变小。

    但是n 增大时,Ln (x) 的光滑性变坏,有时会出现很大的振荡。理论上,当n → ∞ ,在[a,b]内并不能保证Ln (x)处处收敛于 f (x)。Runge 给出了一个有名的例子

    a65b7ddf3c2c14b1147fd7d2485d7cf6.png

    对于较大的| x |,随着n 的增大,Ln (x) 振荡越来越大,事实上可以证明,仅当| x |≤ 3.63 时,才有

    c85821d81531eb4d9fa97a84a19edb32.png

    而在此区间外,Ln (x)是发散的。

    高次插值多项式的这些缺陷,促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。

    分段线性插值函数

    简单地说,将每两个相邻的节点用直线连起来,如此形成的一条折线就是分段线性插值函数,记作2e42895135d2ea5d37afe4beb81aadd0.png ,它满足In (xi ) = yi ,且2e42895135d2ea5d37afe4beb81aadd0.png 在每个小区间[xi , xi+1 ]上是线性函数(i = 0,1,...,n) 。

    2e42895135d2ea5d37afe4beb81aadd0.png可表示为

    48d2d06440337edc35c03a19625149c8.png

    2e42895135d2ea5d37afe4beb81aadd0.png计算x 点的插值时,只用到x 左右的两个节点,计算量与节点个数n 无关。但n 越大,分段越多,插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时,分段线性插值就足够了,如数学、物理中用的特殊函数表,数理统计中用的概率分布表等。

     用Matlab 实现分段线性插值

    用Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序,Matlab 中有现成的一维插值函数interp1。

    y=interp1(x0,y0,x,'method')

    method 指定插值的方法,默认为线性插值。其值可为:

    'nearest' 最近项插值

     'linear' 线性插值

    'spline' 逐段3 次样条插值 

    'cubic' 保凹凸性3 次插值

    所有的插值方法要求x0 是单调的。

    当 x0 为等距时可以用快速插值法,使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、 '*spline'、'*cubic'。

     埃尔米特(Hermite)插值 

    Hermite 插值多项式如果对插值函数,不仅要求它在节点处与函数同值,而且要求它与函数有相同的一阶、二阶甚至更高阶的导数值,这就是Hermite 插值问题。

    设已知函数y = f (x) 在n +1个互异节点x0 ,x1 ,..., xi上的函数值yi = f (xi ),(i = 0,1,L,n) 和导数值 

    ff51976bb98f873740e495bb0f78c8b5.png

    要求一个至多2n +1次的多项式H(x),使得

    668a30d563d309699057c3046ed8a249.png

    满足上述条件的多项式H(x)称为Hermite 插值多项式。

    Hermite 插值多项式为

    8f54a74d874a85068c877329316b01f1.png

    用Matlab 实现Hermite 插值

    Matlab 中没有现成的Hermite 插值函数,必须编写一个M 文件实现插值。

    设n 个节点的数据以数组x0(已知点的横坐标),y0 (函数值),y1(导数值) 输入(注意Matlat 的数组下标从1 开始),m 个插值点以数组x 输入,输出数组y 为m 个插值。编写一个名为hermite.m 的M 文件:

    function y=hermite(x0,y0,y1,x); n=length(x0);m=length(x);

    for k=1:m

    yy=0.0; 

    for i=1:n

    h=1.0; 

    a=0.0; 

    for j=1:n

    if j~=i

    h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2; 

    a=1/(x0(i)-x0(j))+a;

    end 

    end

    yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i)); end

    y(k)=yy;

    end

    往期回顾

    插值与拟合——拉格朗日多项式插值

      END 

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  • 分段三次埃尔米特插值 % 分段三次埃尔米特插值 x = -pi:pi; %导入数据 y = sin(x); new_x = -pi:0.1:pi; p = pchip(x,y,new_x); figure(1);%同一脚本文件,想要画多个图,给每个图编号 plot(x,y,'o',new_x,p,'r-') ...

    分段三次埃尔米特插值

    % 分段三次埃尔米特插值
    x = -pi:pi; %导入数据
    y = sin(x);
    new_x = -pi:0.1:pi;
    p = pchip(x,y,new_x);
    figure(1);%同一脚本文件,想要画多个图,给每个图编号
    plot(x,y,'o',new_x,p,'r-')
    

    在这里插入图片描述

    % plot函数用法:
    % plot(x1,y1, x2, y2)
    %线方式: -实线 :点线 -.虚点线  - -波折线
    %点方式: .圆点  +加号 *星号 x X形 o小圆
    %颜色: y黄; r红; g绿; b蓝; w白; k黑; m紫; c青
    

    三次样条插值

    %三次样条插值和分段三次埃尔米特插值的对比
    x = -pi:pi; %导入数据
    y = sin(x);
    new_x = -pi:0.1:pi;
    p1 = pchip(x,y,new_x); %分段三次埃尔米特插值
    p2 = spline(x,y,new_x); % 三次样条插值
    figure(2);
    plot(x,y,'o',new_x,p1,'r-',new_x,p2,'b-')
    legend('样本点','三次埃尔米特插值','三次样条插值','Location','SouthEast');
    

    在这里插入图片描述

    插值算法人口预测

    人口数据:
    在这里插入图片描述
    预测2019到2021年人口:

    %插值算法人口预测
    population=[133126, 133770, 134413, 135069, 135738, 136427, 137122,137866,138639,139538];
    year = 2009:2018;
    p1 = pchip (year, population, 2019:2021); %分段三次埃尔米特插值预测
    p2 = spline (year, population, 2019:2021); %三次祥条插值预测
    figure(3);
    plot (year, population,'o' , 2019: 2021,p1,' r*-' ,2019:2021 ,p2,'bx-');
    legend('样本点','三次埃尔米特插值','三次样条插值','Location','SouthEast');
    

    在这里插入图片描述

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  • 埃尔米特插值法在MATLAB中的应用

    千次阅读 2019-03-16 01:02:04
    埃尔米特插值法 为了让插值函数能更好的和原来的函数重合,不但要求二者在节点上函数值相等,而且要求相切,对应导数也相等,甚至要求高阶导数也相等。...MATLAB中编程实现的埃尔米特插值法为Hermite。 用于...

    埃尔米特插值法

    为了让插值函数能更好的和原来的函数重合,不但要求二者在节点上函数值相等,而且要求相切,对应导数也相等,甚至要求高阶导数也相等。——这类插值被称为切触插值,或埃尔米特插值,满足这种要求的多项式被称为埃尔米特插值多项式。

    表达式如下:(欢迎大家指点如何在blog上打出一些数学算符,这里是在ward上打的)
    埃尔米特插值表达式


    正文:

    • MATLAB中编程实现的埃尔米特插值法为Hermite。
    • 用于求知数据点的埃尔米特插值多项式
    • 调用格式:herm=Hermite(x,y,dy,x0)
      • herm:求得的埃尔米特插值多项式或在x0处的插值
      • x : 数据x坐标向量
      • y : 数据y坐标向量
      • dy :已知数据点的导数向量
      • x0 :插值点的x坐标

    在MATLAB上实现埃尔米特插值的程序如下:

    function herm =Hermite(x,y,dy,x0)
    format long  				%指定数据类型
    syms t;        				%变量
    get=0;         				%初值
    
    if(length(x)==length(y))            %数据长度校验,可写可不写
        if(length(y)==length(dy))
            n_len=length(x);
        else
            return;
        end
    else
        return;
    end
    
    for i=1:n_len                   		%开始描述表达式
        h=1;
        a=0;
        for j=1:n_len
            if(j~=i)
                h=h*(t-x(j))^2/((x(i)-x(j))^2);
                a=a+1/(x(i)-x(j));
            end
        end
        get=get+h*((x(i)-t)*(2*a*y(i)-dy(i))+y(i));
        if(i==n_len)
            if(nargin==4)
                get=subs(get,'t',x0);
            else
                get=vpa(get,6);
            end
        end
    end
    herm=get;
    end
    

    关于测试

    网上普遍的例题:
    求下表埃尔米特插值多项式,计算当x=1.44时y值

    x y y’
    0.5 1 0.5000
    1.0 1.1 0.4
    1.5 1.2 0.3
    2.0 1.3 0.25
    2.5 1.4 0.2

    输入x,y,y’运行得到

    在这里插入图片描述

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  • 上期我们介绍了拉格朗日插值算法,Lagrange 插值方法虽然易算,但若要增加一个节点时,全部基函数 φ(x) 都需重新算过。今天我们重点介绍另外一种插值方法-牛顿插值法。牛顿插值法是一种重要的插值方法,与拉格朗日...
    a185194a3c11d25f2b22fc016c4b1f1b.gif

    上期我们介绍了拉格朗日插值算法,Lagrange 插值方法虽然易算,但若要增加一个节点时,全部基函数 φ(x) 都需重新算过。今天我们重点介绍另外一种插值方法-牛顿插值法。

    牛顿插值法是一种重要的插值方法,与拉格朗日插值法在同阶时产生的多项式在化简以后是一样的,余项也是一样的,因此两者只是写法形式不同而已。在针对变化的数据时,其各自独特的写法形式给其适合的应用场景带来了区别。牛顿插值法适用于被插的点不断增多,而且可以很好的复用以前的计算结果。

    牛顿(Newton)插值

    Newton 公式中有一些差商、差分的概念及性质我们可以先了解下。

    插商

    定义 

    设有函数f (x), x0 , x1, x2 ,...,为一系列互不相等的点,称

    346d4b4a86ef70b31af315a7552b7db8.png

    为f (x)关于点 xi , xj 一阶差商(也称均差),记为  f[xi ,xj ]   ,即

    a960946a029facd5b02f296cbcbaf3bf.png

    称一阶差商的差商

    1b1d950183f9eef7646fcfc02f271b1b.png

    为 f (x)关于点xi , xj ,xk 的二阶差商,记为 f[xi ,xj , xk]  。一般地,称

    6fbdcc1b72a4b42ea4c962b4cd78207e.png

    为 f (x)关于点 x0 ,x1,...,xk 的k 阶差商,记为

    8e77019eaf579066a5dbc5525814943e.png

    容易证明,差商具有下述性质:

    7e7c57bf6e5086ae1e524d7a045ddd91.png

    Newton 插值公式 

    线性插值公式可表成

    ff847829c31419c5edfbc7cc525ec5d6.png

    称为一次 Newton 插值多项式。一般地,由各阶差商的定义,依次可得

    959462b14fa59e6c9106e045093a6dcd.png

    将以上各式分别乘以

    5174ccf315e52beb9dab8b8193631b81.png

    然后相加并消去两边相等的部分,即得

    cab94e3e48fec31c333e18263506e73e.png

    450efe9a1c39b0ef8a5d4ba96d96eaa9.png

    显然,Nn(x) 是至多n次的多项式,且满足插值条件,因而它是 f (x)的n次插值多项式。这种形式的插值多项式称为 Newton 插值多项式。Rn(x) 称为 Newton 插值余项。

    Newton 插值的优点是:每增加一个节点,插值多项式只增加一项,即

    7dc3e1e2aae173e8ea072214b692d926.png

    因而便于递推运算。而且Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。

    由插值多项式的唯一性可知,Newton 插值余项与Lagrange 余项也是相等的,即

    e3eba4f36d7584ab8b960c6acb1ed5ef.png

    由此可得差商与导数的关系

    4076746221a7d6092651b479a5015bc9.png

    差分

    当节点等距时,即相邻两个节点之差(称为步长)为常数,Newton 插值公式的形式会更简单。此时关于节点间函数的平均变化率(差商)可用函数值之差(差分)来表示。 

    定义 

    设有等距节点 ( 0,1, , ) xk = x0 + kh (k = 0,1,..., n) ,步长 h 为常数, f k  = f( xk) 。称相邻两个节点 xk,xk+1 处的函数值的增量  f k +1 − f( k  = 0,1,..., n−1)为函数 f (x) 在 点 k x 处以h 为步长的一阶差分,记为  Δfk ,即

    d90d6f87f263c10f8d2af00ce4606539.png

    称为 f (x) 在 xk 处以 h 为步长的中心差分。一般地, m 阶向后差分与 m 阶中心差分公式为

    d90d6f87f263c10f8d2af00ce4606539.png2c5c15ab7510ac8ccf1becf39782c355.png

    差分具有以下性质: 

    (i)各阶差分均可表成函数值的线性组合,例如

    b9394600830241166517caa89cbce3b3.png

    (ii)各种差分之间可以互化。向后差分与中心差分化成向前差分的公式如下:

    fe0d69a8575b5083e4045796ffbd9c08.png

     等距节点插值公式 

    如果插值节点是等距的,则插值公式可用差分表示。设已知节点

    a5de9b95a71685415a52433b0cb60349.png

    则有

    31c66b155991d06025b59611bd528fa0.png

    上式称为Newton 向前插值公式。

    牛顿插值实例

    已知节点 0, 2, 3, 5 对应的函数值为 1, 3, 2, 5,构造三次Newton 插值多项式,当 x = 2.5 时,计算 Newton 多项式插值结果。


    解:

    由前面计算的差商值,我们很容易写出三次 Newton 插值多项式如下:

    561b266e34fb1a178a3560408c912477.png

    当 x = 2.5 时,Newton 多项式插值结果为:

    7edea0a4820dfae10e2cb043f726d743.png1fe498b36cfc213536c2ac544c4ec8ee.pngadf8ae5a51b825c8036059895f4013d2.png

    输出结果:

    27247ca947fd54f9da1cdc9246778293.png

    下面简单给大家介绍一些其他插值算法

    8ebc8f528244ebc04fae1d00ab927466.png

    分段线性插值

    插值多项式的振荡

    用Lagrange 插值多项式Ln (x) 近似f(x)(a ≤ x ≤ b),虽然随着节点个数的增加,Ln 的次数n 变大,多数情况下误差| Rn (x) |会变小。

    但是n 增大时,Ln (x) 的光滑性变坏,有时会出现很大的振荡。理论上,当n → ∞ ,在[a,b]内并不能保证Ln (x)处处收敛于 f (x)。Runge 给出了一个有名的例子

    61b21b999ecadc79ccd693964ca3bfb0.png

    对于较大的| x |,随着n 的增大,Ln (x) 振荡越来越大,事实上可以证明,仅当| x |≤ 3.63 时,才有

    655a3ddda0a8f76dcb3b82a0d7728c60.png

    而在此区间外,Ln (x)是发散的。

    高次插值多项式的这些缺陷,促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。

    分段线性插值函数

    简单地说,将每两个相邻的节点用直线连起来,如此形成的一条折线就是分段线性插值函数,记作fd9597f084e438e502e92c7ab09d22d7.png ,它满足In (xi ) = yi ,且fd9597f084e438e502e92c7ab09d22d7.png 在每个小区间[xi , xi+1 ]上是线性函数(i = 0,1,...,n) 。

    fd9597f084e438e502e92c7ab09d22d7.png可表示为

    b9e8ddc2a0e8f2deb355fee65cbff54e.png

    fd9597f084e438e502e92c7ab09d22d7.png计算x 点的插值时,只用到x 左右的两个节点,计算量与节点个数n 无关。但n 越大,分段越多,插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时,分段线性插值就足够了,如数学、物理中用的特殊函数表,数理统计中用的概率分布表等。

     用Matlab 实现分段线性插值

    用Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序,Matlab 中有现成的一维插值函数interp1。

    y=interp1(x0,y0,x,'method')

    method 指定插值的方法,默认为线性插值。其值可为:

    'nearest' 最近项插值

     'linear' 线性插值

    'spline' 逐段3 次样条插值 

    'cubic' 保凹凸性3 次插值

    所有的插值方法要求x0 是单调的。

    当 x0 为等距时可以用快速插值法,使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、 '*spline'、'*cubic'。

     埃尔米特(Hermite)插值 

    Hermite 插值多项式如果对插值函数,不仅要求它在节点处与函数同值,而且要求它与函数有相同的一阶、二阶甚至更高阶的导数值,这就是Hermite 插值问题。

    设已知函数y = f (x) 在n +1个互异节点x0 ,x1 ,..., xi上的函数值yi = f (xi ),(i = 0,1,L,n) 和导数值 

    3d7245c1729b32e4699142fa59e50c77.png

    要求一个至多2n +1次的多项式H(x),使得

    c214dea250e37d60d1f3a12a121873da.png

    满足上述条件的多项式H(x)称为Hermite 插值多项式。

    Hermite 插值多项式为

    9943ac73a825e24968cf1d55128b813e.png

    用Matlab 实现Hermite 插值

    Matlab 中没有现成的Hermite 插值函数,必须编写一个M 文件实现插值。

    设n 个节点的数据以数组x0(已知点的横坐标),y0 (函数值),y1(导数值) 输入(注意Matlat 的数组下标从1 开始),m 个插值点以数组x 输入,输出数组y 为m 个插值。编写一个名为hermite.m 的M 文件:

    function y=hermite(x0,y0,y1,x); n=length(x0);m=length(x);

    for k=1:m

    yy=0.0; 

    for i=1:n

    h=1.0; 

    a=0.0; 

    for j=1:n

    if j~=i

    h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2; 

    a=1/(x0(i)-x0(j))+a;

    end 

    end

    yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i)); end

    y(k)=yy;

    end

    往期回顾

    插值与拟合——拉格朗日多项式插值

      END 

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