精华内容
下载资源
问答
  • Matlab 辛普森积分方式

    2018-11-23 21:52:37
    Matlab函数,数值积分中的辛普森积分公式,用来求数据积分
  • 数值积分的基本思想由积分中值定理可知,在积分区间 内存在一点 ,成立 式的几何意义即为:底为 而高为 的矩形的面积恰等于所求曲边梯形的面积 。因此,要想求出 式左端积分,我们只需要知道三个值: 即可,这里 是...

    2f0ca1960975d55e47b79965e0312674.png

    数值积分的基本思想

    由积分中值定理可知,在积分区间

    内存在一点
    ,成立

    式的几何意义即为:底为
    而高为
    的矩形的面积恰等于所求曲边梯形的面积
    。因此,要想求出
    式左端积分,我们只需要知道三个值:
    即可,这里
    是显然的,问题在于
    的具体位置一般是不清楚的,从而
    未知。我们暂且将
    称为区间
    上的平均高度,我们的目标就是寻求一种求出平均高度
    的算法,这样我们的问题也就解决了。

    首先我们想到的是用区间两端点的“高度”

    的算术平均值作为平均高度
    的近似值,从而导出下述求积公式

    式即为我们我们熟知的
    梯形公式。写出MATLAB函数为
    function

    而若用区间中点

    的“高度”
    近似取代平均高度
    ,则可导出
    中矩形公式(简称 矩形公式

    其MATLAB函数为

    function

    总结:更一般地,我们可以在区间

    上适当选取某些节点
    ,然后用
    的加权平均得到平均高度
    的近似值,这样构造出来的求积公式具有下列通式

    其中

    称为
    求积节点
    称为
    求积系数,也称作伴随节点

    这种数值积分方法通常称为机械求积,其优势在于将积分求值问题归结为被积函数值的计算,很适合在计算机上使用。

    代数精度

    由于数值积分方法是近似方法,为保证精度,自然希望我们的求积公式能够对“尽可能多”的函数准确成立,这便提出了代数精度的概念。

    如果某个求积公式对于次数不超过
    的多项式均能够准确成立,但对于
    次多项式就不准确成立,则称该求积公式具有
    次代数精度
    (或 代数精确度)。

    前面提到的梯形公式

    和矩形公式
    均具有一次代数精度。

    求积公式的收敛性与稳定性

    在求积公式
    中,若
    其中
    ,则称求积公式
    收敛的。
    对任给
    ,若
    ,只要
    就有
    成立,其中
    为计算
    时产生误差
    后实际得到的值,即
    ,则称求积公式
    稳定的。

    定理

    若求积公式
    中系数
    ,则此求积公式是稳定的。

    牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式

    将积分区间

    划分为
    等份,此时步长为
    ,选取等距节点
    构造出的插值型求积公式

    称为牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式,其中

    称为
    柯特斯系数。可以通过下式确定

    • 时,
      这时的求积公式便是之前的梯形公式
    • 时,
      此时对应的求积公式便是
      辛普森(Simpson)公式:
      写成MATLAB函数为
    function
    • 时的牛顿-柯特斯公式则特别称为
      柯特斯公式,其形式为
      这里

    其MATLAB代码为

    function

    复合求积公式

    由于牛顿-柯特斯公式在

    时不具有稳定性,故不可能再通过提高阶的方法来提高求积精度。
    复合求积法便是通过把积分区间分成若干个子区间(通常是等分),再在每个子区间上使用低阶求积公式的方法来提高精度的。

    其实细心的同学可以发现,前面我所展示的MATLAB代码使用的便是对每个求积公式使用复合法完成的。常用的有复合梯形公式复合辛普森公式

    龙贝格(Romberg)求积公式

    前面介绍的复合求积方法可提高求积精度,如若精度仍不够,则可通过将步长逐次减半的方式来提高精度。如对复合梯形公式可导出其递推公式

    其中

    表示在
    基础上步长
    减半后的积分值。

    定理

    ,则有

    其中
    系数
    无关。

    式可以看出,
    阶,若用
    代替
    ,有

    再用

    式再减去
    式后再除以

    这里

    是与
    无关的系数。

    式可看出,用近似积分值
    ,其误差阶为
    ,显然误差阶是提高了。类似这种将计算
    的近似值的误差阶由
    提高到
    的方法称为
    外推算法,也称为 理查德森(Richardson)外推算法
    这是“数值分析”中一个重要的技巧,只要真值与近似值的误差能够表示成
    的幂级数,如
    式所示,都可以使用外推算法,提高精度。

    龙贝格(Romberg)算法

    次外推加速为

    余项为

    此方法常称为理查德森外推加速方法

    设用

    表示二分
    次后求得的梯形值,且以
    表示序列
    次加速值,则由递推公式
    可得

    上次则称为龙贝格求积算法,计算过程如下:

    1. ,求
      。令
      (
      记区间
      的二分次数)。
    2. 求梯形值
      ,即按递推公式
      计算
    3. 求加速值。
    4. (预先给定的精度),则终止计算,并且
      ;否则令
      继续计算。

    MATLAB代码为

    function

    自适应积分方法

    复合求积方法通常适用于被积函数变化不太大的积分,如果在求积区间中被积函数变化很大,有的部分函数值变化剧烈,另一部分却变化平缓。这时如果统一将区间等分再用复合求积公式计算积分将会导致计算量很大,我们想实现的是在满足误差要求的前提下,对变化剧烈部分将区间细分,而平缓部分则可使用大步长,也即针对被积函数在区间上不同情形采用不同的步长,使得再满足精度前提下积分计算工作量尽可能小。其算法技巧是在不同区间上预测被积函数变化的剧烈程度确定相应步长。这就是自适应积分方法的基本思想。

    下面是一个基于复合辛普森法的自适应积分算法的MATLAB代码:

    function

    下面我们计算积分

    ,可输入下列语句调用上述MATLAB函数进行计算
    clear
    

    结果为

    I 

    高斯求积公式

    下面研究带权积分

    为权函数)的求积公式

    下面看定义

    如果求积公式
    具有
    次代数精度,则称其节点
    高斯点,相应公式
    称为
    高斯型求积公式。

    这里主要包括四种高斯型求积公式,即

    • 高斯-勒让德求积公式
    • 高斯-切比雪夫求积公式
    • 高斯-拉盖尔求积公式
    • 高斯-埃尔米特求积公式

    多重积分

    这里主要说一下多重积分计算的思路,归结为一句话,就是:多重积分化累次积分,再由里到外使用数值积分公式进行求积计算。

    展开全文
  • 以二次曲线逼近实际曲线根据辛普森公式可得各积分小区间内的积分值如下式所示:其中于是,全积分区间[a, b]的积分值为为便于计算机计算,上式可写成其中C语言程序实现辛普森公式计算积分计算积分代码//simpson.c#...

    对于积分区间[a, b],若

    924b6f84f601eea5b26c21a37a99143d.png

    则成立

    8db58256d2865a66969b864ef0e15f15.png

    辛普森公式

    辛普森公式可看作是改良的梯形公式。梯形公式是以直线逼近实际曲线,而辛普森公式则以二次曲线(即抛物线)逼近。

    08f6c4ace574ee4a6d388c7c891fdd8b.png

    以二次曲线逼近实际曲线

    根据辛普森公式可得各积分小区间内的积分值如下式所示:

    2c428bfb8c9ae8c8cd52b7bd78960a3c.png

    其中

    6d9700d62203839619b5fb39d66df5ca.png

    于是,全积分区间[a, b]的积分值为

    3cdb56e02e7ba3f60a0ed17de57aa47f.png

    为便于计算机计算,上式可写成

    3a195fe50305fb5acd6f775f907a3542.png

    其中

    a7c99f8c8b01a8e949febbce22bcacd4.png

    C语言程序实现辛普森公式计算积分

    • 计算积分
    a118564c86e69355bff0658a75974fc7.png
    • 代码

    //simpson.c

    #include

    #include

    /*函数定义*/

    double f(double x)

    {

    return (1.0-x)*exp(-1*x);

    }

    /*辛普森公式计算积分*/

    double simpson(

    double a, double b, int n)

    {

    double h = (b-a)/n;

    double s0,s1=0.0,s2=0.0;

    double S;

    double x;

    int i;

    s0 = f(a) + f(b);

    for( i = 1; i < n; i += 2 )

    {

    x = a + h * i;

    s1 += f(x);

    }

    for( i = 2; i < n; i += 2 )

    {

    x = a + h * i;

    s2 += f(x);

    }

    S = h*(s0+4*s1+2*s2)/3;

    return S;

    }

    int main(void)

    {

    //积分区间[a, b]

    double a = -1.0, b = 1.0;

    //区间分割数

    int N[5]={10,20,30,50,100};

    int i = 0;

    for( i = 0; i < 5; i++ )

    printf("[%3d等分]积分近似值:

    I = %.7lf

    展开全文
  • 目录导数公式基本积分表三角函数的有理式积分初等函数两个重要极限三角函数公式和差角公式和差化积公式倍角公式半角公式正玄余弦公式莱布尼兹公式、中值定理、曲率定积分应用相关公式空间几何平面方程二次曲面多元...

    c5aa928de8dd2c82fc79e9f907e62e71.png

    摘自各种资源,希望帮助到大家,欢迎关注我!

    目录

    1. 导数公式
    2. 基本积分表
    3. 三角函数的有理式积分
    4. 初等函数
    5. 两个重要极限
    6. 三角函数公式
    7. 和差角公式
    8. 和差化积公式
    9. 倍角公式
    10. 半角公式
    11. 正玄余弦公式
    12. 莱布尼兹公式、中值定理、曲率
    13. 定积分应用相关公式
    14. 空间几何
    15. 平面方程
    16. 二次曲面
    17. 多元函数微分
    18. 多元复合函数及应用
    19. 隐函数求导
    20. 微分在几何上的应用
    21. 方向导数与梯度
    22. 多元函数极值
    23. 重积分及应用
    24. 柱面坐标和球面坐标
    25. 曲线积分
    26. 曲面积分
    27. 高斯公式
    28. 斯托克斯公式
    29. 常数项级数
    30. 审敛法
    31. 收敛判别
    32. 幂级数
    33. 三角级数
    34. 傅里叶级数
    35. 微分方程的相関概念
    36. 线性微分方程

    导数公式

    8d2004585e27447396b53e13c4897661.png


    基本积分表

    bbe6a909a13eb649a4571108fb2f1f1c.png

    三角函数的有理式积分

    27843fcb837ee5df31bd884c82087ffe.png

    初等函数

    491b9d73282db8e1540d17904a798efa.png

    两个重要极限

    c88774f53222af7147129e6b3cc4b2a5.png

    三角函数公式

    2943354d809d23bb8bf59e80ed259d14.png

    和差角公式

    0174a8277330dacdafcbe401939fc34e.png

    和差化积公式

    4a582bd32642711be4e1e0be3ee3944a.png

    倍角公式

    9bccc18a152774555a575cc1ccbdc8c2.png

    半角公式

    2ff0e02a07b2485307cc857f37bdb348.png

    正玄余弦公式

    425ede69bbe90980998f9b0057ae4867.png

    莱布尼兹公式、中值定理、曲率

    19141d0bb8a2a8a596fb826813f76b72.png

    20f53c38c1a0ffd009b6a38dbaeaf8ce.png

    定积分应用相关公式

    9a5b0e1b90345e1f63a621ce2a7cf067.png

    空间几何

    a78cb893fb6d8577dcf1f60ece147e3f.png

    平面方程

    117eb5d6ffa771dd67ea047496949b35.png

    二次曲面

    57b3be98506ce5951d81ea46ca4826a7.png

    多元复合函数及应用

    afce0570b7728ef3b8188e4bc72f100c.png

    隐函数求导

    3dd53f23e36b8ae0eed2ba08780751cc.png

    6e8bbb92f3f241547268b102a0ee3e8c.png

    微分在几何上的应用

    d9d59047480e675fa5bebca18c104918.png

    方向导数与梯度

    4dfb7330259fb5cae9040a2ea24bf5fe.png

    多元函数极值

    c11bbf5bdce4c46f3db8d58aff0ddfcf.png

    重积分及应用

    36caff2e9dc49dcbf4c79e3586b73bda.png

    柱面坐标和球面坐标

    cb70086bffa2f09863eecf38e23d9b87.png

    曲线积分

    fd03d855ef763642722306078140c19a.png

    9a6b5896d8926ab3473a9ab499de1818.png

    曲面积分

    e9db5a6c74312ffa98d0ad31e5a89e8d.png

    高斯公式

    0ed122bb990cc4fed43c09d33e8aa4d4.png

    斯托克斯公式

    3fc9fc2ee9293e8845e23ae911219bd9.png

    常数项级数

    bcbafe0cc4c09a232f7e603942dfe2b4.png

    审敛法

    2733b43fc12ea5db1dff663f7f60982b.png

    收敛判别

    df9634ec6f98f074d892cbac01f11f2e.png

    幂级数

    ba96309f32574821aa931ebf218b8c64.png

    4b2cf1e925f80ec072e9a835f8868777.png

    三角级数

    211efbe0c4147e53761ec79d5556d5ce.png

    傅里叶级数

    1fe4112761b057d389aa5e222333385e.png

    2fc5ac8a330f504e3820f61465665be8.png

    线性微分方程

    7c2aba8b7d48f8fbace184037b9b0ad5.png

    61bf03fbbf75b0133107e49e7582afbc.png

    7377907470066f198b556b4cb6459d48.png
    展开全文
  • 写到后面的时候忽然发现自己好多小点没有写,这里赶紧亡羊补牢一下:pi:在matlab里代表圆周率abs(a)对a求绝对值mod(a,b):a除b的余数,emmm C语言中一般用a%b反三角函数:反正弦:asin()反余弦:acos()反正...

    写到后面的时候忽然发现自己好多小点没有写,这里赶紧亡羊补牢一下:

    pi:在matlab里代表圆周率

    abs(a)对a求绝对值

    mod(a,b):a除b的余数,emmm C语言中一般用a%b

    反三角函数:

    反正弦:asin()

    反余弦:acos()

    反正切:atan()


    上一节啰嗦了一下matlab的操作界面,这节我们正式开始学习一下怎么用matlab

    基本运算(我们先假设几个常数a,b,c,d...)

    加法:a+b

    减法:a-b

    乘法:分为点乘和叉乘,叉乘就是a*b,点乘是a.*b(matlab就是这么直接...)

    这里补充一点,数值运算点乘叉乘是一样的,矩阵才分点乘叉乘。

    除法:也是分为点除和叉除,即a/b和a./b

    乘方:a的b次方就是a^b,注意自然对数e的n次方是exp(n),其中n为常数

    对数:log(a)指以e为底,真数为a(也就是lna);

    此外还有以2为底log2(a),以10为底log10(a)

    其它的对数需要用换底公式,比如:

    前面的是想求的,写在程序里的就是等号后面的式子

    开方:a的平方根就是sqrt(a),当然用a^0.5也可以

    其它:

    赋值a=b就是把b的值赋给a

    特殊的一点:a=a+c就是把a的值加上c

    这节主要记录了matlab的一些基本运算,下一节简单讲讲matla的一些矩阵操作。

    欢迎喜欢的朋友点赞收藏啊:)

    展开全文
  • 包含代码和文档 采用复化梯形公式和复化辛普森公式求积分,并与精确值进行比较得下表。 采用复化梯形公式和复化辛普森公式求积分,并与精确值进行比较得下表。
  • 使用积分,复合辛普森求积公式的计算,运行良好
  • 实验9 数值积分实验成绩实验类型:●验证性实验 ○综合性实验 ○设计性实验实验目的:进一步熟练掌握变步长数值积分算法,提高编程能力和解决定积分问题的实践技能。实验内容:用龙贝格积分算法计算实验原理实验算例...
  • 飞新加坡路上,带了本微积分书。介绍积分的时候,涉及到了求和,于是我开始推导求和公式。推导后发现初高中时的我简直蠢且懒,不过也挺好玩。初高中数学往往要做序列求和,例如: 那么,这些公式是如何推导出来的呢...
  • 辛普森积分算法源代码 matlab格式编写,欢迎下载
  • 数值积分课程需编制自适应的Simpson公式,此代码采用递归函数,函数中采用了fcnchk函数,matlab6.5及以下版本会报错,只需将函数定义语句改成inline函数即可
  • 4IntSimpson 用辛普森系列公式求积分NewtonCotes 用牛顿-科茨系列公式求积分IntGauss 用高斯公式求积分IntGaussLada 用高斯拉道公式求积分IntGaussLobato 用高斯—洛巴托公式求积分IntSample 用三次样条插值求积分...
  • 求解积分的数值方法——Matlab实现

    万次阅读 2018-07-06 20:00:27
    请采用复合梯形公式与复合辛普森公式,计算 sin(x)/x 在[0, 1]范围内的积分。采样点数目为 5、9、17、33。 设计思路 复合梯形公式,利用采样点,每两个相邻的采样点,利用梯形公式计算其积分,最后将所有小...
  • 数值分析实验报告 实 [1] 掌握复化梯形和辛普森数值积分法的基本原理和方法 验 目 [2] 编程 MA TLAB 程序实现复化梯形和辛普森数值积分 的 1. 编程序实现复化梯形数值积分求积公式 function y=f(x) y=sqrt(x*log(x;...
  • 数值分析实验报告 [1] 掌握复化梯形和辛普森数值积分法的基本原理和方法 实 验 [2] 编程 MATLAB程序实现复化梯形和辛普森数值积分 目 的 1. 编程序实现复化梯形数值积分求积公式 function y=f(x) y=sqrt(x*log(x; 实...
  • 数值积分、梯形法和辛普森
  • 复合辛普森公式求解定积分 matlab

    千次阅读 2021-03-31 09:19:56
    复合辛普森积分 已知函数表达式与积分区间 精度esp正相关与1/num %复合辛普森积分 %已知函数表达式与积分区间 clc;clear; a=0;b=1;%积分范围 num=1000;%积分准确度 h=(b-a)/(2*num); f=@(x)exp(-x);%积分表达式 I=0;...
  • 在数值分析中,辛普森法则是一种数值积分方法,是定积分的数值近似。 辛普森法则也对应于三点牛顿-科特斯求积法则。 有关详细信息,请参见 ( https://en.wikipedia.org/wiki/Simpson's_rule )。 例子: 输入下限a:...
  • Matlab求解定积分/不定积分

    万次阅读 多人点赞 2019-10-03 14:30:49
    一、符号积分 求符号积分函数:int 格式:int(f,x,a,b) 功能:计算定积分 格式:int(f,x) 功能:计算不定积分 使用int函数之前,先用syms声明x是符号变量 例: 代码: syms x y1=1/(1+x^4); y2=(x*exp(x))...
  • 这是一段复化梯形法和辛普森数值积分matlab实现程序。
  • 图9: 图9:复化辛普森积分区间 分做 等分,步长 ,半步长half_h= ,将 个小区间的积分求和,得到复化辛普森公式: 注意:端点 和 的函数值的系数是1,下标为偶数的函数值的系数为2(图9中竖线为蓝色实线的点,...
  • 学号 班级 统计1001 姓名 指导教师 易昆南 实验题目 用多种方法计算数值积分 评 分 1设计实习目的 了解MATLAB在实际问题中的应用 通过实践加深对这门语言中M文件的了解 熟悉简单程序结构如循环结构for循环while循环...
  • 题目大意是让你用c系语言实现辛普森积分法对定积分的粗略估计,所谓辛普森积分法即为: 定义:辛普森法则(Simpson's rule)是一种数值积分方法,是牛顿-莱布尼茨公式的特殊形式,以二次曲线逼近的方式取代矩形或...
  • 自编Python程序实现数值计算矩形区域二重积分,使用复化辛普森法。以函数f=xsiny在0和pi/2区域上的积分为例。网格节点数m,n需为2的倍数。对于非矩形区域可以使用虚拟节点和区域,填补为矩形区域后计算,填补区域上...
  • 1.变限积分函数求导变限积分函数求导简单的分为三类: 第一类(或者形如 这种)可以直接得到 ,第二、第三类被积函数里有x,由于需要对x求导,因此不能直接像第一类一样简单,需要转化一下,其中,第三类需要换元,换元三...
  • 此函数通过辛普森规则在区间 [a,b] 中计算积分“I”,其中 n+1 个等距点 语法:I = simpsons(f,a,b,n) 在哪里, f= 可以是匿名函数(例如 f=@(x) sin(x))或包含要积分的函数的等距值的向量a=区间的初始点b= 间隔的...
  • 输入:函数、区间端点、容差输出:该函数在间隔内的积分 该代码包含该函数的示例。 为了进行更精确的计算,请将一个间隔分成多个子间隔,在每个子间隔上实现该函数,然后对结果求和。 拆分的一种方法是采用均匀拆分...
  • 程序使用Simpson的3/8规则返回积分值,以求积分极限并用作用户输入。
  • 采用复合梯形公式与复合辛普森公式,计算 sin(x)/x 在[0, 1]范围内的积分。采样点数 目为 5、9、17、33。
  • 自适应辛普森公式求积分第一回接触辛普森积分,至于这个辛普森是干嘛的呢,在这里就有必要好好地讲一讲了。来源:辛普森(Simpson)公式是牛顿-科特斯公式当n=2时的情形,也称为三点公式。利用区间二等分的三个点来...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 387
精华内容 154
关键字:

matlab辛普森积分

matlab 订阅