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  • 数值分析实验内容,用matlab写程序实现雅可比Jacobi迭代法迭代法解线性方程组的基本思想是构造一串收敛到解的序列,即建立一种从已有近似解计算新的近似解的规则,有不同的计算规则得到不同的迭代法
  • MATLAB实现雅克比迭代法MATLAB实现雅克比迭代法MATLAB实现雅克比迭代法
  • 结合一个题目演示了如何自编代码实现迭代法求解线性方程组,提供了雅克比迭代和JGS迭代两种方法,各函数文件独立,便于移植,题目附有解答,题目来自西工大数值计算方法作业。采用MATLAB实现。
  • Jacobi迭代法,求解线性方程组 matlab代码 Jacobi迭代法,求解线性方程组 matlab代码 Jacobi迭代法,求解线性方程组 matlab代码 Jacobi迭代法,求解线性方程组 matlab代码 Jacobi迭代法,求解线性方程组 matlab代码
  • 利用Jacobi迭代法求解非线性方程组Ax=b,当系数矩阵A是严格对角占优矩阵或不可约对角占优时,该方法适用,里面附有详细注释,适合新手阅读
  • 文章目录前言1 直接法2 迭代法小结 前言 今天我们要说的就是数值微积分,赶紧看看他和高等数学中的微积分有什么区别吧。本文是科学计算与MATLAB语言专题六第2小节的学习笔记,如果大家有时间的话,可以去听听课,...

    前言

    今天我们要说的就是数值微积分,赶紧看看他和高等数学中的微积分有什么区别吧。本文是科学计算与MATLAB语言专题六第2小节的学习笔记,如果大家有时间的话,可以去听听课,没有的话,可以看看我的笔记,还是很不错的。

    1 直接法

    1.线性方程组的直接解法
    高斯(Gauss)消去法
    列主元消去法
    矩阵的三角分解法
    高斯(Gauss)消去法是一个经典的直接法,由它改进得到的列主元消去法,是目前计算机上求解线性方程组的标准算法,其特点就是通过消元将一般线性方程组的求解问题转化为三角方程组的求解问题。此外,还有矩阵的三角分解法等许多直接求解算法。
    (1)利用左除运算符的直接解法
    MATLAB提供了一个左除运算符“\”用于求解线性方程组,它使用列主元消去法,使用起来十分方便。对于线性方程组 A x = b Ax=b Ax=b,可以利用左除运算符反斜杠求解,b左除以A可获得线性方程组的数值解x。
    A x = b Ax=b Ax=b x = A \ b x=A\backslash b x=A\b
    注意,如果矩阵A是奇异的或接近奇异的,则MATLAB会给出警告信息。
    例1 用左除运算符求解下列线性方程组。
    { 2 x 1 + x 2 − 5 x 3 + x 4 = 13 x 1 − 5 x 2 + 7 x 4 = − 9 2 x 2 + x 3 − x 4 = 6 x 1 + 6 x 2 − x 3 − 4 x 4 = 0 \left\{ \begin{aligned} 2x_1+x_2-5x_3+x_4=13\\ x_1-5x_2+7x_4=-9\\ 2x_2+x_3-x_4=6\\ x_1+6x_2-x_3-4x_4=0 \end{aligned} \right. 2x1+x25x3+x4=13x15x2+7x4=92x2+x3x4=6x1+6x2x34x4=0

    A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];
    b=[13,-9,6,0]';
    x=A\b
    

    (2)利用矩阵分解求解线性方程组矩阵分解是设计算法的重要技巧,是指将一个给定的矩阵分解成若干个特殊类型矩阵的乘积,从而将一个一般的矩阵计算问题转化为几个易求的特殊矩阵的计算问题。通过矩阵分解方法求解线性方程组的优点是运算速度快,可以节省存储空间。
    LU分解
    QR分解
    Cholesky分解
    ①LU分解的基本思想
    矩阵的LU分解就是将一个n阶矩阵表示为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。线性代数中已经证明,只要方阵是非奇异的,LU分解总是可以进行的。
    A = L U → A x = b → L U x = b A=LU →Ax=b→LUx=b A=LUAx=bLUx=b { L y = b U x = y \left\{ \begin{aligned}Ly=b\\Ux=y \end{aligned} \right. {Ly=bUx=y
    对于三角方程很容易求解,于是可以首解向量y使Ly=b,再求解Ux=y,从而达到求解线性方程组Ax=b的目的。
    ②MATLAB的LU分解函数
    LU分解函数是根据列主元LU分解算法定义的,具有较好的数据稳定性。lu函数有两种调用格式:
    [L,U]=lu(A):
    产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角阵L,使之满足A=LU。注意,这里的矩阵A必须是方阵。
    [L,U,P]=lu(A):
    产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及一个置换矩阵P,使之满足PA=LU。同样,矩阵A必须是方阵。
    当使用第一种格式时,矩阵L往往不是一个下三角阵,但可以通过行交换成为一个下三角阵。
    ③用LU分解求解线性方程组
    A x = b Ax=b Ax=b L U x = b LUx=b LUx=b x = U \ ( L \ b ) x=U \backslash (L\backslash b) x=U\(L\b

    A x = b Ax=b Ax=b P A x = P b PAx=Pb PAx=Pb L U x = P b LUx=Pb LUx=Pb x = U \ ( L ∗ b ) x=U \backslash(L*b) x=U\Lb
    通过LU分解后可以大大提高运算速度。
    例2 用LU分解求解例1中的线性方程组。

    A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];
    b=[13,-9,6,0]';
    [L,U]=lu(A);
    x=U\(L\b)
    
    x =
      -66.5556
       25.6667
      -18.7778
       26.5556
    

    2 迭代法

    2.线性方程组的迭代解法
    迭代法是一种不断用变量的原值推出它的新值的过程,是用计算机解决问题的一种基本方法。
    { 10 x 1 − x 2 = 9 − x 1 + 10 x 2 − 2 x 3 = 7 − 2 x 2 + 10 x 3 = 6 \left\{ \begin{aligned} 10x_1-x_2=9\\ -x_1+10x_2-2x_3=7\\ -2x_2+10x_3=6 \end{aligned} \right. 10x1x2=9x1+10x22x3=72x2+10x3=6    ⟹    \implies { x 2 = 10 x 1 − 9 x 1 = 10 x 2 − 2 x 3 − 7 x 3 = ( 6 + 2 x 2 ) 10 \left\{ \begin{aligned} x_2&=10x_1-9\\ x_1&=10x_2-2x_3-7\\ x_3&=(6+2x_2)10 \end{aligned} \right. x2x1x3=10x19=10x22x37=(6+2x2)10    ⟹    \implies { x 1 k + 1 = 10 x 2 k − 2 x 3 k − 7 x 2 k + 1 = 10 x 1 k − 9 x 3 k + 1 = 0.6 + 0.2 x 2 k \left\{ \begin{aligned} x_1^{k+1}&=10x_2^{k}-2x_3^{k}-7\\ x_2^{k+1}&=10x_1^{k}-9\\ x_3^{k+1}&=0.6+0.2x_2^{k} \end{aligned} \right. x1k+1x2k+1x3k+1=10x2k2x3k7=10x1k9=0.6+0.2x2k
    (1)雅可比(Jacobi)迭代法
    A x = b , A = D − L − U , ( D − L − U ) x = b Ax=b, A=D-L-U, (D-L-U)x=b Ax=b,A=DLU(DLU)x=b
    D = [ a 11 a 22 ⋱ a n n ] D=\left [ \begin{array}{cccc} a_{11} & & & \\ & a_{22} & & \\ & & \ddots & \\ & & & a_{nn} \end{array} \right] D=a11a22ann
    L = − [ 0 a 21 0 a 31 a 32 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ a n 1 a n 2 ⋯ ⋯ 0 ] L=-\left [ \begin{array}{cccc} 0 & && & \\ a_{21} & 0 && & \\ a_{31} & a_{32} &0& & \\ \vdots &\vdots&\vdots &\ddots&\\ a_{n1} & a_{n2}&\cdots& \cdots&0 \end{array} \right] L=0a21a31an10a32an200
    U = − [ 0 a 12 a 13 ⋯ a 1 n 0 a 23 ⋯ a 2 n ⋱ ⋱ ⋮ ⋱ a n − 1 n 0 ] U=-\left [ \begin{array}{cccc} 0 & a_{12} &a_{13}& \cdots & a_{1n} \\ & 0 &a_{23}& \cdots &a_{2n} \\ & &\ddots& \ddots & \vdots \\ & & &\ddots&a_{n-1n}\\ &&& &0 \end{array} \right] U=0a120a13a23a1na2nan1n0

    求解公式为:
    x = D − 1 ( L + U ) x + D − 1 b x=D^{-1}(L+U)x+D^{-1}b x=D1L+Ux+D1b
    与之对应的迭代公式为:
    x k + 1 = D − 1 ( L + U ) x k + D − 1 b x^{k+1}=D^{-1}(L+U)x^{k}+D^{-1}b xk+1=D1L+Uxk+D1b    ⟹    ( B = D − 1 ( L + U ) , f = D − 1 b \implies(B=D^{-1}(L+U),f=D^{-1}b (B=D1(L+U),f=D1b)    ⟹    x k + 1 = B x k + f \implies x^{k+1}=Bx^{k}+f xk+1=Bxk+f
    雅可比迭代法的函数文件jacobi.m:

    function [y,n]=jacobi(A,b,x0,ep)
    D=diag(diag(A));
    L=-tril(A,-1);
    U=-triu(A,1);
    B=D\(L+U);
    f=D\b;
    y=B*x0+f;
    n=1;
    while norm(y-x0)>=ep
        x0=y;
        y=B*x0+f;
        n=n+1;
    end
    

    (2)高斯-赛德尔(Gauss-Serdel)迭代法
    D x k + 1 = ( L + U ) x k + b → D x k + 1 = L x k + 1 + U x k + b → ( D − L ) x k + 1 = U x k + b x k + 1 = ( D − L ) − 1 U × 0 + ( U − L ) − 1 b → B = D − L − 1 U , f = D − L − 1 b → x k + 1 = B x k + f Dx^{k+1}=(L+U)x^{k}+b →Dx^{k+1}=Lx^{k+1}+Ux^k+b→ (D-L)x^{k+1}=Ux^{k}+b \\ x^{k+1}=(D-L)^{-1}U×0+(U-L)^{-1}b →B=D-L^{-1}U,f=D-L^{-1}b→ x^{k+1}=Bx^{k}+f Dxk+1=L+Uxk+bDxk+1=Lxk+1+Uxk+bDLxk+1=Uxk+bxk+1=DL1U×0+UL1bB=DL1U,f=DL1bxk+1=Bxk+f
    Gauss-Serdel迭代法的函数文件gauseidel.m

    function [y,n]=gauseidel(A,b,x0,ep)
    D=diag(diag(A));
    L=-tril(A,-1); 
    U=-triu(A,1);
    B=(D-L)\U;
    f=(D-L)\b;
    y=B*x0+f;
    n=1;
    while norm(y-x0)>=ep
        x0=y;
        y=B*x0+f;
        n=n+1;
    end
    
    
    

    例3 分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组。设迭代初值为0,迭代精度为10^(-6)。
    [ 4 − 2 − 1 − 2 4 3 − 1 − 3 3 ] \left[\begin{matrix} 4&-2&-1\\ -2&4&3\\ -1&-3&3 \end{matrix}\right] 421243133 [ x 1 x 2 x 3 ] \left[\begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{matrix}\right] x1x2x3= [ 1 5 0 ] \left[\begin{matrix} 1\\ 5\\ 0 \end{matrix}\right] 150

    A=[4,-2,-1;-2,4,3;-1,-3,3];
    b=[1,5,0]';
    [x,n]=jacobi(A,b,[0,0,0]',1.0e-6)
    [x,n]=gauseidel(A,b,[0,0,0]',1.0e-6)
    
    x =
        0.9706
        0.8529
        1.1765
    n =
        35
    x =
        0.9706
        0.8529
        1.1765
    n =
        16
    

    例4 分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法求解下列线性方程组,看是否收敛。
    [ 1 − 2 2 1 1 1 2 2 1 ] \left[\begin{matrix} 1&-2&2\\ 1&1&1\\ 2&2&1 \end{matrix}\right] 112212211 [ x 1 x 2 x 3 ] \left[\begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{matrix}\right] x1x2x3= [ 9 7 6 ] \left[\begin{matrix} 9\\ 7\\ 6 \end{matrix}\right] 976

    A=[1,2,-2;1,1,1;2,2,1];
    b=[9;7;6];
    [x,n]=jacobi(A,b,[0;0;0],1.0e-6)
    [x,n]=gauseidel(A,b,[0;0;0],1.0e-6)
    
    x =
       -27
        26
         8
    n =
         4
    x =
       NaN
       NaN
       NaN
    n =
        1012
    

    小结

    直接法:以矩阵初等变换为基础,可以求得方程组的精确解;占用的内存空间大、程序实现较为复杂;一般适合求解低阶稠密线性方程组。
    迭代法:从给定初始值逐步逼近精确解的过程,求解过程占用存储空间小,程序设计简单;适用于求解大型稀疏矩阵线性方程组;要考虑算法的收敛性。
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    展开全文
  • 求解线性⽅方程组 Ax=b,其中 A 为 ...比较 Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法、逐次超松弛迭代法、 共轭梯度法与高斯消去法、列主元消去法的计算时间。改变逐次超松弛迭代法的松弛因⼦, 分析其对收敛速度的影响。
  • MATLAB迭代法收敛判断

    2021-01-04 13:24:04
    包括雅可比迭代,高斯赛德尔迭代,松弛迭代
  • [x, n] = jacobi(A,b,[0,0,0]',1.0e-7,30) jacobi.m function [x,n] = jacobi(A,b,x0,eps,it_max) % 求线性方程组的Jacobi迭代法,调用格式为 % [x, k] = jacobi(A,b,x0,eps,it_max) % 其中, A 为线性方程组的系数...

    说明推导见此博客:https://blog..net/zengxyuyu/article/details/53054880

    源码见下面:

    main.m

    clear

    clc

    A = [8 -3 2;4 11 -1;6 3 12];

    b = [20;33;36];

    [x, n] = jacobi(A,b,[0,0,0]',1.0e-7,30)

    jacobi.m

    function [x,n] = jacobi(A,b,x0,eps,it_max)

    % 求线性方程组的Jacobi迭代法,调用格式为

    % [x, k] = jacobi(A,b,x0,eps,it_max)

    % 其中, A 为线性方程组的系数矩阵,b 为常数项,eps 为精度要求,默认为1e-6,

    % it_max 为最大迭代次数,默认为200

    % x 为线性方程组的解,k迭代次数

    if nargin ==3

    eps = 1.0e-6;

    M = 200;

    elseif nargin<3

    disp('输入参数数目不足3个');

    return

    elseif nargin ==5

    M = it_max;

    end

    D = diag(diag(A));%求A的对角矩阵

    L = -tril(A,-1);%求A的下三角矩阵

    U = -triu(A,1);%求A的上三角矩阵

    B = D\(L+U);

    f = D\b;

    x = B*x0+f;

    n = 1;%迭代次数

    while norm(x-x0)>=eps

    x0 = x;

    x = B*x0+f

    n = n+1;

    if(n>=M)

    disp('Warning:迭代次数太多,可能不收敛!')

    return;

    end

    end

    展开全文
  • 雅可比和SOR超松弛迭代法matlab程序.rar
  • 雅可比迭代法MATLAB程序:Function[x,k,index]=Jacobi(A,b,ep,it-max)%求线性方程组的雅可比法;%A为方程组的系数矩阵;%b为方程组的右端项;%x为方程组的解;%ep为精度要求,缺省值为le-5;%it_max为最大迭代次数,缺省...

    雅可比迭代法的

    MA

    TLAB

    程序:

    Function[x,k,index]=Jacobi(A,b,ep,it-max)

    %

    求线性方程组的雅可比法

    ;

    % A

    为方程组的系数矩阵

    ;

    % b

    为方程组的右端项

    ;

    % x

    为方程组的解

    ;

    % ep

    为精度要求

    ,

    缺省值为

    le-5;

    % it_max

    为最大迭代次数

    ,

    缺省值为

    100;

    % k

    为迭代次数

    ;

    % index

    为指标变量

    ,index=0

    表示计算失败

    ,index=1

    表示计算成功

    ;

    if nargin<4

    it_max=100;

    end

    if nargin<3

    ep=le-5;

    end

    n=length(A);k=0;x=zeros(n,1);y=zeros(n,1);index=1;

    while k<=it_max

    for i=1:n

    if abs (A(i,i))

    index=0;

    return;

    end

    y(i)=(b(i)-A(i,1:n)*x(1:n)+A(i,i)*x(i))/A(i,i);

    end

    if norm(y-x,inf)

    break;

    end

    k=k+1;

    x=y;

    end

    高斯

    -

    赛德尔迭代的

    MATLAB

    程序

    Function[x,k,index]=Gau-seidel(A,b,ep,it-max)

    %

    求线性方程组的高斯

    -

    赛德尔迭代法

    ;

    % A

    为方程组的系数矩阵

    ;

    % b

    为方程组的右端项

    ;

    % x

    为方程组的解

    ;

    % ep

    为精度要求

    ,

    缺省值为

    le-5;

    % it_max

    为最大迭代次数

    ,

    缺省值为

    100;

    % k

    为迭代次数

    ;

    % index

    为指标变量

    ,index=0

    表示计算失败

    ,index=1

    表示计算成功

    ;

    if nargin<4

    it_max=100;

    展开全文
  • 有关MATLAB样例之雅克比迭代法方面的内容,里面包含matlab雅克比迭代发方面的祥细介绍及代码,编译可通过
  • 计算线性方程组Ax=b,利用A=D-L-U,将线性方程组改写为x=Bx+f,用迭代的方法进行计算 以6阶希尔伯特矩阵为例,如果需计算其他矩阵,改一下A,要计算其他阶数,改一下n的值就好 clc clear format rat%也可以用format ...

    计算线性方程组Ax=b,利用A=D-L-U,将线性方程组改写为x=Bx+f,用迭代的方法进行计算
    以6阶希尔伯特矩阵为例,如果需计算其他矩阵,改一下A,要计算其他阶数,改一下n的值就好

    clc
    clear
    format rat%也可以用format long
    n=6
    %定义希尔伯特矩阵
    H=zeros(n,n);
    for i=1:n
        for j=1:n
            H(i,j)=1/(i+j-1);
        end
    end
    H
    %此处可定义不同的矩阵A,向量b
    A=H;
    b=A*ones(n,1);
    x0=zeros(n,1);%初始向量
    D=zeros(n,n);
    L=zeros(n,n);
    U=zeros(n,n);
    for i=1:n
        D(i,i)=A(i,i);%定义对角阵
    end
    D
    for i=2:n
        for j=1:i-1
            L(i,j)=-A(i,j);%定义单位下三角阵
        end
    end
    L
    for i=1:n
        for j=i+1:n
            U(i,j)=-A(i,j);
        end
    end
    U
    m=1000;%可根据情况改变m的值
    t1=0;
    t2=0;
    %在计算之前先判断两种迭代方法是否收敛
    if max(abs(eig(D^-1*(L+U))))<1
        disp('雅可比迭代法收敛,接下来使用此方法进行求解');
        x1=x0;
        for i=1:m
            x1=D^-1*(L+U)*x1+D^-1*b;
            if(abs(t1-x1)<10^-5)
                sprintf('在经过%d次迭代后,得到收敛解',i)
                break
            end
            t1=x1;
        end
        disp('雅可比迭代法得到的x:');
        disp(x1)
    else
        disp('雅可比迭代法不收敛,计算停止')
    end
    if max(abs(eig((D-L)^-1*U)))<1
        disp('高斯-塞德尔迭代法收敛,接下来使用此方法进行求解');
        x2=x0;
        for i=1:m
            x2=(D-L)^-1*U*x2+(D-L)^-1*b;
            if(abs(t2-x2)<10^-5)
                sprintf('在经过%d次迭代后,得到收敛解',i)
                break
            end
            t2=x2;
        end
        disp('高斯-塞德尔迭代法得到的x:');
        disp(x2)
    else
        disp('高斯-塞德尔迭代法不收敛,计算停止')
    end
    
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  • 使用牛顿方法解非线性方程组 雅可比 迭代 jacobi matlab代码
  • 线性方程组的求解 迭代法有存储空间小程序简单等特点在使用时能保 对于大型线性代数方程组常常用迭代法进行计算 持悉数矩阵的稀疏性不变比较常用的迭代法有 Gauss- Seidel Jacobi 迭代法 迭代法 Jacobi 迭代法和 SOR...
  • matlab-雅克比迭代法

    2021-04-18 06:01:27
    %算法 p188%例题 p209clc;clear;A=[1 0.4 0.40.4 1 0.80...%迭代四次height=size(A,1);D=diag(diag(A));L=tril(A,-1);%得到LU=triu(A,1);%得到U% x=[1 ;1 ;1]%初始向量xx=ones(height,1);k=0;for i=1:1:length(A)for...
  • 目录 算法步骤 例题 程序代码 运行结果 算法步骤 例题 程序代码 function x=Jacobidiedai(A,b,x0,eps,N) n=length(b); if nargin<5 N=500; end if nargin<4 eps=1e-6;... ...
  • A=[4,3,0;3,4,-1;0,-1,4]; b=[24,30,-24]; x=jokebi(A,b); function x2=jokebi(B,c) D=diag(diag(B)); U=D-triu(B); L=D-(triu(B))'; x1=(rand(1,size(B,1)))';... x2=inv(D)*(U+L)*x1+inv(D
  • 包含代码和文档 分别用雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法求解方程组,精确到小数点后6位,分别就 给出相应的计算结果
  • 利用牛顿-雅可比迭代法求非线性方程组Ax=b的一个根,压缩包里包含了求解非线性方程组的代码,只要用MATLAB软件打开程序运行即可
  • 直接法:一般实和求解低阶稠密线性方程组。 迭代法:适用于求解大型稀疏矩阵线性方程组;要考虑算法的收敛性
  • 雅可比(Jacobi)迭代法解线性方程组的Matlab实现

    万次阅读 多人点赞 2020-04-26 14:43:21
    雅可比(Jacobi)迭代法解线性方程组的Matlab实现 迭代法解线性方程组的基本思想是构造一串收敛到解的序列,即建立一种从已有近似解计算新的近似解的规则,有不同的计算规则得到不同的迭代法。 本文是常用的迭代法之...
  • 数值分析雅可比迭代高斯迭代法实验报告
  • 掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和计算步骤;2.能熟练地写出Jacobi迭代法的迭代格式的分量形式,并能比较它们各自的特点及误差估计;3.理解迭代法的基本原理及特点,并掌握Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代和SOR...
  • 雅可比迭代算法

    2018-03-28 15:54:34
    matlab程序实现数值分析算法雅可比迭代,程序给出的是实例,在matlab中可直接运用。
  • 包含牛顿迭代法、对分法、雅可比迭代、高斯赛德尔迭代的完整代码,牛顿迭代法、对分法用户可以自己输入多项式次数、精度,输出迭代计算过程中的数值和最终结果,支持对数、指数、幂函数输入
  • matlab实现牛顿迭代法求解非线性方程,输入非线性方程的次数,系数即可解出

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