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  • 本章内容:介绍了无约束和有约束两种类型的非线性优化一、无约束优化无约束优化的一般形式为: 如果要求最大值,则 1.1 fminunc() 介绍:是MATLAB求解无约束优化的主要函数,算法有:信赖域(trust region)算法和拟...

    本章内容:

    介绍了无约束和有约束两种类型的非线性优化

    一、无约束优化

    无约束优化的一般形式为:

    如果要求最大值,则

    1.1 fminunc()

    介绍:是MATLAB求解无约束优化的主要函数,算法有:信赖域(trust region)算法和拟牛顿法(quasi-Newton),详解如下(对算法有要求的可以看看):

    Unconstrained Nonlinear Optimization Algorithmsww2.mathworks.cn
    e5e803c2ee562c5cd315b7793fec14be.png

    例1、求Banana function的最小值(因其函数图像形似香蕉得名)

    一般优化算法中会用到函数的导数信息,故可以将目标函数的导数以函数的形式输入到fminunc中。若不提供导数信息,fminunc内部会用差分代替导数,由于差分方法计算出的导数值与导数函数计算出的值存在误差,所以,若能为fminunc提供目标函数的导数函数信息,更便于计算。

    (1)拟牛顿法

    函数

    function f = BanaFun(x)
    f = 100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;

    主程序

    options = optimoptions('fminunc','display','iter');     %显示迭代过程,由于matlab推荐采用新的设置optimoptions替代optimset,所以这里跟以前有点不同
    x = [-1.9,2];                                           %初始迭代点
    [x,fval,exitflag,output] = fminunc(@BanaFun,x,options)

    结果

    > In fminunc (line 395) 
    %迭代次数  目标函数计算次数 函数值      步长            一阶导数值
                                                            First-order 
     Iteration  Func-count       f(x)        Step-size       optimality
         0           3           267.62                      1.23e+03
         1           6          214.416    0.000813405            519  
         2           9          54.2992              1            331  
         3          15          5.90157       0.482557           1.46  
         4          21          5.89006             10           2.58  
         5          24          5.84193              1           6.56  
         6          36          4.10288         3.3617           15.2  
         7          42          4.08488       0.115159           19.9  
         8          48          3.39007             10           11.3  
         9          51          3.13363              1           20.7  
        10          54          2.46989              1           3.18  
        11          60          2.12375       0.680215           8.62  
        12          63          1.92978              1           8.85  
        13          66          1.43583              1            2.9  
        14          72          1.29696       0.424794            6.5  
        15          75          1.11139              1           5.84  
        16          78         0.846834              1           2.07  
        17          84         0.694787       0.355489           5.72  
        18          87         0.610241              1           3.12  
        19          93         0.478524       0.655536           5.39  
                                                            First-order 
     Iteration  Func-count       f(x)        Step-size       optimality
        20          96         0.343127              1           1.82  
        21         102          0.28558            0.5            3.9  
        22         105         0.194608              1           3.02  
        23         108         0.135004              1           2.02  
        24         114        0.0854278       0.431816           2.78  
        25         117        0.0672604              1           2.68  
        26         120        0.0377243              1           2.42  
        27         126        0.0157395       0.424018           1.72  
        28         129        0.0113891              1           1.66  
        29         132       0.00400353              1           1.11  
        30         138      0.000778789       0.478349          0.549  
        31         141      0.000349468              1          0.452  
        32         144      3.21971e-05              1          0.113  
        33         147      6.28136e-06              1         0.0865  
        34         150      4.74855e-08              1       0.000383  
    
    Local minimum found.                                %找到了局部最优点
    
    Optimization completed because the size of the gradient is less than
    the default value of the optimality tolerance.
    
    <stopping criteria details>
    
    
    x =                                                 %最优解
    
        0.9998    0.9996 
    
    
    fval =                                              %最优函数值
    
       4.7485e-08
    
    
    exitflag =
    
         1
    
    
    output = 
    
      包含以下字段的 struct:
    
           iterations: 34
            funcCount: 150
             stepsize: 0.0034
         lssteplength: 1
        firstorderopt: 3.8341e-04
            algorithm: 'quasi-newton'               %拟牛顿法        
              message: 'Local minimum found.…'

    (2)信赖域法

    函数

    function [f,g] = BanaFun(x)
    f = 100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;
    g = [100*(4*x(1)^3-4*x(1)*x(2))+2*x(1)-2;100*(2*x(2)-2*x(1)^2]); %目标函数的偏导数矩阵

    主程序

    options = optimoptions('fminunc','Algorithm','trust-region','SpecifyObjectiveGradient',true);
    %注意时optimotions不是optimset
    %'Algorithm','trust-region'算法选择信赖域法
    %调用目标函数导数
    x = [-1.9,2];
    [x,fval,exitflag,output] = fminunc(@BanaFun,x,options)

    1.2fminsearch()函数

    算法:可变多面体算法

    例2、在例1的基础上用fminsearch()函数

    函数

    function f = BanaFun(x)
    f = 100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;

    主程序

    options = optimset('display','iter');
    x = [-1.9,2];
    [x,fval,exitflag,output] = fminsearch(@BanaFun,x,options)

    结果

    优化已终止:
     当前的 x 满足使用 1.000000e-04 的 OPTIONS.TolX 的终止条件,
    F(X) 满足使用 1.000000e-04 的 OPTIONS.TolFun 的收敛条件
    
    
    x =
    
        1.0000    1.0000
    
    
    fval =
    
       4.0686e-10
    
    
    exitflag =
    
         1
    
    
    output = 
    
      包含以下字段的 struct:
    
        iterations: 114
         funcCount: 210
         algorithm: 'Nelder-Mead simplex direct search'
           message: '优化已终止:…'

    其实无约束非线性优化还有许多算法,但都讲篇幅过大,因此这里只讲几种主要的算法。

    二、约束最优化

    fmincon()是最主要的求解约束最优化的函数

    形式:

    算法:大规模内点法,SQP算法,基于内点反射信赖域算法等。

    约束非线性最优化算法ww2.mathworks.cn

    例3、求解如下优化问题

    函数

    function f = confun(x)
    f = -x(1)*x(2)*x(3);

    主程序

    options = optimoptions('fmincon','Display','iter','Algorithm','sqp');  %选用sqp算法
    A = [-1,-2,-2;1,2,2];
    b = [0;72];
    x0 = [10,10,10];                                                        %初始迭代点
    Aeq = [];
    beq = [];
    lb = [];
    ub = [];
    nonlcon = [];                                                           %对应标准形式中的ceq
    [x,fval,exitflag,output] = fmincon(@confun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

    结果

     Iter  Func-count            Fval   Feasibility   Step Length       Norm of   First-order  
                                                                           step    optimality
        0           4   -1.000000e+03     0.000e+00     1.000e+00     0.000e+00     1.000e+02  
        1           9   -1.364305e+03     0.000e+00     7.000e-01     3.340e+01     1.674e+02  
        2          13   -3.291805e+03     0.000e+00     1.000e+00     1.420e+01     1.673e+02  
        3          17   -3.437592e+03     0.000e+00     1.000e+00     8.824e+00     1.247e+02  
        4          21   -3.455626e+03     0.000e+00     1.000e+00     2.423e+00     3.448e+00  
        5          25   -3.455999e+03     0.000e+00     1.000e+00     2.942e-01     1.630e-01  
        6          35   -3.455999e+03     1.421e-14     1.176e-01     4.405e-03     1.687e-01  
        7          39   -3.456000e+03     0.000e+00     1.000e+00     2.144e-02     7.989e-02  
        8          43   -3.456000e+03     0.000e+00     1.000e+00     1.037e-02     1.709e-04  
    
    Local minimum found that satisfies the constraints.
    
    Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
    feasible directions, to within the default value of the optimality tolerance,
    and constraints are satisfied to within the default value of the constraint tolerance.
    
    <stopping criteria details>
    
    
    x =
    
          24             12             12       
    
    
    fval =
    
       -3456       
    
    
    exitflag =
    
           1       
    
    
    output = 
    
      包含以下字段的 struct:
    
             iterations: 8
              funcCount: 43
              algorithm: 'sqp'
                message: 'Local minimum found that satisfies the con…'
        constrviolation: 0
               stepsize: 50/4823
           lssteplength: 1
          firstorderopt: 121/707851

    三、大规模优化问题举例

    例4、求解如下优化问题(含200个变量)

    函数

    function f = Fun(x)
    f = 0;
    n = 200'
    for ii = 1:n
    f = f+(x(ii)-1/ii)^2;
    end

    主程序

    n = 200;
    x0 = 10*ones(1,n);     %初始迭代点
    options = optimoptions('fminunc','Display','iter','Algorithm','quasi-newton');
    [x,fval,exitflag,output] = fminunc(@Fun,x0,options)

    结果

    fval =
    
       1.1140e-14

    总结

    本文介绍了非线性优化算法,主要分为无约束和有约束两种情况。

    优化算法中最重要的是算法的选择,本文并没有对这些算法进行对比,这将在以后的章节中介绍。

    展开全文
  • 定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题就叫做非线性规划问题 其它情况: 求目标函数的最大值或约束条件为小于等于零的情况都可通过取其相反数化为上述一般形式1二次规划用MATLAB软件...
  • matlab学习——非线性规划

    千次阅读 2019-04-01 19:18:46
    一元无约束规划 [x, fval]= fminbnd (f,x1,x2)其中fun为目标函数,支持字符...例1 求函数在区间【0,8】上的最大值、最小值。 代码 如下 y='2*exp(-x)*sin(x)' [xmin,fmin]=fminbnd(y,0,8) %fplot(y,[0,8]) 答...

    一元无约束规划

    [x, fval]= fminbnd (f,x1,x2)其中fun为目标函数,支持字符串,inline函数,句柄函数,[x1,x2]为优化区间。输出x为最优解,fval为最优值

    例1 求函数y=2e^{-x}sin(x)在区间【0,8】上的最大值、最小值。

    代码 如下

    y='2*exp(-x)*sin(x)'
    [xmin,fmin]=fminbnd(y,0,8)
    %fplot(y,[0,8])

    答案是

    y =
        '2*exp(-x)*sin(x)'
    xmin =
        3.9270
    fmin =
       -0.0279

     

    也可以画图来看看最大值最小值的位置

    求最大值的时候可以这样

    y_1='-2*exp(-x)*sin(x)'
    [xmax,ymax]=fminbnd(y_1,0,8)
    ymax=-ymax
    y_1 =
        '-2*exp(-x)*sin(x)'
    xmax =
        0.7854
    ymax =
       -0.6448
    ymax =
        0.6448

     

    也可以运用inline函数求解

    y_2=inline('2*exp(-x)*sin(x)')
    [xmax_1,ymax_1]=fminbnd(y_2,0,8)
    y_2 =
         内联函数:
         y_2(x) = 2*exp(-x)*sin(x)
    xmax_1 =
        3.9270
    ymax_1 =
       -0.0279

    答案有几分不一样,这是由各种函数的内置算法不同影响的。

    当然 ,我们也可以运用句柄函数。

    先写一个m文件

    function f=fun1(x)
    f=2*exp(-x)*sin(x);

    函数也有几种调用形式

    [x1,y1]=fminbnd('f',0,8)
    [x2,y2]=fminbnd('f(x)',0,8)
    [x3,y3]=fminbnd(@f,0,8)

    运行结果是相同的

    多元无约束优化

    [x, fval]= fminunc(fun,x0)

    [x, fval]= fminsearch(fun,x0)

    其中:输入参数fun为目标函数,支持字符串,inline函数、句柄函数,x0为初值,必须得有

    注意:fminunc,fminsearch只支持函数fun自变量单变量符号,如x(1),x(2)等

    例2 求解f=100(y-x^{2})^{2}+(1-x)^{2}的最小值

    f='100*(x(1)-x(2)^2)^2+(1-x(2))^2'
    [x,fval]=fminunc(f,[0,0])
    [x_1,fval_1]=fminsearch(f,[0,0])
    

    答案为

    
    x =
        1.0000    1.0000
    fval 
       1.9474e-11
    x_1 =
        1.0000    1.0000
    fval_1 =
       3.6862e-10

     有约束优化

    [x, fval]= fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

    参数解释

    fun为目标函数,支持字符串、inline函数,句柄函数,x0初值,A线性不等式约束系数、b线性不等式约束常数项、Aeq线性等式约束系数,线性beq等式约束常数,nonlcon非线性约束,支持句柄函数。

    先创建两个句柄函数

    function f1=fun(x)
    f1=x(1)^2+4*x(2)^2;
    
    function [c,ceq]=fun(x)
    c=x(1)^2+x(2)^2-10;
    ceq=0;
    x0=[10,10];
    A=[-3,-4];b=-13;
    lb=[0,0];
    [x,f]=fmincon(@f1,x0,A,b,[],[],lb,[],@f3)

    答案如下

    x =
    
        2.9991    1.0007
    
    
    f =
    
       13.0000

    再看一个例子

    例 4

    先构造两个句柄函数

    function f2=f(x)
    f2=x(1)^2+4*x(2)^2+x(3)^2;
    
    
    function [c,ceq]=fun(x)
    c=[x(1)^2+x(2)^2-x(3)-100,-3*x(1)^3-x(2)^2+10*x(3)^0.5+20];
    ceq=3*x(1)-x(2)^2+x(3)-50;%当非线性不等式约束有多个的时候,就要用矩阵写出约束条件。

     

    代码

    x0=[1,1,1];
    A=[-3,-4,-1];b=13;
    lb=[0,0,0];
    [x,f]=fmincon(@f2,x0,A,b,[],[],lb,[],@f4)
    
    x =
    
       10.8390    0.0005   17.4831
    
    
    f =
    
      423.1423
    

     

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  • 首先从简单的开始,没有约束的非线性,然后就是非线性中比较特殊的一个例子,多项式的非线性,如下图 思路:用matlab求解f的hessian矩阵,然后求解hessian矩阵的特征向量,如果都大于0,就是正定,如果是大于等于...

    参考 https://www.cnblogs.com/always-fight/p/9377554.html

    1、首先从简单的开始,没有约束的非线性,然后就是非线性中比较特殊的一个例子,多项式的非线性,如下图
    在这里插入图片描述
    思路:用matlab求解f的hessian矩阵,然后求解hessian矩阵的特征向量,如果都大于0,就是正定,如果是大于等于0,那么就是半正定,如果有小于0的,那就是非正定。前提:是求解最小值啊,如果求解最大值,那就要反过来的,不过一般都把目标函数倒过来就是了。

    2、那么要找一个非正定的,来试试,看下图

    在这里插入图片描述
    用上面的思路,求解一遍看看,可以看到hessian得到的,是带有变量的,因此肯定是不定的,如下所示:
    h =
    [ 2x1, 0]
    [ 0, 2
    x2 - 2]
    用eig求解,得到如下:
    e =
    2x2 - 2
    2
    x1
    那么可以细化一下,比如[0,1]这个解,是半正定的,应该是极小值,[1,1]这个解,是正定的,也是极小值,[-1,0]这个解,是负定的,应该是极大值,[-1,1]这个解,是不定的,不是极值点。所以,这几个点有的是极值点,有的不是极值点。
    因此,这个肯定没有全局最优解的,对不对呢?不知道,反正,上面的这个例子肯定没有最小值。
    引出一个话题:
    凸函数肯定有全局最优解,即极小值就是最优解;那么如果是非凸函数,是不是就一定没有全局最优解呢?等待解决中。。。

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  • 定义:如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题就叫做非线性规划问题. 其它情况: 求目标函数的最大值或约束条件为小于等于零的情况,都可通过取其相反数化为上述一般形式. (1)二次规划 ...

    1.概念
    定义:如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题就叫做非线性规划问题.
    其它情况: 求目标函数的最大值或约束条件为小于等于零的情况,都可通过取其相反数化为上述一般形式.

    (1)二次规划
    在这里插入图片描述
    用MATLAB软件求解,其输入格式如下:

    1. x=quadprog(H,C,A,b);
    2. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq);
    3. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB);
    4. x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0);
    5. x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0,options);
    6. [x,fval]=quadprog(…);
    7. [x,fval,exitflag]=quaprog(…);
      实例:
      在这里插入图片描述
      Matlab命令
    H=[1 -1; -1 2]; 
    c=[-2 ;-6];
    A=[1 1; -1 2];
    b=[2;2];
    Aeq=[];
    beq=[]; 
    VLB=[0;0];
    VUB=[];
    [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
    

    运算结果为:x =0.6667 1.3333 z = -8.2222

    (2)一般非线性规划
    标准型为:
    在这里插入图片描述
    其中X为n维变元向量,G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成的向量,其它变量的含义与线性规划、二次规划中相同.
    非线性规划求解的函数是fmincon,命令的基本格式如下:
     x=fmincon(‘fun’,X0,A,b)
     x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq)
     x=fmincon(‘fun’,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB)
     x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’)
     x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)
     [x,fval]= fmincon(…)
     [x,fval,exitflag]= fmincon(…)
     [x,fval,exitflag,output]= fmincon(…)
    1.fun为目标函数
    2.x0为初始值
    3.A是不等式约束AX<=b的系数矩阵
    4.b是不等式约束AX<=b的常数项
    4.Aeq是等式约束AeqX=beq的系数矩阵,
    5.beq是等式约束AeqX=beq的常数项,
    6.lb是X的下限,
    7.ub是X的上限,
    8.nonlcon为非线性不等式约束
    9.option为设置fmincon的参数
    注意:
    fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算法。默认时,若在fun函数中提供了梯度(options参数的GradObj设置为’on’),并且只有上下界存在或只有等式约束,fmincon函数将选择大型算法。当既有等式约束又有梯度约束时,使用中型算法。
    fmincon函数的中型算法使用的是序列二次规划法。在每一步迭代中求解二次规划子问题,并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩阵。
    fmincon函数可能会给出局部最优解,这与初值X0的选取有关。

    实例2
    在这里插入图片描述

    先建立M-文件 ex2.m:
        function f=ex2(x);
        f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)^2+(1/2)*x(2)^2
    再建立主程序main2.m:
         x0=[1;1];
         A=[2 3 ;1 4]; b=[6;5];
         Aeq=[];beq=[];
         VLB=[0;0]; VUB=[];
         [x,fval]=fmincon('ex2',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
    运算结果为:   x = 0.7647       1.0588   fval =   -2.0294
    

    实例3:
    在这里插入图片描述

    先建立M文件 ex3.m,定义目标函数:
          function f=ex3(x);   
          f=exp(x(1)) *(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);
    再建立M文件ex31.m定义非线性约束:
          function [g,ceq]=ex31(x)
          g=[x(1)+x(2);1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10];
    
    主程序main3.m为:
    x0=[-1;1];
    A=[];b=[];
    Aeq=[1 1];beq=[0];
    vlb=[];vub=[];
    [x,fval]=fmincon('ex3',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'ex31')
    运算结果为:
           x = -1.2250    1.2250       fval = 1.8951
    

    实例4
    在这里插入图片描述

    function f=ex4(x)
    f=x(1)^2+x(2)^2+10;
    
    function [g,h]=ex40(x)
    g=-x(1)^2+x(2);
    h=-x(1)-x(2)^2+5;    %约束等式
    options=optimset;
    [x,y]=fmincon('ex4',rand(2,1),[],[],[],[],zeros(2,1),[],'ex40',options)
    输出结果:
    x = 1.3794   1.9028     y =   15.5234
    
    展开全文
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