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  • matlab信号采样

    2021-12-07 11:25:15
    对抽样结果分别进行模拟DFT和FFT运算,得到抽样信号的频谱图: 对比两图发现: 1.DFT得到的频谱是40个频率刻度,而FFT得到的只有20个频率刻度。 2.DFT得到的频谱有4个频率分量,而FFT只有两个频率分量。 所以哪个...

    采样对象

    40个离散点,在实空间的40个点内,有2个周期:
    原信号:2(周期)

    采样周期:1/2

    每两个点抽样一个,所以抽样结果如下:
    抽样结果
    对抽样结果分别进行模拟DFT和FFT运算,得到抽样信号的频谱图:
    在这里插入图片描述

    对比两图发现:
    1.DFT得到的频谱是40个频率刻度,而FFT得到的只有20个频率刻度。
    2.DFT得到的频谱有4个频率分量,而FFT只有两个频率分量。
    所以哪个方法得到的结果是对的呢?再回答这个问题前,先看看下面这个离散点只有20个的2(周期)信号图以及他的频谱图(注:此信号不是原信号):
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    是的,这两个频域图一模一样,连频域的刻度都一样。实空间的曲线也是一样的(因为都是两个周期,且离散点都是20个),只有横轴的范围不一样:一个是1—40,另一个是1—20。是的,FFT把抽样函数当做相同周期的另一个函数了。
    造成这一结果的原因在于:抽样函数的离散点减少了,少于原来40个点了。之前说过,频谱会按照离散点的取值,划分频谱图里的频率刻度。40个点划40个频率,20个点划20个基频。
    所以只需要把没有采样的点置0,保持40个采样点,就可以得到采样信号的频谱了:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    可以看到,这样抽样后的频谱图和之间的DFT是一样的,所以我们以后抽样的时候,没有抽到的部分也要保留下来并置0。
    代码:

    close all;
    
    %% 原信号
    n = 0:1:39;                 %40个离散点
    A = cos(2*pi*n*2/40);       %频率:2个周期
    figure; stem(n,A); hold on; plot(n,A); title('原信号');
    
    %% 抽样信号
    n = 0:2:39;                 %20个离散点
    A = cos(2*pi*2*n/40);
    figure; stem(n,A); hold on; plot(n,A); title('抽样信号');
    
    %% 抽样信号作FFT和DFT
    A = cos(2*pi*2*n/40);
    
    B = fft2(A);
    figure; stem(B); title('抽样信号FFT');  
    
    sum = zeros(1,20);
    for freq = 0:2:39
        B = cos(2*pi*freq*n/40);
        C = A.*B;
        for num = 0:19
            sum(freq/2+1) = sum(freq/2+1) + C(num+1);
        end
    end
    figure; stem(n,sum); title('抽样信号DFT');
    
    %% 原信号20个离散点
    n = 0:1:19;                 %20个离散点
    A = cos(2*pi*n*2/20);       %频率:2个周期
    figure; stem(n,A); hold on; plot(n,A); title('20离散点信号');
    
    B = fft2(A);
    figure; stem(B); title('20离散点信号FFT');  
    
    sum = zeros(1,20);
    for freq = 0:1:19
        B = cos(2*pi*freq*n/20);
        C = A.*B;
        for num = 0:19
            sum(freq+1) = sum(freq+1) + C(num+1);
        end
    end
    figure; stem(n,sum); title('20离散点信号DFT');
    
    %% 修改后的采样信号频谱
    A = zeros(1,40);            %40个离散点
    for num = 0:2:39            %抽样1/2
        A(num+1) = cos(2*pi*2*num/40);
    end
    
    n = 0:1:39;
    figure; stem(n,A); title('40离散点抽样信号');
    B = fft2(A);
    figure; stem(B); title('40离散点抽样信号FFT');  
    
    
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  • 为了让MATLAB数字信号处理的相关博文能够得到一个梳理,我开通了一个专栏:数字信号处理的MATLAB实现模拟信号经过采样后得到x(n),从x(n)中重建模拟信号在数学上可用公式来描述: 式中,是一种内插函数。 对于样本...

    为了让MATLAB数字信号处理的相关博文能够得到一个梳理,我开通了一个专栏:数字信号处理的MATLAB实现

    模拟信号经过采样后得到x(n),从x(n)中重建模拟信号

    a77859665c48adedd3b9fbe8126ed193.gif在数学上可用公式来描述:

    076bdca4d3957279d4f8dea893dd6919.gif

    式中,

    67a1d585fb98e6bbff682c164aed3cc9.gif 是一种内插函数。

    对于样本之间的内插,MATLAB提供了几种方法。产生sinc(x)函数在已知有限个样本数之下可用于实现上式,即:

    c0d8d88d29c49d2e1229b4f081265c5c.gif

    如果

    33bbcccbd420b4195c2feb7ed848bd2f.gif已知,并且如果想要在一个很细的栅格(栅格间隔

    dcbf6974cbd87c4a321dd3aee175d6af.gif)上内插 

    1c1296f00e93cabe1a9556840651758a.gif,那么由内插公式,可得:

    abecfe5f8515ab90b5075081bbe2e20b.gif

    这就能作为一个矩阵向量乘法运算实现,如下给出MATLAB脚本:

    n = n1:n2;

    t = t1:Dt:t2;

    Fs = 1/Ts;

    nTs = n*Ts;

    xa = x * sinc( Fs*(ones(length(n),1)*t - nTs' * ones(1,length(t))));

    有的人看到这里一定又懵逼了,对于这种向量化的编程不是太明白,为什么可以写成这样?这也是我关于MATLAB数字信号处理的第一篇博文所强调的:专栏,请查看第一篇博文:向量化编程实践

    为了弄清楚上面的这个编程思路是如何的,向量化是如何向量化的,我给出了自己的推导,由于输入公式太过于繁琐,我也没多少时间,所以给出了手稿版本:

    63c379bfa0a3b1c20e8a82afaf6fd05e.png

    90718e2dd99a359d920b1a03d5823d1b.png

    453faa632841938aae652bd11d2d787a.png

    我不得不说,上面也提到了模拟信号的时间t用栅格间隔的表示方法是为了用MATLAB来近似画出模拟信号,我是默认你读过了我之前的博文:

    这篇博文中给出了一个案例:

    下面给出一个案例:

    2dadcbeb8982f84a6ee85f1c83b962ec.gif

    使用MATLAB求出并画出它的傅里叶变换。

    紧接着下一篇博文,我们又同样使用了这个案例,对这个模拟信号进行了采样,使用不同的采样率采样,观察采样后的信号的DTFT:

    这篇博文,我们同样使用上面给出的案例,使用采样样本重建模拟信号,观察不同采样率下重建信号的误差。

    模拟信号:

    623a1414bd16c5c782685514b0496e87.gif

    对该信号使用两种不同的采样频率采样。

    a. 在 fs = 5000 对信号进行采样

    b. 在 fs = 1000 对信号采样

    首先讨论第一种情况:

    a. 在 fs = 5000 对信号进行采样

    直接给出脚本:

    clc

    clear

    close all

    % Analog signal

    Dt = 0.00005;

    t = - 0.005:Dt:0.005;

    xa = exp(-1000 * abs(t));

    subplot(3,1,1);

    plot(1000*t,xa);

    title('Analog signal');

    xlabel('t in msec');

    ylabel('xa');

    % Discrete-time signal

    Ts = 0.0002;

    Fs = 1/Ts;

    n = -25:25;

    nTs = n*Ts;

    x = exp(-1000*abs(nTs));

    subplot(3,1,2)

    % plot(1000*t,xa);

    % hold on

    stem(n*Ts*1000,x);

    title('Discrete-time signal');

    % hold off

    % Analog signal reconstruction

    xa_r = x * sinc( Fs * ( ones(length(n),1) * t - nTs' * ones(1,length(t) ) ));

    subplot(3,1,3);

    plot(1000*t,xa_r);

    title('Analog signal reconstruction');

    xlabel('t in msec');

    ylabel('xa after reconstruction');

    hold on

    stem(n*Ts*1000,x)

    hold off

    %check

    error = max(abs(xa_r - xa ))

    0ec1ad1291abcba1a40100bb394a9524.png

    且error = 0.0363

    重建的和真正的模拟信号之间的最大误差是0.0363,这是由于模拟信号xa(t)不是严格带限产生的,况且还是一个有限的样本数。重复成这个样子,已经很成功了。

    b. 在 fs = 1000 对信号采样

    这时候采样间隔为1ms,模拟信号

    f8eb7a4e79a6ea2e6c424865dca33617.gif的时间范围是[-5,5]ms,也就是10ms,这时候我们可以得到11个采样间隔点,也就是得到的离散信号的范围为[-5:5],下面直接给出MATLAB脚本:

    clc

    clear

    close all

    % Analog signal

    Dt = 0.00005;

    t = - 0.005:Dt:0.005;

    xa = exp(-1000 * abs(t));

    subplot(3,1,1);

    plot(1000*t,xa);

    title('Analog signal');

    xlabel('t in msec');

    ylabel('xa');

    % Discrete-time signal

    Ts = 0.001;

    Fs = 1/Ts;

    n = -5:5;

    nTs = n*Ts;

    x = exp(-1000*abs(nTs));

    subplot(3,1,2)

    % plot(1000*t,xa);

    % hold on

    stem(n*Ts*1000,x);

    title('Discrete-time signal');

    % hold off

    % Analog signal reconstruction

    xa_r = x * sinc( Fs * ( ones(length(n),1) * t - nTs' * ones(1,length(t) ) ));

    subplot(3,1,3);

    plot(1000*t,xa_r);

    title('Analog signal reconstruction');

    xlabel('t in msec');

    ylabel('xa after reconstruction');

    hold on

    stem(n*Ts*1000,x)

    hold off

    %check

    error = max(abs(xa_r - xa ))

    只是稍微改了几个数据而已。

    763911731debaa9bb052f0e2707febe0.png

    可见,采样率低了之后,重构的是个嘛呀!

    误差:

    error =

    0.1852

    所有的这些都是频谱混叠导致的。

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  • [Matlab-4]信号采样与恢复(采样定理)采样定理(Nyquist Sampling Theorem)移动平均滤波器(Moving-average filter)巴特沃斯滤波器(Butterworth filter)信号的恢复(Recover)标准的采样与恢复写法例题(2道,...

    采样定理(Nyquist Sampling Theorem)

    虽然对陶哲轩的压缩感知也非常感兴趣,但是,我们先来提一嘴采样定理。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    从这个图很容易看到,如果ws不是wb的至少两倍大,那么就会造成信号损失
    在这里插入图片描述

    移动平均滤波器(Moving-average filter)

    在这里插入图片描述
    这里给一个 windowSize=5的例子

    % signal with noise
    clf;clear;
    ds = 0.1;
    Fs = 1/ds;
    t = -pi:ds:pi;
    x = sin(t)+0.25*randn(size(t));
    N = length(x);
    % set the filter
    windowSize = 5;
    b = (1/windowSize)*ones(1,windowSize);
    a = 1;
    % show the result in time domain
    y = filter(b,a,x);
    subplot(2,2,[1 3]);
    plot(t,x); hold on;
    plot(t,y); legend('Input Data','Filtered Data');
    xlabel('t(s)');ylabel("x(t)");title('Time Domain')
    % show the result in frequency domain
    f = (-floor(N/2):floor(N/2))*Fs/N;
    X = fftshift(fft(x))/N;
    subplot(2,2,2); plot(f,abs(X)); axis([-4 4 0 0.6])
    xlabel('f(Hz)');ylabel('Amplitude');title('Input signal');
    Y = fftshift(fft(y))/N;
    subplot(2,2,4); plot(f,abs(Y));axis([-4 4 0 0.6])
    xlabel('f(Hz)');ylabel('Amplitude');title('Filted signal');
    

    输出如下
    在这里插入图片描述

    巴特沃斯滤波器(Butterworth filter)

    在这里插入图片描述

    % signal with noisy
    % signal with noisy
    clf; clear;
    ds = 0.1;
    fs = 1/ds;
    t = -pi:ds:pi-ds;
    x = sin(t)+0.25*randn(size(t));
    fc = 0.5; % cutoff frequency
    % set the filter
    [b,a] = butter(4,fc/(fs/2));
    [H w] = freqz(b,a);
    plot(w/pi*fs/2,abs(H)); % the unit of the horizontal axis is *pi
    rad/sample
    xlim([0 1]);grid minor;title('Amplitude Response');
    xlabel('Frequency (Hz)'); ylabel('Amplitude');
    % show the result in time domain
    y = filter(b,a,x);
    subplot(2,2,[1 3]);
    plot(t,x); hold on;
    plot(t,y); legend('Input Data','Filtered Data');
    xlabel('t(s)');ylabel("x(t)");title('Time Domain')
    % show the result in frequency domain
    N = length(x);
    f = (-N/2:N/2-1)*fs/N;
    Fx = fftshift(fft(x))/N;
    subplot(2,2,2); plot(f,abs(Fx));axis([-4 4 0 0.6]);
    xlabel('f(Hz)');ylabel('Amplitude');title('Input signal');
    Fy = fftshift(fft(y))/N;
    subplot(2,2,4); plot(f,abs(Fy));axis([-4 4 0 0.6]);
    xlabel('f(Hz)');ylabel('Amplitude');title('Filted signal');
    

    输出如下
    在这里插入图片描述

    信号的恢复(Recover)

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    dr = 0.5;
    % original signal
    clear;clf;
    ds = 0.1;t = 0:ds:20;
    F1 = 0.1;F2 = 0.2;
    x = sin(2*pi*F1*t)+sin(2*pi*F2*t);
    x_size = length(x);
    % sampling
    s = 10; % sample rate = 1/(ts*s)
    Ts = ds*s;
    x_samples = x(1:s:x_size); % gets samples of x.
    x_time = (0:length(x_samples)-1)*Ts;
    % Reconstruction Method 1: Follow the formula
    x_recon=zeros(length(t),1);
    for k=1:length(t)
     for n=1:length(x_samples)
     x_recon(k) = x_recon(k)+x_samples(n)*sinc(((k-1)*ds-(n1)*Ts)/Ts);
     end
    end
    % Reconstruction Method 2: Calculate sample by sample
    x_recon = 0;
    for n=1:length(x_samples)
     x_recon = x_recon+x_samples(n)*sinc((t-x_time(n))/Ts);
    end
    

    标准的采样与恢复写法

    clear; clf;
    dt = 0.1;
    f =1/dt;
    t = 0:dt:8-dt;
    freq = 0.5; % Nyquist frequency
    sig = sin(2*pi*freq*t)+0.5*cos(2*pi*0.4*freq*t) ;
    Fs = [1/dt,1.5*freq,2.56*freq];% 按不同的sample rate取
    sample_interval = floor(f./Fs);
    for i =1:length(sample_interval)
        f_sample = sig(1:sample_interval(i):end);
        l = length(f_sample);
        f_sample = [f_sample,zeros(1,100)];
        %这里我们信号的点本身比较少,所以采样后的信号更粗糙,
        %做fft之后信号会看起来不光滑,补0点数多了,
        %频谱分辨率就高,图像看起来更加光滑
        N =length(f_sample);
        t_sample = (0:N-1)*sample_interval(i)*dt;
        subplot(2,length(sample_interval),i);
        if i==1
            plot(t_sample,f_sample);xlabel('t(s)');ylabel('f(t)');
            title('original signal');axis([0 t(end) -2 2]);
        else
            stem(t_sample,f_sample);xlabel('t(s)');ylabel('f(t)');
            title(['Fs' num2str(1/dt/sample_interval(i)) 'Hz']);axis([0 t(end) -2 2]);
        end
        %fit
        fs = 1/(dt*sample_interval(i)); %采样频率是当前时间间隔的倒数
        F = fftshift(fft(f_sample))/l;%这是L不是1!!!!
        %恢复手段和上面一样,我就不写了
    end
    

    例题(2道,有上面讲到的应用)

    还是上我的作业题,说到这就来气,网上的写法大多比较简单,写的时候没什么参考价值,只有自己写。
    在这里插入图片描述
    献出我丑陋的代码

    clear;clf;
    dt = 0.01;
    f = 1/dt;
    t = 0:dt:8-dt;
    freq = 3;
    sig = sin(6*pi*t)+0.5*cos(4.8*pi*t);
    Fs = [1/dt,1.5*freq,3*freq];
    sample_interval = floor(f./Fs);
    for i =1:length(sample_interval)
     f_sample = sig(1:sample_interval(i):end);
     l = length(f_sample);
     f_sample = [f_sample,zeros(1,100)];
     N1 = length(f_sample);
     t_sample = (0:N1-1)*sample_interval(i)*dt;
     subplot(3,length(sample_interval),i);
     if i==1
     plot(t_sample,f_sample);xlabel('t(s)');ylabel('f(t)');
     title('original signal');axis([0 t(end) -2 2]);
     else
     stem(t_sample,f_sample);xlabel('t(s)');ylabel('f(t)');
     title(['S' num2str(i) ':Fs=' num2str(1/dt/sample_interval(i)) 'Hz']);axis([0 t(end) -2 2]);
     end
     fs = 1/(dt*sample_interval(i));
     F = fftshift(fft(f_sample))/l;
     F =abs(F);
     f1 = (-N1/2:N1/2-1)*fs/N1;
     subplot(3,3,i+3);plot(f1,F);grid on;xlim([-5,5]);
     title(['spectrum of S' num2str(i) ] );xlabel('Hz');ylabel('F(w)');
    end
    % subplot(3,3,8);
    x_size = length(sig);
    s1 = floor(f./(freq*1.5));
    s2 = floor(f./(freq*3));
    Ts1 = dt*s1;
    Ts2 = dt*s2;
    x_sample = sig(1:s1:x_size);
    subplot(3,3,8);
    x_recon = zeros(length(t),1);
    for k=1:length(t)
     for n=1:length(x_sample)
     Ts = dt*s1;
     x_recon(k) = x_recon(k) +x_sample(n)*sinc(((k-1)*dt-(n-1)*Ts1)/(Ts1)); 
     end
     plot(t,x_recon);title('Recovery of S2');ylim([-2,2]);ylabel('fr(t)');xlabel('t');
    end
    subplot(3,3,9);
    x_sample = sig(1:s2:x_size);
    x_recon = zeros(length(t),1);
    for k=1:length(t)
     for n=1:length(x_sample)
     Ts = dt*s2;
     x_recon(k) = x_recon(k) +x_sample(n)*sinc(((k-1)*dt-(n-1)*Ts2)/(Ts2)); 
     end
     plot(t,x_recon);title('Recovery of S3');ylim([-2,2]);ylabel('fr(t)');xlabel('t');
    end
    

    输出
    在这里插入图片描述
    第二题(解法来自我的队友)
    在这里插入图片描述

    clear;clf;
    dt = 0.01; f = 1/dt;
    t = 0:dt:20;
    freq = 0.3
    x = sin(freq*2*pi*t) + 0.2*randn(size(t));
    x_size = length(x);
    fc = 0.5;
    [b,a] = butter(4,fc/(f/2));
    [H w] = freqz(b,a);
    x = filter(b,a,x);
    Fs = 3*freq;
    s = floor(f./Fs);
    Ts = dt*s;
    x_samples = x(1:s:x_size);
    l = length(x_samples);
    x_samples = [x_samples,zeros(1,100)];
    N = length(x_samples);
    x_time = (0:N-1)*s*dt;
    subplot(3,1,1);stem(x_time,x_samples);
    title("Sampled Signal");xlabel("t");ylabel("x(t)");
    axis([0 t(end) -2 2]);
    fs = 1/(dt*s)
    y = abs(fftshift(fft(x_samples))/l);
    df = fs/N;
    if mod(N,2) == 0
     f1 = (-N/2:N/2-1)*df;
    else
     f1 = (-floor(N/2):floor(N/2))*df
    end
    subplot(3,1,2);
    plot(f1,y);
    title("the spectrum of the sampled signal");xlabel("f(Hz)");ylabel("Amp");
    x_recon = 0;
    subplot(3,1,3);
    for n = 1:l
     stem(x_time,x_samples,"filled");xlabel("t");ylabel("x(t)");
     if(n == l)
     title("Rsconstruction finished");
     else
     title("Sample by sample reconstruction");
     end
     grid on;axis([0 20 -2 2]);
     
     x_recon = x_recon + x_samples(n)*sinc((t - x_time(n))/Ts);
     hold on;
     plot(t,x_recon,"b");
     hold off;
     
     pause(0.01);
    end
    

    输出
    在这里插入图片描述
    艾奎特,三克油
    Reference:https://elearning.shanghaitech.edu.cn:8443/bbcswebdav/pid-55241-dt-content-rid-4548591_1/courses/EE150L-100655-2440-2020-20212/Lab%205/Lab%205%20Sampling%20and%20Reconstruction2021.pdf

    展开全文
  • 在 fs = 1000 对信号采样,求出并画出其离散时间傅里叶变换。题解:上篇博文也分析了,信号的带宽为2kHz,奈奎斯特频率就为 4000 样本/s,它小于第一问给出的采样频率,所以频谱混叠几乎不存在。我们通过MATLAB验证...

    中使用的模拟信号:

    3ef592f31784b3bea9da6414069d6d64.gif

    为了研究在频域数量上的采样效果,对该信号使用两种不同的采样频率采样。

    a. 在 fs = 5000 对信号进行采样,求出并画出其离散时间傅里叶变换;

    b. 在 fs = 1000 对信号采样,求出并画出其离散时间傅里叶变换。

    题解:

    上篇博文也分析了,信号的带宽为2kHz,奈奎斯特频率就为 4000 样本/s,它小于第一问给出的采样频率,所以频谱混叠几乎不存在。

    我们通过MATLAB验证下:

    clc

    clear

    close all

    % Analog signal

    Dt = 0.00005;

    t = - 0.005:Dt:0.005;

    xa = exp(-1000 * abs(t));

    % Discrete-time signal

    Ts = 0.0002;

    n = -25:25;

    x = exp(-1000*abs(n*Ts));

    %Discrete-time Fourier Transform

    K = 500;

    k = 0:1:K;

    w = pi*k/K;

    X = x*exp(-j*n'*w);

    X = real(X);

    w = [-fliplr(w),w(2:K+1)];

    X = [fliplr(X),X(2:K+1)];

    subplot(2,1,1);

    plot(t*1000,xa);

    xlabel('t in msec');ylabel('x(n)');

    title('Discrete signal');

    hold on

    stem(n*Ts*1000,x);

    gtext('Ts = 0.2msec');

    hold off

    subplot(2,1,2);

    plot(w/pi,X);

    xlabel('Frequency in pi units');ylabel('X(w)');

    title('Discrete - time Fourier Transform');

    24d20264b47d6f4e39e630ed1abd7394.png

    继续作答第二问,将采样间隔改为0.001s,10ms时间区间内能采样11个点。

    clc

    clear

    close all

    % Analog signal

    Dt = 0.00005;

    t = - 0.005:Dt:0.005;

    xa = exp(-1000 * abs(t));

    % Discrete-time signal

    Ts = 0.001;

    n = -5:5;

    x = exp(-1000*abs(n*Ts));

    %Discrete-time Fourier Transform

    K = 500;

    k = 0:1:K;

    w = pi*k/K;

    X = x*exp(-j*n'*w);

    X = real(X);

    w = [-fliplr(w),w(2:K+1)];

    X = [fliplr(X),X(2:K+1)];

    subplot(2,1,1);

    plot(t*1000,xa);

    xlabel('t in msec');ylabel('x(n)');

    title('Discrete signal');

    hold on

    stem(n*Ts*1000,x);

    gtext('Ts = 1msec');

    hold off

    subplot(2,1,2);

    plot(w/pi,X);

    xlabel('Frequency in pi units');ylabel('X(w)');

    title('Discrete - time Fourier Transform');

    7af1fda0619e66ee2721e9070535a6e8.png

    很明显,这个DTFT7已经变了,也就是发生了频谱混叠。

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