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  • 基于MATLAB的快速傅立叶分析程序设计-徐微-基于MATLAB的快速傅立叶分析程序设计.doc 这个是我最近的一个结课大作业,使自己辛苦做出来的,感觉对做信号的时域还有频谱分析等相关内容的朋友们会有一定的帮助,特此...
  • 任意周期函数都可以写成三角函数之和。 参考: 1、如何理解傅立叶级数公式? 2、如何通俗地解释欧拉公式(e^πi+1=0)? 3、

    一、连续时间

    从傅里叶级数(FS)到傅里叶变换(FT)(周期信号到非周期信号)

    (1)任意周期函数都可以写成三角函数之和。

    (2)傅立叶级数是针对周期函数的,为了可以处理非周期函数,需要傅立叶变换。

    既:

    二、离散时间

    从傅里叶级数到傅里叶变换(周期信号到非周期信号)

    理解一个公式:

    • y=A*cos(ω*t+φ)+b(A>0,0<φ<π/2);
    • y=A*cos((2*pi/T)*t+φ)+b(A>0,0<φ<π/2);% T为余弦信号(y)的周期;
    • y=A*cos((2*pi*f)*t+φ)+b(A>0,0<φ<π/2);% f为信号频率

    抛开时间抛开采样频率,只看点的个数,我们对某个余弦信号在两个周期内采样了40次:如下:

    matlab画图:

    n = 0:39;
    y = cos(2*pi*(2*n)/40);
    stem(n,y);
    figure
    plot(n,y)

    频率信号:

    stem(n, abs(fft(y)));

    • 信号频率:以余弦函数表达式为例:y=A*cos((2*pi*f)*t+φ)+b(A>0,0<φ<π/2);% f为信号频率

    信号频率为 f;如果要对其信号进行采样,必须满足奈奎斯特采样定率,即采样频率(Fs)大于2*f HZ;

    • 采样频率Fs/采样周期Ts:
    • 频率分辨率/频率间隔:Fs/N  100/40=2.5

    以上面介绍为例:

    上面的信号是40个采样,如果给一个采样频率是100Hz,那么信号长度就是0.4s,原信号在40个采样内振动了两个周期,可以算出其频率为5Hz。

    对于频域,每个“在40个采样内振动了k个周期”的基信号的实际频率为 ,也就是说频域图中的每一个点代表2.5Hz,这个系统的频域分辨率是2.5Hz,所以原信号的实际频率为

     

    三、采样频率和信号带宽

    1、采样频率:

    采样频率,也称为采样速度或者采样率,定义了每秒从连续信号中提取并组成离散信号的采样个数,它用赫兹(Hz)来表示。采样频率的倒数是采样周期或者叫作采样时间,它是采样之间的时间间隔。通俗的讲采样频率是指计算机每秒钟采集多少个信号样本

    采样定理是指,如果信号带宽不到采样频率的一半(即奈奎斯特频率),那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。大多数应用都要求避免混叠,混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。

    2、信号带宽:

    由信号频谱图可以观察到一个信号所包含的频率成分。把一个信号所包含谐波的最高频率与最低频率之差,即该信号所拥有的频率范围,定义为该信号的带宽。因此可以说,信号的频率变化范围越大,信号的带宽就越宽。

    四、角频率、归一化频率

    1、实际信号的物理频率f:

    表示AD采集物理信号的频率,fs为采样频率,由奈奎斯特采样定理可以知道,fs必须≥信号最高频率(f)的2倍才不会发生信号混叠,因此fs能采样到的信号最高频率为fs/2。单位:Hz

    2、角频率(角速度)Ω/模拟频率:

    是实际物理频率f的2*pi倍,这个也称模拟频率,单位: rad/s。

    Ω=2pi*f=2pi/T,T=1/f=2pi/Ω

    3、归一化频率:

    是将物理频率f按fs归一化之后的结果,最高的信号频率为fs/2对应归一化频率0.5。这也就是为什么在matlab的fdtool工具中归一化频率为什么最大只到0.5的原因。 单位:无

    4、圆周频率w/数字频率

    是归一化频率的2*pi倍,这个也称数字频率。数字频率w:单位: rad

    w=2*pi*(f/fs)=ΩTs=Ω/fs

    举例:

    假定有一个正弦信号x[n],其频率f=100Hz,幅度为A,初始相位为0,则这个信号用公式可以表示为:

    x(t) =A*sin(2*pi*100*t)

    用采样频率fs=500Hz对其进行采样,得到的数字信号x[n]为:

    x[n] =A*sin(2*pi*100*n/fs)= A*sin(0.4*pi*n)

    很明显,这个数字信号的频率为0.4pi 。

     

     

     

    参考:

    1、如何理解傅立叶级数公式?

    2、如何通俗地解释欧拉公式(e^πi+1=0)?

    3、 如何通俗地理解傅立叶变换?

    4、 从傅立叶级数到傅立叶变换

    5、采样频率

    6、信号带宽

    7、数字角频率和模拟角频率和物理频率和归一化角频率的关系,及FFT频率和实际物理频率的关系分析

    8、模拟角频率和数字角频率的关系

    9、如何通俗地解释泰勒公式?

     

     

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  • Mathematics->Fourier series(real number field)非完备性证明,逻辑自洽,深入浅出,构建光通信数学观。...三角函数补充内积补充内积即两个元素点乘,是元素之间的投影计算,若内积为0,表示两个元素正...
    Mathematics->Fourier series(real number field)非完备性证明,逻辑自洽,深入浅出,构建光通信数学观。

    光通信与数学 - 基础1

    光通信与数学 - 泰勒展开式与欧拉公式

    f182b3d3139f249d9026bcc9bd6dade3.gif创造一个属于你自己的变换微积分透支一部分微积分基础知识,但不会涉及梯度,偏微分等复杂概念。

    ccd8bf6aa51a38be825ddb47c0ae8a13.png

    三角函数补充

    1c132db3bd8263276a29dd6cf008279f.png

    内积补充内积即两个元素点乘,是元素之间的投影计算,若内积为0,表示两个元素正交,即两个元素之间无关系。向量内积基础1篇说明了向量内积概念,并给出了几何定义推导。

    f18b7405cb0c9e033f06bd50f31bf1da.png

    关于代数定义推导以及如何从代数定义推导出几何定义,如下:

    63cb884ce14e30af7e5066d2f3d15c8a.png

    将向量从2维空间扩展到多维空间即对应完整定义。函数内积(实数域)内积可以从向量扩充到函数。实数域内,函数内积定义:

    e7b2da214508a1943207a42b321bd90c.png

    向量由离散的点表示:

    50f76eae8fec2fb7f0c18058ff8969a3.png

    每项乘积的系数1理解为离散点的计数或权重。

    函数由连续不可计数的点表示,函数内积:

    5a7c0f98499ef2bc52899b2331ef4fb4.png

    每项乘积的系数Δx理解为不可计数点的计数或权重。

    正交基&变换正交基由一组元素两两内积为0(即两两正交)组成,构建一个内积空间。如果基内所有元素同自己内积都为1,则该正交基为标准正交基如果在内积空间内找不到另外一个元素与正交基内所有元素都两两正交,则该正交基为对应内积空间的完备正交基2维空间变换构建一个2维直角坐标系,任何一个坐标轴上向量称为该轴的基,(1, 0)为x轴的基,(0, 1)为y轴的基。(1, 0)和(0, 1)是对应2维空间的完备标准正交基。对于空间中的任意一个向量s,构建的2维平面空间与s共面,通过内积计算s在该2维坐标系中的坐标表达s(sx, sy)。
    • 将s和x轴上标准基做内积,s⋅(1, 0)等于x轴上的投影值a,得到sx = a

    • 将s和y轴上标准基做内积,s⋅(0, 1)等于y轴上的投影值b,得到sy = b

    • s(sx, sy) = sx⋅(1, 0)+sy⋅(0, 1) = s(a, b),即向量V可以用2维空间的正交基变换而来,坐标值sx、sy为变换系数。

    720cb0a5b39e9f5ceaf35f5f4afce76e.png

    3维空间向量(1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1)构成3维直角坐标轴,是对应3维空间的完备标准正交基。同样的空间向量s变换到3维坐标系中,通过内积计算s在该3维坐标系中坐标表达s(sx, sy, sz)。
    • 将s和x轴上标准基做内积,s⋅(1, 0, 0)等于x轴上的投影值a,得到sx = a

    • 将s和y轴上标准基做内积,s⋅(0, 1, 0)等于y轴上的投影值b,得到sy = b

    • 将s和z轴上标准基做内积,s⋅(0, 0, 1)等于z轴上的投影值c,得到sz = c

    • s(sx, sy, sz) = sx⋅(1, 0, 0)+sy⋅(0, 1, 0)+sz⋅(0, 0, 1)= s(a, b, c),即向量s可以用3维空间的正交基变换而来,坐标值sx、sy、sz为变换系数。

    4b21ffef93112107cbd1d3db917294f6.png

    n维空间变换空间向量s可以变换到2维空间和3维空间,类推也可以变换到n维空间,变换方式推导:

    6d35f98691fc76616db232d0d4510e2d.png

    在变换过程中,正交基需要是完备的,但不需要是标准的,因为可以通过调节变换系数来平衡。正余弦空间向量可以组成向量内积空间,函数是否能组成函数内积空间呢,三角函数系{1, sinnx, cosnx | n=1,2,3,...} 是一组在[-ππ]区间上的完备正交基,该正交基构成了正余弦空间,对其完备性暂不做证明。用元素两两内积是否为0来证明正交性:

    033d442a9868bb105220f00156918608.png

    上述证明过程可知,三角函数系是[-ππ]区间内正交基,但不是标准正交基。分析:
    • sinkx的周期为P=2π/k

    • {sinnx, cosnx | n=1,2,3,...}内所有函数最大的周期为,与区间[-ππ]大小一致。

    • 区间是[-ππ],也可以是[0,2π],只要是[a, b]满足b-a=2π均可。

    扩展:{sinnkx, cosnkx | n=1,2,3,...}内所有函数最大的周期为2π/k,推断三角函数系{1, sinnkx, cosnkx | n=1,2,3,...} 是一组在[-π/kπ/k]区间内的完备正交基,证明类似上述过程。问题:
    • Q:n一定要是整数吗,能不能取小数?

      A:取小数时函数与正交基内其它函数两两内积不等于0,不满足正交性。

    • Q:n能不能等于0,为什么正交基会有一个1?

      A:如果n=0,则sin0=0,cos0=1。sin0与其他正余弦函数内积等于0,sin0自我内积也等于0,是一个没意义的基。cos0与其他正余弦函数内积等于0,cos0自我内积等于2π,是一个有意义的基。因此n不取0,但是保留cos0=1做为正交基的组成。

    • Q:n能不能是负数?

      A:对于cosnx,cos(-nx)=cosnx,实际都是同一个基,取负数无意义。对于sinnx,sin(-nx)sinnx=-sinnxsinnx=-π,不满足正交性。因此n不取负数。

    • Q:空间向量能变换到n维空间内,函数变换到正余弦空间会发生什么?

      A:后续做推导来揭晓答案。

    • Q:周期P无限大会发生什么?

      A:后续做推导来揭晓答案。

    里叶级数推导(实数域)正余弦空间变换空间向量s可以变换到n维空间,函数s(x)在区间[-ππ]内是否可以变换到正余弦空间呢,正余弦空间的正交基为{1, sinnx, cosnx | n=1,2,3,...} ,假设该变换存在,则表达式为每个维度的基乘以变换系数再求和:

    3a7ecb9028ff06464fe5d73a3d6c0382.png

    将s(x)与每个基内积,计算对应基的变换系数:

    32074b214c539fad0281b8252210a3d7.png

    从上述推导过程可知,如果s(x)在区间内绝对可积,则变换系数就存在,即s(x)能在区间[-ππ]内变换到正余弦空间。如果s(x)是以2π为周期的函数,即s(x+2kπ)=s(x),那么s(x)在[-∞, ∞]上都能变换到正余弦空间,变换表达式如下:

    06aa16b58b6e618a75014663b204c4c5.png

    如果s(x)是以P为周期的函数,即s(x+P)=s(x),需要调整正余弦空间正交基以适配周期P。

    0924a0c3b03e1f48be639091da6da2ff.png

    将周期函数s(x)在正余弦空间的变换表达式展开是一个无穷级数,被称为傅里叶级数,类似于泰勒级数(泰勒展开式),是对于原函数s(x)的一种近似表达,当级数无穷大时,认为无限逼近于原函数。函数空间变换上述变换推导是专门针对正余弦函数空间进行的,对于一般性的函数空间是否存在通用性的函数泛型变换算法呢,做以下推导。febe20ba11cbcf2ec3603084ee24d708.png

    用函数泛型变换算法来重新推导验证傅里叶级数。

    170639d55f6a921c3b1620a234a5f176.png

    推导可知,函数泛型变换算法结果与前面特定推导保持一致!里叶级数意义(实数域)正余弦变换几何意义通过三角函数变换,可以将相位为0的正余弦合并成初始相位不为0的正弦。

    77c7f5b134d92d55651e4a60cb6fd95c.png

    综合归纳,周期函数s(x)可以变换为一系列的初始0相位的正余弦波组成,也可以为一系列的带初始相位的正弦波组成。矩形波的傅里叶级数周期为2π的方波,计算其傅里叶级数。

    b6f96abe2b049de5d261bea787d7f73b.png

    进行python数学模拟,随着结果级数的增多,合成图形越来越接近周期方波,如果级数无穷大,则无限逼近方波。7e4303a53e8c63ab0e2f9bee14ddf327.gif奇葩问题周期为2π的方波,也可以理解为周期为4π或6π的周期波,是否会影响傅里叶级数变换呢,以4π为例进行说明:

    46ce8933c2f73a5e894ed72ce9ed2706.png

    推导显示结果一致,但计算过程变复杂,所以变换系数的计算需采取最小的周期。时域变换到频域对于函数或信号s(x),如果自变量x代表时间t(以秒为单位),则称s(x)为时域函数或信号。如果s(x)的傅里叶级数存在,则s(x)可以展开为一系列的正余弦函数,每个正余弦函数都有振幅A和频率ε,如sinkx的频率ε=k(以赫兹为单位)。以方波函数为例,增加一个频率轴,将不同频率的正余弦波分开,可从频域的角度观察s(x)。

    7b1767c323f68e55c278a48bb85337ac.gif

    角频率形态

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    光通信与数学剩余内容

    傅里叶级数(复指数域)傅里叶变换离散傅里叶变换与卷积微积分

    OOPING

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  • Matlab使用杂谈3-Fourier函数实现傅里叶变换傅里叶变换Matlab中的Fourier函数Fourier使用实例普通用法参数变换向量输入傅里叶...傅立叶变换,表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或...

    傅里叶变换

    傅里叶展开式(Fourier expansion)是指用三角级数表示的形式,即一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。傅立叶变换,表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合
    来源百度百科

    来源百度百科

    Matlab中的Fourier函数

    Matlab中关于Fourier使用的讲解
    语法:
    fourier(f)
    fourier(f,transVar)
    fourier(f,var,transVar)

    f-输入,可以是表达式、函数、向量或矩阵等
    var-变量,一般为时间变量或空间变量,如果不设置该变量,一般使用函数中的符号变量作为默认值

    transVar-转换变量,可以是符号变量,表达式,向量或矩阵,该变量通常称为“频率变量”,默认情况下,傅立叶使用w,如果w是f的自变量,则傅立叶使用v。
    The Fourier transform of the expression f = f(x) with respect to the variable x at the point w is

    在这里插入图片描述

    c and s are parameters of the Fourier transform. The fourier function uses c = 1, s = –1.

    Fourier使用实例

    普通用法

    clear;clc
    %% Fourier函数的使用
    %-----------基本使用------------%
    % 一般默认w为变换变量,x为待变换变量
    syms t x
    f=exp(-t^2-x^2);
    f1=fourier(f)
    % 指定转换变量
    syms y
    f2=fourier(f,y)
    % 指定待变换变量和变换变量
    f3=fourier(f,t,y)
    
    

    运行输出结果为:
    在这里插入图片描述

    参数变换

    The Fourier transform of the expression f = f(x) with respect to the variable x at the point w is

    在这里插入图片描述

    c and s are parameters of the Fourier transform. The fourier function uses c = 1, s = –1.

    %------傅里叶变换参数的变换------%
    % 傅里叶中c默认为1,s默认为-1
    % 使用sympref改变其参数
    sympref('FourierParameters',[2 1]);
    fourier(f)
    % 在使用完后记得恢复默认,否则影响下次使用
    sympref('FourierParameters','default');
    

    运行结果为:
    在这里插入图片描述

    向量输入

    %------------向量输入------------%
    syms a b c d w x y z
    M=[exp(x) 1;sin(y) i*z];
    vars=[w x;y z];
    transVars=[a b; c d];
    fourier(M,vars,transVars);
    

    运行结果为:
    在这里插入图片描述

    傅里叶变换无结果

    %---------傅里叶变换不存在--------%
    syms f(t) w
    fourier(f,t,w)
    

    运行结果为:
    在这里插入图片描述

    傅里叶逆变换

    利用ifourier进行变换,语法基本与fourier一致

    ifourier(F,w,t)
    ans = f(t)
    
    展开全文
  • 傅立叶变换,表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅立叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶...

    一、概念

    傅立叶变换是一种分析信号的方法,它可分析信号的成分,也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分,比如正弦波、方波、锯齿波等,傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。傅立叶变换,表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅立叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

    二、应用

    傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值频率谱——显示每个频率对应的幅值大小)。

    三、额外补充

    * 傅里叶变换属于谐波分析;

    * 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;

    * 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;

    *卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;

    * 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).

    四、通俗解释


    首先,使用正余弦波,理论上可以叠加为一个矩形。


    第一幅图是一个郁闷的正弦波 cosx

    第二幅图是 2个卖萌的正弦波的叠加 cos (x) +a.cos (3x)

    第三幅图是 4个发春的正弦波的叠加

    第四幅图是 10个便秘的正弦波的叠加

    随着正弦波数量逐渐的增长,他们最终会叠加成一个标准的矩形,大家从中体会到了什么道理?

    不仅仅是矩形,你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点,但是一旦接受了这样的设定,游戏就开始有意思起来了。



    是上图的正弦波累加成矩形波,我们换一个角度来看看:


    这就是矩形波在频域的样子,是不是完全认不出来了?教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想,以及无穷的吐槽,其实教科书只要补一张图就足够了:频域图像,也就是俗称的频谱,就是——





    再清楚一点:


     




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  • 10.2.3 二维离散傅立叶变换( 2DDFT ) 10.2.4 快速傅立叶变换( FFT ) 10.2.5 傅立叶变换的研究与应用 10.3 离散余弦变换 10.3.1 DCT 变换矩阵 10.3.2 dct2 函数和 dctmtx 函数 10.4 Walsh- Hadamard 变换 ...
  • 对于矩形孔径,空间谱是一个三角形函数,具有两倍孔径的支撑区间。...其原因很容易看出:单程电压方向图只是孔径函数的反傅立叶变换,对于均匀辐射来说,它是孔径宽度的矩形脉冲。 The reason is eas...
  • matlab实用程序目录

    2014-10-19 16:49:17
    实例15:变换傅立叶函数曲线 实例16:劳伦兹非线形方程的无序活动 实例17:填充图 例18:条形图和阶梯形图 实例19:三维曲线图 实例20:图形的隐藏属性 实例21PEAKS函数曲线 实例22:片状图 实例23:视角的调整 ...
  • 函数所能解决的问题其大致包括矩阵运算和线性方程组的求解、微分方程及偏微分方程的组的求解、符号运算、傅立叶变换和数据的统计分析、工程中的优化问题、稀疏矩阵运算、复数的各种运算、三角函数和其他初等数学运算...
  • 实例15:变换傅立叶函数曲线 实例16:劳伦兹非线形方程的无序活动 实例17:填充图 例18:条形图和阶梯形图 实例19:三维曲线图 实例20:图形的隐藏属性 实例21PEAKS函数曲线 实例22:片状图 实例23:视角...
  • 小波分析(附源码)

    千次阅读 2013-05-08 23:19:39
    首先要把傅立叶给弄懂了,傅立叶变换,是把时域的信号,写成了基为不同频率的三角函数的形式,然后,以三角函数的频率和幅值分别为X轴Y轴建立频谱。说来说去,傅立 叶就是以三角函数为基的,而且这些基是两两正交的...
  • 实验二 离散傅立叶变换与快速傅立叶变换 一、 四、 实验要求 1、 调试实验程序,并且,给参考程序加注释; 2、 完成实验内容2,并对结果进行分析。实验中的信号序列file:///C:/Users/fengnuo/AppData/Local/Temp/...
  • 实验二 离散傅立叶变换与快速傅立叶变换 一、 四、 实验要求 1、 调试实验程序,并且,给参考程序加注释; 2、 完成实验内容2,并对结果进行分析。实验中的信号序列file:///C:/Users/fengnuo/AppData/Local/Temp/...
  • tfrstft 短时傅立叶变换 ifestar2 使用AR(2)模型的瞬时频率估计 instfreq 瞬时频率估计 sqrpdlay 群延迟估计 三、模糊函数 ambifunb 窄带模糊函数 ambifuwb 宽带模糊函数 四、Affine类双核线性时频处理函数 ...
  • 实验二 离散傅立叶变换与快速傅立叶变换 一、 四、 实验要求 1、 调试实验程序,并且,给参考程序加注释; 2、 完成实验内容2,并对结果进行分析。实验中的信号序列file:///C:/Users/fengnuo/AppData/Local/Temp/...
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  • matlab使用百例

    2010-04-20 11:01:03
    实例15:变换傅立叶函数曲线 实例16:劳伦兹非线形方程的无序活动 实例17:填充图 例18:条形图和阶梯形图 实例19:三维曲线图 实例20:图形的隐藏属性 实例21 PEAKS函数曲线 实例22:片状图 实例23:视角的调整 ...
  • matlab处理音频信号 一、 问题的提出: 数字语音是信号的一种,我们处理数字语音信号,也就是对一种信号的处理,那信号...对于各种波形,我们都可以用一种方法来分析,就是傅立叶变换:将时域的波形转化到频域来分析。

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