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  • 三角函数形式),并分别用前三项、前五项和前十项恢复原信号,时域采样点数N=1000,所有图中时间坐标从-0.5到0.5。 <p style="text-align:center"><img alt="" height="156" src=...
  • 此应用程序允许用户定义分段函数,计算三角傅立叶级数展开的系数,并绘制近似值。
  • 由于试验得到的信号数据一般为以一定频率采集得到的数据散点,而CFD计算需要给定函数表达式,这里介绍了如何将信号数据的散点通过matlab里的傅里叶变换函数转化为一系列三角函数叠加的显式函数表达式。 clear all;...

     在使用CFX、fluent进行CFD的非定常计算时,有时我们需给定进出口的压力、温度、流量等参数的随时间的变化曲线,由于试验得到的信号数据一般为以一定频率采集得到的数据散点,而CFD计算需要给定函数表达式,这里介绍了如何将信号数据的散点通过matlab里的傅里叶变换函数转化为一系列三角函数叠加的显式函数表达式。

    clear all;
    clc;
    close all;
    Ori_signal = load('Original_signal.dat');
    Ori_signal_x = Ori_signal(:,1);
    Ori_signal_y = Ori_signal(:,2);
    fs = 50000;    % 采样频率
    N = dleta*fs;     % 采样点数
    f = [0:N-1]*fs/N;    %频率
    t = 1/fs*[0:N-1];
    y = Ori_signal_y;
    y1 = fft(y);    %对原始信号进行傅里叶变换得到的复数
    my = abs(y1)*2/N;    %幅值
    figure
    plot(f,my);
    title('y幅值谱');xlabel('频率/Hz');ylabel('幅值/um');grid;
    
    a = 0;
    for i = 1:N/2
        if my(i)>= 0.001 %取幅值大于0.001的频率分量
            a = a+1;
            my_NEW(a) = my(i); %幅值大于0.001的信号分量的幅值
            f_NEW(a) = f(i);    %幅值大于0.001的信号分量的频率
            y1_NEW(a) = y1(i);    %幅值大于0.001的信号分量的相位
        end
    end
    phay = angle(y1_NEW);  %求相位并转化为角度(弧度)
    
    %将幅值大于0.001的信号分量的函数表达式写出来
    y_NEW = my_NEW(1)*cos(2*pi*f_NEW(1)*t+phay(1))/2;
    for i=2:a
        y_NEW = my_NEW(i)*cos(2*pi*f_NEW(i)*t+phay(i)) + y_NEW;
    end
    
    figure
    plot(t,y,'b-', 'LineWidth',4);
    hold on
    plot(t,y_NEW, 'r-','LineWidth',2);
    legend('原始信号','拟合信号')
    
    figure
    stem(f(2:250),my(2:250),'LineWidth',2)
    grid on

     

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  • MATLAB对正弦函数傅里叶变换,矩形脉冲信号傅里叶变换利用MATLAB对正弦信 矩形脉冲信 进行Fourier transform%---------------------------------------------------------------------------------------------------...

    MATLAB对正弦函数傅里叶变换,矩形脉冲信号傅里叶变换

    利用MATLAB对正弦信 矩形脉冲信 进行Fourier transform

    %-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------% % 使用傅立 积分计算一个幅值为10 脉宽为0.5s 时间范围0~6s的矩形脉冲信 的傅立 变换,并绘制其频谱图

    %-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------% clear;clc;

    Fs = 1000; % 采样频率.

    N = 1024;

    A = 10;

    W = 0.5;

    [ T,Xt ] = MyImpulse(A,W,Fs); % 调用产生矩形脉冲信 的函数 MyImpulse( ).

    subplot(2,1,1);

    plot(T,Xt,'b'); % 绘制矩形脉冲信 波形图.

    axis([0 max(T) 0 max(Xt)*1.1]); % 设置横纵坐标轴的显示宽度.

    title('Rectangular Impulse Signal','FontName','New Times Roman','FontSize',11);

    xlabel('time/s','FontName','New Times Roman','FontSize',11);

    ylabel('Amplitude','FontName','New Times Roman','FontSize',11);

    [ f0,Xf0 ] = MyFourierT(T,Xt,Fs,N ); % 调用傅里 变换函数 MyFourierT 对矩形脉冲信

    …进行傅里 变换.

    f = f0(ceil(length(f0)/2):length(f0));

    Xf = Xf0(ceil(length(Xf0)/2):length(Xf0));

    subplot(2,1,2);

    plot(f,Xf,'r');

    % plot(f0,Xf0,'r'); % 绘制矩形脉冲信 频谱图.

    ylim([0 max(Xf)*1.3]);

    title('Amplitude Spectrum','FontName','New Times Roman','FontSize',11);

    xlabel('Frequency/Hz','FontName','New Times Roman','FontSize',11);

    ylabel('Amplitude','FontName','New Times Roman','FontSize',11);

    %-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------% % 使用MyFourierT函数计算一个幅值为5 频率为20Hz的正弦信 的傅立 变换,并绘制其频谱图 %-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------% clear;clc;

    Fs = 1000;

    N = 1024;

    A = 5;

    f = 20;

    [ t,xt ] = MySin(A,f,Fs,N); % 调用函数MySin Function.

    subplot(2,1,1);

    plot(t,xt,'k'); % 绘制正弦信 波形图.

    axis tight

    title('正弦信 ','FontName','New Times Roman','FontSize',11);

    xlabel('time/s','FontName','New Times Roman','FontSize',11);

    ylabel('Amplitude/(g)','FontName','New Times Roman','FontSize',11);

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  • 三角函数傅里叶变换再到语音识别与数字水印盲水印,顾名思义就是看不见的水印。
  • 大纲从积分变换谈起积分变换的基本概念积分变换的来源傅里叶级数傅里叶级数的相关基础概念傅里叶级数的基石——三角函数系及其正交性三角函数三角函数系的正交性傅里叶级数的含义傅里叶系数的导出傅里叶级数收敛...

    从积分变换谈起

    积分变换的基本概念

    积分变换是函数变换的一种。积分变换可以通过计算原函数与一个含参函数的乘积的积分映射为另一个函数。这里要变换的原函数称为原像函数,含参函数称为积分变换核函数,变换后的函数称为像函数
    积分变换的基本概念

    积分变换的来源

    积分变换来源于数学中的转化思想。在数学中有些问题直接求解较为复杂,而通过转化就能将原问题转化成较为简单的问题,通过求解较为简单的问题,得到解之后再进行逆变换就能得到原问题的解。比如通过取对数将复杂的乘积运算转化为加减运算,然后通过对数的逆运算——指数运算可以得到原问题的解。

    如要计算: a b × a c a^b \times a^c ab×ac。将整个式子取以a为底的对数, log ⁡ a ( a b × a c ) = b + c \log_a (a^b \times a^c)=b+c loga(ab×ac)=b+c,然后再将结果取以a为底,b+c为幂的指数,得到 a b × a c = a b + c a^b \times a^c=a^{b+c} ab×ac=ab+c。这就是积分变换转化思想的核心所在。

    傅里叶级数

    要深入了解傅里叶变换,就不得不先了解傅里叶级数和傅里叶积分。

    傅里叶级数的相关基础概念

    傅里叶级数和幂级数都可以用来逼近函数,但是幂级数要求被逼近函数连续,且有任意阶导数(从函数的幂级数展开式中包含任意阶导数可以理解这一点。),同时还要求余项的极限为0。而傅里叶级数只要求函数连续或者有有限个第一类间断点。(确保被逼近函数可积,从傅里叶级数的系数由积分确定可以理解这一点。)

    傅里叶级数的基石——三角函数系及其正交性

    三角函数系

    三角函数系为 1 , cos ⁡ x , sin ⁡ x , cos ⁡ 2 x , sin ⁡ 2 x , . . . , cos ⁡ n x , sin ⁡ n x . . . 1,\cos {x},\sin{x},\cos{2x},\sin{2x},...,\cos{nx},\sin{nx}... 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,...,cosnx,sinnx...

    三角函数系的正交性

    三角函数系在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [π,π]上正交,也就是说上述三角函数系中任意两个相异函数的乘积在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [π,π]的积分为0。(函数系的正交和我们之前理解直线垂直和向量正交都不一样,但是共同点都在于乘积为0,只是此处是乘积的积分为0。)
    三角函数系的正交性
    对于上图中的第一二个式子,可以由三角函数的周期性很容易理解,也可以直接通过积分求得。
    而对于上图中的3,到5式,则可以通过积化和差后依然由三角函数的周期性得到。验证三角函数系的正交性
    注意:两个相同函数的乘积在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [π,π]上不为0。事实上,有如下结果在这里插入图片描述

    傅里叶级数的含义

    所谓函数的傅里叶级数,就是把函数表示成三角级数的形式。在这里插入图片描述如上式右边所示的函数项级数就是三角级数。其中的系数 a 0 , a k , b k a_0,a_k,b_k a0,ak,bk称为傅里叶系数,由下面的式子给出(注意 a a a a 0 a_0 a0开始而 b b b b 1 b_1 b1开始)在这里插入图片描述

    傅里叶系数的导出

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    从上述导出傅里叶系数的过程中可以看出,三角函数系的正交性是导出傅里叶系数的关键。(相异函数积分为0,相同函数除1外全为 π \pi π)。
    而且也可以理解为什么三角级数的常数项是 a 0 2 \frac{a_0}{2} 2a0。这样的话恰好与后面导出的 a n a_n an n = 0 n=0 n=0的时候是一致的。

    傅里叶级数收敛条件与收敛定理

    当周期为 2 π 2\pi 2π的函数满足狄利克雷条件:

    1. [ − π , π ] [-\pi,\pi] [π,π]上连续或者有有限个间断点(是可积的)
    2. 在一个周期上有有限个极值点(保证函数不作无限次振动)

    则函数 f ( x ) f(x) f(x)的傅里叶级数 a 0 2 + ∑ n = 0 ∞ ( a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x ) \frac{a_0}{2}+\sum_{n=0}^{\infty} (a_n\cos nx + b_n\sin nx) 2a0+n=0(ancosnx+bnsinnx)收敛于 1 2 [ f ( x − 0 ) + f ( x + 0 ) ] \frac{1}{2}[f(x-0)+f(x+0)] 21[f(x0)+f(x+0)]。则当x是函数的连续点时傅里叶级数收敛于 f ( x ) f(x) f(x)。 而当x是 f ( x ) f(x) f(x)的间断点的时候,傅里叶j数收敛于 1 2 [ f ( x − 0 ) + f ( x + 0 ) ] \frac{1}{2}[f(x-0)+f(x+0)] 21[f(x0)+f(x+0)].

    为便于理解,下面给出了一个傅里叶级数的典型例题。在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    从上面这个例题中也可以看出,当f(x)是一个奇函数的时候,由于奇函数乘以 cos ⁡ n x \cos nx cosnx仍然是奇函数,在对称区间 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [π,π]上积分为0,其傅里叶级数将只包含正弦项。
    注意

    1. 在写函数 f ( x ) f(x) f(x)等于其傅里叶级数的时候一定要注意标明可以取等号的范围,也就是把所有的函数间断点去除。
    2. 傅里叶级数是三角级数,因而其每一项在整个实数范围内都是连续的,但是其和函数却在实数范围内有间断点。
    3. 上述讨论的是定义在R的周期函数的傅里叶级数,而**利用周期延拓可以求出仅仅定义在区间 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [π,π]的函数 f ( x ) f(x) f(x)**的傅里叶级数。(注意在写成立范围的时候限定在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [π,π]即可)。如下面这道例题讨论的一样。在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述在这里插入图片描述
      注意:上述求出的倒数平方和的结果非常典型,值得记住。

    从周期函数到任意区间函数的傅里叶级数

    周期为 2 π 2\pi 2π的奇函数偶函数的傅里叶级数

    在这里插入图片描述

    定义在区间 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]的非周期函数的傅里叶级数

    在这里插入图片描述
    从上述图片可以看出,定义在区间 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]的函数的傅里叶级数并不唯一,选择不同的延拓方式可以得到对应的正弦级数表达式和余弦级数表达式。

    周期为2l的函数的傅里叶级数

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述从上述周期为2l的函数的傅里叶级数的展开式中可以看出 ω = π l \omega=\frac{\pi}{l} ω=lπ。下文洪将用到这个式子得出傅里叶级数的复数表达式。

    定义在任意有限区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]函数的傅里叶级数

    对于任意有限区间上的函数,既可以通过换元成定义在对称区间上的函数然后进行周期延拓转化成上一种情况解决;也可以通过换元成定义在[0,l]区间上的函数进行奇延拓或者偶延拓成对称区间上的函数然后进行周期延拓,最后展开成傅里叶级数,
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    傅里叶积分

    傅里叶级数的复指数形式


    在这里插入图片描述
    将傅里叶系数换成指数:在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    根据上述 c n c_n cn a n a_n an还有 b n 之 间 的 关 系 , b_n之间的关系, bn, c n c_n cn可以写成:
    在这里插入图片描述

    傅里叶积分的定义

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    对于傅里叶积分公式中的内层积分对应的其实是傅里叶级数的系数,由于是任意函数,周期趋于无穷大,所以变成了积分的样子。外层积分对应的是傅里叶级数的求和符号

    傅里叶积分定理(傅里叶级数收敛定理的升级)

    之前讨论了定义在区间 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [π,π]的函数的收敛定理,下面给出了任意函数的傅里叶积分的存在定理:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    根据欧拉公式可以证明。不懂可以参考:第八章 傅里叶变换 - 百度文库

    傅里叶变换

    傅里叶变换的概念

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    傅里叶变换是一种积分变换,原像函数是 f ( t ) f(t) f(t),像函数对应 F ( ω ) F(\omega) F(ω),核函数为 e − i ω t e^{-i\omega t} eiωt。傅里叶变换对应的其实是求函数的傅里叶系数。原函数和傅里叶系数都能确定一个函数的值,只是两种不同的形式。
    傅里叶逆变换也是一种积分变换,原像函数是 F ( ω ) F(\omega) F(ω),像函数对应 f ( t ) f(t) f(t),核函数为 e i ω t 2 π \frac{e^{i\omega t}}{2\pi} 2πeiωt。傅里叶逆变换对应的是求傅里叶级数的和。

    求傅里叶变换的典型例题

    指数衰减函数的傅里叶变换

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    (请先阅读下文MATLAB在求解fourier变换中的应用后阅读程序)使用MATLAB求上述傅里叶变换如下:

    %% 傅里叶变换eg1
    clc;clear;
    syms t w
    syms b positive  // 定义一个正的常数b
    f(t)=exp(-b*t)*heaviside(t);
    ft=fourier(f(t),w);
    

    运行结果:

    ft =
     
    1/(b + w*1i)
    

    注:

    • heaviside(x)是阶梯函数,x>0时返回1,x<0时返回0,x=0时返回 1 2 \frac{1}{2} 21
    • syms b positive定义一个正的参数b

    根据傅里叶逆变换的定义,可以求出上述傅里叶变换结果的逆变换在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述注意

    • 上述求解结果是通过傅里叶变换的定义得到的而不是通过正常的积分手段得到。这说明傅里叶变换可以用来求一些正常积分不好求的特殊积分。
    • 在求解傅里叶逆变换的过程中,经常使用将复指数化成三角形式的技巧,然后通过奇偶性化简。

    使用MATLAB命令求解傅里叶逆变换如下

    clc;clear;
    syms t w b
    ft=ifourier(1/(b + w*1i),t)
    

    运行结果:

    ft =
     
    (exp(-b*t)*(sign(t) + 1))/2
    

    恰好可以得到原函数。(与原函数稍有不同:在间断点x=0处,得到等于左右极限的平均值。这与傅里叶积分定理所给出的结果是一致的。)

    正态钟形函数的傅里叶变换

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    从上述求傅里叶变换的过程中可以看出,对于求指数的负复数平方次幂和实数的结果是一致的,这可以通过换元 x = t + i ω 2 β x=t+\frac{i\omega}{2\beta} x=t+2βiω得到。

    %% 傅里叶变换eg2
    clc;clear;
    syms t  w
    syms A b positive
    f(t)=A*exp(-b*t^2)
    ft=fourier(f(t),w)
    

    运行结果:

    ft =
    (A*pi^(1/2)*exp(-w^2/(4*b)))/b^(1/2)
    

    傅里叶变换的物理意义

    函数 f ( t ) f(t) f(t)的傅里叶变换 F ( ω ) F(\omega) F(ω)称为 f ( t ) f(t) f(t)频谱函数(在物理学中, ω \omega ω是圆频率,所以 F ( ω ) F(\omega) F(ω)是圆频率的函数)。
    而频谱函数的模 ∣ F ( ω ) ∣ |F(\omega)| F(ω)称为振幅频谱

    振幅频谱是偶函数。
    在这里插入图片描述
    F ( ω ) F(\omega) F(ω)是一个复函数,其辐角称为 f ( t ) f(t) f(t)相角频谱
    在这里插入图片描述

    广义傅里叶变换

    单位脉动函数

    单位脉冲函数起源于物理学中的脉冲现象,如断电后的突然来电,总电量是一定的,但是时间非常短,这意味着电流随时间变化的函数 q ( t ) q(t) q(t)与t轴围成的面积是一定的,但是时间极短。当围成的面积是一个单位时就是单位脉冲函数。
    在这里插入图片描述

    单位脉冲函数

    Dirac(狄拉克)第一次引入了单位脉冲函数描述上述积分为定值,但是时间极短的变化过程。

    单位脉冲函数的定义

    在这里插入图片描述
    注意,单位脉冲函数没有具体的显性表达式,凡是满足上述积分性质的函数都可认为时单位脉冲函数

    单位脉冲函数的性质

    单位脉冲函数的积分为1.

    在这里插入图片描述
    在单位脉冲函数的定义中取无穷次可微函数 f ( t ) = 1 f(t)=1 f(t)=1可得到上述结果。

    筛选性质

    在这里插入图片描述
    由于单位脉冲函数只在0附近有函数值,其余为0,则求积分的时候,只有0附近的函数值为 ∞ \infty ,则求 δ ( t ) f ( t ) \delta(t) f(t) δ(t)f(t)的积分过程为: f ( 0 ) × ∞ × 1 ∞ = f ( 0 ) f(0) \times \infty \times \frac{1}{\infty}=f(0) f(0)××1=f(0)

    常见的广义傅里叶变换

    根据傅里叶积分定理,函数 f ( t ) f(t) f(t)能够写成傅里叶积分形式的其中一个前提条件是 f ( t ) f(t) f(t)绝对可积,而这个条件相当强,许多常见的函数如 sin ⁡ x cos ⁡ x x \sin x \cos x x sinxcosxx等都不满足。将单位脉冲函数应用到傅里叶变换中可以得到上述函数的广义的傅里叶变换。

    单位阶跃函数的广义傅里叶变换

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    使用MATLAB求单位阶跃函数的傅里叶变换,同时验证所给出的频谱函数的傅里叶逆变换就是单位阶跃函数的代码如下:

    clc;clear;
    syms t w
    ft1=fourier(heaviside(t),w)
    ft2=simplify(ifourier(ft1,t))
    

    结果如下:

    ft1 =
     
    pi*dirac(w) - 1i/w
     
     
    ft2 =
     
    sign(t)/2 + 1/2
    

    其中dirac(w)就是单位脉冲函数。在MATLAB命令栏中可以验证,dirac(0)=inf,当x不等于0时dirac(x)=0。

    MATLAB求傅里叶变换的应用

    fourier命令

    fourier命令是matlab中求解傅里叶变换的主要命令,包含以下三种调用格式。其中transVar是傅里叶变换后像函数的自变量,一般使用 ω \omega ω

        fourier(f)
        fourier(f,transVar)
        fourier(f,var,transVar)
    

    ifourier命令

    ifourier命令是matlab中求解傅里叶逆变换的主要命令,调用格式和fourier命令相同。

    参考文献与资料

    1. 三角级数及三角函数系的正交性 - 百度文库
    2. 第八章 傅里叶变换 - 百度文库本文主要参考的傅里叶变换的内容,较为详细
    3. 实验三 MATLAB求Fourier变换及逆变换 - 百度文库该教程详细介绍了使用matlab命令求解傅里叶变换的过程
    4. Matlab实现Fourier级数的简单教程 该教程主要是使用MATLAB利用傅里叶级数的公式实现求解傅里叶系数。
    展开全文
  • 傅里叶分析之掐死教程,我看了,说实话我觉得有点绕,如果没学过傅里叶变换我觉得不可能看一遍就懂,估计会卡死很久。尤其是那些矢量图和大海螺旋图,让我一脸懵逼,怀疑自己没学过傅里叶变换。Heinrich:傅里叶分析...

    af643a1aded0ff0d246f301d9880e85e.png

    <前言>

    傅里叶分析之掐死教程,我看了,说实话我觉得有点绕,如果没学过傅里叶变换我觉得不可能看一遍就懂,估计会卡死很久。尤其是那些矢量图和大海螺旋图,让我一脸懵逼,怀疑自己没学过傅里叶变换。

    Heinrich:傅里叶分析之掐死教程(完整版)更新于2014.06.06​zhuanlan.zhihu.com
    f1fb9ba712f3784683558426748d02ce.png

    仔细一想,作者说“要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析”。这就麻烦了,数学语言简洁直接,要最快理解显然应该不应该走这条路,而应该先把相关的数学知识搞清楚到能理解傅里叶变换的程度。

    当然像作者这样去讲述也是很棒的(尤其是我引用的那张图,很清晰),但是我总觉得这样会使已经有一点数学基础的人看的更晕,没有数学基础的同学也不可能很快理解。

    </前言>

    <正文>

    我们可以将任意信号强度随时间变化的规律写成函数f(x),x表示时间。

    任意信号往往非常复杂毫无规律,难以用数学式表示,于是我们希望将函数f(x)分解为几个简单的函数相加的形式,分解如下表示:

    3e252a3ed3c43399ebca92744a5b5e0d.png

    我们自然希望找到一种分解(选择一种合适的基底函数),能够很方便地求出系数c_n。数学家告诉我们三角函数、复指数函数正是合适的基底函数。

    利用三角函数系或复指数函数系展开的函数级数被称为傅立叶级数。

    周期为T的函数f(x)傅里叶级数展开如下:

    b0de9e13bcc902915fee0a9a709d9bbf.png

    数学家(知道我们不会算)同时告诉了我们系数:

    85363d3471144f7859dc3b9a1f6794ef.png
    式中a_n, b_n是傅立叶系数,ω为基频,与周期T或频率f的关系是ω=2π/T=2πf。

    abfc24c0d735e2b80dd94909ca34183d.png
    补充一下振幅和相位的定义

    把频率作为x轴(数值用n表示),把振幅An作为y轴,可以画出频谱图(幅度谱):

    74950337f582ed0750617100e5895c2d.png
    (随便取的数值)

    利用频谱图还可以直观地分析各谐波分量的组成以及比重。当然还有相位谱图,频率作为x轴(数值用n表示),相位φ作为y轴就好了。

    如上所述,我们可以将一个复杂的周期性信号分解成几个简单的简谐波叠加。

    (把复杂的波形变成如上几根线段,真是太爽了!)

    那非周期性函数怎么办?非周期函数的傅立叶展开式,周期无限大,采用傅立叶积分。

    傅立叶积分是傅立叶级数取极限得到的,推导过程如下图所示:

    (前方复指数函数警告,没学过可以跳过下图推导)

    a0ac1a3e6e869a4a37c7bdb8004dbebe.png
    (非周期拿几个简谐波叠加凑不好,那就多几个,无限多个来个积分总够了吧!)

    对比一下傅里叶级数的式子:

    293dddd0f43d9e3465ac7973a6f350db.png

    非周期信号的F(f)就是周期性信号的An(也就是一开始说的系数)。

    非周期信号和周期性信号的区别就在于频谱是否连续:

    ee7dacdca28deb7ed2a0baf404e9fcaa.png
    (两图的数值都是乱定的)

    <总结一下>

    所以呢,傅里叶变换就是在分解一个函数的过程中,某个叫傅里叶的人发现某种分解方式特别简洁好算,然后就把这种分解方式(变换)命名为傅里叶变换。

    从数学上理解,就是把一个函数写成几个(或者无限个,取个极限)函数(三角函数或复指数函数)相加的过程。

    从信号处理的角度来理解,就是把一个在时域上非常复杂的信号函数(随时间变化非常复杂),转变为在频域上相对简单便于处理的频谱函数的过程。

    下图非常直观地表现了这一过程。基底函数是三角函数,原始信号函数前面那个是图像类似于矩形波的函数。如果要分解真正的矩形波(显然是非周期函数),频谱图像就是连续的。

    7abd7e865c7e405e76cd8ba92f0d2183.png

    </总结一下>

    很多时候会把f写成u:

    d23e554673945712406a45f659ce355c.png

    还有傅里叶反(逆)变换:

    628304475a5a565cd2b326549ebda673.png

    傅立叶变换是互逆的,唯一的。如果没有这一性质,就不能将一个时域的函数变换为频域进行分析,再变换回时域。

    值得注意的是,上文我们以信号随时间的变化举例来理解一维的傅里叶变换,或者说应用一维傅里叶变换处理随时间变换的信号问题。但是傅里叶变换在数学上仅仅是一个函数变换,具体变量的含义并无规定。

    </正文>

    <遥感数字图像处理原理课的复习>

    通过“处理时间信号”的例子,现在我们已经理解了傅里叶变换。很容易将傅里叶变换拓展至多维。二维函数的傅立叶变换和反变换分别定义为:

    72b3eca332d8ca369cd926bb8c05ff12.png

    处理静态二维图像需要使用二维傅里叶变换。

    f(x,y)是一幅图像,F(u,v)是它的傅立叶变换。u, v是傅立叶变换的空间频率。

    对比一下利用一维傅里叶变换处理时间信号:

    • 一维傅里叶变换(处理时间信号):时域的函数变换为频域,进行分析,再变换回时域。
    • 二维傅里叶变换(处理二维图像):空域的函数变换为频域,进行分析,再变换回空域。

    应该不难理解。

    空间频率在上一节课《数字图像处理的光学基础》中已经讲过,可以理解为等相位线在x,y坐标投影的截距的倒数。对于图像信号,空间频率是指单位长度内亮度作周期性变化的次数。

    空间频率的概念在图像处理中十分重要。了解噪声、线、细节、背景或平滑区域等对应的空间频率特性,才能更好地对图像进行处理。

    空间频率知识细节对应到光学,涉及阿贝成像理论:

    物体经过光学系统到像经历了两个过程:

    (1)物经过光学系统后,在它的后焦面上形成衍射图样(夫琅和费衍射)。

    (2)以衍射图样为次波波源,在像平面上产生振幅叠加而构成了物的像。

    这两个过程分别对应傅立叶正变换和傅里叶反变换。阿贝在数学上证明了,二次成像过程就是对二维光场的复振幅进行正、反两次傅立叶变换的过程。

    第一次是把光场复振幅的空间分布,变成光学系统后焦面上的空间频率的分布。

    第二次的作用是把空间频率分布还原成光场复振幅的空间分布。

    光的二次傅立叶变换,是数字图像处理中改善图像质量的光学理论基础。

    </遥感数字图像处理原理课的复习>

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