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  • Matlab求微分方程的数值

    千次阅读 2020-08-10 17:53:00
    一、Matlab中求微分方程的数值解函数 [x,y]=solver('f',ts,x0,options) 1)x代表自变量 2)y代表函数值 3)solver代表求解函数,常用的为ode45->函数图像变化较为平稳,ode15s->函数图像存在突变(一...

    注:首先计算微分方程的解析解,如果发现没有解析解,再用数值解

    一、Matlab中求微分方程的数值解函数

    [x,y]=solver('f',ts,x0,options)

      1)x代表自变量

      2)y代表函数值

      3)solver代表求解函数,常用的为ode45->函数图像变化较为平稳,ode15s->函数图像存在突变(一个运行时间长时,换另一个)

      4)ts=[t0,t1],代表自变量函数的初值和终值,也可以指定以一个向量

      5)x0表示函数的初始值

      6)options(可选):options=odeset('reltol','rt','abstol',at),rt,at分别为设定的相对误差,默认为10e-3,10e-6

      7)f表示由待解微分方程编写的m函数文件名

     

    二、一阶微分方程的数值解

       1、求解步骤:

           1)化为标准型(等号左边为微分)如下图

            

            2)带入函数求解

       2、例子

            例1(求方程):

                 题目:y-y{^'}=2x,初始值为y(0)=3,x范围为[0,2]

                 解:

                  1)化为标准型:y{^'}=y-2x

                  2)matlab求解如下:

                      2.1)新建一个m文件,用来编辑f函数

    function dy = f(x,y) % dy是标准化后左边的式子,x是式子右边的自变量,y是因变量
    dy = y - 2*x;
    end

                     2.2)新建一个m文件用来计算结果 

    [x y] = ode45('f',[0,2],3); %x是自变量,y是因变量
    figure(1)
    plot(x,y,'*-')
    axis([0 2 -inf inf])
    grid on

                  3)运行结果

                  

         

             例2:(求方程组)

                 题目:

                \left\{\begin{matrix} y{_1^'}=y{_2}y{_3}\\ y{_2^'}=-y{_1}y{_3}\\ y{_3^'}=-0.51y{_1}y{_2} \end{matrix}\right.,自变量x\in[0.4\pi],初始值y{_1}(0)=0,y{_2}(0)=y{_3}(0)=1

                解:

                1)化为标准型(题目已经为标准型)

                2)matlab代码

                    2.1)新建一个m文件,用来编辑f函数

    function dy = f(x,y) % dy是标准化后左边的式子,x是式子右边的自变量,y是因变量
        dy = zeros(3,1);
        dy(1) = y(2)*y(3);
        dy(2) = -y(1)*y(3);
        dy(3) = -0.51*y(1)*y(2);
    end

                  2.2) 新建一个m文件用来计算结果 

    [x, y] = ode45('f', [0 4*pi], [0 1 1]);  % 这里的y是一个有3列的矩阵哦!x是自变量,y是因变量
    plot(x, y(:,1), 'o', x, y(:,2), '*', x, y(:,3), '+') 
    legend('y1','y2','y3')  % 加上标注
    axis([0, 4*pi, -inf, +inf])  % 设置横坐标范围为0-4pi,纵坐标范围不需要设置,写成-inf到+inf

              3)结果

                

    三、高阶微分方程的数值解

          1、步骤

               1)标准化

                高阶方程转化为一阶方程组合

               2)按一阶求解

         2、例子

         

              1)标准化

              

               

              2)matlab求解

              

             

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  • matlab实现数值微分(diff_ctr函数)

    千次阅读 2020-08-07 01:26:16
    如果已知函数表达式,可以通过diff()函数取各阶导数解析解的方法,并得出结论,高达100阶的导数也可以用MATLAB语言在...由于在MATLAB语言没有现成的数值微分函数,所以本文将介绍一种数值微分算法——中心差分方法

    总述

    如果已知函数表达式,可以通过diff()函数求取各阶导数解析解的方法,并得出结论,高达100阶的导数也可以用MATLAB语言在几秒钟的时间内直接求出。

    如果函数表达式未知,只有实验数据,在实际应用中经常也有求导的要求,这样的问题就不能用前面的方法获得问题的解析解。要求解这样的问题,需要引入数值算法得出所需问题的解。由于在MATLAB语言中没有现成的数值微分函数,所以本文将介绍一种数值微分算法——中心差分方法

    函数说明

    function [dy,dx] = diff_ctr(y,Dt,n)
    %diff_ctr
    %中心差分算法实现数值微分
    %  调用格式:
    %    [d_y, d_x] = diff_ctr(y,Dt,n)
    %  其中,y为给定的等间距的实测数据构成的向量, Dt为自变量的间距,n为所需的导数阶次。 
    %  向量d_y为得出的导数向量, 而d_x为相应的自变量向量。注意这两个向量的长度比y短。
    %
    % Examples:
    %  求函数y=sin(x)/(x^2+4*x+3)1~4阶导数
    % MATLAB求解语句:
    %  h=0.05; x=0:h:pi; syms x1; 
    %  f=sin(x1)/(x1^2+4*x1+3); y=subs(f,x1,x);
    %  [y1,dx1]=diff_ctr(y,h,1); subplot(221), plot(dx1,y1); 
    %  [y2,dx2]=diff_ctr(y,h,2); subplot(222), plot(dx2,y2); 
    %  [y3,dx3]=diff_ctr(y,h,3); subplot(223), plot(dx3,y3); 
    %  [y4,dx4]=diff_ctr(y,h,4); subplot(224), plot(dx4,y4);
    
    % 与解析解对比验证:
    % syms x1; 
    % f=sin(x1)/(x1^2+4*x1+3); 
    % yy1=diff(f);   f1=subs(yy1,x1,x); 
    % yy2=diff(yy1); f2=subs(yy2,x1,x); 
    % yy3=diff(yy2); f3=subs(yy3,x1,x); 
    % yy4=diff(yy3); f4=subs(yy4,x1,x);
    % % 求四阶导数向量的范数(相对误差):
    % norm(double((y4-f4(4:60))./f4(4:60)))
    

    应用举例

    问题: 求函数 y=sinxx2+4x+3y=\frac{sin x}{x^2+4x+3} 的1~4阶导数, 并验证误差。

    代码如下:

    % // 输入函数,并求解析解,并代入x向量得出精确解。
    h=0.05; x=0:h:pi; syms x1; 
    f=sin(x1)/(x1^2+4*x1+3); 
    yy1=diff(f); f1=subs(yy1,x1,x); 
    yy2=diff(yy1); f2=subs(yy2,x1,x); 
    yy3=diff(yy2); f3=subs(yy3,x1,x); 
    yy4=diff(yy3); f4=subs(yy4,x1,x);
    %// 比较不同阶的导数
    y=subs(f,x1,x); 
    [y1,dx1]=diff_ctr(y,h,1); subplot(221), plot(x,f1,dx1,y1,':'); 
    [y2,dx2]=diff_ctr(y,h,2); subplot(222), plot(x,f2,dx2,y2,':'); 
    [y3,dx3]=diff_ctr(y,h,3); subplot(223), plot(x,f3,dx3,y3,':'); 
    [y4,dx4]=diff_ctr(y,h,4); subplot(224), plot(x,f4,dx4,y4,':')
    %// 定量分析误差
    norm(double((y4-f4(4:60))./f4(4:60)))
    

    不同阶的导数图像如下:
    函数图像
    定量地分析误差时, 考虑到计算得出的4阶导数向量, 其长度比原始对照向量f4短, 所以两个向量取同样多点进行比较, 就可以得出数值方法的相对误差最大值为3.5×1043.5 \times 10^{-4}, 亦即 0.035%0.03 5\% 。 由此可见, 这里的数值方法还是很精确的。

    函数实现

    function [dy,dx] = diff_ctr(y,Dt,n)
    y1=[y 0 0 0 0 0 0];
    y2=[0 y 0 0 0 0 0];
    y3=[0 0 y 0 0 0 0];
    y4=[0 0 0 y 0 0 0];
    y5=[0 0 0 0 y 0 0];
    y6=[0 0 0 0 0 y 0];
    y7=[0 0 0 0 0 0 y];
    switch n
        case 1
            dy = (-y1+8*y2-8*y4+y5)/12/Dt;
        case 2
            dy = (-y1+16*y2-30*y3+16*y4-y5)/12/Dt^2;
        case 3
            dy = (-y1+8*y2-13*y3+13*y5-8*y6+y7)/8/Dt^3;
        case 4
            dy = (-y1+12*y2-39*y3+56*y4-39*y5+12*y6-y7)/6/Dt^4;
    end
    dy = dy(5+2*(n>2):end-4-2*(n>2));
    dx = ([2:length(dy)+1]+(n>2))*Dt;
    

    此函数源文件可前往下面网址下载:

    diff_ctr.m下载通道

    展开全文
  • MATLAB教学视频常微分方程组在MATLAB中的求解方法-MATLAB教学视频:常微分方程(组)在MATLAB中的求解方法.pdf MATLAB教学视频,数学建模与数值计算类:本期视频时长约115分钟,通过具体的案例,首先讲解了MATLAB ...
  • Matlab求微分方程组的解析解

    千次阅读 2020-03-07 21:53:14
    最近同学毕设需要求解循坏摆的微分方程,我在帮忙过程学习了一下常微分方程的解析解和数值解的法,在此分享。 以下讲解遵循Matlab官方文档提供的方程和写法。 一阶常微分方程求解(无初值) 方程:dy/dt=ay ...

    最近同学毕设需要求解循坏摆的微分方程,我在帮忙过程中学习了一下常微分方程的解析解和数值解的求法,在此分享。
    以下讲解遵循Matlab官方文档提供的方程和写法。
    (强烈建议大家有问题多看官方文档,非常有用)

    介绍一下核心函数

    常用形式:S = dsolve(eqn,cond)
    功能介绍:解微分方程eqn,其中eqn是一个符号方程,cond是初值条件(边界条件)。使用diff和==表示微分方程。例如,diff(y,x)==y表示方程dy/dx=y。通过将eqn指定为这些方程的向量来求解微分方程组。

    1. 一阶常微分方程求解(无初值)

    方程:dy/dt=ay
    代码

    syms y(t) a; %syms 定义方程用的变量和未知常量(可有可无)。y(t)表示y是关于t的函数,求解t。 
    eqn=diff(y,t)==a*y; %diff(y,t)即dy/dt,默认为1阶。
    S=dsolve(eqn) %dsolve()为求解函数,将方程放入即可
    

    说明:首先定义方程所用变量和未知常量,然后列出微分方程,最后dsolve()求解。
    结果

    S =
    C2*exp(a*t)
    

    分析:C2为未定的常数项,需要提供一个初值,才能确定。

    2. 二阶常微分方程求解(无初值)

    方程:dy²/dt²=ay
    代码

    syms y(t) a; %syms 定义方程用的变量和未知常量。y(t)表示y是关于t的函数,求解t。 
    eqn=diff(y,t,2)==a*y; %diff(y,t,2)即dy²/dt²,第三个参数表示阶数,更高阶数一样。
    S=dsolve(eqn) %dsolve()为求解函数,将方程放入即可
    

    结果

    S =
    C3*exp(a^(1/2)*t) + C4*exp(-a^(1/2)*t)
    

    分析:无初值情况下,C3,C4未定,更高阶数解法类推,修改diff()第三个参数即可。

    3. 二阶微分方程求解(有初值)

    方程:dy²/dt²=ay
    代码

    syms y(t) a; %syms 定义方程用的变量和未知常量。y(t)表示y是关于t的函数,求解t。 
    eqn=diff(y,t,2)==a*y; %定义diff(y,t,2)即dy²/dt²,第三个参数表示阶数。
    Dy=diff(y,t); %定义方程Dy为dy/dt;
    cond=[y(0)==5,Dy(0)==1]; %定义初值,t=0时,y=5,dy/dt=1;
    S=dsolve(eqn,cond) %dsolve()为求解函数,将方程放入即可
    

    说明:一阶微分方程求解时,不需要定义Dy,二阶方程有dy/dt的初值时,需要定义
    结果

    S =
    (exp(a^(1/2)*t)*(5*a^(1/2) + 1))/(2*a^(1/2)) + (exp(-a^(1/2)*t)*(5*a^(1/2) - 1))/(2*a^(1/2))
    

    分析:有初值情况下,无未定常数项

    4. 一阶微分方程组求解(有初值)

    方程:dy/dt=z;
    dz/dt=-y
    代码

    syms y(t) z(t); %syms 定义方程用的变量 
    eqn=[diff(y,t)==z,diff(z,t)==-y]; %定义方程组dy/dt=z,dz/dt=-y
    cond=[y(0)==1,z(1)==1]; %定义初值,t=0时,y=5;t=1时,y=1;
    [ySol zSol]=dsolve(eqn,cond) %dsolve()为求解函数,将方程放入即可
    

    解释:老套路,只不过要定义俩方程,给俩初值
    结果

    ySol =
    cos(t - 1)/(2*cos(1)) - cos(t + 1)/(2*cos(1)) + cos(t - atan(1/cos(1)))*(1/cos(1)^2 + 1)^(1/2)
    zSol =
    sin(t + 1)/(2*cos(1)) - sin(t - 1)/(2*cos(1)) + (cos(t + atan(cos(1)))*(cos(1)^2 + 1)^(1/2))/cos(1)
    

    5. 无法求解情况

    方程:dy²/dt²=(1-y²)*dy/dt-y
    代码

    syms y(t) %syms 定义方程用的变量和常量
    eqn=diff(y,2)==(1-y^2)*diff(y)-y; %定义方程dy²/dt²=(1-y²)*dy/dt-y
    cond=y(0)==1; %定义初值,t=0时,y=1
    S=dsolve(eqn,cond) %dsolve()为求解函数,将方程放入即可
    

    解释:方程本身看起来不复杂,但是无法求解
    结果

    警告: Explicit solution could not be found. 
    > In dsolve (line 201) 
    S =
    [ empty sym ]
    

    分析:特定解无法求出,结果是空的方程

    6. 无法求解解决方案

    遇到无法求解的情况,dsolve就束手无策了,但是Matlab依旧强大,提供了求数值解的方法,非常有效。
    我会在另一篇博文里面讲解如何对复杂的微分方程进行数值求解,这才是我解决同学毕设问题的方案。(已写,点击此处查看)
    这里先把同学的题目放在这里,大家可以编写解析解求解方案试一下,反正我求解不出来。
    循环摆微分方程如下:
    在这里插入图片描述
    给定的初值(w接近0,但实际上不能设置为0):
    在这里插入图片描述
    我的求解代码如下:

    syms R(t) v(t) w(t);
    eqns=[diff(R,t)==-v/w-0.01,...
        diff(v,t)==(10*9.8-(w^2*R+9.8*sin(t))*exp(0.1*(t+pi/2)))/(w*11),...
        diff(w,t)==w*0.01/R+2*v/R+9.8*cos(t)/(w*R)];
    cond=[R(0)==1,v(0)==0,w(0)==1e3];
    S=dsolve(eqns,cond);
    

    7. 加油!

    展开全文
  • MATLAB微分方程的数值解法

    千次阅读 2019-09-25 07:01:27
    科学技术常常要求解常微分方程的定解问题,所谓数值解法就是未知函数在一系列离散点处的近似值。 二、实验原理 三、实验程序 1. 尤拉公式程序 四、实验内容 选一可求解的常微分方程的定解问题,分别用...

    MATLAB常微分方程的数值解法

    作者:凯鲁嘎吉 - 博客园
    http://www.cnblogs.com/kailugaji/

    一、实验目的

    科学技术中常常要求解常微分方程的定解问题,所谓数值解法就是求未知函数在一系列离散点处的近似值。

    二、实验原理

    三、实验程序

      1. 尤拉公式程序

    四、实验内容

    选一可求解的常微分方程的定解问题,分别用以1, 4两种方法求出未知函数在

    节点处的近似值,并对所求结果与分析解的(数值或图形)结果进行比较。

     

    五、解答

    1. 程序

    求解初值问题

    n=10

    源程序:

    euler23.m:

    function [A1,A2,B1,B2,C1,C2]=euler23(a,b,n,y0)
    %欧拉法解一阶常微分方程
    %初始条件y0
    h = (b-a)/n; %步长h
    %区域的左边界a
    %区域的右边界b
    x = a:h:b; 
    m=length(x);
     
    %前向欧拉法
    y = y0;
    for i=2:m
        y(i)=y(i-1)+h*oula(x(i-1),y(i-1));  
        A1(i)=x(i);
        A2(i)=y(i);
    end
    plot(x,y,'r-');
    hold on;
     
    %改进欧拉法
    y = y0;
    for i=2:m
        y(i)=y(i-1)+h/2*( oula(x(i-1),y(i-1))+oula(x(i),y(i-1))+h*(oula(x(i-1),x(i-1)))); 
        B1(i)=x(i);
        B2(i)=y(i);
    end
    plot(x,y,'m-');
    hold on;
     
    %欧拉两步公式
    y=y0;
    y(2)=y(1)+h*oula(x(1),y(1));  
    for i=2:m-1
        y(i+1)=y(i-1)+2*h*oula(x(i),y(i));
        C1(i)=x(i);
        C2(i)=y(i);
    end
    plot(x,y,'b-');
    hold on;
     
    %精确解用作图
    xx = x;
    f = dsolve('Dy=-3*y+8*x-7','y(0)=1','x');%求出解析解
    y = subs(f,xx); %将xx代入解析解,得到解析解对应的数值
     
    plot(xx,y,'k--');
    legend('前向欧拉法','改进欧拉法','欧拉两步法','解析解');
    
    oula.m:
    function f=oula(x,y)
    f=-3*y+8*x-7;
    

      

    2. 运算结果

        A1,A2为前向欧拉法在节点处的近似值,B1,B2为改进的欧拉法在节点处的近似值,C1,C2为欧拉公式法在节点处的近似值。

    >> [A1,A2,B1,B2,C1,C2]=euler23(0,1,10,1)
    
    A1 =
    
             0    0.1000    0.2000    0.3000    0.4000    0.5000    0.6000    0.7000    0.8000    0.9000    1.0000
    
    
    A2 =
    
             0         0   -0.6200   -0.9740   -1.1418   -1.1793   -1.1255   -1.0078   -0.8455   -0.6518   -0.4363
    
    
    B1 =
    
             0    0.1000    0.2000    0.3000    0.4000    0.5000    0.6000    0.7000    0.8000    0.9000    1.0000
    
    
    B2 =
    
             0    0.0050   -0.6090   -0.9563   -1.1169   -1.1468   -1.0853   -0.9597   -0.7893   -0.5875   -0.3638
    
    
    C1 =
    
             0    0.1000    0.2000    0.3000    0.4000    0.5000    0.6000    0.7000    0.8000    0.9000
    
    
    C2 =
    
             0         0   -0.2400   -0.9360   -0.5984   -1.3370   -0.3962   -1.5392    0.2473   -1.8076
    
    >> [A1,A2,B1,B2,C1,C2]=euler23(0,1,10,1)
    
    A1 =
    
             0    0.1000    0.2000    0.3000    0.4000    0.5000    0.6000    0.7000    0.8000    0.9000    1.0000
    
    
    A2 =
    
             0         0   -0.6200   -0.9740   -1.1418   -1.1793   -1.1255   -1.0078   -0.8455   -0.6518   -0.4363
    
    
    B1 =
    
             0    0.1000    0.2000    0.3000    0.4000    0.5000    0.6000    0.7000    0.8000    0.9000    1.0000
    
    
    B2 =
    
             0    0.0050   -0.6090   -0.9563   -1.1169   -1.1468   -1.0853   -0.9597   -0.7893   -0.5875   -0.3638
    
    
    C1 =
    
             0    0.1000    0.2000    0.3000    0.4000    0.5000    0.6000    0.7000    0.8000    0.9000
    
    
    C2 =
    
             0         0   -0.2400   -0.9360   -0.5984   -1.3370   -0.3962   -1.5392    0.2473   -1.8076
    

      

    3. 拓展(方法改进、体会等)

    从以上图形可以看出,在n=10时,改进的欧拉法精度更高,而欧拉两步法所求结果震荡不收敛,越接近1,震荡幅度越大,于是取n=100,时,结果如下所示:

    n=1000时,结果如下图:

    当n=100时,三种方法与解析解非常接近,当n=1000时,几乎四者位于一条线中,从实验结果看出,n越大时,结果越精确。

    转载于:https://www.cnblogs.com/kailugaji/p/6932514.html

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