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  • matlab中求一个矩阵中元素的和可以自己编写for循环来完成,这样比较方便,想求那些数据的和都可以做到,然而效率比较低,如果数据量大程序会跑好长时间。所以我们可以转而用matlab提供的sum函数。  设M为一个...


          在matlab中求一个矩阵中元素的和可以自己编写for循环来完成,这样比较方便,想求那些数据的和都可以做到,然而效率比较低,如果数据量大程序会跑好长时间。所以我们可以转而用matlab提供的sum函数。

         设M为一个矩阵,那么:

         1、求和

         sum(M):以矩阵M的每一列为对象,对每一列的数据分别求和。

         sum(M,2):以矩阵的每一行为对象,对每一行的数据分别求和。

         sum(M(:)):将矩阵中的所有元素相加求和。

         2、求期望

          matlab中矩阵元素求期望的函数mean与sum用法雷同。

          mean(M):以矩阵M的每一列为对象,对每一列的数据分别求期望。

          mean(M,2):以矩阵的每一行为对象,对每一行的数据分别求期望。

          mean(M(:)):以矩阵所有数据为对象求期望。

         3、求均方差

          若要求整个矩阵所有元素的均方差,则要使用std2函数:std2(M)

          注:Matlab中有求数组方差的 函数:var;要注意的是var函数所采用公式中,分母不是length(X) ,而是length(X)-1 。这是因为var函数实际上求的并不是方差,而是误差理论中“有限次测量数据的标准偏差的估计值”。var没有求矩阵的方差功能,可使用std先求均方差,再平方得到方差。std,均方差,std(X,0,1)求列向量方差,std(X,0,2)求行向量方差。

    eg:

    >>X=[1,2,3,4]

    >>var(X)=1.6667

    >> sum((X(1,:)-mean(X)).^2)/length(X)=1.2500

    >> sum((X(1,:)-mean(X)).^2)/(length(X)-1)=1.6667

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  •  在matlab中求一个矩阵中元素的和可以自己编写for循环来完成,这样比较方便,想求那些数据的和都可以做到,然而效率比较低,如果数据量大程序会跑好长时间。所以我们可以转而用matlab提供的sum函数。  设M为一个...

    matlab中矩阵元素求和、求期望和均方差

          在matlab中求一个矩阵中元素的和可以自己编写for循环来完成,这样比较方便,想求那些数据的和都可以做到,然而效率比较低,如果数据量大程序会跑好长时间。所以我们可以转而用matlab提供的sum函数。

         设M为一个矩阵,那么:

         1、求和

         sum(M):以矩阵M的每一列为对象,对每一列的数据分别求和。

         sum(M,2):以矩阵的每一行为对象,对每一行的数据分别求和。

         sum(M(:)):将矩阵中的所有元素相加求和。

         2、求期望

          matlab中矩阵元素求期望的函数mean与sum用法雷同。

          mean(M):以矩阵M的每一列为对象,对每一列的数据分别求期望。

          mean(M,2):以矩阵的每一行为对象,对每一行的数据分别求期望。

          mean(M(:)):以矩阵所有数据为对象求期望。

         3、求均方差

          若要求整个矩阵所有元素的均方差,则要使用std2函数:std2(M)

          注:Matlab中有求数组方差的 函数:var;要注意的是var函数所采用公式中,分母不是length(X) ,而是length(X)-1 。这是因为var函数实际上求的并不是方差,而是误差理论中“有限次测量数据的标准偏差的估计值”。var没有求矩阵的方差功能,可使用std先求均方差,再平方得到方差。std,均方差,std(X,0,1)求列向量方差,std(X,0,2)求行向量方差。

    eg:

    >>X=[1,2,3,4]

    >>var(X)=1.6667

    >> sum((X(1,:)-mean(X)).^2)/length(X)=1.2500

    >> sum((X(1,:)-mean(X)).^2)/(length(X)-1)=1.6667

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  • 比如色子的点数是一个随机变量,它为1的概率可以表达成 ,这与我们代数的函数有点不同,代数的函数是输入一个确切的数,而这里不是。我甚至可以用 来表示投硬币为正面的概率。不过,本文其余部分都要求概率函数...

    f5d0d7721622a67d56549a613a29fd6c.png

    先从基本概念讲起。

    期望

    对于一个随机变量

    ,它在取不同值时的概率用函数
    表示。比如色子的点数是一个随机变量,它为1的概率可以表达成
    ,这与我们代数中的函数有点不同,代数中的函数是输入一个确切的数,而这里不是。我甚至可以用
    来表示投硬币为正面的概率。不过,本文其余部分都要求概率函数的输入值是数字。 期望表示随机变量的中心位置。例如你投色子很多次,最后计算的点数平均值应该是所有点数的均值,因为出现每种点数的概率相同。如果概率不同,则需要用概率加权,于是我们的期望公式就是:

    它表示把每一种可能的输出的值乘以其概率后求和。

    性质1: 期望的线性关系

    对于两个相互独立的随机变量

    ,我们有:

    这个就不做证明了,举一个直观例子说明:有2个色子各自投掷,两者的期望都是

    ,那么问两个色子之和的期望,显然是
    。这是可以直观认知的。用
    表示一个常数,它只是缩放每一个随机变量的值而已,进一步推广我们有:

    性质2: 样本均值的期望

    假定有一个随机变量

    的期望值和方差分别是
    。现在对这个数据集进行随机抽样(有放回的抽样,因为我需要保证整体的分布是不变的),抽到的样本一个一个的数据用
    表示,现在试求
    的期望。 根据样本均值的定义我们有:

    根据性质1的推论:

    。由于每个
    所属的分布和
    是一样的。两者都是有放回地随机抽一个,因此:

    我们的结论是:有放回的随机抽样的样本均值和总体均值的期望是一致的。

    性质3: 期望的乘积关系

    对于两个相互独立的随机变量

    ,我们有:

    这里给一个比较容易理解的说明,而不是证明: 首先,令

    。于是有:

    仔细观察可以发现,根据乘法结合律我们得到了

    之间的所有组合,如
    等。 由于是两个独立随机变量,因此两者之积的概率满足
    。我们得到了两者乘积的每一个可能值,以及它们对应的概率,全部加起来就是期望的定义。

    方差

    方差用于表示数据的分散程度。数据波动越大,方差就越大。定义如下:

    性质1

    如果随机变量

    变成
    会如何(
    为常数)?显然它只是最后输出的值改变了倍数,但是每个输出的值的概率是一样的,即
    。但是,均值会放大
    倍。于是根据方差定义得:

    性质2

    如果随机变量

    变成
    呢?其实也就是减去一个常数(总体的期望)再平方。想象色子的点数分别减3.5再平方,变成
    ,然而每个新的点数出现的概率还是不变,所以
    。如果我们求这个新变量的期望:

    没错,这正是方差的公式。这个式子可以认为是方差的第二种定义,它和第一种定义是等价的。 令

    ,再重复一遍公式:

    性质3

    证明之前的准备:

    1.

    视为一个常数:

    2. 概率之和恒为1:

    证明: 根据方差的性质2以及期望的一些性质有:

    这个可以视为方差的第三个定义式。记忆口诀:“期望平方内减外”。

    性质4

    如果

    是独立的随机变量,那么

    证明: 根据方差的性质3和期望的性质3有:

    推广得:如果

    是一组独立的随机变量,则
    。证明和上面基本类似,略。

    性质5: 样本均值的方差

    假定有一个随机变量

    的期望值和方差分别是
    。现在对这个数据集进行随机抽样(有放回的抽样,因为我需要保证整体的分布是不变的),抽到的样本一个一个的数据用
    表示,现在试求
    的方差。 根据样本均值的定义我们有:

    根据方差的性质1和性质4有:

    由于单个的

    是等价的,因为属于同一分布,因此有:

    也就是说,样本均值的方差是小于总体的方差的,并且会随着抽样次数增大而减小。这也是符合直觉的,因为你抽了一组样本求平均,当然就会减少数据的波动性。

    标准差和标准误差

    标准差 standard deviation 和 standard error 标准误差,两者都是用来表示数据的变异性,不同之处是前者是通过总体计算,后者是通过样本计算。所谓标准差就是总体的方差的算术平方根,记为

    。 而一个容量为
    的样本的是标准差,叫做标准误差,其值为
    。(直接对方差的性质5的式子开方即得 )

    参考资料

    https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/167/ (貌似已失效)

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  • matlab列向量平均值和方差

    万次阅读 2012-11-12 10:33:29
     在matlab中求一个矩阵中元素的和可以自己编写for循环来完成,这样比较方便,想求那些数据的和都可以做到,然而效率比较低,如果数据量大程序会跑好长时间。所以我们可以转而用matlab提供的sum函数。  设M为一个...

    matlab中矩阵元素求和、求期望和均方差

    wine(1:59,:)%提取前59行的所有列向量的子矩阵。

          在matlab中求一个矩阵中元素的和可以自己编写for循环来完成,这样比较方便,想求那些数据的和都可以做到,然而效率比较低,如果数据量大程序会跑好长时间。所以我们可以转而用matlab提供的sum函数。

         设M为一个矩阵,那么:

         1、求和

         sum(M):以矩阵M的每一列为对象,对每一列的数据分别求和。

         sum(M,2):以矩阵的每一行为对象,对每一行的数据分别求和。

         sum(M(:)):将矩阵中的所有元素相加求和。

         2、求期望

          matlab中矩阵元素求期望的函数mean与sum用法雷同。

          mean(M):以矩阵M的每一列为对象,对每一列的数据分别求期望。

          mean(M,2):以矩阵的每一行为对象,对每一行的数据分别求期望。

          mean(M(:)):以矩阵所有数据为对象求期望。

         3、求均方差

          若要求整个矩阵所有元素的均方差,则要使用std2函数:std2(M)

          注:Matlab中有求数组方差的 函数:var;要注意的是var函数所采用公式中,分母不是length(X) ,而是length(X)-1 。这是因为var函数实际上求的并不是方差,而是误差理论中“有限次测量数据的标准偏差的估计值”。var没有求矩阵的方差功能,可使用std先求均方差,再平方得到方差。std,均方差,std(X,0,1)求列向量方差,std(X,0,2)求行向量方差。

    eg:

    >>X=[1,2,3,4]

    >>var(X)=1.6667

    >> sum((X(1,:)-mean(X)).^2)/length(X)=1.2500

    >> sum((X(1,:)-mean(X)).^2)/(length(X)-1)=1.6667

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