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  • matlab开发-二维曲面拟合程序。二维曲面拟合程序
  • matlab曲线拟合

    热门讨论 2009-11-02 10:00:06
    曲线拟合 三维曲线(非线性)拟合步骤 二维曲线(非线性)拟合步骤
  • 二维平面内,已知共点的多条线基本可以通过解析几何的方法将点求出。但是在计算机中,由于浮点数等计算误差,导致多条线中相交的点不在同一位置。另外,在现实情况中,测距、测坐标等传感器所带来的误差,将多条线...

    在二维平面内,已知共点的多条线基本可以通过解析几何的方法将点求出。但是在计算机中,由于浮点数等计算误差,导致多条线中相交的点不在同一位置。另外,在现实情况中,测距、测坐标等传感器所带来的误差,将多条线本应共点的位置出现偏差,给数据融合带来麻烦。此篇通过利用matlab中拟合及优化的方法,来将本应共点的多条线优化出来。若有不对及可以改进的地方,请大家多多指正。


    欧几里得空间中二维平面两直线交点

    首先,利用高中知识,我们来定义:

    欧几里得空间中,二维平面笛卡尔点坐标x=(x_p,y_p)^{T};线的斜截式方程:l_i:y=k_ix+b_i

    在求线交点时,最少应该有两条线存在,也就是i\geq 2。所以我们求交点时就可以联立方程组:

    \left\{\begin{matrix} y=k_1x+b1\\ y=k_2x+b2 \end{matrix}\right. \Rightarrow x=(-\frac{b_2-b_1}{k_2-k_1},-\frac{b_2k_1-b_1k_2}{k_2-k_1}) 

    然而,这个结果对于计算机来说,看起来不太优雅。所以我们就利用大学代数几何知识建立方程:

    Ax=b\Rightarrow x=A^{-1}b

    \begin{bmatrix} -k_1 &1 \\ -k_2&1 \end{bmatrix}\binom{x_p}{y_p}=\binom{b_1}{b_2}\Rightarrow \binom{x_p}{y_p}=\begin{bmatrix} -k_1 &1 \\ -k_2&1 \end{bmatrix}^{-1}\binom{b_1}{b_2}

    计算出结果是一样的。

    此时,对于以上方程组的解,也就是两线交点,分成了三种情况:1. 无解;2. 唯一解;3. 以及无数解。

    从而对应着两条线的三种情况:1. 两直线平行;2. 两直线相交;3. 和两直线重合。

    反映在斜截式方程里就是:1. k_1=k_2, b_1\neq b_2;2.  k_1\neq k_2, b_1\neq b_2;3. k_1=k_2, b_1= b_2

    最后反映在矩阵中就是:1. 增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩r(\begin{bmatrix} A |b \end{bmatrix})>r(A);2.增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩,且满秩r(\begin{bmatrix} A |b \end{bmatrix})=r(A)=n,n为系数矩阵A的行数;3. 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩,但不满秩r(\begin{bmatrix} A |b \end{bmatrix})=r(A)<n

    也可以说,当\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}\neq0时,两直线有交点;当\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=0时,没有交点,或是两直线重合。此条件可以判断两直线是否有交点。

    我们用matlab画出这三种情况:

    1. 两平行直线\left\{\begin{matrix} y=-x+1\\ y=-x+2 \end{matrix}\right.;2. 两相交直线\left\{\begin{matrix} y=3x-2\\ y=-2x+3 \end{matrix}\right.,交点坐标x=(1,1)^{T};3. 两重合直线\left\{\begin{matrix} y=-x+1\\ y=-x+1 \end{matrix}\right.

    在欧式二维空间中,平行线不会有交点,则会有无解的情况出现,在运算中就还要多一步进行判断。下面我们利用在射影空间的齐次坐标来进行运算。


    欧几里得二维空间在射影空间中两直线的交点

    在射影空间中,我们饮用了齐次坐标:

    齐次点坐标x\equiv (x_1,x_2,x_3)

    线的一般式方程Ax+By+C=0,对应于齐次点坐标的线方程为l_1x_1+l_2x_2+l_3x_3=0,齐次线坐标为l\equiv [l_1,l_2,l_3]

    而我们此篇研究的是欧几里得二维空间,所以在我们在运算结束后,将齐次点坐标归一化,得到非齐次点坐标。

    利用射影空间,两条平行线的交点,也就是解不会作为无解来定义,可以被认为是无限远点,作为一个解来运算。这样方便了我们的判断和运算。

    在射影空间中,点在直线上被定义为l^{T}x=x^{T}l=0;通过两点直线被定义为l\equiv x_1\times x_2;两直线交点被定义为x\equiv l_1\times l_2

    还是以上三对直线,其各自齐次坐标为

    1. l _1\equiv [1,1,-1];l _2\equiv [1,1,-2],交点为x=(1,1,0)^{T},代表无穷远点。归一化为x_n=(\frac{1}{0},\frac{1}{0},1)^{T},代表在欧式二维平面上相交于无穷点,也就是平行;

    2. l _1\equiv [3,-1,-2];l _2\equiv [2,1,-3],交点为x=(5,5,5)^{T}。归一化为x_n=(1,1,1)^{T}

    3. l _1\equiv [1,1,-1];l _2\equiv [-1,-1,1],交点为x=(0,0,0)^{T},代表在射影空间中,两条射线相交于射影中心,从而说明它们是同一条直线。

    若从另一个角度分析,也可以将线的齐次坐标升维致至空间平面方程,通过平面之间的交点来求线的交点。

    射影空间中线的齐次坐标在欧氏空间中表示过空间原点面的法向量。此空间平面和归一化平面相交所构成的线,就是在欧氏空间二维平面的直线。所以两条二维平面直线相交,也可以认为是空间中两个平面同时相交于归一化平面。可列方程:

    \left\{\begin{matrix} l_1_1x+l_1_2y+l_1_3z=0\\ l_2_1x+l_2_2y+l_2_3z=0 \\ z=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \begin{bmatrix} l_1_1& l_1_2&l_1_3 \\ l_2_1& l_2_2 &l_2_3 \\ 0&0 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0 \\ 1 \end{bmatrix}

    从上面的方程式看,和上一部分的方程式是一样的。


    由此可见在二维平面上求两直线交点可以用到欧氏几何解析法以及射影空间的解析法。然而对于计算机编程者来说,利用射影空间的齐次坐标来计算是一个好的选择。特别地,在后面部分,多线相交求交点时,齐次坐标求解交点将是很好的工具。

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  • 利用matlab拟合离散点对应的次曲面。 其中,次曲面公式为z = x^2 + y^2 + xy + x + y
  • MATLAB实现二维离散点的最小二乘法拟合。 最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与...
  • interp1 (1)yi = interp1(x,y,xi,method) (1)例1 (1)例2 (2)【二维插值】interp2 (4)ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,method) (4)插值方式比较示例 (4)例3 (8)例4 (9)【三角测量和分散数据插值】 (13)【数据拟合】...

    目录

    【一维插值】interp1 (1)

    yi = interp1(x,y,xi,method) (1)

    例1 (1)

    例2 (2)

    【二维插值】interp2 (4)

    ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,method) (4)

    插值方式比较示例 (4)

    例3 (8)

    例4 (9)

    【三角测量和分散数据插值】 (13)

    【数据拟合】 (17)

    例5 (17)

    例6 (18)

    【一维插值】interp1

    yi = interp1(x,y,xi,method)

    例1

    在1-12的11小时内,每隔1小时测量一次温度,测得的温度依次为:5,8,9,15,25,29,31,30,22,25,27,24。试估计每隔1/10小时的温度值。

    建立M文件temp.m

    hours=1:12;

    temps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24];

    h=1:0.1:12;

    t=interp1(hours,temps,h,'spline');

    plot(hours,temps,'kp',h,t,'b');

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  • 、MSE(均方差) 该统计参数是预测数据和原始数据对应点误差的平方和的均值,也就是SSE/n,和SSE没有太大的区别,计算公式如下 三、RMSE(均方根) 该统计参数,也叫回归系统的拟合标准差,是MSE的平方根,...

    SSE(和方差、误差平方和):The sum of squares due to error
    MSE(均方差、方差):Mean squared error
    RMSE(均方根、标准差):Root mean squared error
    R-square(确定系数):Coefficient of determination
    Adjusted R-square:Degree-of-freedom adjusted coefficient of determination


    一、SSE(和方差)

    该统计参数计算的是拟合数据和原始数据对应点的误差的平方和,计算公式如下

    SSE越接近于0,说明模型选择和拟合更好,数据预测也越成功。接下来的MSE和RMSE因为和SSE是同出一宗,所以效果一样


    二、MSE(均方差)
    该统计参数是预测数据和原始数据对应点误差的平方和的均值,也就是SSE/n,和SSE没有太大的区别,计算公式如下

    三、RMSE(均方根)
    该统计参数,也叫回归系统的拟合标准差,是MSE的平方根,就算公式如下

    在这之前,我们所有的误差参数都是基于预测值(y_hat)和原始值(y)之间的误差(即点对点)。从下面开始是所有的误差都是相对原始数据平均值(y_ba)而展开的(即点对全)!!!


    四、R-square(确定系数)
    在讲确定系数之前,我们需要介绍另外两个参数SSR和SST,因为确定系数就是由它们两个决定的
    (1)SSR:Sum of squares of the regression,即预测数据与原始数据均值之差的平方和,公式如下

    (2)SST:Total sum of squares,即原始数据和均值之差的平方和,公式如下

    细心的网友会发现,SST=SSE+SSR,呵呵只是一个有趣的问题。而我们的“确定系数”是定义为SSR和SST的比值,故

    其实“确定系数”是通过数据的变化来表征一个拟合的好坏。由上面的表达式可以知道“确定系数”的正常取值范围为[0 1],越接近1,表明方程的变量对y的解释能力越强,这个模型对数据拟合的也较好

    展开全文
  • 05插值和拟合 1.一插值 (1) 机床加工零件,试用分段线性和三次样条两种插值方法计算。并求x=0处的曲线斜率和13<=x<=15范围内y的最小值。 x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15]; y0=[0 1.2 1.7 2 2.1 2.0 1.8...

    05插值和拟合

    1.一维插值

    (1) 机床加工零件,试用分段线性和三次样条两种插值方法计算。并求x=0处的曲线斜率和13<=x<=15范围内y的最小值。

    x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15];
    y0=[0 1.2 1.7 2 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6];
    x=0:0.1:15;
    % interp1现有插值函数,要求x0单调,'method'有
    % nearest 最近项插值   linear 线性插值
    % spline 立方样条插值  cubic 立方插值
    y1=interp1(x0,y0,x); 
    
    y2=interp1(x0,y0,x,'spline');
    
    pp1=csape(x0,y0);
    y3=fnval(pp1,x);
    
    pp2=csape(x0,y0,'second');
    y4=fnval(pp2,x);
    
    [x',y1',y2',y3',y4']
    
    subplot(1,4,1)
    plot(x0,y0,'+',x,y1)
    title('Piecewise linear 分段线性')
    
    subplot(1,4,2)
    plot(x0,y0,'+',x,y2)
    title('spline1')
    
    subplot(1,4,3)
    plot(x0,y0,'+',x,y3)
    title('spline2')
    
    subplot(1,4,4)
    plot(x0,y0,'+',x,y4)
    title('second')
    
    dx=diff(x);
    dy=diff(y3);
    dy_dx=dy./dx;
    dy_dx0=dy_dx(1);
    ytemp=y3(131:151);
    ymin=min(ytemp);
    index=find(y3==ymin);
    xmin=x(index);
    [xmin,ymin]
    

     

    (2)  已知速度的四个观测值,用三次样条求位移S=0.15到0.18上的vd(t)积分

    t   0.15    0.16     0.17    0.18
    vt   3.5    1.5       2.5       2.8

    format compact;
    % 已知速度的四个观测值,用三次样条求位移S=0.15到0.18上的vd(t)积分
    % t   0.15  0.16  0.17  0.18
    % vt  3.5   1.5    2.5   2.8
    clc,clear
    x0=0.15:0.01:0.18;
    y0=[3.5 1.5 2.5 2.8];
    % csape 三次样条插值,返回要求插值的的函数值
    pp=csape(x0,y0) % 默认的边界条件,Lagrange边界条件
    format long g
    xishu = pp.coefs % 显示每个区间上三次多项式的系数
    s=quadl(@(t)ppval(pp,t),0.15,0.18) % 求积分
    format % 恢复短小数的显示格式
    
    % 画图
    t=0.15:0.001:0.18;
    y=fnval(pp,t);
    plot(x0,y0,'+',t,y)
    

    pp = 
      包含以下字段的 struct:
    
          form: 'pp'
        breaks: [0.1500 0.1600 0.1700 0.1800]
         coefs: [3×4 double]
        pieces: 3
         order: 4
           dim: 1
    xishu =
      1 至 2-616666.666666667                     33500
             -616666.666666667                     15000
             -616666.666666668         -3499.99999999999
      3 至 4-473.333333333334                       3.5
              11.6666666666671                       1.5
              126.666666666667                       2.5
    s =
                      0.068625

     

    2.二维插值

    (1) 丘陵测量高度。试插值一曲面,确定合适的模型,并由此找出最高的和该点的最高程。

    format compact;
    % 丘陵,在x,y方向上每隔100m测个点
    clear,clc
    x=100:100:500;
    y=100:100:400;
    z=[636 697 624 478 450
        698 712 630 478 420
        680 674 598 412 400
        662 626 552 334 310];
    
    pp=csape({x,y},z') % 三次样条,返回函数
    xi=100:10:500;
    yi=100:10:400;
    cz=fnval(pp,{xi,yi}); % 得到插值后的z
    
    [i,j]=find(cz==max(max(cz))) % 找最高点的地址
    xm=xi(i),ym=yi(i),zmax=cz(i,j) % 求最高点的坐标
    
    % 画图
    [X,Y]=meshgrid(yi,xi);%构造1×1网格,20×20个
    [X0,Y0]=meshgrid(y,x);%构造1×1网格,20×20个 
    plot3(X0,Y0,z,'p', 'MarkerEdgeColor','k','MarkerSize',15 ,'MarkerFaceColor',[.49 1 .63])
    hold on
    % mesh(X,Y,cz)
    surf(X,Y,cz)
    pp = 
      包含以下字段的 struct:
    
          form: 'pp'
        breaks: {[100 200 300 400 500]  [100 200 300 400]}
         coefs: [1×16×12 double]
        pieces: [4 3]
         order: [4 4]
           dim: 1
    i =
         8
    j =
         9
    xm =
       170
    ym =
       170
    zmax =
      720.6252

     

    (2) 海底水深

    format compact;
    % 二维海底水深数据
    clc,clear;
    x=[129,140,103.5,88,185.5,195,105,157.5,107.5,77,81,162,162,117.5];
    y=[7.5,141.5,23,147,22.5,137.5,85.5,-6.5,-81,3,56.5,-66.5,84,-33.5];
    z=-[4,8,6,8,6,8,8,9,9,8,8,9,4,9]
    xmm=minmax(x); % 求x的最大值和最小值
    ymm=minmax(y); % 求y的最大值和最小值
    xi=xmm(1):xmm(2);
    yi=ymm(1):ymm(2);
    zi1=griddata(x,y,z,xi,yi','cubic'); % 立方插值
    zi2=griddata(x,y,z,xi,yi','nearest'); % 最近点插值
    zi=zi1 %立方插值和最近点插值的混合插值的初始值
    zi(isnan(zi1)) = zi2(isnan(zi1)); % 把立方插值中的不确定值缓存最近点插值的结果
    subplot(1,2,1),plot(x,y,'*');
    subplot(1,2,2),mesh(xi,yi,zi);

     

     

    3.拟合

    (1) 最小二乘拟合

    x=[19     25    31     38    44]';
    y=[19.0   32.3   49.0   73.3   97.8]';
    r=[ones(5,1),x.^2]
    ab=r\y
    x0=19:0.1:44;
    y0=ab(1)+ab(2)*x0.^2;
    plot(x,y,'o',x0,y0,'r')
    %   y = 0.9726 +   0.0500*x^2
      
    

     

    (2) 多项式拟合

    x0=[1990  1991  1992  1993  1994  1995  1996];
    y0=[70   122   144   152   174   196   202];
    plot(x0,y0,'*')
    a=polyfit(x0,y0,1)
    y97=polyval(a,1997) % 拟合的多项式在1997处的值
    y98=polyval(a,1998)

     

    (3) 最小二乘优化lsqlin函数

    x=[19     25    31     38    44]';
    y=[19.0   32.3   49.0   73.3   97.8]';
    r=[ones(5,1),x.^2];
    ab=lsqlin(r,y)
    x0=19:0.1:44;
    y0=ab(1)+ab(2)*x0.^2;
    plot(x,y,'o',x0,y0,'r')
    

     

     (4) 最小二乘优化lsqcurvefit函数,拟合函数中的参数

    fun1.m

    function f=fun1(canshu,xdata);
    f= exp(-canshu(1)*xdata(:,1)).*sin(canshu(2)*xdata(:,2))+xdata(:,3).^2;  %其中canshu(1)=k1,canshu(2)=k2,注意函数中自变量的形式
    

    data1.txt

    1	15.02	23.73	5.49	1.21	14	15.94	23.52	5.18	1.98
    2	12.62	22.34	4.32	1.35	15	14.33	21.86	4.86	1.59
    3	14.86	28.84	5.04	1.92	16	15.11	28.95	5.18	1.37
    4	13.98	27.67	4.72	1.49	17	13.81	24.53	4.88	1.39
    5	15.91	20.83	5.35	1.56	18	15.58	27.65	5.02	1.66
    6	12.47	22.27	4.27	1.50	19	15.85	27.29	5.55	1.70
    7	15.80	27.57	5.25	1.85	20	15.28	29.07	5.26	1.82
    8	14.32	28.01	4.62	1.51	21	16.40	32.47	5.18	1.75
    9	13.76	24.79	4.42	1.46	22	15.02	29.65	5.08	1.70
    10	15.18	28.96	5.30	1.66	23	15.73	22.11	4.90	1.81
    11	14.20	25.77	4.87	1.64	24	14.75	22.43	4.65	1.82
    12	17.07	23.17	5.80	1.90	25	14.35	20.04	5.08	1.53
    13	15.40	28.57	5.22	1.66					

    主函数

    % 拟合函数y=e^(-k1*x1)*sin(k2*x2)+x3*3中的参数k1,k2
    clc, clear
    a=textread('data1.txt');
    y0=a(:,[2,7]); %提出因变量y的数据
    y0=nonzeros(y0); %去掉最后的零元素,且变成列向量
    x0=[a(:,[3:5]);a([1:end-1],[8:10])]; %由分块矩阵构造因变量数据的2列矩阵
    canshu0=rand(2,1); %拟合参数的初始值是任意取的
    %非线性拟合的答案是不唯一的,下面给出拟合参数的上下界,
    lb=zeros(2,1); %这里是随意给的拟合参数的下界,无下界时,默认值是空矩阵[]
    ub=[20;2]; %这里是随意给的上界,无上界时,默认值是空矩阵[]
    canshu=lsqcurvefit(@fun1,canshu0,x0,y0,lb,ub)  
    
    Local minimum possible.
    
    lsqcurvefit stopped because the final change in the sum of squares relative to 
    its initial value is less than the default value of the function tolerance.
    
    <stopping criteria details>
    
    
    canshu =
    
        0.0000
        1.5483

     

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