本文主要介绍matlab中的Communication System Toolbox来实现QPSK调制、解调及加入高斯白噪声信道等函数的使用过程，并设置不同的信噪进行仿真与理论值进行比较。
首先设置相关仿真常数如下：
FRM=2048; % 一帧的比特数
MaxNumErrs=200; % 仿真最大误比特数，仿真循环停止条件
MaxNumBits=1e7; % 仿真最大比特数，仿真循环停止条件
EbNo_vector=0:10; % 仿真变量为比特能量与噪声能量谱密度的比值
BER_vector = zeros(size(EbNo_vector)); % 误比特率向量
在此需要说明的是，使用比特信噪比EbNo作为仿真变量是由于EbN可以更直观的反应系统的性能，更适合数字通信中衡量系统性能的指标，而SNR是信号功率与噪声功率之比，更适合于模拟通信系统。简单来说，对于数字通信系统，当EbNo一定值时，误比特率需要低于多少说明系统设计满足要求，且容易与理论值进行比较。
调用Communication System Toolbox中的QPSK调制、解调、高斯白噪声信道模块及统计误码率模块：
Modulator = comm.QPSKModulator('BitInput',true); % QPSK调制模块
AWGN = comm.AWGNChannel; % 高斯白噪声模块
DeModulator = comm.QPSKDemodulator('BitOutput',true); % QPSK解调模块
BitError = comm.ErrorRate; %误码率统计模块
仿真主循环：
for EbNo=EbNo_vector
    snr = EbNo+10*log10(2); %将调制前的EbNo转换为调制后的EbNo
    AWGN.EbNo=snr; % 设置高斯白噪声模块的EbNo值
    numErrs=0; numBits=0; results=zeros(3,1); % 相关统计参数初始化
    while ((numErrs<MaxNumErrs) && (numBits<MaxNumBits)) %循环退出条件
        u = randi([0 1], FRM, 1); % 随机产生一帧原始信号比特流
        mod_sig = Modulator(u);   % qpsk调制
        rx_sig = AWGN(mod_sig);   % 经过高斯白噪声信道 
        y = DeModulator(rx_sig);  % qpsk解调
        results = BitError(u, y );% 统计误比特率
        numErrs = results(2); % 总误比特数
        numBits = results(3); % 总比特数
    end
    ber=results(1);  % 误比特率
    bits=results(3); % 总比特数
    reset(BitError); % 重置BitError模块
    BER_vector(EbNo+1)=ber; 
end
在此需要特别注意的是将原始比特流转换为qpsk码时，是将2bit二进制数转换为一个qpsk码，即k=2，此时转换后的EbNo与转换前存在以下关系：
该公式也比较好理解，就是将2个bit的数据转化为一个qpsk符号时，EbNo之间的关系转化。
若不使用上述写法，也可以讲comm.AWGN中的'BitPerSymbol'设置为k，这种写法更为简单，经过测试，得到的结果相同：
AWGN = comm.AWGNChannel('BitsPerSymbol',2);
for EbNo=EbNo_vector
    AWGN.EbNo=EbNo;
    AWGN.EbNo=snr; % 设置高斯白噪声模块的EbNo值
    numErrs=0; numBits=0; results=zeros(3,1); % 相关统计参数初始化
    while ((numErrs<MaxNumErrs) && (numBits<MaxNumBits)) %循环退出条件
        u = randi([0 1], FRM, 1); % 随机产生一帧原始信号比特流
        mod_sig = Modulator(u);   % qpsk调制
        rx_sig = AWGN(mod_sig);   % 经过高斯白噪声信道 
        y = DeModulator(rx_sig);  % qpsk解调
        results = BitError(u, y );% 统计误比特率
        numErrs = results(2); % 总误比特数
        numBits = results(3); % 总比特数
    end
    ber=results(1);  % 误比特率
    bits=results(3); % 总比特数
    reset(BitError); % 重置BitError模块
    BER_vector(EbNo+1)=ber; 
end
在通过调制后EbNo一定要注意与原始EbNo之间的转化，不然得到的误比特率曲线和理论值不同。
comm.BitError的返回值为一个向量，其中第一维为误比特率，第二维为误无比特数，第三维为传输总比特数。
QPSK的理论误比特率值如下：
其中erfc为误差函数，其定义如下：
最后绘制图像即可：
EbNoLin = 10.^(EbNo_vector/10); %db --> 值
theoretical_results = 0.5*erfc(sqrt(EbNoLin)); %qpsk误码率理论值
semilogy(EbNo_vector, BER_vector) 
grid;title('BER vs. EbNo - QPSK modulation');
xlabel('Eb/No (dB)');ylabel('BER');hold;
semilogy(EbNo_vector,theoretical_results,'dr');hold;
legend('Simulation','Theoretical');
完整代码如下：
FRM=2048; % 一帧的比特数
MaxNumErrs=200; % 仿真最大误比特数，仿真循环停止条件
MaxNumBits=1e7; % 仿真最大比特数，仿真循环停止条件
EbNo_vector=0:10; % 仿真变量为比特能量与噪声能量谱密度的比值
BER_vector = zeros(size(EbNo_vector)); % 误比特率向量

Modulator = comm.QPSKModulator('BitInput',true); % QPSK调制模块
AWGN = comm.AWGNChannel; % 高斯白噪声模块
DeModulator = comm.QPSKDemodulator('BitOutput',true); % QPSK解调模块
BitError = comm.ErrorRate; %误码率统计模块

for EbNo=EbNo_vector
    snr = EbNo+10*log10(2); %将调制前的EbNo转换为调制后的EbNo
    AWGN.EbNo=snr; % 设置高斯白噪声模块的EbNo值
    numErrs=0; numBits=0; results=zeros(3,1); % 相关统计参数初始化
    while ((numErrs<MaxNumErrs) && (numBits<MaxNumBits)) %循环退出条件
        u = randi([0 1], FRM, 1); % 随机产生一帧原始信号比特流
        mod_sig = Modulator(u);   % qpsk调制
        rx_sig = AWGN(mod_sig);   % 经过高斯白噪声信道 
        y = DeModulator(rx_sig);  % qpsk解调
        results = BitError(u, y );% 统计误比特率
        numErrs = results(2); % 总误比特数
        numBits = results(3); % 总比特数
    end
    ber=results(1);  % 误比特率
    bits=results(3); % 总比特数
    reset(BitError); % 重置BitError模块
    BER_vector(EbNo+1)=ber; 
end

EbNoLin = 10.^(EbNo_vector/10); %db --> 值
theoretical_results = 0.5*erfc(sqrt(EbNoLin)); %qpsk误码率理论值
semilogy(EbNo_vector, BER_vector) 
grid;title('BER vs. EbNo - QPSK modulation');
xlabel('Eb/No (dB)');ylabel('BER');hold;
semilogy(EbNo_vector,theoretical_results,'dr');hold;
legend('Simulation','Theoretical');
仿真结果如下：
参考文献：
Understanding LTE with MATLAB
https://www.mathworks.com/help/comm/ref/comm.awgnchannel-system-object.html 
Compute bit or symbol error rate of input data 
AWGN Channel - MATLAB & Simulink 
其中代码主要源自《Understanding LTE with MATLAB》，本文主要对其进行注释、分析与方便自己仔细理解代码思路，学习写文章的过程，后期将放上自己学习过程中写的其他一些分析与代码！！
欢迎大家评论、私信交流、批评与指正！！

	

  在信号处理系统中，我们经常会听到噪声温度这个概念，而且噪声温度的量纲也是K(凯氏温度)， 那噪声温度是什么意思呢？为什么会用温度来衡量噪声的大小？
K和℃的换算关系：
[℃] =  [K] - 273.15
我们常说的绝对零度就是−273.15℃，即0K。
  首先，要明确的一点是：噪声温度其实就是噪声功率的一种表示方法，至于为什么要用温度来表示功率大小？直接用功率不好么？
  要解释噪声温度，就要从噪声说起。
  根据噪声产生的机理，大致可以分为五大类：热噪声(Thermal Noise)，散粒噪声(Shot Noise)，闪烁噪声(Flicker Noise)，等离子体噪声(Plasma Noise)，量子噪声(Quantum Noise)。
  热噪声是最基本的一种噪声，可以说是无处不在的。热噪声又称为Johanson或Nyquist噪声，是由电子的热运动产生的。在绝对零度(0 K)以上，就会存在自由电子的热运动。因此，现实中的所有器件，都会产生热噪声。热噪声的功率谱密度不随频率变化，称为白噪声，又因服从Gauss概率密度分布，所以又称为高斯白噪声。
  将一个电阻置于温度为T (开尔文温度)的环境中，电阻中的自由电子随机运动，动能与温度T成正比。电子的随机运动会产生小的随机电压波动，此时电阻相当于一个噪声源。随机电压的有效值为

其中，
h--普朗克常数，用以描述量子大小， h=6.62607015×10-34 J·s 
k---玻尔兹曼常数，是有关于温度及能量的一个物理常数，k=1.38064852x10^-23 J/K 
T--开尔文温度 
B--系统带宽 
f--系统中心频率 
R--电阻阻值
该公式在RF频段，可以根据Rayleigh-Jeans(瑞利-琼斯)进行近似，由于hf << kT，因此：
可以看出，噪声电压有效值与频率无关，当系统带宽确定后，噪声电压有效值是个常数，功率也是一个跟频率无关的常数，因此它是一种白噪声。
  将电阻等效为一个噪声源，在其共轭匹配电路中，输出的噪声功率最大，为：
从公式可以看出，电阻输出的最大噪声功率只与当前温度及系统带宽有关，且呈线性关系，与电阻值无关。
  电阻是一种无源器件，因此可以只考虑它的热噪声，但有源器件的噪声就相对复杂，为了分析的方便，我们把所有噪声都等效为热噪声:
共轭匹配时，器件输出的最大噪声功率为:
其中，Te为器件的等效噪声温度，B为器件的有效带宽。
  通过这种表示方式，有源器件的白噪声就可以用噪声温度为某个值的电阻的噪声来描述了，更方便整个系统的分析，而且一般天线的噪声功率都比较低，用噪声温度来表示数值更加直观，比如卫星对地接收天线可能是几百K的量级，换算成功率的话数值就太小了，看起来不是很直接。
  讲到这里，就得提一个关键的数字：-174dBm/Hz。什么意思呢？
在温度为290K，即16.85℃时，此时噪声的功率谱密度为：
对该值取个db
因此，-174dBm/Hz是噪声的功率谱密度，当带宽为1Hz时，噪声功率为-174dBm，但噪声功率并不是噪底，因此很多人说-174dBm就是噪底这种说法其实是有问题的。
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在进行控制系统仿真和随机过程仿真中，产生各种颜色的随机数是必不可少的一步。考虑到实现的方便，这里使用matlab来进行仿真。通常的做法是先利用计算机自带的高斯白噪声生成函数生成白噪声，然后再利用算法产生所需要颜色的噪声，下面逐步进行介绍。
matlab自带了白噪声随机数生成算法，rand和randn,虽然其都是生成白噪声，但是rand产生的是均匀分布的噪声，而randn产生的是高斯分布的白噪声。这两种方法产生的功率谱密度如下图所示，可以看到这两种方法生成的都是白噪声，仅是功率谱的幅值稍有不同。
使用直方图能更直观的观察到其差异：
在时钟产生的相位噪声里，噪声通常可以分为以下五种：
因此，我们需要对着五种噪声进行建模。
我们可以利用滤波器的概念来产生这些噪声。在数字信号中，我们知道，如果一个信号是白噪声，功率谱为S(f) = b0,即其功率谱密度与傅里叶频率无关，那么当这个信号通过一个1/f滚降的低通滤波器时，其输出将为So(f)=b0/f，即闪烁相位噪声。
matlab代码如下
N = 1e4;
x = rand(N,1);
xf = x;
for ind = 2:N
 xf(ind) = xf(ind-1)+x(ind);
end
xf的功率谱密度如下图所示，其功率谱密度以滚降，
同理，利用差分的方法，也可以得到功率谱密度正比于傅里叶频率的随机信号。

matlab高斯白噪声的生成

关于郭尚来《随机控制》的高斯白噪声生成
步骤1：生成标准均匀分布伪随机数

（1）给定基数R，对十进制数，取R=10。

（2）给定伪随机数的有效字长N，选择模m
（3）确定常数乘子IX
式中：IR在3，11，13，19，21，27，29，37，53，59，61，67，69，77，83和91等数中选择；IT可选定为任意正整数。配合选择IR和IT，使IX接近 （对R=10）。

（4）任意给定初值NR，其值不能为R的因数整除，对 ，递推计算数列
（5）把 置于小数点之后，就得到一组标准均匀分布的伪随机数。

（6）伪随机数 满足
时，使上式成立的最小整数p称为周期。对 ，一般有
程序编程中给定 ,求标准均匀分布伪随机数序列，其周期 。

步骤2：生成高斯白噪声

1.方法1

设 和 是两个在区间 上互相独立的均匀分布的随机序列，利用上述步骤1所述方法，构造
已知n为序列数，则 和 是互相独立的高斯分布 的随机序列。

2.方法2

设 是互相独立的同为标准均匀分布的随机序列，其均值 ，方差 。根据中心极限定理，有
当N较大时，其分布近似于高斯分布 。一般选取 ，得到
考虑 和 同为标准均匀分布，可改写为
当X为标准均匀分布的随机序列时，从中抽取N个随机子样 ，则它们时互相独立的标准均匀分布的随机序列。

程序代码：


clear all;

R=10;

N=4;

IR=91;

IT=0;

NR=1973;

m=R^N;

p=m/20;

A=zeros(p,1);

IX=200IT+IR;

for i=1:p

NR=mod(IXNR,m);

A(i)=NR/m;

end


%方法一

B=rand(p,1);

y1=zeros(p,1);

y1=zeros(p,1);

for i=1:p

y1(i)=sqrt(-2log(A(i)))cos(2piB(i));

y2(i)=sqrt(-2log(A(i)))sin(2piB(i));

end

figure(1);

subplot(211);

plot(1:1:500,y1);

xlabel(‘n’);

ylabel(‘y1’);

subplot(212);

plot(1:1:500,y2);

xlabel(‘n’);


%方法二

y=zeros(p,1);

for i=1:p;

Y=zeros(12,1);

for n=1:12

Y(n)=ceil(rand(1,1)*p);

end

for c=1:6

y(i)=y(i)+A(Y©)-A(Y(c+6));

end

end


E1=mean(A);

Var1=var(A);

E2=mean(y1);

Var2=var(y1);

E3=mean(y2);

Var3=var(y2);

E4=mean(y);

Var4=var(y);

figure(2);

plot(1:1:500,y);

xlabel(‘n’);

ylabel(‘y’);

figure(3);

subplot(311);

[f1,x1]=ksdensity(y1);

plot(x1,f1);

subplot(312);

[f2,x2]=ksdensity(y2);

plot(x2,f2);

subplot(313);

[f3,x3]=ksdensity(y);

plot(x3,f3);


方法一

方法二

方法1高斯白噪声、方法2高斯白噪声概率密度函数：
标准均匀分布伪随机数序列的均值（E1）为0.4998，方差（Var1）为0.0835；方法1中生成的高斯分布 的随机序列 的均值（E2）为0.0307，方差（Var2）为0.9942；方法1中生成的高斯分布 的随机序列 的均值（E3）为-0.0407，方差（Var3）为1.0079；方法2中生成的高斯分布 的随机序列 的均值（E4）为-0.0574，方差（Var4）为1.0145。

生成的三种高斯白噪声的均值与方差均近似于理论值，即均值为0，方差为1，且概率密度函数的分布近似于高斯分布 ，程序方法具有有效性。