MATLAB进行曲线拟合有一般两种手段，使用其自带的函数

[x, resnorm ] = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)

fun为被拟合函数

x0位参数的初始估计值，用于逼近，对应上面函数的输出x，维度和x一致！！！

xdata为被拟合函数的自变量输入

ydata为被拟合函数的输出

 

resnorm为残差

 

其二为用MATLAB自带的工具软件，输入指令cftool，

仿真如下截图：



 

非线性方程求解、极值计算
非线性方程数值求解
1.单变量非线性方程求解
2.非线性方程组的求解
函数极值的计算
无约束最优化问题
有约束最优化问题

非线性方程数值求解
1.单变量非线性方程求解

x=fzero(filename,x0)：filename是待求根方程左端的函数表达式，x0是初始值。

ps：用该函数求解方程时，初始值选取十分重要，可以在确定初始值之前绘制图形大体曲线，确定零点大体位置，然后再估计初值。

2.非线性方程组的求解

x=fsolve(filename,x0,option)x为返回的近似解，filename是待求根方程左端的函数表达式，x0是初值。

option用于设置优化工具箱的优化参数，可以调用optimset函数来完成。例如，Display参数设置为‘off’时不显示中间结果。



f=@(x) [sin(x(1))+x(2)+x(3)^2*exp(x(1)),x(1)+x(2)+x(3),x(1)*x(2)*x(3)];
x=fsolve(f,[1,1,1],optimset('Display','off'))
%验证：
f(x)
x = 0.022381577931908  -0.022380302441219  -0.000001275490689
ans = 1.0e-06 * -0.593080249610492  -0.000000000001322   0.000638901555530
%结果很小所以比较精确

函数极值的计算
函数极值包括极大值和极小值，或者叫最大值和最小值。MATLAB只考虑最小值 问题的计算，如果要求f(x)的最大值，可以通过求-f(x)的最小值来解决。
无约束最优化问题


函数调用：

[xmin,fmin]=fminbnd(filename,x1,x2,option) [xmin,fmin]=fminsearch(filename,x0,option) [xmin,fmin]=fminunc(filename,x0,option)

xmin表示极小值点，fmin表示最小值
filename是定义的目标函数。
option为优化参数，可以通过optimset函数来设置。
第一个函数的输入变量xl、x2分别表示被研究区间的左、右边界。
后两个函数的输入变量x0是一个向量，表示极值点的初值。

例子：


f=@(x) x-1./x+5;
[xmin,fmin]=fminbnd(f,-10,-1)
[xmin,fmin]=fminbnd(f,1,10)
结果：
xmin = -9.999946678462546
fmin =-4.899946145244328
xmin =1.000053455645318
fmin =5.000106908433283

有约束最优化问题


即求取一组x，使得目标函数f(x)为最小，且满足约束条件G(x)≤0。记号s.t.是英文subject to的缩写，表示x要满足后面的约束条件。

（约束条件可以进一步细化为：线性不等式约束、线性等式约束、非线性不等式约束、非线性等式约束以及x的下界和上界。）
函数调用：

[xmin,fmin]=fmincon(filename,x0,A,b,Aeq,beq,Lbnd,Ubnd,NonF,option)

其中，xmin、fmin、filename、x0和option的含义与求最小值函数相同。
其余参数为约束条件，包括线性不等式约束、线性等式约束、x的下界和上界以及定义非线性约束的函数。如果某个约束不存在，则用空矩阵来表示。

例题：


f=@(x) 0.4*x(2)+x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)+1/30*x(1)^3;
x0=[0.5;0.5];
A=[-1,-0.5;-0.5,-1];
b=[-0.4;-0.5];
lb=[0;0];
option=optimset('Display','off');
[xmin,fmin]=fmincon(f,x0,A,b,[],[],lb,[],[],option)%没有的条件就用空矩阵代替
结果：
xmin =
   0.339562825416758
   0.330218614948690
fmin =0.245609812236434

Matlab 仿真多智体一致性分析，附代码
本例程所有参数及状态均采用最简单的形式，使更容易理解一致性的收敛过程。
所使用拉普拉斯矩阵图为如下所示的无向图（undirected graph）


输入：

初始位置（状态）
图拉普拉斯矩阵

输出：

各智能体一致性位置收敛路径图
各智能体的输入变化曲线

%改变了Laplacian函数里面的FAI矩阵，使得状态收敛至静态值，
clc;
clear;

%% 输入初始化参数
X0  = [1, 5, 4]';

% 度矩阵，有向拓扑结构
D =[2 0 0;
    0 2 0;
    0 0 2;];
% 邻接矩阵，有向拓扑结构
A =[0 1 1;
    1 0 1;
    1 1 0];
% 拉普拉斯矩阵
L = D - A;

%% 收敛相关参数
tBegin = 0;                                                                 % 开始时间 
tEnd   = 3;                                                                 % 结束时间
h      = 0.1;                                                               % 最小时间间隔
times  = (tEnd-tBegin) / h;                                                 % 迭代计算次数
X(:,1) = X0;                                                                % Y的第一列等于Y1
U(:,1) = -L * X0;
t(1) = tBegin;                                                              % 时间间隔记录表

i = 1;
while(i <= times)
    Xt = X(:,i);
    Ut = -L * Xt;                                                           % u = -Lx
    Xt1 = Xt + h * Ut;                                                      % x = x + h*u
       
    X(:,i+1) = Xt1;                                                         % 添加更新后的Xt值
    U(:,i+1) = Ut;                                                          % 添加更新后的Ut值  
    t(i+1) = tBegin + i * h;                                                % 添加更新后的t值
    i = i+1;
end

%% 结果显示
% 绘制图像
subplot(2,1,1)
plot(t,X(1,:), t,X(2,:), t,X(3,:), 'linewidth',2.0)
legend("x_1","x_2","x_3");
xlabel('Times/收敛次数');
ylabel('States/状态值');

subplot(2,1,2)
plot(t,U(1,:), t,U(2,:), t,U(3,:), 'linewidth',2.0)
legend("u_1","u_2","u_3");
xlabel('Times/收敛次数');
ylabel('U/输入值');


结果如下图所示：

BP网络有很强的映射能力，主要用于模式识别和函数逼近。可以采用BP网络函数逼近的能力来求解数学式难以表达的函数。下面是一个三层BP网络，看它如何逼近一个正旋函数的。
在matlab中采用tansig函数和purelin函数，BP网络未训练时（初始化的网络），输出曲线与正旋曲线相差很大，没有逼近功能。因为newff函数建立网络时，权值和阀值都是随即初始化的。网络输出结果很差。达不到逼近目的。
k=1;
p=[-1:.05:1];
t=sin(k*pi*p);
n=10;
net=newff(minmax(p),[n,1],{'tansig' 'purelin'},'trainlm');
y1=sim(net,p);
plot(p,t,'-',p,y1,'--');
xlabel('时间')；
ylabel('函数值');
title('未训练的BP网络逼近效果');
legend('要逼近的正旋函数曲线','未训练的BP网络逼近曲线');
<?xml:namespace prefix = v />

 
<?xml:namespace prefix = o />

下面对网络训练。设置训练时间为1000，训练精度为0.01。其余为缺省值带动量梯度下降改进型训练函数traingdm训练得到的误差变化和函数逼近效果如下。
net=newff(minmax(p),[n,1],{'tansig' 'purelin'},'traingdm');
net.trainParam.epochs=1000;
net.trainParam.goal=0.01;
net=train(net,p,t);
y2=sim(net,p);
plot(p,t,'-',p,y1,'--',p,y2,'.');
legend('要逼近的正旋函数曲线','未训练的BP网络逼近曲线','训练后的BP网络逼近曲线');
xlabel('时间');
ylabel('函数值');


          可见，带动量梯度下降改进型训练函数traingdm训练得到BP网络函数逼近效果很好。