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  • 本博文源于MATLAB建模,拟合问题是指给定平面上n个点$(x_i,y_i)(i=1,...,n)$寻求一个函数(曲线)y=f(x),使f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近。...而本文就以一道例题来告诉大家MATLAB如何做线性最小二乘拟合

    本博文源于MATLAB建模,拟合问题是指给定平面上n个点 ( x i , y i ) ( i = 1 , . . . , n ) (x_i,y_i)(i=1,...,n) (xi,yi)(i=1,...,n)寻求一个函数(曲线)y=f(x),使f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近。而问题首要关键的是确定f(x)表达式的形式,一般我们会有两种方法:1、根据机理模型确定f(x)比如人口问题,2、根据画图来确定。而本文就以一道例题来告诉大家MATLAB如何做线性最小二乘拟合。

    一、问题再现

    在这里插入图片描述
    问题已经给出 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi),那么我们先要画出散点图看一看性态

    二、散点图绘制

    在这里插入图片描述

    >> x = 0:0.1:1;
    >> y = [-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.30,11.2];
    >> plot(x,y,'rp')
    >> 
    

    问题上说我们要配二次多项式,那么我们就要根据线性最小二乘法原理进行求解

    三、线性最小二乘法核心原理

    图形只是让我们看见它的形态,我们最重要确定
    f ( x ) = a 1 x 2 + a 2 x + a 3 f(x)=a_1x^2+a_2x+a_3 f(x)=a1x2+a2x+a3
    a 1 , a 2 , a 3 a_1,a_2,a_3 a1,a2,a3,根据线性最小二乘法原理
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    上面这一张图最关键a左除y。和心原理就在于构建R和y。

    三、构建R和y求解

    在这里插入图片描述

    >> x = 0:0.1:1;
    >> y = [-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.30,11.2];
    >> R=[(x.^2)',x',ones(11,1)];
    >> A = R\y'
    
    A =
    
       -9.8108
       20.1293
       -0.0317
    
    >> 
    

    我们计算得出 A = [ − 9.8108 , 20.1293 , − 0.0317 ] f ( x ) = − 9.8108 x 2 + 20.1293 x − 0.0317 A=[-9.8108,20.1293,-0.0317]\\ f(x)=-9.8108x^2+20.1293x-0.0317 A=[9.8108,20.1293,0.0317]f(x)=9.8108x2+20.1293x0.0317
    计算出来之后,我们不要忘记画图进行验证,看看效果!

    四、画图验证

    在这里插入图片描述
    效果不错,符合整体形态

    >> x = 0:0.1:1;
    >> y = [-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.30,11.2];
    
    >> plot(x,y,'rp')
    >> R=[(x.^2)',x',ones(11,1)];
    >> A = R\y'
    
    A =
    
       -9.8108
       20.1293
       -0.0317
    
    
    >> y1 = -9.8108*x.^2+20.1293*x-0.0317;
    >> plot(x,y,'rp',x,y1)
    >> 
    

    五、总结

    在数据建模中,画图是一种最为直观了解数据的方法,通过对图形观察找到合适函数,进而解决问题,在现实问题中,我们进行求解不仅要做求解还需要假设检验等。这是本文欠缺的,但本文较为直观的给出一般线性最小二乘拟合的MATLAB实现,是一个不可多得好文章,希望未来静下心来学习,大智若愚,求知若渴。

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  • MATLAB最小二乘拟合

    2021-07-12 18:23:24
    最小二乘拟合线性最小二乘拟合线性最小二乘法 线性最小二乘拟合 1、polyfit 例:a= polyfit(x0,y0,m) 其中,输入参数x0,y0为要拟合的数据,m为拟合多项式的次数(一般不超过3次),输出参数a为拟合多项式的次数(从0...

    线性最小二乘拟合

    1、polyfit
    例:a= polyfit(x0,y0,m)
    其中,输入参数x0,y0为要拟合的数据,m为拟合多项式的次数(一般不超过3次),输出参数a为拟合多项式的次数(从0次开始)

    %例:
    clc;clear
    x=[19,25,31,38,44];
    y=[19.0,32.3,49.0,73.3,97.8];
    ab=polyfit(x,y,2)
    x0=19:0.1:44;
    y0=ab(3)+ab(2)*x0+ab(1)*x0.^2;
    plot(x,y,'o',x0,y0,'r')
    

    2、polyval
    例:y=polyval(a,x)
    其中,输入参数a为拟合多项式的次数,输入参数x为所要求y值的x值,输出参数y为所要求的值。
    例:某乡镇企业1990-1996年的生产利润如下
    年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996
    利润(万元) 70 122 144 152 174 196 202
    试预测1997和1998年的利润。

    %代码如下
    x0=[1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996];
    y0=[70 122 144 152 174 196 202];
    a=polyfit(x0,y0,1)
    y97=polyval(a,1997)
    y98=polyval(a,1998)
    

    非线性最小二乘法

    1、lsqcurvefit
    已知输入向量xdata和输出向量ydata,并且知道输入与输出的函数关系为ydata=F(x, xdata),求系数向量x(当然对于不同的函数用法可以求得别的东西)

    %格式
    x = lsqcurvefit ('fun',x0,xdata,ydata);
    x =lsqcurvefit ('fun',x0,xdata,ydata,options);
    x = lsqcurvefit ('fun',x0,xdata,ydata,options,'grad');
    [x, options] = lsqcurvefit ('fun',x0,xdata,ydata,);
    [x, options,funval] = lsqcurvefit ('fun',x0,xdata,ydata,);
    [x, options,funval, Jacob] = lsqcurvefit ('fun',x0,xdata,ydata,);
    

    参数说明:
    x0为初始解向量;xdata,ydata为满足关系ydata=F(x, xdata)的数据;
    lb、ub为解向量的下界和上界lb≤x≤ub,若没有指定界,则lb=[ ],ub=[ ];
    options为指定的优化参数;
    fun为待拟合函数,计算x处拟合函数值,其定义为 function F = myfun(x,xdata)
    resnorm=sum ((fun(x,xdata)-ydata).^2),即在x处残差的平方和;
    residual=fun(x,xdata)-ydata,即在x处的残差;
    exitflag为终止迭代的条件;
    output为输出的优化信息;
    lambda为解x处的Lagrange乘子;
    jacobian为解x处拟合函数fun的jacobian矩阵。
    2、lsqnonlin
    已知输入向量xdata和输出向量ydata,并且知道输入与输出的函数关系为ydata=F(x, xdata),求系数向量x(当然对于不同的函数用法可以求得别的东西) (差不多,感觉一般会用lsqcurvefit)

    %格式
     x=lsqnonlin('fun',x0);
     x= lsqnonlin ('fun',x0,options);
     x= lsqnonlin ('fun',x0,options,'grad');
     [x,options]= lsqnonlin ('fun',x0,);
     [x,options,funval]= lsqnonlin ('fun',x0,);
    

    在这里插入图片描述

    %用lsqcurvefit函数
    %先编写函数文件fun.m
    function f=fun(x,tdata)
    f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)
    %其中x(1)=a,x(2)=b,x(3)=k;
    %输入命令
    tdata=[100:100:1000]
    cdata=1e-3*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];
    x0=[0.2,0.05,0.05];
    x=lsqcurvefit('fun',x0,tdata,cdata)
    f=fun(x,tdata)
    
    %用lsqnonlin
    %编写函数文件fun.m
    function f=fun(x)
    tdata=100:100:1000;
    cdata=1e-3*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];
    f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)-cdata
    %输入命令:
    x0=[0.2,0.05,0.05];
    x=lsqnonlin('fun',x0)
    f=fun(x)
    
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